譚莉
摘 ?要:數(shù)學思想是指在現(xiàn)實生活中對各類數(shù)學理論形成的本質(zhì)認知,體現(xiàn)了數(shù)學學科中的總結(jié)性、廣泛性和奠基性的特點。教師研究數(shù)學學科的思想和方法,有助于提高課堂教學的效率、發(fā)展和改善學生的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學的思想和方法,包括轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類與討論、函數(shù)與方程。數(shù)學問題的研究與求解過程,是一種從未知到已知的變化過程,即通過聯(lián)想和類比分析數(shù)學問題,選擇合適的方式進行演化,最終確定比較合理、容易的解決方法。教師將轉(zhuǎn)化與化歸思想應用到初中數(shù)學的教學活動中,有利于學生掌握數(shù)學知識以及解題技巧。
關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化與化歸;初中數(shù)學;學習能力
轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學課堂教學中的應用,能夠使學生掌握有效解決數(shù)學問題的技巧和方法,促進學生對數(shù)學問題的探索實踐,顯著提高學生的綜合學習能力。
在改革數(shù)學教學模式的過程中,教師可以從轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學教學中的應用,探索教學改革的創(chuàng)新措施,使學生能夠掌握數(shù)學學習的技巧和方法,并主動探索和實踐課程知識。
一、轉(zhuǎn)化與化歸思想概述
轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種基本的數(shù)學思想,在解決、研究數(shù)學問題時,這種思想使用了相對科學、規(guī)范化的手段和方法來解決數(shù)學問題。數(shù)學問題的解決是從困難到簡單的過程,簡單而言,轉(zhuǎn)化與化歸思想是把忽視的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,簡化復雜的數(shù)學知識,將多維問題轉(zhuǎn)化為一維、二維問題。收斂思維涉及目標、方法和對象,學生通過了解這三個領(lǐng)域,能夠更好地用簡化的方法解決復雜的數(shù)學問題。
初中數(shù)學包括許多數(shù)學思想,如正統(tǒng)思想等。如果中學數(shù)學能夠在學校教育中靈活運用上述思想,學生就可以更好地理解相關(guān)的數(shù)學知識,學習能力也將越來越好。中學數(shù)學的大部分知識點都是抽象的,學生在學習和理解上會經(jīng)常遇到困難,教師在學習上應用轉(zhuǎn)化與化歸思想,能夠使抽象的知識點更易于理解。初中生會經(jīng)常遇到幾何、公式問題,如果學生能夠在數(shù)學學習過程中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想,能夠更好地理解和解決相關(guān)數(shù)學問題。
二、研究轉(zhuǎn)化與化歸思想教學的必要性
在初中數(shù)學的教科書中,包含了大量轉(zhuǎn)化與化歸思想的內(nèi)容。學生在掌握有理數(shù)的基礎(chǔ)上,可以用加法、減法、除法、乘法,以及二元一次方程的代入法來求出加、減、乘、除的結(jié)果;也可以運用加減法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。學生在證明平行四邊形的對角、對邊相等時,可以連接對角線,將平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個全等的三角形,從而得到平行四邊形的對角、對邊相等的結(jié)論;利用相似比和直角三角形函數(shù)的簡單應用,來求解直角三角形,在適當?shù)臈l件下,也可以將非直角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形。
轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學中隨處可見,因此教師在教學的過程中,應進行更高層次的理解,甚至要結(jié)合數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的橫向和縱向聯(lián)系,有意識地將轉(zhuǎn)化與化歸思想滲透到數(shù)學的教學中,并在教學過程中對這種思想進行編輯和改造。轉(zhuǎn)化是一種將困難問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢越鉀Q、具有更明確客觀特征問題的方法。“數(shù)”與“形”的結(jié)合是幾何與代數(shù)的相互變換,但有些問題在變換后無法立即解決,因此需要重新變換?;瘹w的概念也可以用于簡化計算,一般而言,中學數(shù)學課中常用化歸的思想來解決代數(shù)問題,用轉(zhuǎn)化的思想來證明幾何問題。
三、初中數(shù)學中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想存在的問題
(一)知識銜接困難
轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種不斷變化的思維方式,它將陌生、難解的題目轉(zhuǎn)化為熟悉、有規(guī)律和淺顯的題目,方便學生在學習過程中解決未知的問題。形成這種思想不僅需要學生有系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)和框架,還需要學生掌握新舊知識間的聯(lián)系,以獲得相關(guān)的信息并及時解決新的問題。如果學生掌握的知識不夠系統(tǒng),轉(zhuǎn)化和化歸的過程就會受阻,無法把掌握的知識精確地聯(lián)系在一起,找不到解題的突破口。
(二)應用意識較弱
轉(zhuǎn)化與化歸思想的主要目的是通過分析、觀察、類比和聯(lián)想等,將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的知識領(lǐng)域,并最終解決問題。但在現(xiàn)實中,大部分學生往往無法解決數(shù)學問題,很難將問題轉(zhuǎn)化為他們熟悉、已經(jīng)掌握的數(shù)學知識和方法。一些學生應用數(shù)學公式、理論等來解決問題,而不分析與問題有關(guān)的已知和未知條件之間的關(guān)系,或者缺乏知識轉(zhuǎn)換的意識。這嚴重限制了學生解決問題的有效性和正確性。
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學中的應用策略
在對初中數(shù)學教學活動進行創(chuàng)新設(shè)計的過程中,教師應有意識地探索轉(zhuǎn)化與化歸思想的多元化應用,啟發(fā)學生對數(shù)學知識的多維度思考和探究,從而進一步提高學生學習和掌握數(shù)學知識的能力。
(一)培養(yǎng)學生的知識整合
在實踐中,教師可以集中精力增強學生的意識,幫助學生發(fā)展創(chuàng)造性的思想,從而將教學材料、主題和歸屬感充分地結(jié)合起來。前文從多重方程轉(zhuǎn)化為一元方程的內(nèi)容就充分反映了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。在教學過程中,教師不能簡單地通過讓學生熟悉解決這些問題的方法、概念和知識,來傳達問題的解決方案,而是必須在實踐中注重學生歸屬感的形成,促使學生將歸屬感轉(zhuǎn)化為思想,包括方程式的表現(xiàn)形式和各種圖形的變換等。在解釋這些要點時,教師應引導學生有意識地運用自己的想法解決問題,并循序漸進地加以闡釋,這不僅向?qū)W生傳授了數(shù)學知識,還進一步拓展了他們的數(shù)學思維,培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。
在實踐中,教師不僅要使學生注重對某一知識點的理解和利用,還要讓學生注重整合不同的知識點,不斷積累知識,從而為學生的數(shù)學學習奠定良好的基礎(chǔ)。此外,教師需要引導學生比較新舊知識,從而形成完整的數(shù)學知識體系,便于學生數(shù)學思想的產(chǎn)生,進一步增強學生對數(shù)學知識的應用。
(二)通過經(jīng)典例題滲透轉(zhuǎn)化和化歸思想
轉(zhuǎn)化和化歸,可以通過變革性的思想解決一些無法解決的問題,教師需要充分引導學生體會轉(zhuǎn)化和化歸思想應用在數(shù)學解題過程中的優(yōu)勢。
例如,在“函數(shù)與圖像”的教學中,教師引導學生對交點的作用進行深入的探究。其中一個問題是“當直線y=x+b與直線y=2x+4的交點在第二象限時,則b的取值范圍是什么?”。當學生第一次遇到這個問題時,他們會感到困惑:如何保證兩條直線的交點在第二象限?根據(jù)第二象限坐標的特點,學生能夠推斷出其交點坐標就是這兩個方程組成的方程組的解,也就是這個問題的最終結(jié)果。這時一切問題都迎刃而解,學生會產(chǎn)生頓悟的學習體驗。
(三)轉(zhuǎn)化與化歸思想在代數(shù)中的應用
通過轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學生理解和解決各種代數(shù)問題,并培養(yǎng)他們的代數(shù)思維能力。通過轉(zhuǎn)化與化歸思想,學生可以將一個復雜的方程轉(zhuǎn)化為等價但更簡單的形式,從而更容易求解。例如,對于二次方程ax2+bx+c=0,我們可以運用轉(zhuǎn)化與化歸思想,通過配方法將其轉(zhuǎn)化為一個完全平方的差,或者利用因式分解將該方程轉(zhuǎn)化為兩個一次方程的乘積,進而得到方程的解。
轉(zhuǎn)化與化歸思想還可以在多項式運算中幫助學生將多項式進行合并、分解和分配,從而簡化計算過程。例如,要計算多項式的和或差時,可以將各項按照相同的指數(shù)進行合并,化簡后再進行運算;而在乘法和除法中,可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將多項式進行分解或合并,從而簡化計算。
在函數(shù)圖像的繪制和分析中,轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學生將函數(shù)轉(zhuǎn)化為特定形式,進而更好地理解函數(shù)性質(zhì)和特點。例如,在繪制一次函數(shù)的圖像時,可以運用轉(zhuǎn)化思想,通過平移和縮放將其轉(zhuǎn)化為y=kx的標準形式,從而判斷出斜率和截距的關(guān)系。
在解決不等式的問題時,轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學生改變不等式的形式,使學生更便于求解。例如,對于復雜的分式不等式,可以通過轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為乘積形式或平方形式,從而簡化不等式的求解過程。
(四)轉(zhuǎn)化與化歸思想在統(tǒng)計推斷中的應用
在統(tǒng)計學中,轉(zhuǎn)化與化歸思想可以在統(tǒng)計推斷中起到關(guān)鍵的作用。一種常見的應用就是通過將問題轉(zhuǎn)化為對樣本均值的推斷來簡化總體均值的估計過程。假設(shè)有一個總體,并希望對該總體的均值進行推斷。傳統(tǒng)的方法要求獲得整個總體的數(shù)據(jù),然后計算總體均值。然而在實際情況下,很難獲取到總體的數(shù)據(jù)。因此,可以通過抽取樣本來代表總體的特征。
轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠?qū)碗s的問題轉(zhuǎn)化為對樣本均值的推斷。具體而言,從總體中隨機抽取一個樣本,并計算該樣本的平均值。然后,依據(jù)中心極限定理,可以認為樣本均值的分布接近正態(tài)分布?;跇颖揪档恼龖B(tài)分布性質(zhì),可以通過置信區(qū)間或假設(shè)檢驗方法對總體均值進行推斷。通過轉(zhuǎn)化與化歸思想,將復雜的問題轉(zhuǎn)化為對樣本均值的推斷,簡化了推斷過程。這樣,只需關(guān)注樣本數(shù)據(jù)而不必考慮整個總體的特征。同時,樣本均值的推斷方法已經(jīng)得到廣泛研究和應用,具有可靠的統(tǒng)計性質(zhì)和方法。
(五)強化教學設(shè)計,開展轉(zhuǎn)化與化歸主題教學
在中學數(shù)學教學中,教師必須不斷加強教學設(shè)計,創(chuàng)新教學方法,積極轉(zhuǎn)變教學觀念。教師在設(shè)計教學和研究教材時,必須注意教材中包含的思維方法;要注意合作探究或訓練方式的改變,將新舊數(shù)學知識建立聯(lián)系,使學生具有逆向思維。在數(shù)學課上創(chuàng)新的教學模式,可以讓學生理解和感受到數(shù)學思維的有效性,因此教師可以有意識地為學生創(chuàng)造出獨立發(fā)展和學習的空間,展示數(shù)學問題的相似之處,引導學生得出結(jié)論,最終產(chǎn)生相應的模型,來反映學生思維的轉(zhuǎn)變。
例如。教師可以借助多媒體設(shè)備,讓學生觀察與預測“余角與補角”中角的個數(shù)及其相互關(guān)系,以加深學生對“余角”與“補角”的認識,增強學生獨立學習與思考的能力。
五、初中數(shù)學轉(zhuǎn)化與化歸思想培養(yǎng)的原則
轉(zhuǎn)化與化歸是重要的數(shù)學思想,不是簡單的數(shù)學公式或具體的數(shù)學問題,而是知識體系的一部分,貫穿了學生的整個學習過程。因此,為了培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,教師在教學時,應遵循以下原則:
(一)直觀性原則
直觀性原則就是在數(shù)學教學的過程中,教師指導學生直接感知學習對象,并幫助學生在各種數(shù)學理論知識和實際的事物之間建立聯(lián)系。學生在解決具體的數(shù)學問題時,要形成自身的思維能力,能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學問題轉(zhuǎn)化為可理解和可視化的問題。代數(shù)問題是抽象的,但如果學生能夠把他們轉(zhuǎn)換成直接可見的圖象,則會很方便地解決該問題。
(二)將隱性化為顯性
轉(zhuǎn)化與化歸的應用,需要學生掌握相關(guān)的數(shù)學知識點,但在課堂上,學生并沒有明確表示要通過轉(zhuǎn)化與化歸來解決他們存在的數(shù)學問題。因此教師應在具體的教材中,堅持數(shù)學問題中普遍存在的“隱性化為顯性”原則,將思維轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實。
轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學教學中的應用,能夠從不同的角度優(yōu)化課堂教學體系,促使學生對數(shù)學知識進行深度的探索和實踐,從而提高學生的學習效率和綜合學習能力?;诖耍诟母飻?shù)學教學的過程中,教師應該組織學生系統(tǒng)地學習轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用,總結(jié)應用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學問題的規(guī)律,便于學生遇到類似的數(shù)學問題時,能夠快速地解決;從多個角度訓練學生,夯實學生的數(shù)學基礎(chǔ),開闊學生的視野,促使學生將轉(zhuǎn)化與化歸思想應用到更加廣泛的實際生活中。教師通過轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用,提高了教學的質(zhì)量和效率,促進了學生的全面發(fā)展。
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