林栩

摘要：作為平面幾何中的一個重要定理，三角形的角平分線定理在判斷圖形結構特征與構建線段比例關系等方面具有重要的作用.結合高中數(shù)學中解三角形、平面向量、平面解析幾何等模塊中的問題，借助三角形角平分線定理的應用，總結解題研究與技巧方法，全面培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：三角形；角平分線；平面幾何；解三角形；平面向量

在高中數(shù)學中，涉及解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關模塊的問題，往往都離不開平面幾何的相關知識及其應用.在實際解決此類問題時，往往回歸平面幾何的圖形特征與本質，通過平面幾何的直觀視角，借助對應的基礎知識與技巧方法等來處理與應用.特別地，根據(jù)題設條件與圖形直觀特征，利用三角形的角平分線定理以及一些相關的知識來構建關系式，是破解此類問題中比較常用的一種基本思維方法.

1 在解三角形中的應用

通過三角形的相關幾何性質以及對應的角平分線等條件，借助三角形的角平分線定理來構建對應邊長之間的關系式，并綜合解三角形中的正弦（或余弦）定理等來轉化，利用函數(shù)或方程、不等式、三角函數(shù)等知識來綜合與應用.

例1 （2023屆河南省鄭州市高考數(shù)學第二次質檢試卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其中sin C=3sin A，B=60°，b=7，若B的角平分線BD交AC于點D，則BD=___________.

分析：根據(jù)三角形的角平分線定理構建對應線段的比例關系，進而確定對應的邊長，并進一步利用余弦定理來確定線段BD的長度，利用平面幾何的性質對所求結果加以辨析并作出正確的判斷.

解析：如圖1，由BD是∠ABC的角平分線，B=60°，可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°.

由sin C=3sin A，結合正弦定理可得c=3a.

利用角平分線定理，可得ABBC=ADCD=ca=3.

又b=7，所以在△ABC中，由余弦定理，可得b2=a2+c2－2accos B=a2+c2－ac，即7a2=7，解得a=1.

于是c=3a=3，AD=34b=374.

在△ABD中，由余弦定理，可得AD2=BD2+c2－2BD·ccos 30°，即16BD2－483BD+81=0，

解得BD=334或BD=934.

在△ABC中，由正弦定理，可得asin A=bsin B=732，解得sin A=2114<12=sin∠ABD，

根據(jù)三角形中大角對大邊的性質，知BD

故填答案：334.

點評：在實際解三角形問題中，經(jīng)常回歸平面幾何中的三角形本質，通過三角形的角平分線定理來構建相關線段的比例關系或對應的關系式，進一步利用平面幾何知識、解三角形中的正弦定理或余弦定理等，綜合加以變形與應用，從而得以正確分析，合理數(shù)形結合，巧妙數(shù)學運算［1］.

2 在平面向量中的應用

通過平面向量中的“數(shù)”來轉化“形”的特征問題，或數(shù)形結合，借助“形”的幾何特征利用三角形的角平分線定理來構建對應的關系式；或借助“數(shù)”的代數(shù)屬性利用三角形的角平分線定理的逆向思維等來確定幾何圖形的結構特征等.這些都是平面向量問題中比較常用的技巧方法與綜合應用.

例2 〔2022屆浙江省寧波市第二學期高考模擬考試（二模）數(shù)學試卷〕已知平面向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，|a－c|=|b－c|=3，c=λa+μb（λ>0，μ>0）.當λ+μ=4時，|c|=（? ）.

A.582

B.622

C.662

D.702

分析：根據(jù)題目條件中平面向量的幾何意義，利用平面圖形的幾何性質與直觀性，通過輔助線的構建，結合三角形的角平分線定理、余弦定理等，合理邏輯推理與數(shù)學運算，進而分析、計算出對應線段的長度.

解析：作OA=a，OB=b，OC=c，由題意|a－c|=|CA|=3，|b－c|=|CB|=3.

設直線OC與直線AB交于點E，

由c=λa+μb（λ>0，μ>0），知點E在線段AB上（不含端點）.

又λ+μ=4，結合“等和線”性質，可知OC=4OE，即|OE||EC|=13.

又|AO||AC|=13，由三角形的角平分線定理，知AB是∠OAC的角平分線，即∠OAB=∠CAB=∠ABC，所以OA∥BC.

如圖2所示，作平行四邊形OACD，則|CD|=|OA|=1，|OD|=|AC|=3，可得|BD|=2=|OB|，所以△OBD是等腰三角形.

在等腰三角形OBD中，根據(jù)余弦定理，可得cos∠ODB=34，則cos∠ODC=－cos∠ODB=－34.

在△OCD中，利用余弦定理，可得OC2=OD2+CD2－2|OD|·|CD|·cos∠ODC=292.

所以|c|=|OC|=292=582.故選擇答案：A.

點評：回歸平面向量“形”的特征，從平面幾何的圖形直觀視角切入，借助三角形角平分線定理的逆向思維來確定對應的角平分線，從而回歸平面幾何直觀來分析與處理問題.在解決具體的平面向量問題時，經(jīng)常從“數(shù)”中確定“形”，由“形”來直觀處理.

3 在平面解析幾何中的應用

通過平面解析幾何中涉及角平分線的題設條件的直接應用或角平分線性質的內涵挖掘，借助三角形的角平分線定理確定并構建相應線段的比例關系，為進一步利用圓錐曲線的定義、性質與方程來解決問題提供條件，并綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式以及平面向量等相關知識來合理轉化與巧妙應用［2］.

例3 〔2023屆陜西省咸陽市高考模擬檢測（一）數(shù)學試卷（咸陽一模）〕直線l過雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點F，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為原點，且OA·AF=0，3AF=FB，則雙曲線C的離心率為（? ）.

A.2

B.3

C.52

D.62

分析：通過對題設條件的合理挖掘與巧妙轉化，在直角三角形內，引入雙曲線漸近線的傾斜角與斜率，結合漸近線的幾何性質，利用三角形的角平分線定理來合理構建對應線段的比例關系，再借助向量關系式的轉化與三角函數(shù)中的相關公式，即可求解雙曲線的離心率.

解析：如圖3，由OA·AF=0，知OA⊥AF，即∠OAB=π2.

在Rt△OAB中，設∠AOF=θ，則∠AOF=∠BOF=θ，且tan θ=ba.

利用三角形的角平分線定理與三角函數(shù)的定義，可得|OA||OB|=|AF||FB|=13=cos 2θ.

結合三角函數(shù)的萬能公式cos 2θ=1－tan2θ1+tan2θ，可得1－tan2θ1+tan2θ=13，解得tan2θ=12=b2a2.

所以雙曲線C的離心率e=ca=1+b2a2=62.

故選擇答案：D.

點評：回歸平面解析幾何中曲線自身所具有的平面幾何本質與內涵，通過平面幾何的直觀與數(shù)形結合思維，挖掘其中角平分線的實質與條件，進而利用三角形的角平分線定理來構建對應線段的比例關系，往往為問題的解決開拓一個全新的局面，也是問題切入的一個主要視角.這里的角平分線性質有時會直接給出，有時要結合平面解析幾何中圖形的實質來挖掘與應用.

回歸平面幾何的思維視角與圖形直觀，借助三角形的角平分線定理來處理與解決一些相應的高中數(shù)學問題，是初中平面幾何知識的深入應用，處理問題直觀有效，更多體現(xiàn)數(shù)學知識的基礎性、連續(xù)性與延展性，更好地展示數(shù)學思想方法與思維方式，拓展并提升數(shù)學能力，全面培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］林淑金.立足教材 靈活拓展——《角平分線的性質定理》教學研究［J］.中學教學參考，2021（35）：18-20.

［2］鄭建斌.由教學“角平分線定理的逆定理”引發(fā)的問題探究［J］.中小學數(shù)學（初中版），2016（Z2）：127-128.