趙亞茹

【摘 ?要】 ?立體幾何屬于高中數(shù)學(xué)課程體系中的重點知識，還是一大難點，因為學(xué)生之前接觸的幾何知識都是以平面為主，無需考點、線、面之間的空間關(guān)系，而立體幾何類題目靈活多變，既要考慮平面關(guān)系，還要分析空間位置，對他們的空間觀念有著較高要求.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需圍繞立體幾何開設(shè)專題訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握相應(yīng)的解題技巧.本文針對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中立體結(jié)合解題技巧進行分析與探討，并羅列部分解題實例以供參考所用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題技巧

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，平面幾何習(xí)題難度相對一般，隨著立體幾何教學(xué)的推進，習(xí)題難度也在不斷提升，往往涉及各種幾何概念與定理，以及各種幾何圖形的組合與分割技巧，假如學(xué)生的空間想象能力不強，他們就極易陷入解題困境中，很難理解與分析題目.高中數(shù)學(xué)教師在平常教學(xué)中應(yīng)高度重視立體結(jié)合解析題技巧的研究，帶領(lǐng)學(xué)生開設(shè)立體幾何解題訓(xùn)練活動，使其不斷積累解題經(jīng)驗和技巧，讓他們能夠做到舉一反三，思維變得更加靈活^[6].

1 ?用分類討論技巧，解答立體幾何試題

在高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)中，部分題目的結(jié)論并非唯一確定的，有些題目的結(jié)論則在解題過程中無法采用統(tǒng)一的形式展開研究，這時就要根據(jù)題目的特點與要求，分成若干個類別，轉(zhuǎn)變成多個小問題進行解題，即為對分類討論思想的應(yīng)用.因此，高中生處理立體幾何題時首先需認真閱讀題目內(nèi)容，仔細審題后充分理解題意，分析滿足題干中條件的所有可能，然后畫出相應(yīng)的草圖加以輔助分析，最終他們通過分類討論保證思考問題的全面性^[1].

例1 ?已知一個斜三棱柱的底面是直角三角形，其中是一個直角，且，，，側(cè)棱與底面直角呈60°角，那么該斜三棱柱的體積是多大？

解析 ?學(xué)生通過認真審題，發(fā)現(xiàn)結(jié)合題干中的描述無法準確判斷出點在直線上的具體問題，所以要用到分類討論思想，對可能出現(xiàn)的幾種情況均進行分析和研究，找出符合條件的情況，最終得到全面的答案.

具體解題方式如下：由于是直角，故與是垂直關(guān)系，又因為，則與的公共點是點，那么，平面與平面也是垂直關(guān)系，所以點在平面上的射影在直線上面，過點作于點，設(shè)，下面進行分類討論，

（1）如果點在線段的延長線上面，把，連接起來，

則，，

在直角三角形中，容易得到，

在直角三角形中，結(jié)合勾股定理可得，則，

該斜三棱柱的體積；

（2）如果點位于上面，在直角三角形中結(jié)合勾股定理可以得到，這時點與點是重合的，則；

（3）如果點位于線段的延長線上面，在直角三角形中無法求得的值，故不符合題意；總的來說，該斜三棱柱的體積是或者.

2 ?應(yīng)用向量法技巧，解答立體幾何試題

向量法就是把立體幾何放置到三維直角坐標系中，設(shè)定數(shù)值，且求出向量的值，只要是能夠建立空間直角坐標系的題目，均可以使用向量法進行求解，與傳統(tǒng)方法相比，雖然計算量稍微多一些，但是優(yōu)點在于無需費動腦筋畫輔助線，只需要簡單地按照套路展開計算即可，特別適用于比較復(fù)雜的題目.高中數(shù)學(xué)教師可以指引學(xué)生應(yīng)用向量法將立體幾何問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題，彌補空間想象能力不足的缺陷，讓他們通過構(gòu)建合理的空間直角坐標系解題^[2].

例2 ?如圖1所示，在四棱臺中，底面是一個矩形，平面與平面是垂直關(guān)系，且，求（1）證明與平面是垂直關(guān)系；（2）如果與平面所成的角是，那么二面角的余弦值是什么？

解析 ?在第（2）問中可以采用向量法求解，結(jié)合題目中提供的圖形與現(xiàn)象建立空間直角坐標系，從中找到解題的切入點，最終準確求得結(jié)果.

具體解題方式如下：（1）作于點，把連接起來，

根據(jù)，

得到，，

則，，

那么，

在三角形中能夠得到，故是一個直角三角形，，

又因為平面與平面是垂直關(guān)系，且是兩個平面的交線，

所以與平面是垂直關(guān)系，，因為和是垂直關(guān)系，故與平面也是垂直關(guān)系；

（2）把連接起來，以為坐標原點，建立出如圖2所示的空間直角坐標系，因為與平面是垂直關(guān)系，那么在平面內(nèi)的射影是，與平面所成的角是，大小是，

在直角三角形中可以得到的值是3，

則，，，，，

那么，，

，，

設(shè)，是平面的法向量，則，，

整理以后得到，，

令，能夠求出，

設(shè)是平面的法向量，

則，，

整理以后得到，，

令，則，

根據(jù)圖2可知二面角是一個銳二面角，

則，

所以說二面角的余弦值是.

3 ?采用轉(zhuǎn)化法技巧，解答立體幾何試題

轉(zhuǎn)化法在高中數(shù)學(xué)解題中比較常用，廣泛適用于各類題目，主要思路是將一個問題進行轉(zhuǎn)化，達到化陌生為熟悉、化難為易、化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體的效果，這既是一種關(guān)鍵的解題思想，還是一種基本的解題策略，也是一種有效的解題思維.針對高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)來說，當遇到一些難度較大的題目時，教師可以提示學(xué)生采用轉(zhuǎn)化法的解題技巧，對題目中的一些信息或條件進行適當轉(zhuǎn)化，使其從中找到解題的切入點，從而準確解題^[3].

例3 ?已知如圖3所示，在四棱錐中，是的大小是120°，且是的2倍，與均是直角，，平面與平面是垂直關(guān)系，的中點為點，（1）求證與平面是平行關(guān)系；（2）求點到平面之間的距離是多少？

解析 ?在第（2）問中，是一道求點到平面之間距離的問題，這時可以使用等體積法展開轉(zhuǎn)化，把距離問題轉(zhuǎn)化成求解平面圖形的面積問題.

具體解題方式如下：（1）取的中點是，分別把，連接起來，由于是的2倍，且為120°，則與的和是180°，則與是平行關(guān)系，又因為，四邊形是一個平行四邊形，則與是平行關(guān)系，根據(jù)三角形中位線定理能夠得到與是平行關(guān)系，且與的公共點是，故平面與平面是平行關(guān)系，所以與平面同樣是平行關(guān)系；

（2）如圖4所示，取的中點，把連接起來，在與是平行關(guān)系，且，由于與均是直角，平面與平面是垂直關(guān)系，則與平面也是垂直關(guān)系，

因為與是平行關(guān)系，，則，且與平面是垂直關(guān)系，即為，

由于是是平行關(guān)系，是60°，

則，

所以在三角形中，，

則，

然后過點作與點，那么與是平行關(guān)系，

容易得到，把連接起來，

能夠得到，

則，

所以，

解之得，這表明點到平面之間的距離是.

4 ?使用割補法技巧，解答立體幾何試題

割補法作為一種十分常見的解題方法，通常應(yīng)用至各類幾何題目當中，自然也包括立體幾何，其思路是將一個不規(guī)則圖形分割成多個規(guī)則圖形，或者把一個不規(guī)則圖形補成規(guī)則圖形，繼而便于題目的處理和解答.在高中數(shù)學(xué)立體幾何解題訓(xùn)練中，當題干中提供的立體幾何圖形不規(guī)則時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生使用割補法的技巧，有針對原圖形進行“割”或者“補”，使之成為規(guī)則的圖形，更為直觀地呈現(xiàn)出點、線、面間的關(guān)系，輔助他們順利求解題目^[4].

例4??已知在等腰三角形中，與的值相等，均是3，的值是4，把這個三角形沿著中線折起來得到一個四面體，使得的值變?yōu)?，那么這個四面體的外接球表面積是多大？

解析 ?在本題中最先得到的立體圖形是一個三棱錐，處理起來難度較大，這時可以使用割補法，將這個三棱錐補成一個直棱柱，這樣解決的話將會容易一些.

具體解題方式如下：根據(jù)題干中提供的信息可知與的值都是3，的值是4，的值是，則與的值相等，均是2，結(jié)合勾股定理可得的值是，

在三角形中，根據(jù)勾股定理能夠得到

，

代入相關(guān)數(shù)值得到，那么，

設(shè)三角形的外接圓半徑是，則，因為與是垂直關(guān)系，和也是垂直關(guān)系，與的公共點是點，則與平面同樣是垂直關(guān)系，這是可以把三棱錐補充成一個直棱柱，如圖5所示，設(shè)該直棱柱的外接球半徑是，那么容易得到，則該直棱柱的外接球表面積是，即為這個四面體的外接球表面積是.

5 ?結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何是難度相對較大的一部分知識，相應(yīng)的習(xí)題難度也比較大，如果不采用一些解題技巧的話，學(xué)生很難順利地解答題目，還會經(jīng)常遇到思維障礙，教師應(yīng)結(jié)合立體幾何知識的與題型的特征，指引他們學(xué)會靈活使用分類討論、向量、轉(zhuǎn)化、割補、函數(shù)與輔助線等技巧進行解題，不斷提升他們的解題水平，改善數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

參考文獻：

[1]丁偉.高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧指導(dǎo)[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2021（03）：77.

[2]黃淑莎.關(guān)于高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)的實踐[J].數(shù)理化解題研究，2021（24）：22-23.

[3]張春紅，營九洲.淺談高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧探析[J].數(shù)理化解題研究，2021（21）：28-29.

[4]葛宏偉.高中數(shù)學(xué)中立體幾何試題的有效解題方法探究[J].數(shù)理化解題研究，2021（10）：38-39.

[5]李易民.高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧分析[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2020（07）：10.