陳鋌

【摘 ?要】??橢圓離心率問題是高考的常見題型，本文通過對(duì)幾種方法的研究與歸納，幫助學(xué)生理解此類問題.除了對(duì)解題方法的了解，也應(yīng)該掌握該類問題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)，從而觸類旁通.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；橢圓離心率；解題方法

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，而在高考中，對(duì)于離心率的求解和范圍的求取一直都是高頻考點(diǎn)，離心率，要求離心率，就要根據(jù)題目所給的條件得出之間的關(guān)系.而得出三者關(guān)系的方法多種多樣，所以求離心率也有多種方法.下面，筆者將結(jié)合例題詳細(xì)探究橢圓離心率取值的求解方法.

1 ?巧用定義法求解

離心率問題可以利用橢圓的定義來求解，根據(jù)橢圓的定義，分別確定c和a的值，再求值，在此類題目中往往給出了橢圓中的一些線和角之間的關(guān)系，需要通過一定的轉(zhuǎn)化得出的值，最后運(yùn)用公式求解.

例1直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則求該橢圓的離心率.

（A）. （B）. （C）. （D）.

解析 如圖1，在橢圓中，其中一個(gè)焦點(diǎn)為F，對(duì)應(yīng)的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為B，橢圓中心O到直線l的垂線的垂足為D，

則有，，

.

在中，，

且，代入解得，

所以橢圓的離心率為，

所以答案選（B）.

設(shè)出相應(yīng)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，利用題目的條件建立它們之間的關(guān)系式，然后運(yùn)用等面積來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而能夠確定參數(shù)c和a的值，最后運(yùn)用離心率的定義公式來求解出橢圓的離心率.

2??巧用方程求解

根據(jù)題目中的條件構(gòu)造出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，從而得到離心率e的方程，應(yīng)用此種方法的關(guān)鍵是要構(gòu)造相對(duì)應(yīng)的方程，但解不等式時(shí)要注意橢圓離心率的范圍，適時(shí)進(jìn)行取舍.

例2 ?在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為，F到l的距離為，若，則求橢圓C的離心率.

解??如圖2所示，由于，

由等面積法可知.

則有，

而根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知，

那么，

整理得，

兩邊都除以并整理得，

解得或（舍去），

即或（舍去），

故答案為.

利用方程法求解橢圓的離心率問題，關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的方程，但解方程時(shí)要注意對(duì)應(yīng)橢圓離心率的特征，對(duì)方程相應(yīng)的根加以取舍.

3??巧用坐標(biāo)求解

坐標(biāo)法就是根據(jù)已知條件，將問題中的相關(guān)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)點(diǎn)，然后利用相關(guān)知識(shí)來解答問題的方法，橢圓的離心率問題往往都與坐標(biāo)軸及坐標(biāo)有關(guān)，適時(shí)利用相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)也能求解離心率相關(guān)問題.這種方法也是用來求橢圓的離心率的一種常用方法，學(xué)生需要熟練掌握坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí).

例3 ?F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且，則求橢圓的離心率.

解析??因?yàn)?，且可以表示出來?/p>

所以可以用向量或斜率等代數(shù)知識(shí)表示，

根據(jù)題意求得點(diǎn)，

又根據(jù)，

所以，

解得.

坐標(biāo)法主要是運(yùn)用解析幾何的相關(guān)代數(shù)知識(shí)，把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用表示出來，再利用點(diǎn)在曲線上這一條件，建立其關(guān)于的等量關(guān)系，最終求出橢圓的離心率.

4??結(jié)語

橢圓的離心率問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，覆蓋了高中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，能夠綜合的考查學(xué)生的能力，在遇到一個(gè)橢圓離心率問題時(shí)，其實(shí)本質(zhì)就是要求出之間的關(guān)系，用合適的方法求出三者之間的關(guān)系后，就能求出橢圓的離心率.

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