陸英俊

求非特殊角的三角函數(shù)值問題比較常見，這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們對三角函數(shù)的定義、公式、性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.解答此類問題需靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式，通過三角恒等變換，將問題轉(zhuǎn)化為求特殊角或已知角的三角函數(shù)值.下面由一道題談一談求非特殊的三角函數(shù)值問題的技巧.

例題：求 sin 2 10°+cos 2 40°+sin10°cos40° 的值.本題中 10°、40° 均為非特殊角，我們無法直接求得三角函數(shù)式的值，需將非特殊角化為特殊角，將非特殊角的三角函數(shù)式消去或轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)式，才能順利求得三角函數(shù)式的值.解題的方法一般有以下幾種.

一、拆角、補(bǔ)角

對于一些特殊角，如 30°、45°、60°、90° ，其三角函數(shù)值是大家熟知的.因此，我們可利用拆角、補(bǔ)角的技巧，將非特殊角拆分、拼湊為特殊角，以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得非特殊角的三角函數(shù)值.在解題時(shí)，往往需結(jié)合三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角的和差公式、輔助角公式等進(jìn)行拆角、補(bǔ)角，以快速求得三角函數(shù)式的值.

我們先根據(jù)余弦的二倍角公式，將非特殊角 10°、40° 轉(zhuǎn)化為 20°、80° ；然后將 80° 拆分為 30°、50° ，將40° 拆分為 30°、10° ，將 30° 拆分為 20°、10° ；再利用正余弦的兩角和差公式、誘導(dǎo)公式、和差化積公式進(jìn)行三角變換，從而消去 10°、40° 的三角函數(shù)值，求得問題的答案.

二、換元

換元法常用于求解較為復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算問題.在求非特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，可將非特殊角的三角函數(shù)值用一個(gè)新元替換，根據(jù)各元之間的關(guān)系來進(jìn)行消元，從而減少運(yùn)算量，使問題簡化.

首先引入新元a 、b，并將三角函數(shù)式用新元表示出來；再通過恒等變換，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，就能快速地求得三角函數(shù)式的值.

總之，求非特殊角的三角函數(shù)值，需重點(diǎn)研究角之間的關(guān)系，對其進(jìn)行合理的拆分、拼湊，或?qū)⒑瘮?shù)式用新元替換，靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換，以將問題轉(zhuǎn)化為簡單、易于求值的問題.

（作者單位：江蘇省鹽城市亭湖高級中學(xué)）