劉長山

【摘 要】 ?在高中教育階段，數(shù)學(xué)作為一門邏輯性、抽象性比較強(qiáng)的科目，對師生雙方的綜合能力均有著較高要求，在平常教學(xué)中，教師不僅需幫助學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)理論知識，還要積極開設(shè)解題訓(xùn)練活動(dòng)，使其學(xué)會運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，促進(jìn)學(xué)以致用教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).除常規(guī)解題方法的使用，還要巧妙應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生的解題水平更高.本文針對數(shù)學(xué)思想方法如何在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中進(jìn)行妙用作探討，并分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)思想方法;高中數(shù)學(xué);解題

數(shù)學(xué)思想方法指的是人們對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解與認(rèn)知，從數(shù)學(xué)知識中提煉出的部分觀點(diǎn)，是對數(shù)學(xué)規(guī)律普遍性的揭示，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的支撐點(diǎn)，還是解決數(shù)學(xué)問題的一類方法，包括涉及的解題手段、途徑和方式等.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師需給予學(xué)生正確引導(dǎo)，除講授理論知識以外，還要傳授一些常用的解題技巧，借助各種數(shù)學(xué)思想方法的妙用，培養(yǎng)他們的解題能力與邏輯思維能力，使其掌握更多解決數(shù)學(xué)問題的竅門，從而取得理想化成績.

1 巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解答數(shù)學(xué)試題

轉(zhuǎn)化思想即為處理或者解決部分難度相對較大的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過某些轉(zhuǎn)化手段與方法把難懂復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成易懂簡單的問題，幫助學(xué)生降低解題難度，讓他們更好地解答數(shù)學(xué)試題，使其不斷增強(qiáng)解題自信心.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可指引學(xué)生巧妙應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將一些難以解決、陌生、抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成容易解決、熟悉、具體的問題，使其思維得以進(jìn)化，通過不斷地構(gòu)造與轉(zhuǎn)化找到解題的突破口，讓他們快速處理數(shù)學(xué)難題 [1] .

例1 ??（1）求解函數(shù)y= sin x-1的值域；（2）求解函數(shù)y= cos ?2x－3 sin x+2的最大值.

解析 ??學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識能夠判斷出（1）是一道求解三角函數(shù)值域的問題，（2）屬于求最值類的問題，他們處理這類題目時(shí)可以考慮使用轉(zhuǎn)化思想，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成普通函數(shù)問題進(jìn)行求解，目的是降低解題的復(fù)雜程度，減少錯(cuò)誤現(xiàn)象的出現(xiàn).

具體解題方式如下：

（1）先假設(shè)b= sin x，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，能夠得出b的范圍為 －1，1 ，

由此原函數(shù)可轉(zhuǎn)化成一個(gè)普通函數(shù)y=b－1，能夠判斷出y的值域是 －2，0 .

（2）因?yàn)?sin ??2x+ cos ??2x=1，所以 cos ??2x=1－ sin ??2x，

原函數(shù)能夠替換成y=1－ sin ?2x－3 sin x+2，

整理后得到y(tǒng)=－ sin ?2x－3 sin x+3.

令 sin x=b，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化成y=－b 2－3b+3，

結(jié)合三角函數(shù)的有界性能夠判斷出b的范圍為[－1，1]，

然后把轉(zhuǎn)化后的函數(shù)進(jìn)行配方，最終得到y(tǒng)的值域是 －1，5 ，則y的最大值是5.

2 使用函數(shù)方程思想解答數(shù)學(xué)試題

函數(shù)思想即為基于運(yùn)動(dòng)變化的視角切入，分析與探究數(shù)學(xué)問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，明確變量和常量，據(jù)此構(gòu)建出函數(shù)的特征，從變量的運(yùn)動(dòng)變化、發(fā)展與聯(lián)系等角度拓展解題思路，最終形成準(zhǔn)確的解題方法.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師需積極傳授函數(shù)方程思想，指引學(xué)生據(jù)此各種數(shù)學(xué)問題，找出題目中隱性條件，靈活使用函數(shù)性質(zhì)，準(zhǔn)確構(gòu)建函數(shù)解析式或者方程，使其邏輯思維能力得到很好的培養(yǎng)和鍛煉，讓他們的解題思路也有所拓寬 [2] .

例2 ??在一個(gè)三角形中，三條邊分別是x，y，z，∠1，∠2，∠3是該三角形的三個(gè)內(nèi)角，它們大小構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且∠1比∠3的度數(shù)小，其中 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，∠3對應(yīng)邊z上的高的長度是4 3 ，那么該三角形三條邊x，y，z，的長度分別是多少？∠1，∠2，∠3三個(gè)內(nèi)角分別是多少？

解析 ??從表面上來看這是一道有關(guān)三角形和等差數(shù)列的問題，其實(shí)數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)類型，同方程知識有著緊密聯(lián)系，處理本題的關(guān)鍵之處在于找準(zhǔn)題目中量之間的等量關(guān)系，據(jù)此建立出相應(yīng)的方程，最終通過解方程獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，也就是答案.

具體解題方式如下：根據(jù)已知條件 tan ∠1· tan ∠3=2+ 3 ，

能聯(lián)想到三角形中的恒等式

tan ∠1+ tan ∠2+ tan ∠3= tan ∠1· tan ∠2· tan ∠3，

則 tan ∠1+ tan ∠3= tan ∠2·［ tan ∠1· tan （∠3－∠1）］.

又因?yàn)椤?，∠2，∠3是一個(gè)等差數(shù)列，

則∠2= ?π ?3 ， tan ∠1+ tan ∠3= 3 × 1+ 3 ?，

這表明 tan ∠1和 tan ∠3是方程x 2－ 3+ 3 ?x+2+ 3 的兩個(gè)根，

由于∠1比∠3的度數(shù)小，

解之得 tan ∠1=1， tan ∠3=2+ 3 ，

即為∠1= ?π ?4 ，∠3= 5 π ?12 ，

據(jù)此得到x=8，y=4 6 ，z= 3 +1.

3 使用分類討論思想解答數(shù)學(xué)試題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，部分題目通常存在著多種可能的情況，處理此類題目時(shí)就要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，通過對各種情況的綜合以后求得結(jié)果，從本質(zhì)上來看，這是一種邏輯性極強(qiáng)的解題方法，展現(xiàn)出化整為零、積零為整的歸類整理方法.具體來說，高中數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生使用分類討論思想解答數(shù)學(xué)試題時(shí)，應(yīng)當(dāng)先確定討論對象及全體范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)，然后逐個(gè)討論，最后讓他們總結(jié)討論出的所有內(nèi)容，整合后得到結(jié)果 [3] .

例3 ??已知函數(shù)f（x）=（x－k） e ?x，（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間 0，1 上的最小值.

解析 ??第（1）問可以直接求解，處理第（2）問時(shí)，學(xué)生需結(jié)合數(shù)f（x）在不同區(qū)間的增減性進(jìn)行分類討論，分別求出f（x）的最小值，以免遺漏某些情況，只有這樣才能夠確保答案的完整與準(zhǔn)確.

具體解題方式如下：（1）因?yàn)閒′（x）=（x－k+1） e ?x，能夠得到f（x）的遞減區(qū)間是（－∞，k－1），遞增區(qū)間是（k－1，+∞）.

（2）這里要用到分類討論思想.

①當(dāng)k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x） min ?=f（0）=－k；

②當(dāng)1＜k＜2時(shí)，根據(jù)（1）中的結(jié)果可知f（x）在區(qū)間［0，k－1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（k－1，1］上單調(diào)遞增，則f（x） ?min ?=f（k－1）=－ e ?k－1 ；

③當(dāng)k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間 0，1 上單調(diào)遞減，則f（x） ?min ?=f（1）=（1－k） e .

4 采用特殊一般思想解答數(shù)學(xué)試題

矛盾的普遍性往往存在于特殊性之中，大部分高中數(shù)學(xué)試題均是對特殊情況分析和歸納后得到的一般性結(jié)論，由于特殊性的數(shù)學(xué)問題通常直觀、簡單，認(rèn)識與把握起來也較為容易，這時(shí)可采用特殊和一般的數(shù)學(xué)思想方法，如果一般情況下成立，那么包含于題目中的特殊情況同樣成立.針對高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說，當(dāng)遇到一些一般情況下難以求解的數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用特殊化思想，取一些特殊值或者特殊圖形，從而順利求解 [4] .

例4 ??判斷是否存在一個(gè)等差數(shù)列{an}，使得對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）恒成立，且把結(jié)論證明出來.

解析 ??處理本道題目如果使用常規(guī)方法難度較大，還比較煩瑣，結(jié)論也很難證明出來，教師可提示學(xué)生使用特殊一般思想，按照“特殊到一般，再到特殊”的流程來證明結(jié)論，讓他們順利完成題目的解答.

具體解題方式如下：先把n=1，2，3分別代入等式后能夠得到a1=6，a1+2a2=24，a1+2a2+3a3=60，則a1=6，a2=9，a3=12，公差d=3，由此證明存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，該等式成立.

接著，采用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，對于大于3的自然數(shù)，上述等式仍然恒成立，假設(shè)n=k時(shí)等式成立，

即為a1+2a2+3a3+…+kak=k（k+1）（k+2）.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

有a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1 =k（k+1）（k+2）（k+1） 3（k+1）+3 =（k+1）（k 2+2k+3k+6）=（k+1）（k+2）（k+3）=（k+1）［（k+1）+1］［（k+1）+2］.

這表明當(dāng)n=k+1時(shí)，上述等式同樣成立，從而證明了題目中的結(jié)論.

5 借助數(shù)形結(jié)合思想解答數(shù)學(xué)試題

數(shù)形結(jié)合可謂是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最古老、使用范圍最廣的一種思想方法，主要包括以形助數(shù)、以數(shù)輔形兩大方面.對于高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練而言，教師帶領(lǐng)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題中條件和結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系時(shí)，不僅需發(fā)掘出抽象數(shù)學(xué)語言中所蘊(yùn)涵的代數(shù)含義，還要展示出幾何的直觀性特征，使其以數(shù)與形之間的結(jié)合點(diǎn)為突破口找到解題思路，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的關(guān)鍵在于應(yīng)把握好題目中數(shù)、形之間的關(guān)系及轉(zhuǎn)換 [5，6] .

例5 ??已知在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)圖形，一個(gè)是橢圓，方程是 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1，另外一個(gè)是以原點(diǎn) 0，0 為圓心，以 a 2+b 2 為半徑的圓，其中橢圓的短軸長度是2，離心率是 ?6 ?3 .求（1）橢圓和圓的方程；（2）如果一條直線和橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，同圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且 PQ = 13 ，那么△MON的最大面積是多大？

解析 ??處理第（1）問時(shí)使用常規(guī)方法即可，解答第（2）問時(shí)要用到數(shù)形結(jié)合思想，這能夠幫助學(xué)生簡化解題過程.

具體解題方式如下：（1）結(jié)合已知信息求出橢圓的方程是 x 2 3 +y 2=1，圓的方程是x 2+y 2=4.

（2）如圖1所示，作OH⊥PQ相交于點(diǎn)H，把OP連接起來，在 Rt △OHP中，結(jié)合勾股定理求得 OH = ?3 ?2 .

根據(jù)圖中信息可知，當(dāng)直線同x軸平行時(shí)，△MON的面積最大，如圖2所示，這時(shí)圖中5個(gè)點(diǎn)的y值都是 ?3 ?2 ，

將其代入橢圓的方程中求得M，N的橫坐標(biāo)分別是－ ?3 ?2 ， ?3 ?2 .

所以 MN = 3 ，則△MON的最大面積是 3 4 .

6 總結(jié)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師要高度重視數(shù)學(xué)思想方法的妙用，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體題目內(nèi)容靈活使用轉(zhuǎn)化、函數(shù)、分類討論、特殊一般、正難則反與數(shù)形結(jié)合等多種多樣的數(shù)學(xué)思想方法，使其在較短時(shí)間內(nèi)找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，優(yōu)化解題方法與流程，少走彎路，促使他們切實(shí)體會到數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和實(shí)用性，最終提高個(gè)人解答數(shù)學(xué)試題的效率.

參考文獻(xiàn)：

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