張波波

【摘 要】 ?數(shù)列問(wèn)題是學(xué)生高中時(shí)期所面臨的一大難點(diǎn)，因其計(jì)算的復(fù)雜性及題目的多變性，學(xué)生得分不理想，嚴(yán)重影響學(xué)生的總體成績(jī).本文將數(shù)列常見(jiàn)的求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，以及證明問(wèn)題等進(jìn)行總結(jié)，并針對(duì)每一類問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的講解，以幫助學(xué)生快速掌握知識(shí)點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題策略

數(shù)列是高中的必考題目，無(wú)論是在選擇題、填空題，還是在解答題中，都有它的身影，在對(duì)其的考查中，多圍繞數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、最值及不等式等問(wèn)題.對(duì)于不同的問(wèn)題，其解題方法與思路也存在不同，故學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文針對(duì)不同問(wèn)題，對(duì)其解法與思路進(jìn)行系統(tǒng)性總結(jié)，幫助學(xué)生快速掌握解題技巧.

1 求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和

求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和問(wèn)題是考試中最為常見(jiàn)的題型，在面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)，有著多種解題方法，可以運(yùn)用基本的數(shù)列定理進(jìn)行求解，這就需要學(xué)生能夠掌握并熟練運(yùn)用各種公式及定理.除了基礎(chǔ)的公式法，還有裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、構(gòu)造法等多種策略，這些均是解題經(jīng)常使用的方法，需要學(xué)生熟練掌握其解題步驟及適用題型.

1.1 裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是將一個(gè)通項(xiàng)公式拆分為兩個(gè)式子相減的形式，通過(guò)拆分，在計(jì)算過(guò)程中可以消去大部分的內(nèi)容，大大降低計(jì)算的復(fù)雜程度.雖然裂項(xiàng)相消法可以極大地減少計(jì)算量，但是并不是所有題目均適用需要將通項(xiàng)式拆分，即an=f（n+1） －f（n） ，而后進(jìn)行計(jì)算.

例1 ??Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，已知an>0，a 2n+2an=4Sn+3.

（1）求 an 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn= 1 an·an+1 ?，求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn.

解 ??（1）因?yàn)閿?shù)列 an 中，a 2n+2an=4Sn+3，

所以可得a 2n+1 +2an+1 =4Sn+1 +3，

兩式相減可得a 2n+1 －a 2n+2（an+1 －an）=4an+1 ，

進(jìn)一步整理可得2（an+1 +an）=a 2n+1 －a 2n=（an+1 +an）（an+1 －an），

由于an>0，所以可解得an+1 －an=2，

又因?yàn)閍 21+2a1=4S1+3=4a1+3，

可解得a1=－1或a1=3，其中a1=－1不符合題意，舍去.

所以 an 的通項(xiàng)公式為an=2n+1.

（2）由（1）可得bn= 1 an·an+1

= 1 （2n+1）·（2n+3）

= 1 2 ??1 2n+1 － 1 2n+3 ?，

則Tn=b1+b2+b3+…+bn

= 1 2 ???1 3 － 1 5 ?+ ?1 5 － 1 7 ?+ ?1 7 － 1 9 ?+…+

1 2n+1 － 1 2n+3

= n 3（2n+3） .

故數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn為 n 3（2n+3） .

1.2 錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法通常適用于an=bn·cn形式的數(shù)列中，需要把前n項(xiàng)和兩端乘等比數(shù)列的公比，而后將兩式進(jìn)行相減求解.

例2 ??Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，an>0，且an=2Sn－ a 2n 2 － 1 2 （n∈ N ?*），

（1）求 an 的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列 ?an 3 n ?的前n項(xiàng)和Tn.

解 ??（1）當(dāng)n=1時(shí)，

a1=2S1－ a 21 2 － 1 2 ，

可得a1=1，

由an=2Sn－ a 2n 2 － 1 2 ，

可得a 2 n+2an+1=4Sn，

a 2n+1 +2an+1 +1=4Sn+1 ，

兩式相減可得a 2n+1 －a 2n+2an+1 －2an=4an+1 ，

整理可得（an+1 +an）（an+1 －an－2）=0，

因?yàn)閍n>0，

可得an+1 －an=2，

則 an 的通項(xiàng)公式為an=2n－1.

（2）Tn= a1 3 1 + a2 3 2 + a3 3 3 +…+ an 3 n

= 1 3 1 + 3 3 2 + 5 3 3 +…+ 2n－1 3 n ，

則 1 3 Tn= 1 3 2 + 3 3 3 + 5 3 4 +…+ 2n－1 3 n+1 ?，

兩式相減可得

2 3 Tn= 1 3 + 2 3 2 + 2 3 3 +…+ 2 3 n + 2n－1 3 n+1

= 1 3 +2× ?1 9 ?1－ 1 3 n－1 ???1－ 1 3 ?－ 2n－1 3 n+1

= 2 3 － 2n+2 3 n+1 ?，

所以Tn=1－ n+1 3 n .

2 證明數(shù)列不等式

證明數(shù)列不等式在考試中也時(shí)常出現(xiàn)，這類問(wèn)題通常比較復(fù)雜，是對(duì)學(xué)生等差、等比數(shù)列各項(xiàng)知識(shí)的綜合考查，具有一定的難度.在解題時(shí)，需要利用基本性質(zhì)，對(duì)通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)化，而后根據(jù)題目中給出的不等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行證明.

例3 ??設(shè)曲線y=x n+1 （n∈ Ν ?*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為xn，令bn=（n+3）xn+2 ，證明：bn+1 · ln bn>bn· ln bn+1 .

證明 ??因?yàn)閥=x n+1 （n∈ Ν ?*），

所以y′=（n+1）x n，

當(dāng)x=1時(shí)，y′=n+1，

所以曲線y=x n+1 在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為

y－1=（n+1）（x－1）.

令y=0，得x= n n+1 ，

即xn= n n+1 ，

所以bn=（n+3）xn+2 =n+2，

要證bn+1 · ln bn>bn· ln bn+1 等價(jià)于

（n+3）· ln （n+2）>（n+2）· ln （n+3），

即證 ?ln （n+2） n+2 > ?ln （n+3） n+3 .

令f（x）= ?ln x x ，x>3，

得f′（x）= 1－ ln x x 2 ，

當(dāng)x≥3時(shí)， ln x>1，1－ ln x<0，x 2>0，

所以f′（x）<0，f（x）在［3，+∞）上單調(diào)

遞減，

因?yàn)?≤n+2

所以 ?ln （n+2） n+2 > ?ln （n+3） n+3 ，

即bn+1 · ln bn>bn· ln bn+1 成立.

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)列問(wèn)題并不是單一的問(wèn)題，其題型也是復(fù)雜多樣的，并不是十分容易掌握.本文雖然對(duì)數(shù)列問(wèn)題常見(jiàn)題型及解題思路進(jìn)行了總結(jié)，但學(xué)生要想熟練掌握并加以運(yùn)用，仍需要在平時(shí)進(jìn)行大量的練習(xí)，掌握各種題型的解題方法與思路，如此才能在高考中快速解決這類問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

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