蔣金寧

六個方面的數(shù)學核心素養(yǎng)一直貫穿于義務教育、大學教育等不同階段。研究性學習的綜合實踐活動課程是培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng)的重要途徑。數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個人都應該具備的基本素養(yǎng)，素養(yǎng)不是知識，知識的積累并不必然造成素養(yǎng)的發(fā)展，但素養(yǎng)離不開知識，如果沒有知識，素養(yǎng)就是無源之水、無本之木。首先，將知識變成研究和應用的對象，然后把專業(yè)知識點上升為專業(yè)概念性知識，更加注重專業(yè)知識在與現(xiàn)實生活交往中所形成的個人思維火花或經(jīng)驗積淀，但總的來說，個人知識在培育學生核心素養(yǎng)中起到了關鍵作用。最后，逐步改變知識教學的方式方法，以做到倡導深度學習與合作學習。

高中數(shù)學核心素養(yǎng)包含：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面。這六個核心素養(yǎng)休戚與共，但又各有不同，它們需要認真研究，準確把握，并實際地滲透到學科的教學活動中。以下以高中教材中《數(shù)列的概念》的教學設計為例，詳細描述了核心素養(yǎng)在教學設計過程中滲透的具體實例。

1 核心素養(yǎng)與數(shù)列概念教學的關系

1.1 重視概念生成，培養(yǎng)學生建模能力

在教學中，首先可從生活中的情境出發(fā)，從實際生活問題抽象概括出數(shù)列模型，讓學生觀察數(shù)列模型的共性，提煉出數(shù)列的定義、數(shù)學表達式及特點，抽象出數(shù)列的概念，使學生體會在現(xiàn)實生活中可以汲取到解決數(shù)學問題的智慧，讓學生對后續(xù)內(nèi)容的學習產(chǎn)生期待，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力。

1.2 重視問題引導，促進學生思維發(fā)展

基于問題引導的探究式學習應當以“情景導入—自學探究—精講點撥—課堂訓練—總結(jié)”為主要教學環(huán)節(jié)。本文以提出問題、分析問題、解決問題為線索貫穿整個教學環(huán)節(jié)，問題引導應當基于實際教學內(nèi)容，以合理巧妙設計問題串的形式幫助學生對知識理解與掌握。

1.3 重視過程滲透，提升學生數(shù)學素養(yǎng)

首先從實際生活情境觀察提煉數(shù)學模型，讓學生了解數(shù)列概念的形成過程，從而得出數(shù)列的概念，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模與直觀想象的核心素養(yǎng)。其次，通過自主辨析判斷數(shù)列的概念，發(fā)展學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。再次，通過解決數(shù)列求通項的例題與數(shù)學著作中的生活實際問題深化對數(shù)列的理解，發(fā)展學生數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。最后，總結(jié)數(shù)學方法的運用，整個教學環(huán)節(jié)應深入挖掘數(shù)列的知識所承載的數(shù)學核心素養(yǎng)，落實培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標?；诤诵乃仞B(yǎng)的數(shù)學概念教學，應當堅持以學生為主體、教師為主導的原則，將課堂真正還給學生，給予充分的時間讓學生進行自主探究與合作學習，這就需要精心設計教學環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷通過生活實例建構(gòu)數(shù)學模型的過程，從而理解數(shù)學概念的本質(zhì)特征，充分激發(fā)學生學習興趣，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

2 教材分析

數(shù)列是高中數(shù)學教材的主要內(nèi)容，它是一類特殊函數(shù)，并在其他復雜函數(shù)運算中發(fā)揮著重要的作用。本節(jié)課為人教版高中數(shù)學新課程必修五第二章數(shù)列的第二學時，作為基本概念，數(shù)列的教學有利于學生掌握其基本應用和本質(zhì)概念，為學生后期學習等差數(shù)列、等比數(shù)列提供扎實的理論基礎。它在生活中也具有很廣闊的實踐用途，它也是一些高中數(shù)學知識點的重要匯合點，常常與方程問題、不等式問題、三角問題、函數(shù)問題、幾何問題結(jié)合，進而綜合進行教學。數(shù)列內(nèi)容在高考中有著非常高的地位，在試卷分值中占據(jù)很大的比重，同時又是有效實施學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要切入點，所以在教學中需要受到充分的關注。

3 學情分析

本節(jié)課是高二上學期的一堂課，學生已經(jīng)在高一時學過函數(shù)的概念、表示、性質(zhì)，基本初等函數(shù)，函數(shù)的應用等知識，所以對數(shù)列的理解有一定的基礎。高中二年級學生在數(shù)學思維方面表現(xiàn)得相對較好，他們具備獨立思考的能力，能夠根據(jù)各種現(xiàn)象總結(jié)歸納出事物的本質(zhì)，并且通過自主或合作的探究來發(fā)現(xiàn)不同概念之間的關系。建議在學習過程中引入獨立思考、自行探索以及小組合作等學習方式，以期能夠更加深入地掌握相關概念。

4 教學目標

（1）通過具體實例的觀察，抽象與概括，從特殊到一般推出數(shù)列的概念（直觀想象、數(shù)學抽象）；

（2）通過回憶集合、函數(shù)的概念，進而分析函數(shù)和數(shù)列之間的關系（邏輯推理）；

（3）觀察類比、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導通項公式，并根據(jù)通項公式求出數(shù)列各項，也可以通過數(shù)列項的歸納與總結(jié)推出通項公式（邏輯推理、數(shù)據(jù)分析）；

（4）通過數(shù)學史和生活中的實例，我們可以深刻感受到數(shù)學的抽象之美以及數(shù)學探索帶來的愉悅，并且體會到數(shù)學在文化領域中的重要價值（數(shù)學建模）。

5 教學過程

5.1 創(chuàng)設情境，引出新課（從直觀想象中合理轉(zhuǎn)化加以邏輯推理）

師：“生物學中有一種細胞，每次分裂兩個，每次分裂以后的個數(shù)分別是多少？”

生：“1，2，4，8，16…”

師：“‘一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花。從這首詩中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”

生：“可以發(fā)現(xiàn)一列數(shù)。1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10…”

師：“我們學過的四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形、九邊形，以此類推，它們邊的數(shù)量依次是多少呢？”

生：“4，5，6，7，8，9…”

師：“假如某體育館內(nèi)一共二十排座位，最前面的座位十個，后面每排都比前面第一排多出了四個位置，那么后面各排的座位數(shù)分別為多少呢？”

生：“10，14，18，22，26…”

師：“有句古語，‘一尺之棰，日取其半，萬世不竭。如果‘一尺為1，則每次取半以后，所剩為多少？”

生：“1，，，，，…”

師：“王云從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：

75，87，96，103，110，116，120，128，138，145， 153，158，160，162，163，165，168…①

記王云第i歲的身高為hi，那么h1=75，h2=87，h17=168。我們發(fā)現(xiàn)hi中反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即h1=75是排在第1位的數(shù)，h2=87是排在第2位的數(shù)，……h(huán)17=168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以①是具有確定順序的一列數(shù)?！?/p>

師：“古語云，‘勤學如春起之苗，不見其增，日有所長，如果對‘春起之苗每日用精密儀器度量，則每日的高度值按日期排在一起，可組成一個數(shù)列嗎？”

那么什么叫數(shù)列呢？

設計意圖：通過創(chuàng)設實際生活的教學情景，引導學生可以通過直觀想象掌握數(shù)學概念，內(nèi)容簡明清晰，新鮮感十足，并逐步提高邏輯推理能力，進而使學生的直觀想象核心素養(yǎng)得以培養(yǎng)。

問題1：這些例子有無異同？按照之前分好的小組，學生展開討論。

生：“它們的結(jié)果都是數(shù)。”

師：“將這些數(shù)對調(diào)順序可以嗎？”

生：“不可以。如果相應的順序改變了，原來的意思就變了?！?/p>

師：“通過以上的例子可以得出，它們都是按照一定的順序組成的數(shù)，也就是數(shù)列?！?/p>

問題2：以上學習的基礎上，請簡述數(shù)列的定義。

在學生的回答中，引導并強化數(shù)列的順序。

設計意圖：在教學設計中，問題應該成為出發(fā)點，因為問題能夠引發(fā)學生的學習興趣。同時，老師應該在恰當?shù)臅r間給予正確的指導和提示，尊重學生的主體意識。通過共同探索、合作學習等形式，學生們將能夠解決數(shù)列定義等數(shù)學問題，提高他們的邏輯推理及數(shù)學核心素養(yǎng)。

5.2 自主探究，引入新知（從邏輯推理中歸納總結(jié)加以數(shù)學抽象）

問題3：對以下問題進行思考。

（1）把數(shù)列1，3，5，7，9調(diào)整為9，7，5，3，1。兩個數(shù)列是同一個數(shù)列嗎？

（2）-2，2，-2，2，-2，2，…是否可稱為數(shù)列呢？如果寫成2，-2，2，-2，2，-2，…以上兩組屬于同一數(shù)列嗎？

（3）9，99，999，9999，…有什么規(guī)律呢？

問題4：從這些例題中可以發(fā)現(xiàn)，它們都有相應的次序，之前學到的知識點有考慮到次序的嗎？兩者之間有什么差異呢？小組討論，教師巡視指導。

生：“以前學過的集合涉及次序?！?/p>

生：“在數(shù)列中，數(shù)都是有一定次序的，而且數(shù)可以相等，但集合中的數(shù)并不存在一定次序，且集合中的數(shù)也不可以相等?！?/p>

師：“集合能夠被分為有限集、無限集，那數(shù)列可以怎么分類呢？”

教師指導學生分析出數(shù)列可能被劃分為無窮數(shù)列和有窮數(shù)列。

師：“如果數(shù)列中的每一個項是相對確定的，即在數(shù)列中的每一個同項數(shù)都存在著一定的相對關系，這與之前學習的內(nèi)容有相同的嗎？”

生：“函數(shù)?！?/p>

師：“說得好！那數(shù)列與函數(shù)有什么聯(lián)系？”

學生之間交流，討論。

生：“數(shù)列就是函數(shù)。”

師：“數(shù)列的定義域是什么？”

生：“正整數(shù)集或它的有限子集{1，2，…n}，它們所有的項組的集，就是數(shù)列的定義域?！?/p>

師：“那么數(shù)列可以被認為是一種特殊的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)自變量、因變量的關系及其定義，an是關于n的函數(shù)。”

教師讓學生總結(jié)數(shù)列的概念。

生：“數(shù)列，是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每個數(shù)都稱為數(shù)列的項。這個數(shù)列的第1項叫作首項，第2項叫作第2項，后面的每一項依次順延，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項，通常用an表示。”

點睛：（1）數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù)，有序性是數(shù)列的基本屬性。數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列，例如1，2，3，…與3，2，1…就是不同的數(shù)列。

（2）符號{an}和an是不同的概念，{an}表示一個數(shù)列，而an表示數(shù)列中的第n項。

設計意圖：將數(shù)列概念與函數(shù)相關聯(lián)，但對于學習者來說可能會有一定難度。那么在引入數(shù)列概念之后，如何讓學習者更容易地理解數(shù)列與函數(shù)之間的關聯(lián)呢？通過逐步設置適當難度的“問題串”，引導學生進行漸進式思考、自主探究和交流研討，逐漸理解數(shù)列概念，并增進函數(shù)含義的理解。這樣一來，學生的邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)也得以加強。

5.3 聚焦數(shù)列，靈活應用概念（數(shù)學抽象概括加以數(shù)學運算）

問題5：有一個數(shù)列的前五項分別為2.5，3.5，4.5， 5.5，6.5，你能歸納出它的第6項嗎？

問題6：給出以下數(shù)列的通項公式，你能分別寫出它們的前三項嗎？

（1）an=4-2n；（2）an=n2+n。

設計意圖：通過對數(shù)學概念的掌握，要學會對具體的實際應用問題加以處理。以上兩個實例中，都反映了對數(shù)列通項公式的運用，從而培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算的基本核心素養(yǎng)。

問題7：給出以下數(shù)列的前四項，你能寫出它們的通項公式嗎？

（1）2，4，6，8；

（2）0，4，0，4；

（3）5，55，555，5555；

（4），，，。

問題8：數(shù)列的分類有哪些？

類別 含義

按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列

無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列

按項的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列

遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列

常數(shù)列 各項相等的數(shù)列

擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

設計意圖：學生通過觀察和探索，來加深對數(shù)列特點和規(guī)律的理解，同時培養(yǎng)他們總結(jié)和猜想能力，以此提高他們對于一般學習規(guī)律的把握，從而提高數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素質(zhì)。

5.4 當堂反饋，及時鞏固概念

問題9：觀察下列一組數(shù)，試著總結(jié)通項公式。

（1），，，；

（2）1，5，9，13。

問題10：（1）給出數(shù)列的通項公式an=- ，它的第3項、第5項分別是多少？

（2）有數(shù)列的通項公式an=，寫出它的第6項、第10項。

問題11：下列敘述正確的是（? ）。

A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類

B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定

C.數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}

D.同一個數(shù)在數(shù)列中不可能重復出現(xiàn)

解析：按項的變化趨勢，數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列等數(shù)列，A錯誤；數(shù)列1，3，5，7與由實數(shù)1，3，5，7組成的集合{1，3，5，7}是兩個不同的概念，C錯誤；同一個數(shù)在數(shù)列中可能重復出現(xiàn)，如2 ，2，2，…表示由實數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列，D錯誤；對于給定的數(shù)列，數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定，B正確。

答案：B

設計意圖：通過在課堂上進行實踐，我們可以評估學生是否能夠理解和掌握新知識，同時還可以培養(yǎng)學生的遷移能力、提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算能力等核心素養(yǎng)。

5.5 歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗

問題11：在本節(jié)課的學習中，通過聯(lián)系舊知，探索新知，數(shù)列與集合，數(shù)列與函數(shù)之間關系，根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路是什么呢？常見的數(shù)列有哪些呢？從中你學到了哪些數(shù)學核心素養(yǎng)？

師生一起總結(jié)。

（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路為：

①先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等。

②分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的關系。

③對于符號交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用（-1）k處理符號。

④對于周期出現(xiàn)的數(shù)列，考慮利用周期函數(shù)的知識解答。

（2）常見數(shù)列的通項公式

①數(shù)列-1，1，-1，1，…的一個通項公式是an=（-1）n，數(shù)列1，-1，1，-1，…的一個通項公式是an=（-1）n+1或（-1）n-1。

②數(shù)列1，2，3，4，…的一個通項公式是an=n。

③數(shù)列1，3，5，7，…的一個通項公式是an=2n-1。

④數(shù)列2，4，6，8，…的一個通項公式是an=2n。

⑤數(shù)列1，2，4，8，…的一個通項公式是an=2n-1。

⑥數(shù)列1，4，9，16，…的一個通項公式是an=n2。

⑦數(shù)列1，3，6，10，…的一個通項公式是an=。

⑧數(shù)列1，，，，…的一個通項公式是an=。

設計意圖：培養(yǎng)學生良好的學習習慣和元認知能力，即能夠自覺總結(jié)反省，注重達成教學目標。采用以問題為驅(qū)動的教學方式，讓學生完成自我總結(jié)和歸納，從而幫助梳理課堂復習的重點，認識核心素養(yǎng)的重要性。

5.6 布置作業(yè)，分層落實

（1）練習本節(jié)課后練習基礎題1，2；提升題11，26題。

（2）閱讀課本課后思考，了解斐波那契數(shù)列知識背景。

6 教后評析

教師應當以學生的核心素養(yǎng)發(fā)展為中心，系統(tǒng)構(gòu)思和設計多樣化的課堂情境，引導學生獨立思考思維模式，培養(yǎng)合作精神，最終達到領悟數(shù)學概念的深層意義的目的。在這樣的教學設計中，我們將問題引導作為貫穿始終的核心策略，從而實現(xiàn)各方面的數(shù)學教學目標。

6.1 合理設計情境，凸顯本真教學

本節(jié)課通過設計生活實例、設計生物學和古詩名句，將其融入數(shù)學，并通過聯(lián)系新舊知識的方式引導學習者在現(xiàn)實問題情景創(chuàng)設的基礎上理解數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，以此彰顯現(xiàn)實問題和數(shù)學知識之間的關聯(lián)，同時也幫助學習者在已有的“舊知識”基礎上理解并掌握“新知識”。通過對集合和函數(shù)知識的復習，對原有的知識點進行總結(jié)，間接地提供了新的知識?？紤]到新問題的提出清晰有序、逐步深入，展現(xiàn)了“真實教學”的理念，整個教學過程相對自然流暢。通過從生活實例中抽象數(shù)列概念的本質(zhì)和構(gòu)成要素，滲透了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)，應用列表法和圖像法探究數(shù)列和函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，觀察數(shù)列的前幾項探究發(fā)現(xiàn)數(shù)列通項公式，提升直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

6.2 通過問題導學，促進意義建構(gòu)

本課程采用“問題探究式”的教學方法進行教學，在數(shù)學領域中，針對數(shù)列問題，可以在學生的發(fā)展區(qū)內(nèi)設置相關問題，讓學生分階段、分梯度地掌握知識點，通過自由探究、合作互動等方式在數(shù)列上展開活動，激發(fā)學生對數(shù)列概念的認識，從而掌握以簡單生動的方式表達抽象數(shù)學活動的數(shù)學思想方法，實現(xiàn)內(nèi)容過程反映和意義建構(gòu)，促進學生認知結(jié)構(gòu)的形成。

6.3 滲透數(shù)學文化，提升數(shù)學素養(yǎng)

通過創(chuàng)造文化氛圍、引入名句和詩歌，將人文價值和精神融入數(shù)學教學，以此激發(fā)學生的興趣，提高學習者的核心素養(yǎng)。教師可以通過安排學生閱讀教材中的斐波那契數(shù)列，讓學生了解數(shù)學史，認識數(shù)學家探究數(shù)學概念所運用的基本方法和思考方法，不斷提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，高中數(shù)學課程標準已把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為基本理念之一，并進一步指出：“通過在高中階段對數(shù)學文化的學習，學生將初步了解數(shù)學科學與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數(shù)學的科學價值、應用價值、人文價值。”由此可見，數(shù)學的文化價值是其他課程無法代替或難以達到的，這要求我們在教學中注意挖掘數(shù)學文化資源，拓展學生的學習空間，帶領學生一起去欣賞古今中外的數(shù)學史料和故事，感受數(shù)學的發(fā)展歷程，不僅能夠增強學生學習數(shù)學的信心，而且還能夠讓學生了解到不同文化背景下的數(shù)學思想，理解數(shù)學的多元文化，數(shù)學文化應有的人文價值真正得到體現(xiàn)。

（作者單位：喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）