程元元

摘要：數(shù)學教學中，面對學生的錯題，應充分挖掘其中的價值，教師的點評不僅以學生的思維發(fā)展作為出發(fā)點和歸宿，還要充分研究、精心設(shè)計.本文從一道向量試題出發(fā)，展示了如何基于學生的思維發(fā)展設(shè)計教學過程和進行相應的思考.本文主要從以下幾個方面進行了思考和設(shè)計：（1） 進行同類變形，拓寬思維的廣度；（2） 適時維度上升，加深思維的深度；（3） 利用圖形語言，促進思維可視化；（4） 捕捉生長點，激發(fā)思維發(fā)散性；（5） 關(guān)注外延化，促進思維延展性.

關(guān)鍵詞：思維發(fā)展；習題教學；教學研究

習題教學是數(shù)學學習的一個重要的形式.學生完成鞏固練習之后，針對學生出現(xiàn)的問題，教師的有效點評尤為關(guān)鍵.高效的點評，可以完善學生的知識網(wǎng)絡建構(gòu)，彌補學生的知識空缺，提高學生對問題認知的高度和把控度，同時還能提升學生的運算求解能力.因此，習題點評需要精心的設(shè)計，其出發(fā)點和落腳點都應該是基于學生的思維發(fā)展.基于學生思維發(fā)展的設(shè)計，能夠幫助學生啟發(fā)思考，形成良好的數(shù)學思維，激發(fā)學生的問題意識，提高學生的問題解決能力.波利亞曾經(jīng)說過，我們永遠不能研究透徹一道題目.所以，教師需要充分研究數(shù)學問題，尤其是要將學生出現(xiàn)的問題進行有機的整合，探尋其內(nèi)在邏輯，從試題的源與流出發(fā)，幫助學生厘清脈絡，完善知識結(jié)構(gòu)，讓學生不斷突破和創(chuàng)新，促進學生思維的發(fā)展和能力的提升.

下面以蘇教版高一數(shù)學必修一《§6.2平面向量的運算》這一節(jié)的作業(yè)講評為例，展示其習題講評的設(shè)計和相關(guān)的思考.

學生當前的學習狀態(tài)是認識了向量這一數(shù)學元素并研究了向量的四種運算（加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積），關(guān)于平面向量基本定理和向量的應用還沒有涉及.

1進行同類變形，拓寬思維的廣度

2適時維度上升，加深思維的深度

3利用圖形語言，促進思維可視化

可視化現(xiàn)在越來越受到各個領(lǐng)域的青睞.思維可視化是指運用一系列圖示技術(shù)把本來不可視的思維（思考的方法和路徑）呈現(xiàn)出來（如表1），使其清晰可見.在思維的促進方面，可視化可以助力學生的深度學習和思考，有利于學生的理解和記憶.

在完成上述問題的思考和探究之后，引導學生從圖形的角度重新審視上述問題及其結(jié)論.

4捕捉生長點，激發(fā)思維發(fā)散性

一個問題的研究，類似于一顆樹木的生長，永不會停止.思維的生長亦是如此.培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，有利于學生多角度地看待和分析問題.對于直線BC上的任意一點D，AD都可以用AB和AC線性表示，并且系數(shù)和為1.同時，對于點D的不同位置，對應的代數(shù)表示形式是唯一的.那么，直線BC又被點B和點C分為三部分：① 線段BC上；② 線段BC的延長線上；③ 線段CB的延長線上.當點D分別位于直線BC上的不同位置時，我們猜想對應的系數(shù)λ和μ也會不同，是否可以一探究竟呢？

【思維拓展6】根據(jù)已有的研究結(jié)果，當點D分別位于①線段BC上；②線段BC的延長線上；③線段CB的延長線上時，代數(shù)表達形式AD=λAB+μAC中的系數(shù)λ和μ有什么取值規(guī)律？

對于以上三種情況，學生已經(jīng)有了①和②兩種情況的經(jīng)驗積累，只需舉一個當點D位于線段CB的延長線上例子即可.研究過程與其它情況類似，于是可以總結(jié)如表2所示的規(guī)律.

對于點D的不同位置，在線性表示中對應的系數(shù)λ和μ的取值則會有不同的體現(xiàn).在教學中也可以引導學生從幾何作圖的角度理解這里系數(shù)正負的變化.以圖形的轉(zhuǎn)化促進學生思維的直觀化，幫助學生更加清晰地認識這種對應關(guān)系.

從不同的角度、方向和途徑去審視，探求多種設(shè)想和答案，可以充分發(fā)揮學生的想象力，突破學生原有的知識圈.不依常規(guī)，尋求變異.這種思維活動應該在平常的教學活動中有意識的設(shè)計和引導.

5關(guān)注外延化，促進思維延伸性

在變化中尋找不變的東西，在數(shù)學研究中是一種常見的形態(tài).對于動態(tài)問題的研究，尋找規(guī)律性和不變量是一種良好的思考角度.例如，后續(xù)解析幾何中的定點、定值問題，毆拉多面體公式V+F-E=2（拓撲不變量）等等.這類問題的設(shè)計可以引導學生善于觀察已有的數(shù)學形態(tài)，培養(yǎng)學生觀察和總結(jié)的數(shù)學習慣和數(shù)學思維方式.

教師應調(diào)動學生的好奇心，激發(fā)求知欲，促進思維的發(fā)散性.此時，正是引導學生設(shè)疑置問的最佳時機.如果系數(shù)和不是“1”而是其他的常數(shù)，比如“2”呢？思維拓展7應運而生.

學生就有一種想要一探究竟的渴望，在學生的疑惑點上巧設(shè)問題，想學生所想，答學生所惑，是教師設(shè)問的最佳境界.

由于課堂時間的約束，也囿于班級學生的課堂反映程度，這個問題的解決可以依教學實際而定.時間和學生接受能力允許的話，可以在課堂內(nèi)完成，否則可以作為課后思考探究問題.

這其實就是“等和線”的問題.這個問題在引導學生處理的時候，可以把系數(shù)和不是“1”的情況轉(zhuǎn)換為系數(shù)和為“1”的情況進行解決，化難為易，在這里可以給學生滲透把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題是解決問題的常規(guī)思路.具體解決過程此處不再贅述.同樣也可以用圖形語言幫助學生實現(xiàn)思維的直觀化.事實上，當λ+μ=2時，對應的點D所在的位置在一條直線上，并且該直線與直線BC平行且在直線BC的外側(cè)（遠離點A）；當λ+μ=1/2時，對應的點D所在的位置也在一條直線上，并且該直線與直線BC平行且在直線BC的內(nèi)側(cè)（靠近點A）.與如圖2所示.

在此基礎(chǔ)上，甚至可以繼續(xù)引導學生去猜想和研究，當λ+μ=a（a為非零常數(shù)）時，隨著常數(shù)a的變化，點D的軌跡直線又會產(chǎn)生怎樣的變化.

于是，思維拓展可以繼續(xù)……再繼續(xù)……

正如前文所述，學生的思維發(fā)展就像一棵茂密的大樹，生長可以橫向，也可以縱向，可以交叉，也可以平行，可以在思維發(fā)展的過程中繼續(xù)探尋思維的生長點，再產(chǎn)生新的枝丫，也可以流向更加廣闊的未知空間，促進思維的延展性.所以教師的教學設(shè)計的起點和歸宿都應該是學生思維的發(fā)展，并且具有可延伸性.一個問題的講解設(shè)計應充分挖掘該問題的源與流，探尋源頭，落實當下，期待流向.參考文獻：

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