馬巧云　曹潔　曹殿立

［摘 要］課程思政是近年來高校落實立德樹人，實現(xiàn)融合知識傳授、能力培養(yǎng)和價值塑造于一體的重要舉措。線性代數(shù)課是為高校本科低年級學生開設的公共基礎(chǔ)課，根據(jù)課程思政的要求對教學目標進行重塑，對課程思政元素進行挖掘，以及加強課程教材和線上教學資源的建設，不僅提升了授課教師的思政意識與能力，也提升了學生的綜合素質(zhì)，并為線性代數(shù)課程思政的持續(xù)開展打好了基礎(chǔ)。

［關(guān)鍵詞］線性代數(shù)；課程思政；教學目標；思政元素；課程資源

［中圖分類號］ G642.3 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）07-0118-04

課程思政是在“三全育人”模式指導下，使得各類課程與思想政治理論課同向同行，從而實施協(xié)同育人的綜合教育理念[1]。高校實施課程思政是落實立德樹人的重要抓手，是高等學校理性教育價值回歸、進步與升華的重要體現(xiàn)[2]，同時也是解決“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”這一教育根本問題的關(guān)鍵。

線性代數(shù)課是高校本科低年級開設的一門數(shù)學類公共基礎(chǔ)課，上課人數(shù)多，涉及專業(yè)也多。一方面，作為授課對象的高校本科低年級學生，正處于探究知識和形成世界觀的關(guān)鍵時期，一般也比較重視線性代數(shù)課程的學習。在線性代數(shù)課程資源建設中融入課程思政，可以起到潤物細無聲作用，從而積極引領(lǐng)學生的價值觀塑造。另一方面，從教師角度看，很多數(shù)學教師都有線性代數(shù)課程的授課經(jīng)驗，在線性代數(shù)課程資源建設過程中方便凝結(jié)集體智慧。

經(jīng)過近些年對線性代數(shù)課程思政的探索，河南農(nóng)業(yè)大學線性代數(shù)課程組依托線性代數(shù)在線開放課程的教材建設和平臺建設，明確課程思政背景下的教學目標，挖掘線性代數(shù)課程的思政元素，建立融思政元素與教學知識點于一體的課程教材知識體系，修訂完善教材和加強線上教學資源建設，極大提升了課程組教師的思政意識與教學能力，也讓學生在學習線性代數(shù)理論知識、培養(yǎng)問題解決能力的同時提升了思想政治素質(zhì)。

一、課程思政背景下的線性代數(shù)課程教學目標

線性代數(shù)是以矩陣為工具研究有限維線性空間和線性變換的分支，在當今科技發(fā)展中有著廣泛的應用，如Google搜索引擎、隱形飛機的設計、圖像處理、通信編碼等。瑞典數(shù)學家L.戈丁認為，如果不熟悉線性代數(shù)的概念， 要去學習自然科學， 現(xiàn)在看來就和文盲差不多 [3]。

線性代數(shù)課程要求學生通過學習能了解課程的地位和性質(zhì)；掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法；具有一定的科學計算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，能用矩陣工具分析和解決一些實際問題；增強自主學習的能力和責任意識，能用正確的價值觀看待事物，樹立科學報國的信心和決心。具體地講，課程組將課程思政背景下的線性代數(shù)課程教學目標分解為知識傳授目標、能力培養(yǎng)目標和價值引領(lǐng)目標。

（一）知識傳授目標

該目標要求學生了解線性代數(shù)課程的地位和性質(zhì)，熟練掌握行列式和矩陣的基本運算方法，理解用矩陣工具解決問題的思路，能熟練地運用矩陣方法解決線性方程組的求解、化二次型為標準型等問題。其主要內(nèi)容包括以下5個方面：（1）行列式的定義、性質(zhì)、計算和克萊姆法則。（2）矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘法運算，初等變換，秩和逆。（3）線性方程組求解的消元法、向量組線性關(guān)系和解的結(jié)構(gòu)。（4）矩陣的特征值、特征向量與相似對角化。（5）向量組的標準正交化、二次型化標準型和正定性判定。

（二）能力培養(yǎng)目標

該目標旨在培養(yǎng)學生的科學計算能力、嚴密的邏輯思維能力、抽象的空間想象能力、較強的自主學習能力以及綜合運用該課程的知識分析解決問題的能力。（1）通過對行列式、矩陣、線性方程組、特征值和特征向量、二次型化標準型和二次型的正定等計算過程的反復練習，培養(yǎng)學生的科學計算能力。（2）結(jié)合向量組線性相關(guān)性、秩和初等變換的性質(zhì)對相關(guān)結(jié)論證明的訓練，提升學生嚴密的邏輯思維能力。（3）借助二維、三維的幾何直觀，建立n維向量空間和n元線性方程組解空間的概念，培養(yǎng)學生抽象的空間想象能力和公理化思維能力。（4）借助圖書館和網(wǎng)絡資源，使學生能夠通過自主查閱書刊、利用相關(guān)學習網(wǎng)站資源、參與論壇交流等渠道深入學習線性代數(shù)，進而了解線性代數(shù)與當今科技發(fā)展的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)自主學習的習慣和能力。（5）借鑒全國大學生數(shù)學建模競賽的經(jīng)驗，選取諸如投入產(chǎn)出問題、種群年齡結(jié)構(gòu)預測、網(wǎng)絡流問題、線性規(guī)劃問題、密碼破譯等問題積極開展數(shù)學建模訓練，培養(yǎng)學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力。

（三）價值引領(lǐng)目標

價值引領(lǐng)目標旨在提升學生的思想政治素質(zhì)，培育正確的世界觀、人生觀和價值觀。（1）結(jié)合課程發(fā)展史和科技時訊，增強學生對祖國文化和國情的了解，激發(fā)學生的愛國情懷，增強學生的愛國信念以及科學報國的信念和信心。（2）結(jié)合科學家故事、課程對準確計算和嚴密論證的訓練以及課程的應用探究，培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和自主學習能力，提升學生的責任意識和追求卓越的精神。（3）結(jié)合課程知識本身所蘊含的哲學原理，引導學生掌握辯證唯物主義的觀點和方法。通過對事物是什么、為什么、如何用這一系列問題的思考，在提出問題、分析問題和解決問題的模式引導下，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)和正確的世界觀。

二、線性代數(shù)課程思政元素的挖掘

（一）挖掘課程中的思政元素，增強學生的文化自信和民族自豪感

線性方程組理論不僅是線性代數(shù)的核心，而且是中華文明的非凡成就之一。早在東漢初年成書的《九章算術(shù)》，匯集了我國先秦、秦朝及漢朝的重大數(shù)學成果。公元263年，劉徽作注附于此書，第八章“方程”列出了從二元到六元線性方程組對應的18個實際問題及其解答。其對方程組的表示采用把系數(shù)和常數(shù)項放在固定位置構(gòu)成籌算圖，相當于現(xiàn)在的矩陣表示；求解使用籌算的遍乘和直除，對應現(xiàn)在用方程組理論中對増廣矩陣的行施行倍法變換和消法變換；解方程組的目標對應化上三角形。而在西方，直到17世紀才有萊布尼茲開始對線性方程組的研究。盡管國際上習慣把方程組的求解方法稱為高斯消元法，但從歷史上看，中國人在線性方程組求解方面起碼領(lǐng)先于歐洲一千多年，已有學者研究證明高斯消元法本質(zhì)上就是中國古法[4-5]。

中國古法籌算和求解體現(xiàn)出先輩的高超智慧，卻按國際習慣被稱為高斯消元法，這不僅可激發(fā)學生對科學的探究欲望，進而深刻理解和掌握線性方程組的解法，而且可以增強學生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的認可，提升文化自信和民族自豪感。

（二）挖掘古今中外數(shù)學家的故事，增強學生科學報國的信念，培養(yǎng)學生的優(yōu)秀品格

在“代數(shù)”一詞問世前，同一概念在中國被稱為“阿爾熱巴拉”，它是清朝西方來華傳教士對拉丁文“algebra”的漢語音譯。1859年，李善蘭首次將“algebra”譯成“代數(shù)”，意思是“以符號代替數(shù)字”。李善蘭在翻譯《幾何原本》《代數(shù)學》《代微積拾級》《談天》《重學》《圓錐曲線說》《植物學》等西方近代科學著作中創(chuàng)造的許多科學名詞，如代數(shù)、常數(shù)、函數(shù)、方程、微分、積分、級數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、植物、細胞等，都廣為流傳，沿用至今。

李善蘭自幼酷愛數(shù)學，自學了《九章算術(shù)》、徐光啟參與翻譯的《幾何原本》前6卷、李冶的《測圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》等數(shù)學相關(guān)著作，有較高的數(shù)學水平。鴉片戰(zhàn)爭爆發(fā)后，面對中國的落后和帝國列強的欺凌，李善蘭萌生了科學救國思想，并發(fā)出慨嘆：嗚呼！今歐羅巴各國日益強盛，為中國邊患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算學明也。異日（中國）人人習算，制器日精，以威海外各國，令震懾，奉朝貢。從此，他全身心投入科學研究，在尖錐術(shù)、垛積術(shù)和素數(shù)論方面取得卓越成就，并著有《方圓闡幽》《弧矢啟秘》《對數(shù)探源》《四元解》《麟德術(shù)解》等著作。其中，尖錐術(shù)創(chuàng)立于1845年，那時西方解析幾何和微積分還沒傳入中國，尖錐曲線相當于處理代數(shù)問題的幾何模型，其實質(zhì)是直線、拋物線、立方拋物線等的方程問題；尖錐求積術(shù)相當于冪函數(shù)的定積分公式和逐項積分法則；結(jié)合尖錐求積術(shù)，還得到了π的無窮級數(shù)表達式，各種三角函數(shù)和反三角函數(shù)的展開式以及對數(shù)函數(shù)的展開式等。垛積術(shù)從中國傳統(tǒng)的垛積問題出發(fā)，主要研究高階等差數(shù)列的求和問題，提出了馳名中外的李善蘭恒等式。素數(shù)論研究自然數(shù)是否為素數(shù)的判別法，包括屢乘求一法、天元求一法、小數(shù)回還法和準根分級法等，證明了費馬素數(shù)定理，并指出其逆不真。

李善蘭恒等式是中國近代史上唯一一個以中國人名字命名的數(shù)學公式[6]。有趣的是李善蘭恒等式是總結(jié)歸納出來的，當時沒有給出證明。20世紀30年代起，李善蘭恒等式不斷引起數(shù)學界的廣泛興趣并進行補正。1954年，匈牙利數(shù)學家圖蘭·帕爾來華訪問，在報告李善蘭恒等式的證明時，坐在臺下的華羅庚面對中國人發(fā)現(xiàn)的定理而證明人卻不是中國人時感觸很深，當晚回去后就開始挑燈夜戰(zhàn)、冥思苦想，終于趕在圖蘭·帕爾離華前給出李善蘭恒等式的另一證明[7]。

李善蘭、華羅庚在數(shù)學上做出的杰出貢獻和他們強烈的科學報國意識，都為后人樹立了榜樣。教師在引導學生為數(shù)學家感到驕傲和自豪的同時，強調(diào)不能忘記華羅庚對我們學習數(shù)學的囑托——既要有雄心壯志，又要有持久的熱誠，還要有應用所學知識服務于人民的意識。

此外，教師在線性代數(shù)課程教學中針對高階線性方程組計算量較大的問題，一方面鼓勵學生用計算機軟件求解，培養(yǎng)學生享受新技術(shù)帶來便利的感恩意識，同時激發(fā)學生報效祖國的斗志；另一方面講述陳景潤攻克哥德巴赫猜想時產(chǎn)生了一麻袋一麻袋的草稿紙的故事，激勵學生鍥而不舍地認真求學。針對矩陣變換過程易出錯這一問題，教師在強調(diào)要培養(yǎng)認真細致態(tài)度的同時，引出埃尼獎獲得者王中林院士的感言：“有時候你摔了一跤，但絆倒你的很可能不是磚頭，而是一塊金子?！币源斯膭顚W生正確面對挫折和失敗，培養(yǎng)求真務實、認真細致的好習慣。

（三）引導學生體會課程知識蘊含的哲理以及掌握辯證唯物主義觀點和方法

線性代數(shù)課程的很多知識點都體現(xiàn)了一定的哲理，如矩陣的可逆與不可逆、滿秩矩陣與降秩矩陣、非退化矩陣與退化矩陣、線性相關(guān)與線性無關(guān)、線性方程組有解與無解、二次型正定與非正定等，這些非此即彼、互為矛盾的概念很好地體現(xiàn)了馬克思主義哲學原理中的對立統(tǒng)一規(guī)律。教師引導學生分析問題時，要讓學生學會用全面的觀點看問題、一分為二地看問題；在生活中要敢于正視矛盾，在解決矛盾時要善于抓住主要矛盾，但也不忽視次要矛盾。

行列式和n維向量空間的課程內(nèi)容很好地反映了科學認識事物的兩個階段：從具體到抽象，再從抽象到具體。首先，從二階三階行列式到n階行列式的建立，從二維三維向量空間到n維向量空間的定義，都是從感性的具體尋找其共性特征，進行公理化抽象，進而在思維中建構(gòu)出一個理想化模型。這是哲學認識論中從感性的具體到理性的抽象過程，而科學的認識論還要求把理性的抽象再次上升到理性的具體，回歸到行列式和向量空間的相關(guān)內(nèi)容。教師要引導學生理解我們正是在建立其一般定義的基礎(chǔ)上探究其具體性質(zhì)，以真正認識和掌握這些概念，然后再探究其應用問題。

矩陣的初等變換是線性方程組求解和化二次型為標準型的重要工具，在應用矩陣初等變換解決問題過程中，矩陣的形式在不斷發(fā)生變化，但矩陣的秩是不變的，且可以借助矩陣的秩來研究矩陣的等價、線性方程組解的判定及二次型標準型的判定等問題。這很好地揭示了唯物辯證法中變與不變的關(guān)系：變是絕對的，但變中總會有不變的規(guī)律，以不變應萬變才是關(guān)鍵。教師要引導學生明白，人們在生活中面對變化時往往會不知所措，如果掌握了變和不變的辯證法，就可以冷靜處事，積極尋找事物發(fā)展變化的規(guī)律性，幫助解決變化中的問題。

（四）挖掘課程知識在科技前沿和現(xiàn)實生活中的應用案例，提高學生的學習興趣

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，矩陣的應用越來越廣泛。密碼學是由矩陣的乘法、求逆和線性變換發(fā)展而來的；5G通信編碼技術(shù)的極化碼本質(zhì)上也等同于矩陣乘法；隱形飛機的設計、手機電磁輻射評估所用到的麥克斯韋方程，最終都可歸結(jié)為大規(guī)模線性方程組的求解問題；圖像壓縮處理則是通過將每個像素點對應一個灰度數(shù)字，將整張圖片以矩陣形式表示出來，進而對該矩陣的特征值或奇異值進行分解；Google搜索排序、Netflix視頻推薦、機器人中的運動學正解等都離不開矩陣。

教師在線性代數(shù)課程教學中不僅可以通過介紹科技前沿來培養(yǎng)學生的學習興趣和科學探索精神，而且可以在矩陣舉例時選取特殊數(shù)字來提醒學生銘記歷史，如以數(shù)字19310918、19212021，19492049為元素構(gòu)建2行4列的矩陣，回顧九一八事變、思考中國共產(chǎn)黨的“兩個一百年”奮斗目標等；在教學行列式這個內(nèi)容時，指出按行列式的定義法計算，即使用我國的“神威·太湖之光”超級計算機，計算一個29階行列式也需要大約5.0068萬年的時間才能算出結(jié)果[8]。這樣，在激發(fā)學生對行列式性質(zhì)和其他計算方法探究興趣的同時，也引導學生了解我國超級計算機的發(fā)展從跟跑到領(lǐng)跑的跨越，弘揚科學精神和增強愛國情懷。

三、基于課程思政的線性代數(shù)課程資源建設途徑

（一）遵循學生認知規(guī)律、精選思政育人材料加強教材建設

基于線性代數(shù)課程教學目標及其高度抽象性導致學習困難的考慮，很多教學團隊對其課程內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)進行了探索，主要有以下四種類型。第一種類型：從直觀易學的矩陣出發(fā)，引入行列式和矩陣的初等變換；再以矩陣的秩討論線性方程組解的判定、向量組的線性相關(guān)性，建立線性方程組解的結(jié)構(gòu)，最后討論相似矩陣和二次型。第二種類型：從線性方程組的求解這一根本問題出發(fā)，引入行列式、矩陣及向量組的線性相關(guān)性，進而研究線性方程組解的判定、解的結(jié)構(gòu)、相似矩陣和二次型。這種類型的內(nèi)容體系強調(diào)從問題出發(fā)，突出其應用。第三種類型：以線性空間和線性映射為主線，將行列式和矩陣作為工具討論線性方程組的求解和二次型的應用。這種體系結(jié)構(gòu)多見于重點高校，重在突出代數(shù)思想，有利于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。第四種類型：從行列式和矩陣的定義出發(fā)討論其性質(zhì)和計算，再給出矩陣的初等變換和矩陣的秩，進而討論向量組的線性相關(guān)性和線性方程組解的結(jié)構(gòu)，最后研究相似矩陣和二次型。這種類型的特點是在邏輯嚴密的基礎(chǔ)上將難點分散，便于學生夯實基礎(chǔ)。

從現(xiàn)有的線性代數(shù)課程內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)和筆者長期的教學實踐來看，上述四種類型的內(nèi)容體系均能有助于完成課程培養(yǎng)目標，但考慮到需要課程內(nèi)容易懂、易教和易學，課程組更傾向于采用第四種對教材內(nèi)容進行以下安排：第1章行列式，從二元、三元線性方程組的公式解，引出二階、三階行列式，再通過排列的逆序定義分析二階、三階行列式的特征，建立n階行列式的定義，進而討論n階行列式的性質(zhì)和計算；第2章矩陣及其運算，主要介紹矩陣的運算，包括矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置和逆運算等；第3章矩陣的初等變換，在回顧線性方程組消元法求解基礎(chǔ)上引入矩陣的初等變換，定義初等矩陣和矩陣的秩；第4章線性方程組，一方面利用矩陣的初等變換和秩討論線性方程組的求解和解的判定，另一方面通過向量組的線性相關(guān)性研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)；第5章矩陣的相似變換，主要利用行列式、矩陣和向量組的線性相關(guān)性討論方陣的對角化問題；第6章二次型，主要研究二次型化標準型的方法和二次型正定性的判定。

與此同時，課程組結(jié)合對課程思政元素挖掘的研究成果，在序章安排初識線性代數(shù)、學好線性代數(shù)和請珍惜我們這個偉大的時代三部分內(nèi)容，并在每章的最后附有課外閱讀材料，包括華羅庚談數(shù)學學習方法、李善蘭與李善蘭恒等式、《九章算術(shù)》與矩陣、祖率與[π]、華羅庚與線性方程組、陳景潤與哥德巴赫猜想、從《數(shù)書九章》到伽羅華理論等。課程組所編的線性代數(shù)教材已由中國農(nóng)業(yè)出版社出版[9]。

（二）有效利用線上教學平臺，優(yōu)化線性代數(shù)的在線育人功能

隨著混合式教學模式的推進，線性代數(shù)課程的線上教學平臺可選用愛課程網(wǎng)站上自建的SPOC（small private online course，小規(guī)模限制性在線課程）。課程首頁設置了課程概述、課程大綱和成績要求等，學生登錄課程后可以看到公告、課件、視頻、閱讀材料、作業(yè)、測試和討論區(qū)等內(nèi)容。教學過程中，學生可以通過閱讀公告，在學習清單引導下按時間點要求完成視頻觀看、作業(yè)及測試并參加討論。所有講授線性代數(shù)課程的教師都在SPOC平臺下建有以線下課堂班級為單元的慕課堂。通過慕課堂管理模塊，教師可以及時掌握學生的學習狀況，包括學生在線觀看視頻、完成練習情況以及線下課堂的考勤情況、回答問題情況等，并通過線上備課活動等形式開展個性化教學。

線上課件、視頻是課程知識傳授的主要載體，視頻講解采用畫龍點睛式和隱性滲透式的方法開展課程思政，課件文檔不斷增加閱讀材料和相關(guān)鏈接，除已有李善蘭與李善蘭恒等式、《九章算術(shù)》與矩陣等資料外，還重點增加了線性代數(shù)在農(nóng)業(yè)科學中的應用系列，包括矩陣的應用、密碼學中的編碼與解碼、投入產(chǎn)出問題、農(nóng)業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染增長模型、萊斯利種群模型等。合理利用網(wǎng)絡資源，特別是一些結(jié)合科技前沿和新聞資訊等的實時性相關(guān)資源，不僅有利于實現(xiàn)專業(yè)教學與課程思政的同向同行，而且可以很好地體現(xiàn)教師認真負責的工作態(tài)度和率先垂范的優(yōu)秀品格，起到協(xié)同育人的效果。

課程思政是當今高校持續(xù)進行的一項重要工作，課程思政元素的挖掘、課程相關(guān)教材和教學平臺的建設、教師的教學藝術(shù)缺一不可。課程組雖然已經(jīng)做了大量線性代數(shù)課程思政相關(guān)資源的建設工作，出版了教材，自建了SPOC，開展了線上線下混合式教學的探究等，但如何用好這些資源，真正有效地開展線性代數(shù)課程思政，還需要授課教師在教學中不斷思考與探索，進一步提升開展課程思政的親和力和說服力，在向?qū)W生傳授專業(yè)知識的同時，完成好新時代立德樹人的根本任務，提升育人質(zhì)量。

［ 參 考 文 獻 ］

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[2] 劉三明.將思政教育融入應用工程數(shù)學課堂教學中的探索[J].教育教學論壇，2020（22）：346-347.

[3] L.戈丁.數(shù)學概觀[M].北京：科學出版社，2001.

[4] 劉洪元.高斯消元法是中國古法[J].沈陽農(nóng)業(yè)大學學報，2003（1）：56-58.

[5] 李文漢.高斯消元法是中國古法[J].教材通訊，1992（1）：30-32.

[6] 張必勝.李善蘭的學術(shù)人生及教育思想研究[J].高教探索，2019（4）：117-123.

[7] 王樹和. 數(shù)學聊齋[M]. 普及版.北京：科學出版社，2004.

[8] 楊威，陳懷琛，劉三陽，等.大學數(shù)學類課程思政探索與實踐：以西安電子科技大學線性代數(shù)教學為例[J].大學教育，2020（3）：77-79.

[9] 曹殿立，馬巧云. 線性代數(shù)[M]. 2版.北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2020.

［責任編輯：龐丹丹］