錢建兵

（本文系江蘇省教育規(guī)劃“十三五”立項(xiàng)課題“促進(jìn)理解的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2020/02/138）研究成果。）

摘要：結(jié)合新課標(biāo)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的要求，作業(yè)作為課堂教學(xué)的延續(xù)，內(nèi)容上要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，用結(jié)構(gòu)化的思維，設(shè)計(jì)作業(yè)內(nèi)容。以學(xué)習(xí)意義定義作業(yè)，讓學(xué)生通過作業(yè)，經(jīng)歷再補(bǔ)充、再發(fā)現(xiàn)、再總結(jié)的過程，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)習(xí)力，彰顯學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性。遵循主體普適性、目標(biāo)一致性、功能承載性等原則，從關(guān)聯(lián)、整體、整合等策略，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)延學(xué)作業(yè)。

關(guān)鍵詞：作業(yè)設(shè)計(jì) ?結(jié)構(gòu)化 ? 延學(xué)

美國(guó)當(dāng)代著名教育心理學(xué)家布魯納在他的《教育過程》中明確提出了學(xué)科結(jié)構(gòu)論的課程論和教學(xué)論思想。他認(rèn)為學(xué)習(xí)的目的在于以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方式，使學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）指出，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的目標(biāo)，“要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！盵1]作業(yè)是體現(xiàn)學(xué)生主體性的一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式，是課堂教學(xué)的延續(xù)與補(bǔ)充、拓展與深入。因此，在進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，要彰顯作業(yè)的“學(xué)習(xí)意義”，從結(jié)構(gòu)化的視角延續(xù)課堂學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在作業(yè)的過程中自主完善優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)核心概念的深入理解，從而理解學(xué)科的基本原理。

一、結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)概念界定

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中形成的，包括課堂教學(xué)與課外學(xué)習(xí)，亦包含教師引導(dǎo)與自主建構(gòu)。是學(xué)生以積極主動(dòng)的心理取向，將教材知識(shí)體系（具有邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)科知識(shí)），轉(zhuǎn)化為個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程。但僅僅依靠課堂教學(xué)與教材，構(gòu)建起的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不完整的。這主要緣于學(xué)習(xí)的復(fù)雜性。班級(jí)授課制在效率最大化的同時(shí)，必定無法兼顧個(gè)體在學(xué)習(xí)風(fēng)格、知識(shí)基礎(chǔ)、思維特點(diǎn)等方面的差異，很難做到對(duì)知識(shí)的深度理解與知識(shí)體系的完全建構(gòu)。再次是教材在組織時(shí)，作為實(shí)施學(xué)習(xí)的基本單位，課時(shí)教學(xué)必將在一定程度上肢解知識(shí)的整體性。教材也并不是完全按知識(shí)的邏輯體系構(gòu)建的，經(jīng)過教學(xué)法的改造，并不能兼顧不同層次學(xué)習(xí)能力、不同經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)背景的學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系時(shí)，存在的不同差異與困難。

作業(yè)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)自主建構(gòu)與反思的重要手段。結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)，從知識(shí)之間的聯(lián)系（整體）出發(fā)設(shè)計(jì)習(xí)題，以更高的視角引導(dǎo)學(xué)生反思當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將作業(yè)作為課堂學(xué)習(xí)的進(jìn)一步延伸，充分發(fā)揮學(xué)生在作業(yè)過程的自主建構(gòu)作用，讓學(xué)生在作業(yè)中促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)二次構(gòu)建，在作業(yè)中尋找并理解知識(shí)之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的思想方法和內(nèi)隱邏輯，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念、技能、思想方法的深刻理解。作業(yè)不是課堂教學(xué)建構(gòu)起來的知識(shí)體系的再重復(fù)，而是一個(gè)新的再建構(gòu)，是概念之間的打通，方法的升華，思想的提煉，是知識(shí)的體系化與優(yōu)化，形成對(duì)核心概念的再升華，從而達(dá)到深度理解。在二次建構(gòu)并完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)過程中形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也就是說在將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中，形成學(xué)生的核心素養(yǎng)。

結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)并不是虛化基礎(chǔ)概念、基本技能等的而突出整體，而是在結(jié)構(gòu)中去把握各知識(shí)點(diǎn)，從而使作業(yè)可以更加有彈性地處理、分配處于不同地位知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)用力，突出核心知識(shí)、核心概念、基本思想、基本模型的重要地位。

二、結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)價(jià)值內(nèi)涵

結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)的“自延”，是再學(xué)習(xí)、再補(bǔ)充；讓學(xué)生經(jīng)歷“自研”的過程——體現(xiàn)學(xué)生的主體建構(gòu)，是再發(fā)現(xiàn)；讓學(xué)生在“自言”的過程中自省悟透，通過自省，反思等內(nèi)部言語的活動(dòng)過程，進(jìn)行再總結(jié)。從而使課堂教學(xué)建構(gòu)的知識(shí)更加系統(tǒng)化，形成縱橫交錯(cuò)的體系，知識(shí)的存儲(chǔ)更有條理與富有邏輯。結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)價(jià)值具有如下價(jià)值。

1.提升學(xué)習(xí)力

學(xué)習(xí)力是衡量學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要指標(biāo)，瞿靜指出：“學(xué)習(xí)力是在有目的的學(xué)習(xí)過程中，以聽、說、讀、寫、交流等渠道獲得知識(shí)技能的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，通過實(shí)踐、體驗(yàn)、反思、環(huán)境影響等途徑進(jìn)行的學(xué)習(xí)力提升，達(dá)到產(chǎn)生新思維、新行為的學(xué)習(xí)效果為目的的動(dòng)態(tài)能力系統(tǒng)。”[2]作業(yè)結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)，通過教師精心設(shè)計(jì)的習(xí)題，與課堂教學(xué)相輔相成，新舊知識(shí)之間形成的一種張力，為學(xué)生提供了比課堂教學(xué)更獨(dú)立自主的探究、實(shí)踐、體驗(yàn)、反思的空間。不管是進(jìn)行知識(shí)之間的縱、橫梳理，還是自我反思總結(jié)形成核心知識(shí)、方法、思想，或是獨(dú)立完成“做數(shù)學(xué)”，都將是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一次次歷練。同時(shí)，與一般的作業(yè)不同，結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)閱讀量也比較大，綜合性較強(qiáng)，方法要自主歸納，提煉，視野更寬，這些都利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的表達(dá)形式，增加對(duì)數(shù)學(xué)的理解，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例1：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)中的奧秘

作業(yè)：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積

兩人玩一個(gè)游戲：兩人各說出一個(gè)數(shù)寫在紙上，對(duì)方算出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，自己算出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再比比兩個(gè)積的大小。

再玩幾次，可以交換角色。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】延續(xù)了課堂教學(xué)，不僅僅是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、表達(dá)規(guī)律的能力，更在于將最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)與兩個(gè)數(shù)的乘積進(jìn)行關(guān)聯(lián)，體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系。為什么會(huì)有這樣的聯(lián)系，也在學(xué)生心中埋下了進(jìn)一步探究的種子，打開了進(jìn)一步探究的空間，學(xué)習(xí)由自主到自發(fā)成為可能。

2.促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再建構(gòu)

課堂教學(xué)受時(shí)間的限制，課時(shí)安排的教學(xué)內(nèi)容比較緊湊，規(guī)定時(shí)間內(nèi)要理解概念，還要形成一定的技能?！安糠帧糠帧w”的編寫和教學(xué)模式人為地將知識(shí)分解成若干個(gè)小的部分，割裂了知識(shí)之間的聯(lián)系，大量的重復(fù)練習(xí)更加劇了知識(shí)之間的相互封閉，學(xué)生獲得的知識(shí)大部都是一些“散裝”的內(nèi)容，沒有形成具有普遍聯(lián)系和廣泛遷移力的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，知識(shí)之間形成網(wǎng)絡(luò)，不同領(lǐng)域進(jìn)行學(xué)科融合，特別是將課堂所學(xué)放在更高的視角去理解，必定需要通過作業(yè)將課堂延伸至課外。結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)以核心知識(shí)組織、串聯(lián)，將各部分之間構(gòu)成有機(jī)整體，小的結(jié)構(gòu)不斷納入更大的結(jié)構(gòu)中，形成深刻理解。以整體與關(guān)聯(lián)為總指導(dǎo)，聚焦核心知識(shí)在構(gòu)建起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵作用，以基本原理、基本關(guān)系、基本方法，架構(gòu)知識(shí)體系的“承重墻”。

案例2：分?jǐn)?shù)加減與小數(shù)加減的算理一致性

作業(yè)：分?jǐn)?shù)加、減法與小數(shù)加、減法比較

＋ =（ ? ?）個(gè) ＋（ ? ?）個(gè) =（ ? ?）個(gè) ；

－ =（ ? ?）個(gè) －（ ? ?）個(gè) =（ ? ?）個(gè)

異分母分?jǐn)?shù)加、減法，要通分成同分母相加、減，是因?yàn)椋?? ? ? ）。

計(jì)算小數(shù)6.42＋1.5時(shí)，可以這樣思考：6.4＋1.5=（ ? ）個(gè)一＋（ ? ?）個(gè)一＋（ ? ）個(gè)0.1＋（ ? ）個(gè)0.1＋（ ? ）個(gè)0.01

小數(shù)加法要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，是因?yàn)椋?? ? ）。

比較小數(shù)加減法與分?jǐn)?shù)加減法，我發(fā)現(xiàn)了：

【設(shè)計(jì)意圖】這如何讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)加減法與小數(shù)加減法計(jì)算算理的一致性？計(jì)算小數(shù)加減法把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，異分母分?jǐn)?shù)加減先通分，這些是算法，其背后的道理是相同計(jì)數(shù)單位相加減。通過用橫式表達(dá)的算理，學(xué)生比較容易看出算理的一致。

3. 凸顯學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的二次建構(gòu)是以思維能力的培養(yǎng)去帶動(dòng)整體構(gòu)建，學(xué)生思維能力更多的是體現(xiàn)在尋找聯(lián)系、構(gòu)建整體及類比遷移的過程中，這個(gè)過程的主體應(yīng)該是學(xué)生，是學(xué)生的自主建構(gòu)，是不斷促進(jìn)學(xué)生主體性提升的。二次建構(gòu)過程中的沒有課堂建構(gòu)中的“替代現(xiàn)象”，是富有個(gè)性的學(xué)生個(gè)體的探索領(lǐng)悟的行動(dòng)。

案例3：用整數(shù)、分?jǐn)?shù)表示關(guān)系

作業(yè)：分?jǐn)?shù)的意義

小明拿來藍(lán)、紅、黃三種顏色的彩帶，對(duì)應(yīng)著寫數(shù)：1、3、 。你知道這三個(gè)數(shù)表示的意思嗎？

問題1：任選一根彩帶的長(zhǎng)度記作1，其它兩種顏色的彩帶的長(zhǎng)度可以怎么表示？

問題2：如果三根彩帶的長(zhǎng)度分別乘以2，你所選彩帶長(zhǎng)度還可以記作1嗎？如果記作1，其它兩種顏色的彩帶可以記作多少？

【設(shè)計(jì)意圖】這此題主要是讓學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)作為“兩個(gè)量之間關(guān)系”意義的理解，進(jìn)而溝通整數(shù)可用“幾倍”表示關(guān)系之間的聯(lián)系，體會(huì)分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間的一致性。問題2給學(xué)生自主選擇的權(quán)利，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)表達(dá)關(guān)系，也是一種抽象能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例4：自主編寫延學(xué)作業(yè)

作業(yè)：分?jǐn)?shù)實(shí)際問題復(fù)習(xí)

在下面的括號(hào)里填上一個(gè)數(shù)量，然后根據(jù)線段圖（圖2），編題。你能編幾題？

題1：

題2：

題3：

……

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)線段圖表示的關(guān)系，可以選擇用分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等形式表達(dá)，溝通了分?jǐn)?shù)、比、除法之間的聯(lián)系。題中另一個(gè)條件的確定，題材的選擇，則給學(xué)生更大的自主選擇權(quán)，有利于發(fā)揮學(xué)生作業(yè)的主體性，開放的題目有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)際問題。

作業(yè)不僅是復(fù)習(xí)與回顧，更是一種高效的深度學(xué)習(xí)。因此，結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)，擯棄低效重復(fù)記憶為主的作業(yè)，將相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，在反思中促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體理解，全面改變對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，讓“雙減”得以落地。

三、結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)原則與策略

探究拓展性作業(yè)設(shè)計(jì)要盡可能貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過程，發(fā)展抽象、推理等能力。結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)，還應(yīng)遵循以下原則。

（一）原則

1.數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的主體普適性原則

所謂主體普適性原則，就是延學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)要與課堂教學(xué)相輔相成。從難易程度上講，應(yīng)該是面向全體學(xué)生的，應(yīng)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)中各學(xué)段教學(xué)要求，可以設(shè)置過渡性問題，讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲。雖然說“如果給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的合適陳述，即便是年幼兒童也能學(xué)習(xí)高級(jí)的知識(shí)，從而縮小初級(jí)知識(shí)和高級(jí)知識(shí)之間的差距”，但不能任意拔高超前，以加深理解、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)思維、生成素養(yǎng)為目的。在作業(yè)量上，應(yīng)遵循“五項(xiàng)管理”的相關(guān)要求，延學(xué)作業(yè)自主研究的花的時(shí)間比較多，并且不同水平的學(xué)生所用的時(shí)間也相差會(huì)較大。另外，作業(yè)設(shè)計(jì)要盡可能激發(fā)學(xué)生延學(xué)的興趣，要避免學(xué)生產(chǎn)生消極抵觸的情緒。

案例5：三棱柱的體積

作業(yè)：長(zhǎng)方體、正方體與三棱柱的體積

圖3、圖4都是我們已學(xué)過的立體圖形，圖5是一個(gè)底面為直角三角形、側(cè)面由三個(gè)長(zhǎng)方形圍成的立體圖形，我們稱它為三棱柱。

（1）回顧已有知識(shí)：S長(zhǎng)方體底面=（ ? ? ?），V長(zhǎng)方體=（ ? ? ?）；S正方體=（ ? ?）

（2）發(fā)現(xiàn)共同規(guī)律：V=（ ? ? ）

（3）推測(cè)新的發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成一個(gè)（ ? ?），想一想兩個(gè)完成一樣的三棱柱可以拼成一個(gè)（ ? ? ?），由此推測(cè)V三棱柱=（ ? ?）。

（4）嘗試解決問題：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，求得三棱柱（圖5）的體積是（ ? ?）立方厘米。

【設(shè)計(jì)意圖】這是在長(zhǎng)方形、正方體體積教學(xué)計(jì)算之后，利用平面圖形面積計(jì)算中轉(zhuǎn)化的方法，將三棱柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，從而推導(dǎo)出三棱柱的體積，體會(huì)體積公式之間的統(tǒng)一。這4個(gè)層次的問題，逐步幫助學(xué)生歸納、推導(dǎo)，從而得出三種立體圖形的統(tǒng)一計(jì)算公式。又將平面圖形中的轉(zhuǎn)化方法遷移運(yùn)用到立體圖形之中。

2.數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的目標(biāo)一致性原則

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的靈魂。延學(xué)作業(yè)是課堂教學(xué)之后的學(xué)習(xí)過程，與課堂教學(xué)共同達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。因此，延學(xué)作業(yè)與課堂教學(xué)之間的教學(xué)目標(biāo)具有統(tǒng)一一致性，更要體現(xiàn)對(duì)堂教學(xué)目標(biāo)互補(bǔ)作用上。課程標(biāo)準(zhǔn)2022版指出，要重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，“改變過于注重課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系。”[3]因?yàn)檠訉W(xué)作業(yè)，可以跳出了課堂教學(xué)，可以基于課標(biāo)，瞻前顧后，把握知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，兼顧單元目標(biāo)、課時(shí)目標(biāo)一致。

案例6：分?jǐn)?shù)的意義之“量”“率”比較

作業(yè)：分?jǐn)?shù)的大小比較

①兩根一樣長(zhǎng)的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長(zhǎng)一些？

②兩根一樣長(zhǎng)的繩子，第一根用去 米，第二根用去 ，誰剩下的長(zhǎng)一些？

③兩根繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長(zhǎng)一些？

④兩根一樣長(zhǎng)的繩子，第一根用去 ，第二根用去 ，誰剩下的長(zhǎng)一些？

⑤兩根一米長(zhǎng)的繩子，第一根用去 ，第二根用去 米，誰剩下的長(zhǎng)一些？

【設(shè)計(jì)意圖】分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)之后，單位“1”的理解是關(guān)鍵。此作業(yè)以對(duì)比的形式，讓學(xué)生進(jìn)一步在具體情境中，強(qiáng)調(diào)單位“1”對(duì)分?jǐn)?shù)意義的重要性，增強(qiáng)對(duì)單位“1”的理解，解決了學(xué)生在課堂教學(xué)中“分率”與“具體量”不能區(qū)分的疑惑，從而加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

3.數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的功能承載性原則

課堂教學(xué)承載著育人的功能，延學(xué)作業(yè)不僅是在知識(shí)層面上延續(xù)課堂教學(xué)，也延續(xù)課堂教學(xué)的育人功能。作業(yè)題材的選擇，到作業(yè)情境的設(shè)置，可為學(xué)生提供廣泛的教育資源與空間。作業(yè)作為育人的重要載體，在價(jià)值觀上延續(xù)課堂教學(xué)，把社會(huì)主義先進(jìn)文化、革命文化、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展前沿等融入其中。應(yīng)該說，功能承載性比教材更有作為，更為靈活，作業(yè)形式上多種多樣，學(xué)科融合，要體現(xiàn)“五育并舉”的育人要求，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感、態(tài)度。

案例7：傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)作業(yè)——出入相補(bǔ)原理

作業(yè)：三角形、梯形面積的推導(dǎo)

出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的代表性成就。利用此原理，可以推導(dǎo)出所有直邊圖形的面積計(jì)算公式。

①我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了三角形面積的計(jì)算方法，著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補(bǔ)虛”的方法（如圖6）加以說明。從圖中可以看出：

三角形是如何轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的？試著剪一剪，拼一拼。

三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=（ ? ? ），長(zhǎng)方形的寬=（ ? ? ?）。

長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，三角形的面積=（ ? ? ?）

②試著用這個(gè)原理將梯形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，并推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。

【設(shè)計(jì)意圖】以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為題材，并利用此原理深入思維層面，進(jìn)一步延續(xù)了課堂教學(xué)中的轉(zhuǎn)化的思想方法，同時(shí)又體驗(yàn)到我國(guó)古代人民在數(shù)學(xué)上取得的成就，拓寬了視野，增強(qiáng)了民族自豪感。

（二）策略

結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)是課堂教學(xué)的延續(xù)，因此，在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)要緊緊圍繞課堂教學(xué)的內(nèi)容，通過作業(yè)，使課堂教學(xué)走向深入，更有寬度，更具有融合性。可以從如下幾個(gè)方面設(shè)計(jì)延學(xué)習(xí)題。

1.關(guān)聯(lián)策略

學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的可遷移性，這種可遷移性是緣于數(shù)學(xué)概念、體系在發(fā)展過程中，始終以相同的方法、原理、關(guān)系、問題，貫穿前后，從而實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)概念之間本質(zhì)的一致性。這些方法、原理、關(guān)系、問題，是數(shù)學(xué)知識(shí)如何關(guān)聯(lián)成為整體的核心。如“計(jì)數(shù)單位”的概念不僅是數(shù)認(rèn)識(shí)過程中的核心概念，同時(shí)也是計(jì)算算理理解的核心，“計(jì)數(shù)單位”將數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算成為一個(gè)整體。在數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算中，圍繞“計(jì)數(shù)單位”設(shè)計(jì)作業(yè)，延展課堂，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深度理解。

案例8：探究余數(shù)的秘密。

作業(yè)：2、5的倍數(shù)特征為什么只看個(gè)位

15÷2=（10+5）÷2=10÷2+5÷2，

317÷2=（300+10+7）÷2=300÷2+10÷2+7÷2，

1316÷2=（1000+300+10+6）÷2=1000÷2+300÷2+10÷2+6÷2，

我發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)除以2的余數(shù)，與這個(gè)（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。我們知道，個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。你知道是為什么嗎？

15÷5=（10+5）÷5=10÷5+5÷5，

317÷5=（300+10+7）÷5=300÷5+10÷5+7÷5

我發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)，與這個(gè)（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。我們知道，個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。你知道是為什么嗎？

216÷4=（200+16）÷4=200÷4+16÷4，

1317÷4=（1000+300+17）÷4=1000÷4+300÷4+17÷4

我發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與這個(gè)（ ? ）位上的數(shù)有關(guān)。4的倍數(shù)有什么特征？

【設(shè)計(jì)意圖】2、5的倍數(shù)特征與個(gè)位數(shù)有關(guān)，這是算法。其算理是整十、整百、整千……除以2、5都沒有余數(shù)，因此只要看個(gè)位上的數(shù)。此作業(yè)，不僅是讓學(xué)生明白其中的算理，更是為后繼研究3的倍數(shù)的特征打下基礎(chǔ)。

案例9：算算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)

作業(yè)：閱讀材料，再用材料中方法舉例。

小明：今天學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，我覺得分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法相似，它們都是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘。計(jì)算20×3，20的計(jì)數(shù)單位是十，2個(gè)十乘3，就是6個(gè)十，所以20×3=60。

小華：小數(shù)乘整數(shù)也是小數(shù)的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘。計(jì)算0.2×3，0.2的計(jì)數(shù)單位是0.1，0.2×3就是2個(gè)0.1乘3，也就是6個(gè)0.1，所以0.2×3=0.6。

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)也是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘嗎？請(qǐng)你舉例說明。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）指出，數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)要感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力與推理意識(shí)。[4]此項(xiàng)作業(yè)，通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位累加的角度去思考整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的算理，溝通了聯(lián)系。

兩個(gè)案例均圍繞“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)。案例8中，延學(xué)作業(yè)是對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行了補(bǔ)充，2、5的倍數(shù)與3的倍數(shù)特征判斷方法不一致，通過對(duì)算理的分析，透過表面上的不一致，形成了具有結(jié)構(gòu)性的方法，并與除法運(yùn)算的算理進(jìn)行了關(guān)聯(lián)。案例9中，是對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)奶釤?，新舊知進(jìn)行了統(tǒng)一，形成了結(jié)構(gòu)性的方法。

2.整體策略

戴維斯（R.Davis）在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育的認(rèn)知科學(xué)研究》一書中對(duì)“圖式”的基本性質(zhì)作了總結(jié)：第一，圖式源于成功的經(jīng)驗(yàn)；第二，圖式可以憑借某些十分簡(jiǎn)單的、特殊的“提示”得以實(shí)現(xiàn)；第三，圖式為新的認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供了必要的理論框架。[5]數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)之一是相互之間有著廣泛的聯(lián)系，這些聯(lián)系是形成“圖式”的基礎(chǔ)。在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，可以利用課堂教學(xué)形成的“圖式”，并延續(xù)課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識(shí)的整體遷移。如在“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”的學(xué)習(xí)中，從一維長(zhǎng)度、再到二維平面、三維空間，不管是在圖形的認(rèn)識(shí)上，還是在測(cè)量的方法的形成過程中，其都會(huì)經(jīng)歷相同的過程；數(shù)的認(rèn)識(shí)過程中形成的關(guān)于數(shù)的組成的方法，數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)過程中關(guān)于算理的整體認(rèn)知等。

案例10：英制單位之間的換算關(guān)系

作業(yè)：體積單位的換算

有些國(guó)家采用“英制單位”，碼、英尺、英寸，它們的換算關(guān)系：1碼=3英尺，1英尺=12英寸。運(yùn)用已學(xué)知識(shí)，你能推算出平方碼、平方英尺、平方英寸這些面積單位之間的換算關(guān)系嗎？立方碼、立方英尺、立方英寸這些體積單位之間的換算關(guān)系呢？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)長(zhǎng)度單位之間的換算關(guān)系，推算出面積、體積單位之間的換算關(guān)系，其本質(zhì)是對(duì)面積、體積意義的理解。以課堂教學(xué)中國(guó)際單位制中習(xí)得的圖式，去遷移至英制單位，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的整體遷移，從而形成了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。

3.整合策略

整合是指認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)數(shù)學(xué)概念的相互聯(lián)結(jié)，有機(jī)結(jié)合，相互滲透，整合可以促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化與優(yōu)化。整合還可以重組學(xué)生的生活與學(xué)習(xí)資源，打通數(shù)學(xué)與兒童生活與其它學(xué)科的聯(lián)系。

案例11：特殊與一般的關(guān)系

作業(yè)：方程與等式的關(guān)系。

方程、等式之間是怎樣的關(guān)系？請(qǐng)?jiān)谙聢D（圖7）中表示出來？這樣的圖還可以表示哪些概念之間的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】本題以方程與等式之間關(guān)系的直觀表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，由此將小學(xué)所學(xué)具有這種關(guān)系的兩個(gè)概念串聯(lián)起來。這些概念雖然是不同的領(lǐng)域，但以同樣的結(jié)構(gòu)整合存儲(chǔ)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，理解深刻利于提取。

案例12：青蛙爸爸跳多遠(yuǎn)

作業(yè)：乘法口決的練習(xí)

如圖（圖8），青蛙媽媽每次跳3格，小青蛙每次跳2格，它們都從0開始起連續(xù)地跳。青蛙爸爸每次跳的是在青蛙媽媽和小青蛙同時(shí)跳到的地方。

先用▲圈出媽媽跳的地方；再用O圈出小青蛙跳的地方。你知道青蛙爸爸每次跳幾格嗎？用到了幾的口決？

【設(shè)計(jì)意圖】以富有兒童情趣的形式練習(xí)了乘法口決，體現(xiàn)了乘法口決的價(jià)值，又將2、3的倍數(shù)及2和3的公倍數(shù)與6的倍數(shù)之間的關(guān)系融合在乘法口決之中，不同層次的知識(shí)進(jìn)行了整合，有利于知識(shí)結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學(xué)生的思維。

基于結(jié)構(gòu)化視域下的延學(xué)作業(yè)，其反映的是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)形成過程，因此，對(duì)作業(yè)的評(píng)價(jià)，應(yīng)更關(guān)注作業(yè)過程中學(xué)生的思考與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的運(yùn)用應(yīng)由甄別判斷轉(zhuǎn)向“為學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”。在實(shí)踐過程中，適合采取一種支持學(xué)習(xí)的態(tài)度，堅(jiān)持多元評(píng)價(jià)，獨(dú)立思考與同伴學(xué)習(xí)相結(jié)合，以學(xué)生的發(fā)展為目標(biāo)，與課堂教學(xué)形成合力，共同促進(jìn)素養(yǎng)的形成。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：陳國(guó)慶