韓凱利， 李揚(yáng)榮

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

文獻(xiàn)[1-3]對(duì)隨機(jī)格系統(tǒng)做了深入的研究, 文獻(xiàn)[4-6]對(duì)吸引子的存在性和后向緊性做了研究并建立了相對(duì)完善的理論體系, 文獻(xiàn)[7-9]對(duì)格點(diǎn)方程的后向緊隨機(jī)吸引子進(jìn)行了研究, 文獻(xiàn)[10-11]對(duì)板方程吸引子的存在性和連續(xù)性做了研究, 文獻(xiàn)[12]對(duì)帶有非線性噪音的格板方程做了研究, 本文將在文獻(xiàn)[10,12]的基礎(chǔ)上, 研究帶有乘法噪音的非自治隨機(jī)格板方程的后向緊隨機(jī)吸引子.

1 隨機(jī)格板方程

本文將在空間l2上討論帶有乘法噪音的非自治隨機(jī)格板方程

(1)

接下來(lái)做一些假設(shè):

(Ⅰ)fi∈C1(R, R)且對(duì)所有的s∈R,i∈Z滿足:

|fi(s)|≤γ1|s|p-1+φ1,iφ1={φ1,i}i∈Z∈l2

(2)

fi(s)s≥γ2Fi(s)+φ2,iφ2={φ2,i}i∈Z∈l1

(3)

Fi(s)≥γ3|s|p-φ3,iφ3={φ3,i}i∈Z∈l1

(4)

|f′i(s)|≤γ4|s|p-2+φ4,iφ4={φ4,i}i∈Z∈l∞

(5)

(6)

(Ⅱ)φi∈C1(R, R), 存在正數(shù)α1和α2, 使得

φi(0)=0α1≤φ′i(s)≤α2?s∈R,i∈Z

(7)

(8)

為了將方程(1)化簡(jiǎn), 定義從l2到l2上的算子如下:

(9)

且對(duì)于u=(ui)i∈Z∈l2和v=(vi)i∈Z∈l2, 有

‖A2u‖≤16‖u‖ (A2u,v)=(Au,Av)

(10)

為了證明隨機(jī)方程(1)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng), 我們將其轉(zhuǎn)化為l2×l2上的一個(gè)隨機(jī)微分方程, 令

θtω(·)=w(·+t)-w(t)

則

是方程dz+kzdt=dW(t)的一個(gè)路徑解.

從文獻(xiàn)[13]可知, 隨機(jī)變量|z(ω)|是緩增的, 且滿足

(11)

則方程(1)可以重新改寫成具有隨機(jī)系數(shù)但沒(méi)有乘法噪音的等價(jià)方程

(12)

令E=l2×l2, 且有范數(shù)

其中‖·‖表示l2范數(shù), 為了后續(xù)計(jì)算, 當(dāng)λ+k2-α2k>0時(shí), 定義一個(gè)新的范數(shù)‖·‖E:

容易驗(yàn)證范數(shù)‖·‖E與范數(shù)‖·‖l2 ×l2是等價(jià)的, 且方程(1)的解產(chǎn)生的動(dòng)力系統(tǒng)與通過(guò)方程(12)獲得的是一樣的, 因此我們只需要考慮方程(12)的解產(chǎn)生的動(dòng)力系統(tǒng).通過(guò)文獻(xiàn)[14]中關(guān)于解的存在性和唯一性的經(jīng)典理論方法可以得到, 在假設(shè)(Ⅰ)下, 方程(12)在E上存在唯一的連續(xù)依賴于初始值的解

(u(t,ω,uτ),v(t,ω,vτ))T∈C([τ, +∞),E)

Φ(t,τ,ω,(uτ,vτ))=(u(t+τ,τ,θ-τω,uτ),v(t+τ,τ,θ-τω,vτ))

在下文中,D是E中所有后向緩增集構(gòu)成的集族, 集合D={D(τ,ω)}∈D當(dāng)且僅當(dāng)

2 解的估計(jì)

引理1若假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 則對(duì)任意后向緩增集D∈D, ?τ∈R,ω∈Ω,Ys-t∈D, 存在T=T(τ,ω,D,η)≥0, 使得

其中對(duì)?τ∈R,ω∈Ω, 有

證對(duì)任意固定的τ∈R,ω∈Ω,(us-t,vs-t)∈D, 將方程(12)中第二個(gè)等式與

v(r)=v(r,s-t,θ-sω,Ys-t)s≤τ

作內(nèi)積, 有

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,v)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),v)+(g(r),v)

(13)

且有

v=ut-αuz(θr-sω)+ku

(14)

當(dāng)α1-k>0時(shí), 根據(jù)拉格朗日中值定理、假設(shè)(Ⅰ)-(Ⅱ)和Young不等式, 有

(15)

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,v)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),v)≤

(16)

(17)

利用(6),(10),(14)式, 并將(15)-(20)式帶入(13)式, 整理有

(18)

其中

對(duì)(18)式利用Gronwall不等式, 計(jì)算可得

(19)

由文獻(xiàn)[10]可知, 當(dāng)

時(shí), 存在T1, 使得對(duì)?r≤-T1有

(20)

又因?yàn)閨z(θrω)|是緩增的, 通過(guò)(7)式和(20)式, 可知

是收斂的.

因?yàn)镈∈D,(us-t,vs-t)∈D(s-t,θ-tω),l2?lp, 則通過(guò)(6),(20)式, 對(duì)?t≥T1, 有

(21)

對(duì)(19)式關(guān)于s∈(-∞,τ]取上確界, 對(duì)?τ∈R,ω∈Ω,Ys-t∈D, 存在T=T(τ,ω,D,η)≥0, 當(dāng)t≥T(≥T1)時(shí), 有

(22)

推論1若假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 且滿足引理1, 則由文獻(xiàn)[7,15]中拉回一致吸收集存在的條件可知, 協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D, 其中

K0為拉回隨機(jī)吸收集.

引理2若假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立,(us-t,vs-t)∈D(s-t,θ-tω),τ∈R,ω∈Ω,D∈D, 則對(duì)?η>0, 存在

T=T(τ,ω,D,η)>0N=N(τ,ω,η)≥1

使得對(duì)?t≥T, 方程(12)的解滿足

證定義一個(gè)光滑函數(shù)ρ, 當(dāng)s∈R時(shí), 有0≤ρ≤1, 且當(dāng)|s|≤1時(shí),ρ=0; 當(dāng)|s|≥2時(shí),ρ=1.則存在常數(shù)μ1, 對(duì)?s∈R, 有|ρ′(s)|≤μ1.

令

u=(ui)i∈Zv=(vi)i∈Z

將方程(12)中的第二個(gè)等式與ρv作內(nèi)積, 有

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,ρv)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),ρv)+(g(r),ρv)

(23)

當(dāng)α1-k>0時(shí), 通過(guò)Young不等式以及(14)式, 有

與文獻(xiàn)[12]的方法類似, 通過(guò)(9),(10),(14)式可知

(27)

將(24)-(27)式帶入(23)式, 并根據(jù)假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ), 整理有

(28)

對(duì)(28)式利用Gronwall不等式, 并取上確界, 計(jì)算可得

與(21)式類似, 可得

(29)

根據(jù)z(θrω)的緩增性和(11)式可知, 對(duì)?ε>0, 存在C=C(ε,ω), 使得

(30)

則通過(guò)(8),(20),(30)式可知, 存在常數(shù)M和T(≥T1), 當(dāng)t>T時(shí), 有

(31)

(32)

ηMC(ω)(1+R(τ,ω))≤η

(33)

所以通過(guò)(6),(29),(31)-(39)式, 對(duì)?η>0, 存在

T=T(τ,ω,D,η)>0N=N(τ,ω,η)≥1

使得對(duì)?t≥T, 有

引理3若假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 則協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向漸進(jìn)緊的.

Yk=Φ(tk,τk-tk,θ-tkω,Yτ, k)=Y(τk,τk-tk,θ-τkω,Yτ,k)

下證{Yk}在E上是預(yù)緊的.由引理2可知, 存在K,N, 使得當(dāng)k≥K時(shí), 有

(34)

由引理1可知, {Yk}在E中是有界的, 因此{(lán)(Yk,i)|i|≤N}k在R2N+1中有界, 所以{(Yk,i)|i|≤N}k在R2N+1中有一個(gè)有限的ε-網(wǎng), 結(jié)合(34)式可以得到{Yk}在E中有一個(gè)有限的2ε-網(wǎng), 所以{Yk}在E中是預(yù)緊的, 進(jìn)而{Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向漸進(jìn)緊的.

3 后向緊隨機(jī)吸引子

定理1若假設(shè)(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 則方程(1)生成的動(dòng)力系統(tǒng)存在后向緊隨機(jī)吸引子.

證由推論1和引理3可知, 協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集且在吸收集上是后向漸進(jìn)緊的, 因此滿足文獻(xiàn)[15](定理3.9)中拉回吸引子的存在性條件, 因此方程(12)生成的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D和唯一可測(cè)的D0-拉回吸引子A0∈D0.再根據(jù)文獻(xiàn)[16](定理6.1)可知A=A0, 所以吸引子A也是隨機(jī)的, 因此Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機(jī)吸引子A∈D, 從而方程(1)存在后向緊隨機(jī)吸引子.