佘連兵，高云龍

(六盤水師范學院 數學與信息工程學院，貴州 六盤水 553004)

Navier-Stokes方程是流體力學中描述粘性牛頓流體的方程, 在流體力學的研究中有十分重要的意義。目前關于Navier-Stokes方程的動力學行為已被廣泛研究, 見文獻[1-6]。

最近, 文獻[7]研究了非緊的非自治動力系統(tǒng)的拉回吸引子A={A(t)}t∈R的后向緊性, 即∪s≤tA(s)是預緊的, 并建立了相應的存在性理論；文獻[8]運用能量的方法, 對解進行高低頻分解，結合Sobolev嵌入的方法獲得具有弱耗散非自治Schr?dinger拉回吸引子的后向緊性；文獻[9-10]分別研究了非自治Reaction-Diffusion方程在有界域和無界域上的后向緊拉回吸引子的存在性，這些結果體現了非自治動力系統(tǒng)對時間依賴的特點。本文將利用該存在性理論研究如下無界Poincaré型域Q上的非自治Navier-Stokes方程的后向緊動力學:

(1)

其中：t≥τ,τ∈R；常數ν>0是流體的運動粘度;u是流體的速度場，p是流體所受的壓力；f(x,t)是流體的外驅動力；無界開集Q?R2滿足如下的Poincaré不等式：

(2)

在外驅動力f是后向一致緩增有限的假設下(見假設F), 證明了方程(1)在一個能量空間上具有一個增的拉回吸收集。此外, 為了克服無界域沒有緊Sobolev嵌入的困難, 本文借助Ball能量方程的方法和一個k-能量不等式證明了系統(tǒng)的后向漸近緊性, 從而證明了非自治Navier-Stokes方程的后向緊吸引子的存在性。

1 Banach空間上的非自治過程的后向緊動力學

本節(jié)給出非自治動力系統(tǒng)的一些基本概念(見文獻[11])和后向緊拉回吸引子的定義(見文獻[7])。設X是一個Banach空間,X中兩集合A和B的Hausdorff半距離定義為:

定義1設A={A(t)}t∈R中的一個非自治集, 對任意t1,t2∈R,當t1≤t2時，若A (t1)?A (t2), 則稱A是增的；若A(t1)?A (t2), 則稱A是減的。

定義2若定義在Banach空間X上的一族映射S(t,s):X→X, ?t≥s, 滿足對于任意t≥r≥s有S(s,s)=I，S(t,s)=S(t,r)S(r,s), 則稱S(·,·)是X上的一個非自治過程。

定義3[7]若X中的一個非自治集A={A (t)}t∈R滿足：

②A是不變的, 即對于所有的t≥τ, 有S(t,τ)A(τ)=A(t)；

③A是拉回吸引的, 即對于X中所有的有界集B, 有

則稱A是一個關于S(·,·)的后向緊拉回吸引子。

定義4設S(·,·)是定義在X上的一個非自治過程, A={A(t)}t∈R是X中的一個非自治集, 若對每一個t∈R和X中的有界集B, 都存在τ0=:τ0(t,B)>0使得

則稱K是一個關于S(·,·)的拉回吸收集。

定理1[7]設S(·,·)是定義在Banach空間X上的一個非自治過程, 若滿足：

①S(·,·)在X上有一個增的有界的吸收集K={K(t)}t∈R;

②S(·,·)是后向漸近緊的；

則S(·,·)存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R, 其中

(3)

2 無界域上非自治Navier-Stokes方程的后向緊動力學

2.1 函數空間與解生成的非自治過程

本文考慮如下的函數空間:

記H為V在L2(Q)×L2(Q)上的閉包, 并對H賦予如下的內積(·,·)與范數‖·‖:

此外, 分別記V*和H*為V和H的對偶空間, 記〈·,·〉為V和V*對偶積, 且嵌入V?H≡H*?V*是連續(xù)的和稠密的。下面在V×V×V上定義一個三線性形式b(·,·,·)：

由文獻[1-2]可知b(·,·,·)具有如下性質:

b(u,v,v)=0, ?u,v∈V；

(4)

(5)

u(·,s,u0)∈C(s,T;H)∩L2(s,T;V), ?T>0;

(6)

(7)

于是方程(1)的解可定義如下的非自治過程S(·,·):H→H:

S(t,t-τ)u0=u(t,t-τ,u0),τ≥0,t∈R。

(8)

2.2 無界域上非自治Navier-Stokes方程增的拉回吸收集

為了獲得一個增的拉回吸收集, 對時間依賴的外力項做了一個不同于文獻[7]的假設:

(9)

(10)

于是式(10)成立, 證畢。

引理2若條件F成立，則對每個t∈R和H中的有界集B, 存在τ0:=τ0(t,B)>0，使得

(11)

證明由式(1)、(4)和(7)可得如下能量方程:

(12)

由Poincaré不等式(2)和Young不等式可知:

(13)

對不等式(13)在(s-τ,s-k),s≤t,τ≥k≥0上用Gronwall不等式可知:

當τ→+∞時, 上式右邊第一項趨于零，引理得證。

由引理1～2可證明非自治Navier-Stokes方程(1)在H中有一個增的有界的拉回吸收集。

證明顯然K(t)關于時間t是增的，故K是增的。由引理1可知K是有界的, 最后由引理2在k=0時可知K是過程S(·,·)的一個拉回吸收集。證畢。

2.3 無界域上非自治Navier-Stokes方程的后向漸近緊性

由文獻[2,6]中關于自治方程解的弱-弱連續(xù)的結果, 可類似地證明如下結果:

引理4對每一個τ∈R, {u0,n}n∈N?H,u0∈H, 若在H中有u0,n?u0, 則方程(1)的解

在H中有

v(t,s,u0,n)?v(t,s,u0), ?t≥s,s≤τ;

(14)

在L2(s,T;V)中有

u(·,s,u0,n)?u(·,s,u0), ?T>0。

(15)

由Ball能量方程方法, 可以證明非自治Navier-Stokes方程的解在H中的后向漸近緊性。

引理5若假設F成立, 則非自治過程(8)在H中是后向漸近緊的, 即對每一個t∈R和H中的有界集B, 當sn≤t、τn→+∞、u0,n∈B時有{S(sn,sn-τn)u0,n}={u(sn,sn-τn,u0,n)}在H中有一個收斂子列。

證明由于τn→+∞, 由引理2在k=0時可知存在N0∈N，使得當n≥N0時τn>T, 故

(16)

由式(16)可知

于是，只需證明

(17)

給定k∈N, 容易驗證

u(sn,sn-τn,u0,n)=u(sn,sn-k,u(sn-k,sn-τn,u0,n))。

(18)

由引理2可知存在Nk∈N，使得當n≥Nk時有

(19)

故由式(18)～(19)及引理4可知, 在H中

(20)

在L2((sn-k,sn),V)中

(21)

于是由式(16)、(20)可知

(22)

另一方面，由式(12)可得如下能量方程:

(23)

其中φ(u)=2ν‖u‖2-νλ‖u‖2。由式(2)可知φ(·)是V的一個等價范數。再由式(22)、(23)可知

(24)

由式(18)、(23)可知

(25)

下面考慮n→∞時式(25)的極限。由引理2在k=0，s=sn,τ=τn時可知

(26)

由u0,n∈B可知

(27)

由式(21)可知

于是,

(28)

再由式(21)可知

(29)

最后由式(25)、(27)～(29)可知

(30)

故由式(24)、(30)可知

令k→∞可得式(17)，證畢。

2.4 非自治Navier-Stokes方程后向緊吸引子的存在性

證明了系統(tǒng)增的吸收性和后向漸近緊性后, 可以證明無界域上非自治Navier-Stokes方程后向緊吸引子的存在性。

定理2若假設F成立, 則無界域上非自治Navier-Stokes方程在H上存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R, 其中,

(31)

證明由引理2可知式(8)中的非自治過程S(·,·)在H中有一個增的有界的拉回吸收集K={K(t)}t∈R, 再由引理式4可知S(·,·)是后向漸近緊的, 故由定理1可知S(·,·)存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R并由式(31)給出，證畢。