李丹

摘? 要：在核心素養(yǎng)時(shí)代來(lái)臨的今天，數(shù)學(xué)模型的教學(xué)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要內(nèi)容。文章對(duì)目前中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的問(wèn)題進(jìn)行了剖析：教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解和干擾；缺乏對(duì)模型活動(dòng)的引導(dǎo)以及模型的有效性；教學(xué)的評(píng)價(jià)方式、考核方式單一、封閉。在此基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)建模路徑實(shí)施的對(duì)策：將數(shù)學(xué)建模意識(shí)滲透到教學(xué)中，使數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程具有高度建模的思維，實(shí)現(xiàn)了密集建模，從而提高了數(shù)學(xué)建模研究的完整性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)現(xiàn)狀；評(píng)價(jià)導(dǎo)向

數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值上的強(qiáng)大體現(xiàn)，是一種有效的交流與探究方式，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種有效途徑，也是降低學(xué)生“惰性”的有效途徑。從英國(guó)、法國(guó)到我國(guó)的高校，再到中小學(xué)，從數(shù)學(xué)教育到教學(xué)實(shí)踐，都表現(xiàn)出了分階段、沉浸式發(fā)展的特征?！毒C合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》把數(shù)學(xué)模型列為數(shù)學(xué)６大基本能力之一，并將其作為高中數(shù)學(xué)必修課的主要內(nèi)容。通過(guò)課堂教學(xué)，教育行業(yè)已有了一些初步的結(jié)果。盡管數(shù)學(xué)模型課在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，已經(jīng)有了一些成績(jī)，但許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)還不夠全面，在實(shí)際應(yīng)用中存在一些問(wèn)題。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在的問(wèn)題

人們所關(guān)心的、研究的和面對(duì)現(xiàn)實(shí)的事物叫作“原型”，包含了有形的、可觸的、可感知的、無(wú)形的、抽象的和隱含的思想的客體。模型是一個(gè)構(gòu)造原型的結(jié)構(gòu)，它可以提取、省略或移除原型中的全部信息。在原型系統(tǒng)中，構(gòu)件和鏈路特征各不相同，因此在模型中包含的鏈路特征與要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)緊密相關(guān)。數(shù)學(xué)模型通常使用公式、圖形圖和算法等進(jìn)行表達(dá)，公式的載體是數(shù)字文字、數(shù)學(xué)符號(hào)等，用來(lái)描述真實(shí)物體的空間運(yùn)動(dòng)與量化關(guān)系。

（一）教師錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)

對(duì)數(shù)學(xué)建模不熟悉的教師來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)問(wèn)題，容易混淆數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)應(yīng)用。即，將應(yīng)用場(chǎng)景添加到數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的題目中。這樣的偏見(jiàn)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)應(yīng)用的問(wèn)題產(chǎn)生封閉的理解：從簡(jiǎn)單的表面問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中找出答案，并給出“不能再少”的答案。教師也很容易混淆數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。數(shù)學(xué)模型，就是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析、加工，形成表格、柱狀和點(diǎn)狀的圖形或模型。

數(shù)量化的研究是一種形式化的思考材料，它只能從真實(shí)的世界中進(jìn)行創(chuàng)造性地綜合復(fù)制。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)物質(zhì)的生成是一個(gè)模型。數(shù)學(xué)的數(shù)量、符號(hào)、概念定義、定理、公式、規(guī)則和方法等，都是數(shù)學(xué)的經(jīng)典模式。為了避免泛化，對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解就會(huì)喪失其特殊的含義。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模中，人們往往會(huì)摒棄數(shù)學(xué)知識(shí)，不會(huì)把它們?nèi)谌霐?shù)學(xué)模型中。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師缺乏對(duì)這些問(wèn)題清晰、合理的認(rèn)識(shí)，就不可能把數(shù)學(xué)模型與日常的數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合起來(lái)。

（二）缺乏足夠的建?；顒?dòng)指導(dǎo)

許多數(shù)學(xué)課堂都是以小組為單位進(jìn)行的，小組成員的構(gòu)成和性質(zhì)不完全一致，但是模型活動(dòng)也能順利進(jìn)行。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的學(xué)生，對(duì)真實(shí)的背景、模糊的目標(biāo)以及單一的提取信息和數(shù)據(jù)的方式都是一知半解的。在模型的假定階段，中學(xué)生過(guò)分關(guān)注問(wèn)題的正確解答，沒(méi)有充分運(yùn)用分析、引導(dǎo)、抽象化和匯總等思維方式，使問(wèn)題得到適當(dāng)簡(jiǎn)化，因此無(wú)法正常地進(jìn)行模型活動(dòng)。

教師的引導(dǎo)能力差，會(huì)影響、減弱學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)識(shí)，削弱數(shù)學(xué)模型的影響。

（三）單一的教學(xué)評(píng)價(jià)方式

教育評(píng)價(jià)的科學(xué)性、合理性、是檢驗(yàn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模式的重要手段，不但指導(dǎo)了教師的數(shù)學(xué)建模，而且對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)起到了很好的引導(dǎo)作用。目前，在我國(guó)高校的招生考試中，并不十分重視對(duì)數(shù)學(xué)模型的考查。數(shù)學(xué)考試以筆試為主，直接運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，例如推理證明等，往往會(huì)給出問(wèn)題的前提，擁有與預(yù)期答案相對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)。現(xiàn)階段，在試題編排的改革中，對(duì)“條件選擇”與“結(jié)論選擇”進(jìn)行了一些有益地嘗試，但這些嘗試都是在對(duì)“條件組”與“條件組”知識(shí)完全了解的情況下進(jìn)行地綜合運(yùn)用?！敖Y(jié)論組”是對(duì)該模式進(jìn)行討論的主要環(huán)節(jié)。

當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)測(cè)試多以綜合評(píng)價(jià)為基礎(chǔ)，以學(xué)習(xí)成績(jī)和考試成績(jī)?yōu)橹?。在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，要從多個(gè)角度、多個(gè)方向和多個(gè)維度進(jìn)行思考。沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案，也沒(méi)有相似的經(jīng)驗(yàn)可以被重復(fù)利用，有必要存在不同的思想。這種數(shù)學(xué)模型要求的思想和方法，不能用單一的教學(xué)評(píng)價(jià)進(jìn)行充分地討論。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)模型的實(shí)施策略

針對(duì)當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教育存在的問(wèn)題，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，文章設(shè)計(jì)了一系列的數(shù)學(xué)模型課程，主要有以下建議措施：

（一）滲透數(shù)學(xué)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)模型是由數(shù)字、文字或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，用數(shù)學(xué)公式、圖形或算法來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界中物體的數(shù)量和空間形態(tài)。在課堂上，教師要善于設(shè)計(jì)和幫助學(xué)生建立概念、并理解各種定理和公式。舉例來(lái)說(shuō)，某個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)為“單價(jià)”。學(xué)生甲花費(fèi)了５２元買(mǎi)了５本作業(yè)本、２個(gè)文件夾和８支簽字筆。學(xué)生乙買(mǎi)了３本作業(yè)本、４個(gè)文件夾、２支簽字筆花費(fèi)４８元，求文件夾單位與簽字筆單位之間的差價(jià)。ｘ、ｙ和ｚ分別表示作業(yè)本、文件夾和筆的單價(jià)，即：公式５x＋２y＋８z＝５２，３x＋４y＋２z＝４８。實(shí)際上，用這兩個(gè)方程構(gòu)成的聯(lián)立方程就是上面提到的單價(jià)問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。設(shè)置聯(lián)立方程的基本元素，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣，就可以得出ｙ－ｚ＝６的元素，并由此得出一個(gè)單價(jià)問(wèn)題。

在現(xiàn)實(shí)生活中產(chǎn)生的問(wèn)題要比教學(xué)中的問(wèn)題更加復(fù)雜，而求解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模式也更加復(fù)雜。應(yīng)根據(jù)題目的具體情況，需要設(shè)置一些簡(jiǎn)單的假定（包括大量的練習(xí)本、文件夾和鋼筆）。各種文具的價(jià)格都是統(tǒng)一的，由于采購(gòu)量不大，因此不會(huì)有批發(fā)價(jià)。代表問(wèn)題的單詞（ｘ、ｙ和ｚ分別代表作業(yè)本、文件夾和簽字筆，ｙ－ｚ代表文件夾單位和簽字筆單位之間的差）。采用對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，列出（購(gòu)買(mǎi)金額＝單位×數(shù)量）公式（三維線(xiàn)性方程體系），借助數(shù)學(xué)思考（全部排除）（y－z＝６元），并利用現(xiàn)實(shí)中的情況來(lái)檢驗(yàn)該模型是否合理。

（二）注重建模的關(guān)鍵步驟

一方面，需要聚焦于第一個(gè)步驟，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，使假定變得簡(jiǎn)單，要將注意力集中到一個(gè)真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題上。在真實(shí)的世界里，學(xué)生經(jīng)歷的知識(shí)是非常豐富和復(fù)雜的，對(duì)問(wèn)題的分析并非要將全部的信息都納入自己的知識(shí)儲(chǔ)備，而是要從實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系中找出問(wèn)題。教師需要借助數(shù)學(xué)世界與真實(shí)世界之間的聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生，并結(jié)合數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)知識(shí)，發(fā)掘生命的內(nèi)涵，只有在課堂中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，才能打破數(shù)學(xué)在課堂之外的運(yùn)用。教師通過(guò)保留真實(shí)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步了指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)真實(shí)世界的分析。通過(guò)把握學(xué)習(xí)對(duì)象的結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化了假定條件，合理地借助了數(shù)學(xué)思考。實(shí)際上，由符號(hào)和定量的問(wèn)題，到數(shù)學(xué)世界，再到學(xué)生的創(chuàng)造力的現(xiàn)實(shí)世界，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際的全面情況和相互作用中提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，提高數(shù)學(xué)的建模能力。

另一方面，注意模型的建立和分析以及模型的建立和修改的過(guò)程。簡(jiǎn)化假定的合理性是建立模型的先決條件，如果過(guò)分注重問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)狀況、背景信息的精確度，則會(huì)使模型復(fù)雜化，從而使問(wèn)題難以求解，乃至無(wú)法求解。而通過(guò)簡(jiǎn)化，則會(huì)讓建立起的模型變得“扭曲”，降低了它的價(jià)值，因此這種假定策略并不適合。在教學(xué)中，教師應(yīng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型、穩(wěn)定性模型、概率模型和統(tǒng)計(jì)回歸模型等，需要對(duì)模型進(jìn)行研究，并思考是否可以再優(yōu)化。在學(xué)生的認(rèn)知中，樣本模式的數(shù)量愈多，則在建構(gòu)模式時(shí)，其參考的價(jià)值就愈大，而在實(shí)施的可能性與精確度間，則愈有較高的可靠性。在建模教學(xué)中，教師要注意分析、檢查和改變構(gòu)建的模型。由于學(xué)生對(duì)日常問(wèn)題的思維速度已固定，因此模型的建立往往是一種線(xiàn)性、單向的行為。在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，背景信息是單一的，而信息又是復(fù)雜的。教師在模型試驗(yàn)和修正模型時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生提高對(duì)自身模型的監(jiān)控和反應(yīng)速度，轉(zhuǎn)變測(cè)試問(wèn)題的思考方法，增加突破問(wèn)題的勇氣，以達(dá)到高度的建模思想。

（三）完善評(píng)價(jià)考查機(jī)制

新一輪的新課程改革已經(jīng)全面展開(kāi)，新的教科書(shū)已經(jīng)在２０１９年陸續(xù)走進(jìn)了課堂。新教材規(guī)定了“數(shù)學(xué)模型活動(dòng)”，而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》則明確了“數(shù)學(xué)模型活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的建議課時(shí)，為有效地開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)提供了有力的支撐。在教學(xué)過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮評(píng)價(jià)的引導(dǎo)功能，把模型認(rèn)知、認(rèn)同轉(zhuǎn)變成行為認(rèn)同，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

第一，需要研究模型的流程評(píng)價(jià)問(wèn)題。要關(guān)注活動(dòng)的成果，教師不僅要以數(shù)學(xué)成績(jī)作為評(píng)判依據(jù)，包括參與、鑒賞和咨詢(xún)等多種角色，以及學(xué)生參與模擬活動(dòng)的過(guò)程，來(lái)評(píng)價(jià)小組的優(yōu)勢(shì)、互相合作、小組間互相詢(xún)問(wèn)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑u(píng)論，還要對(duì)組員和模式是否合理進(jìn)行審慎地測(cè)試。要把學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的探索與思考能力列入評(píng)價(jià)范疇，鼓勵(lì)學(xué)生大膽、直觀地進(jìn)行評(píng)判與反思。

第二，是對(duì)模仿行為進(jìn)行同等評(píng)價(jià)。與教師的單一評(píng)價(jià)相比，以學(xué)生為中心的評(píng)價(jià)更具有互動(dòng)性。通過(guò)這種方式，能夠使學(xué)生把握要點(diǎn)、主動(dòng)思考、敢于表達(dá)、加深理解和增強(qiáng)建模的能力。在評(píng)價(jià)交互關(guān)系的數(shù)學(xué)模型中，學(xué)生可以通過(guò)調(diào)節(jié)功能方向、參數(shù)選擇和模型構(gòu)建等方面得到更多的信息。教師應(yīng)該利用激勵(lì)評(píng)價(jià)激勵(lì)學(xué)生，通過(guò)多角度的思考，培養(yǎng)學(xué)生的自我意識(shí)。

第三，在高考時(shí)，數(shù)學(xué)模型測(cè)試應(yīng)當(dāng)包含在高考中，從而使模擬活動(dòng)得以定型，并能在課堂教學(xué)中不斷發(fā)展。盡管在高考中，無(wú)法全面考查整個(gè)數(shù)學(xué)模型，但是可以讓學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行全面、真實(shí)地觀察，包括模型的各個(gè)步驟、環(huán)節(jié)和轉(zhuǎn)換。舉例來(lái)說(shuō)，教師向?qū)W生提問(wèn)：Ａ和Ｂ打賭，贏的概率是五分之一。在此期間，由于某種原因而中斷。在這一點(diǎn)上，Ａ贏得４個(gè)回合，Ｂ贏得３個(gè)回合，怎樣才能公平地分配這一籌碼。該問(wèn)題僅僅是對(duì)模型的一種探討，而對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，要想知道問(wèn)題的答案，就必須將分配以４∶３為基礎(chǔ)的表面方式來(lái)看待。

數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展具有階段性、持續(xù)性和完整性等特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)。首先，教師應(yīng)做好課本的學(xué)習(xí)，即，數(shù)學(xué)模型：這門(mén)課的數(shù)學(xué)知識(shí)給學(xué)生帶來(lái)了什么教育意義，為模型思維的延續(xù)和加深以及模型的相關(guān)價(jià)值做好準(zhǔn)備。其次，教師要讓學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)生活中研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。通過(guò)系統(tǒng)的思維，將整個(gè)結(jié)構(gòu)劃分為若干層次分明的單元，每個(gè)單元的整體品質(zhì)都會(huì)受到不同角度的影響，并善于針對(duì)這些因素進(jìn)行調(diào)整。再次，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師要對(duì)學(xué)生的建模知識(shí)、常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，并提出解決問(wèn)題的方法。在教學(xué)中，教師要善于搜集學(xué)生的反饋，并對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)，以推動(dòng)教學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行。最后，教師要在已有數(shù)學(xué)模型教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，不斷地思考數(shù)學(xué)模型的教學(xué)設(shè)計(jì)，并從學(xué)生個(gè)人的興趣與性格出發(fā)，進(jìn)行數(shù)據(jù)模型的選擇與運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

［１］張奠宙． 王善平數(shù)學(xué)文化教程［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２０１３．

［２］蔡金法，徐斌艷． 也論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其構(gòu)建［Ｊ］． 全球教育展望，２０１６，４５（１１）：３－１２．

［３］朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬． 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學(xué)課程為例［Ｊ］． 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，２０１８，２７（０１）：４２－４６．

［４］張思明，胡鳳娟，王尚志． 數(shù)學(xué)建模從走近到走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂——推介《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》［Ｊ］． 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，２０１７，２６（０６）：１０－１３＋４６．

［５］張彬． 基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)視角的教材分析及教學(xué)建議——以湘教版高中數(shù)學(xué)教材為例［Ｊ］． 新課程評(píng)論，２０２２（１１）：５０－５９．

［６］王淑萍． 核心素養(yǎng)背景下高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)研究［Ｊ］． 學(xué)周刊，２０２２（３２）：５１－５３．

［７］欒文靜． 高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)策略［Ｊ］． 數(shù)理化解題研究，２０２２（２７）：２９－３１．

［８］姜思潔． 數(shù)學(xué)建模思想在高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的實(shí)踐［Ｊ］． 創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實(shí)踐，２０２２，５（１７）：５０－５２．

［９］張世凡． 基于結(jié)構(gòu)力學(xué)的高中數(shù)學(xué)建模的開(kāi)發(fā)思考［Ｊ］． 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，２０２２（２４）：１３４－１３６．

［１０］ 葉德偉，何羽茜． 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)試題研究——以２０２２年全國(guó)卷、新高考卷為例［Ｊ］． 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，２０２２（０８）：４６－５０．

［１１］ 劉清華． 基于數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的高職數(shù)學(xué)教學(xué)策略［Ｊ］． 北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，２０２２，２１（０３）：９５－９８．

［１２］ 張曉明． 數(shù)學(xué)建模：優(yōu)化應(yīng)用型本科高校創(chuàng)新人才培養(yǎng)的路徑［Ｊ］． 教育評(píng)論，２０２２（０６）：１４４－１５０．

（責(zé)任編輯：秦? 雷）