朱記松 陳俊國

【摘要】本文引導(dǎo)學(xué)生將一個“三角形面積最小值問題”一般化，經(jīng)歷提出問題、操作探究、猜想、推理論證、建立數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用模型解決問題等過程，體會建模思想，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】建模；三角形；面積；最小值

1問題情境

如圖1，有一個矩形花園ABCD，AB=5米，BC=9米．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E在AB邊上，且AE=2米，點(diǎn)F，G分別在BC，AD邊上，且∠FEG=60°，并在△EFG內(nèi)種植一種名貴蘭花．請你根據(jù)設(shè)計(jì)要求，判斷是否存在面積最小的△EFG.若存在，求出當(dāng)△EFG的面積取得最小值時(shí)，EG的長；若不存在，請說明理由.

2探究分析

已知，如圖1，在△EFG中，已知∠FEG=60°，如何求它的面積？再如何求其最小值？

（1）不妨聯(lián)想一下初中階段所接觸到的三角形的面積計(jì)算公式，有如下方法：①S=12×底×高；②海倫公式S=p（p－EG）（p－EF）（p－GF），其中p=EG+GF+EF2；③S=12EG·EF·sin∠GEF.根據(jù)已知條件，不難聯(lián)想到公式S△EFG=12EG·EF·sin∠GEF.不妨設(shè)∠BEF=α，則∠AEG=120°－α，所以EF=3cosα，EG=2cos（120°－α），故S△EFG=332cosα·cos（120°－α）.由于cosα·cos（120°－α）的最小值計(jì)算超出了初中生知識范圍（供學(xué)有余力的學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣），因此還需另辟蹊徑.

（2）既然使用公式不能直接求解，那能否將△EFG的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？由于此問題是以矩形為背景設(shè)計(jì)的，告訴了邊之間的位置關(guān)系——鄰邊垂直、對邊平行.由對邊平行，又可聯(lián)想到什么？三線八角之間的關(guān)系（同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）、平行線之間的距離處處相等、平行線分線段成比例、相似三角形判定預(yù)備定理等.因此可以通過“平行構(gòu)造相似三角形、根據(jù)同高的兩三角形的面積比等于底邊長度之比”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.延長GE，CB交于點(diǎn)H，如圖2.因?yàn)锳D∥BC，AEEB=23，所以EGEH=23，S△EFG=23S△EFH=23×12×3HF=HF.因此△EFG面積的最小值就轉(zhuǎn)化成線段HF的最小值了.即在△EFH中，∠HEF=120°，EB⊥HF，EB=3，求HF的最小值.

3問題提出

為不失一般性，特提出如下問題：已知，如圖3，在△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=m，求BC的最小值.

4建模分析

4.1操作探究

打開幾何畫板（5.06最強(qiáng)中文版），運(yùn)用“構(gòu)造”菜單制作直線l及直線l外一定點(diǎn)A，AD⊥l于點(diǎn)D，在直線l上任意取一點(diǎn)B，作∠BAC=120°，射線AC交直線l于點(diǎn)C.運(yùn)用“度量”菜單分別度量出BD，BC的長度，以BD，BC的長度為P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，運(yùn)用菜單“繪圖—繪制點(diǎn)P”制作點(diǎn)P；同時(shí)選中點(diǎn)B，P，運(yùn)用菜單“構(gòu)造—軌跡”作出BC關(guān)于BD變化的函數(shù)圖象，如圖4.

在直線l上拖動點(diǎn)B，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在圖象上的位置也在不斷改變.經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)BD=DC時(shí)，BC有唯一值，且為最小值；（2）當(dāng)BD≠DC時(shí)，給定一個BC的值n，從圖象發(fā)現(xiàn)會對應(yīng)著兩個BD的值，記為a1，a2，且a1+a2=n，此時(shí)它們分別對應(yīng)的三角形，記作△AB1C1，△AB2C2，如圖5.此時(shí)△AB1D≌△AC2D，△AC1D≌△AB2D，則AB1=AC2，AC1=AB2，所以△AB1C1≌△AC2B2.因此認(rèn)定它們的形狀大小是相同的.

作出猜想：在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=m，∠BAC=α.（m，α均為定值）

（1）當(dāng)BD=DC時(shí)，BC取最小值；（2）給定一個BC值n，則此三角形的三邊長度、三內(nèi)角的大小是唯一確定的.也就是說，不同的BC值n，則對應(yīng)著不同形狀、大小的三角形.

4.2激活已有知識經(jīng)驗(yàn)

通過上述幾何畫板操作，發(fā)現(xiàn)：△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=m，若BC確定，△ABC也就唯一確定，同時(shí)與它相關(guān)的元素（如圖形、公式、結(jié)論）也唯一確定：即其周長、面積、各邊上的中線、高線、各內(nèi)角平分線的長度都唯一確定；其內(nèi)切圓、外接圓也是唯一確定；特別地，在Rt△ABC中，∠C=90°，其外接圓直徑d=AB=BCsinA，其內(nèi)切圓半徑r=AC+BC－AB2或r=2S△ABCAB+BC+AC（對任意三角形都適合）.

改變BC的長度，會引起△ABC形狀大小的改變.而△ABC形狀大小的改變又會帶來哪些變化呢？你最想關(guān)注的問題是什么？

4.3深入思考

既然在Rt△ABC中，∠C=90°，其外接圓直徑d=AB=BCsinA，那么在斜三角形△ABC中，當(dāng)∠BAC，BC均為定值時(shí)，BCsinA是否也對應(yīng)著該三角形的外接圓直徑呢？

（1）若△ABC是銳角三角形，作外接⊙O，作直徑BD，連接CD，如圖61，則∠A=∠D，∠BCD=90°，所以BD=BCsinD=BCsinA；

（2）若△ABC是鈍角三角形，作外接⊙O，作直徑BD，連接CD，如圖62，則∠A+∠D=180°，∠BCD=90°，所以BD=BCsinD=BCsin（180°－A）=BCsinA.（說明：sin（180°－A）=sinA.）

綜上（1）（2），對任意△ABC，其外接圓的直徑d=BCsinA.

根據(jù)上述結(jié)論，原問題將進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=m，求其外接圓直（半）徑的最小值”.

5模型求解

（1）在△ABC中，若0<α<90°，作外接⊙O，設(shè)其半徑為r，連接AO，BO，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，如圖71.易知∠BOE=∠BAC=α，BC=2BE，OE=OB·cosα=r·cosα.因?yàn)镺A+OE≥AE≥AD，即r+r·cosα≥m，解得r≥m1+cosα（當(dāng)且僅當(dāng)E，D重合時(shí)取“=”），故BCmin=2msinα1+cosα.

（2）在△ABC中，若90°<α<180°，作外接⊙O，設(shè)其半徑為r，連接AO，BO，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖72.易知∠BOE=180°－∠BAC=180°－α，BC=2BE，OE=OB·cos（180°－α）=－r·cosα.因?yàn)锳D+OE≤OA，即m－r·cosα≤r，解得r≥m1+cosα（當(dāng)且僅當(dāng)E，D重合時(shí)取“=”），故BCmin=2msinα1+cosα.

（說明：當(dāng)90°<α<180°，sinα=sin（180°－α），cosα=－cos（180°－α）.）

6數(shù)學(xué)模型

在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=m，當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，BCmin=2msinα1+cosα.

7模型應(yīng)用

7.1情境問題解決

在△EFH中，∠HEF=120°，EB⊥HF，EB=3，如圖2，（S△EFG）min=HFmin=2×3sin120°1+cos120°=63（米2）.此時(shí)∠AEG=∠HEB=12∠HEF=60°，所以EG=AEcos∠AEG=4（米）.

7.2模型拓展

已知，如圖3，在△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于D，AD=m，求△ABC周長的最小值.

（1）激活已有經(jīng)驗(yàn)：求△ABC周長的最小值，咱們是否接觸過類似的問題？

回顧梳理：八年級已解決過這樣一個問題：如圖81，∠EDF=30°，點(diǎn)A在∠EDF內(nèi)部，DA=6cm，B，C分別是射線DE，DF上的動點(diǎn)，連接AB，BC，AC，求AB+BC+AC的最小值.

問題解決：分別作點(diǎn)A關(guān)于DE，DF的對稱點(diǎn)A1，A2，連接A1B，A2C，A1A2，DA1，DA2，如圖82，則AB+BC+AC=A1B+BC+A2C≥A1A2且∠A1DE=∠ADE，∠A2DF=∠ADF，DA1=DA=DA2.所以∠A1DA2=2∠EDF=60°，△A1DA2為等邊三角形，故（AB+BC+AC）min=A1A2=6cm.

方法提煉：將三角形的周長問題轉(zhuǎn)化成一條折線，然后運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”求其最小值.

（2）類比聯(lián)想：要求圖3中△ABC周長的最小值，是否也可以將它的三條邊轉(zhuǎn)化到同一條直線上？

延長CB至A1，使得BA1=BA，延長BC至A2，使得CA2=AC.如圖9.則AB+BC+AC=A1B+BC+CA2=A1A2，且∠A1AA2=180°+α2.

（3）問題求解：運(yùn)用模型不難得出

（A1A2）min=2msin（180°+α2）1+cos（180°+α2）=2mcosα21－sinα2，

即（C△ABC）min=2mcosα21－sinα2.

（說明：

sin（90°+α2）=sin90°cosα2+cos90°sinα2=

cosα2;

cos（90°+α2）=cos90°cosα2－sin90°sinα2=－sinα2.）

8建模反思

1.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域（數(shù)學(xué)建?；顒樱?，可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向（達(dá)到解一題會一類的效果），整合數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的問題.這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，不僅要重視提煉基本的數(shù)學(xué)思想、基本圖形，總結(jié)方法，還要養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)（學(xué)習(xí)本學(xué)科后續(xù)內(nèi)容、現(xiàn)代信息技術(shù)、查閱相關(guān)資料），樂于實(shí)踐，與他人合作、交流的好習(xí)慣[1].

2.從建模過程看：（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想分析問題，提出問題.如何求S△EFG的最小值？①首先S△EFG的計(jì)算方法，那就自然地聯(lián)想到初中所涉及到的三種三角形面積計(jì)算公式，再根據(jù)已知條件選取最合適的計(jì)算方法——引入?yún)?shù)，建立函數(shù)關(guān)系，在相應(yīng)的自變量的取值范圍內(nèi)確定函數(shù)的最值.此思路可行，但由于學(xué)生的知識儲備有限，無法求解，因此須另辟蹊徑.②因?yàn)榫匦蔚膶吰叫校虼丝梢酝ㄟ^構(gòu)造相似三角形，在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，將S△EFG的最小值問題轉(zhuǎn)化成S△EHF的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成線段HF的最小值，從而抽象出數(shù)學(xué)問題.（2）通過幾何畫板的動態(tài)操作，觀察發(fā)現(xiàn)，作出猜想，然后充分類比、聯(lián)想，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)（基本圖形、常見公式及變形、結(jié)論），探索出“三角形的一條邊及所對的角之間究竟存在的聯(lián)系”，逐步探索出解決問題的方向和方法——確定△EHF外接圓半徑的最小值.（3）教師要給予適當(dāng)引導(dǎo)與點(diǎn)拔甚至幫助.①在學(xué)生思維受阻（如在求BC的最小值出現(xiàn)束手無策時(shí)，教師用幾何畫板軟件動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，為問題的解決找到突破口）、或遇到未曾學(xué)習(xí)的本學(xué)科知識（如sinα=sin（180°－α），cosα=－cos（180°－α）等）、或跨學(xué)科知識時(shí)點(diǎn)拔；②幫助學(xué)生感悟如何從數(shù)學(xué)的角度審視問題，在發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；在建模過程中，還要幫助學(xué)生感悟解決現(xiàn)實(shí)問題不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)的知識，更要關(guān)注問題的背景知識，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)與規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)的概念、定理或公式予以表達(dá)，以引導(dǎo)學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4：77-79.

[2]朱記松，陳俊國.“胡不歸”的代數(shù)模型及其求解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（06）：59-60.

作者簡介朱記松（1969—），男，安徽太湖人，中學(xué)高級教師；研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

陳俊國（1985—），男，安徽太湖人，中學(xué)一級教師;研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.