黃欣然 喻平
【編者按】 從2019年第6期開始,我們陸續(xù)刊登了南京師范大學(xué)喻平教授團隊的“數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”(小學(xué))系列文章。其中,前7篇文章聚焦數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)關(guān)注的基本概念(方面),如應(yīng)用題解決、思維品質(zhì)、樣例設(shè)計、非智力因素、邏輯推理、學(xué)習策略、思維發(fā)展等;從第8篇文章(2022年第1期)開始,聚焦的是與數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)有關(guān)的經(jīng)典理論(思想)。這些經(jīng)典理論(思想)常讀常新,是數(shù)學(xué)教育教學(xué)及其研究需要不斷回顧與體味、努力傳承與發(fā)展的原點。本期刊登的文章聚焦布魯納的認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論,大概念統(tǒng)領(lǐng)、核心素養(yǎng)導(dǎo)向、單元教學(xué)、跨學(xué)科學(xué)習、探究式學(xué)習等“新概念”都可以在其中找到根源。
摘要:布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的心理學(xué)基礎(chǔ)是歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng);課程思想是結(jié)構(gòu)思想;教學(xué)形式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習,其前提是學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示有:注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理,提供富有想象的思維空間,設(shè)置多元表征的問題情境,提倡探究過程的學(xué)習方式。
關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);布魯納;認知結(jié)構(gòu);發(fā)現(xiàn)學(xué)習;表征系統(tǒng)
布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本觀點是,(學(xué)科)知識的學(xué)習基于(學(xué)科)結(jié)構(gòu)的學(xué)習。布魯納指出:“不論我們選教什么學(xué)科,務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”[1]基于這種思想,布魯納提出“發(fā)現(xiàn)學(xué)習”的主張。重溫經(jīng)典,解讀認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論,對當下的數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的參考價值。
一、布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論概述
布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本框架,由心理學(xué)基礎(chǔ)、課程思想與教學(xué)形式等組成。
(一)認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的心理學(xué)基礎(chǔ)
歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng)為認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論建立了心理學(xué)基礎(chǔ)。
1.歸類理論
布魯納認為,歸類就是分別對待各種相同的事物,對周圍的各種物體、事件和人進行分類,所有的認知活動都涉及類別問題。[2]歸類理論源于布魯納對知覺的研究,他認為知覺過程有四個步驟——(1)初步歸類:注意事物的某些特征,孤立地看待事物;(2)搜尋線索:尋找可以用來辨別該事物的某些特征,以便將其歸入某一類別;(3)證實線索:確認歸類的準確性;(4)結(jié)束證實:不再對其他線索進行探索??梢?,知覺的過程就是歸類的過程。
歸類理論引申出兩個重要推論。一是結(jié)構(gòu)思想。結(jié)構(gòu)就是一個系統(tǒng),而組建系統(tǒng)的前提是對事物進行分類,在分類基礎(chǔ)上進一步抽象進行二次分類,以此類推的多層分類結(jié)果就是一個結(jié)構(gòu)。二是認知學(xué)習觀。為了更好地促進學(xué)習,提供信息是必要的,但是,掌握這些信息本身并不是學(xué)習的目的,學(xué)習應(yīng)該超越所給的信息。[3]
顯然,認知學(xué)習觀是基于結(jié)構(gòu)思想的。而且,認知學(xué)習觀與當前課程改革“從知識為本轉(zhuǎn)向素養(yǎng)為本”的基本理念一致:提供給學(xué)生的信息是知識,但學(xué)習的目標不限于理解和掌握知識,更重要的是發(fā)展核心素養(yǎng)。
2.編碼系統(tǒng)
在歸類理論的基礎(chǔ)上,布魯納進一步提出編碼系統(tǒng)的概念。編碼系統(tǒng)是一組相互聯(lián)系的、非具體性的類別。編碼系統(tǒng)的一個重要特征是,對相關(guān)的類別作出層次結(jié)構(gòu)的安排:較高的類別處于上層,較低的類別處于下層。這就是上面所說的多層次歸類,得到的結(jié)果即一種結(jié)構(gòu)。因此,編碼系統(tǒng)理論進一步支持了結(jié)構(gòu)思想。
編碼系統(tǒng)的另一層意義在于,對知識的保持和遷移起著重要作用。因為層次分明、條理清晰的知識在頭腦中會形成優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu),這種認知結(jié)構(gòu)由知識相互聯(lián)結(jié)、相互支撐形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而成,使知識不容易被遺忘。同時,個體在學(xué)習新知識或解決新問題時,可以沿頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)迅速、準確地提取信息,實現(xiàn)知識的有效遷移。
3.表征系統(tǒng)
布魯納認為,人類智慧生長期間,有三種表征系統(tǒng)在起作用,即動作表征、表象表征和符號表征。動作表征指依據(jù)實物或行為來認識事物;表象表征指通過頭腦中的映象來認識事物;符號表征指通過各種符號來認識事物。布魯納提出的表征系統(tǒng)與皮亞杰的兒童認知發(fā)展理論是相通的,不同之處在于:皮亞杰關(guān)注的是知識本身的性質(zhì),屬于認識論問題;布魯納關(guān)注的是知識增長的過程,屬于學(xué)習論問題。
“動作—表象—符號”是兒童認知發(fā)展的順序,也是學(xué)習的序列。[4]即人類智慧發(fā)展始終沿著這三種表征系統(tǒng)的順序前進,動作表征、表象表征和符號表征是按順序發(fā)展的,它們不能相互取代,彼此之間也不能跨越某種表征而存在。[5]當認知發(fā)展到一定的程度時,個體就能一直連續(xù)不斷地使用這三種表征系統(tǒng)去認知。也就是說,學(xué)習者至少有三種顯然不同的方式來表征學(xué)習的經(jīng)驗和思維。
在此基礎(chǔ)上,英國數(shù)學(xué)教育家迪恩斯提出數(shù)學(xué)學(xué)習的知覺變式原則,延伸出多元表征理論。[6]該理論既滿足不同兒童的認知風格,也幫助兒童從多種具體模型中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。依此來設(shè)計教學(xué),可以較好地達到促進學(xué)生智慧發(fā)展或認知生長的目的。
(二)認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的課程思想與教學(xué)形式
結(jié)構(gòu)思想是認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的課程思想,發(fā)現(xiàn)學(xué)習是認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的教學(xué)形式。
1.結(jié)構(gòu)思想
在《教育過程》一書中,布魯納反復(fù)強調(diào)結(jié)構(gòu)思想的重要性。他用生物學(xué)、數(shù)學(xué)、語言學(xué)中的三個實例通俗地解讀了基本原理統(tǒng)領(lǐng)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。例如,代數(shù)學(xué)就是把已知數(shù)同未知數(shù)用方程聯(lián)系起來,使得未知數(shù)成為可知的一種方法。解這些方程需要使用三個運算法則:交換律、分配律和結(jié)合律。學(xué)生一旦掌握了這三個運算法則所體現(xiàn)的思想,就能認識到,要解的“新”方程其實不是新的,而不過是一個舊方程的變形罷了。[7]
他還用一章的內(nèi)容專門討論基本原理統(tǒng)領(lǐng)的學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性。概括地說,第一,懂得基本原理可以使學(xué)科更容易理解,不僅是對理科的學(xué)習,也包括對文科的學(xué)習;第二,學(xué)科結(jié)構(gòu)有利于知識的記憶——“除非把一件件事情放進構(gòu)造得很好的模式里,否則就會遺忘。詳細的資料是依靠簡化的表達方式保存在記憶里的”;第三,學(xué)科結(jié)構(gòu)有利于知識的遷移——結(jié)構(gòu)是一種模式,有助于理解可能遇到的其他類似的事物;第四,教材的結(jié)構(gòu)化可以縮小“高級”知識和“初級”知識之間的差距,因為兩者可以通過結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。[8]
《義務(wù)教育課程方案(2022年版)》在“課程標準編制”中提出:加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,探索主題、項目、任務(wù)等內(nèi)容組織方式。[9]由此滋生出的大概念、任務(wù)群、問題鏈、單元教學(xué)、跨學(xué)科教學(xué)等概念,本質(zhì)就是結(jié)構(gòu)化,學(xué)理上與布魯納的結(jié)構(gòu)思想一脈相承。
2.發(fā)現(xiàn)學(xué)習
布魯納認為,學(xué)生在掌握學(xué)科基本原理的同時,還要掌握學(xué)習這一學(xué)科的基本方法,其中,發(fā)現(xiàn)的方法最為重要。于是,他依據(jù)表征系統(tǒng)的理論,提出發(fā)現(xiàn)學(xué)習的主張。所謂“發(fā)現(xiàn)學(xué)習”,是指學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下,通過自己獨立閱讀、積極思考而自行發(fā)現(xiàn)并掌握新知識的一種學(xué)習方式,包括“在學(xué)習中發(fā)現(xiàn)”和“在發(fā)現(xiàn)中學(xué)習”兩個含義。
要實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)習,應(yīng)當考慮三個前提:學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。
學(xué)習準備涉及兒童的智力發(fā)展、學(xué)習的行為、螺旋式課程。關(guān)于兒童的智力發(fā)展,布魯納用認知表征系統(tǒng)替代了皮亞杰的認知發(fā)展理論,建立了學(xué)習與教學(xué)的橋梁。對于學(xué)習的行為,布魯納認為,學(xué)習是知識獲得、轉(zhuǎn)化和評價的過程。(1)獲得新知識,或者是對已有知識的替代,或者是對已有知識的提煉。(2)獲得了新知識后,還要對它進行轉(zhuǎn)化,可以通過外推(由已知推未知)、內(nèi)插(增添知識或補充空白)、變換等方式把知識整理成另一種形式,以便“超越所給的信息”。(3)評價則是對知識轉(zhuǎn)化的一種檢查,通過評價可以核對處理知識的方法(發(fā)現(xiàn)與轉(zhuǎn)化)是否適合新的任務(wù)或者用得是否正確,因此,評價通常包含對知識的合理性進行判斷。
直覺思維具有非邏輯性和直接性的特點,表現(xiàn)為能很快地產(chǎn)生假設(shè),迅速地對問題的解決方案作出猜想和預(yù)測,因而對發(fā)現(xiàn)活動極為重要。布魯納十分提倡在發(fā)現(xiàn)學(xué)習中利用直覺思維,因為這樣的思維方式不僅能顯著地提高學(xué)生的認知效率,更能在一定程度上對學(xué)生的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生潛移默化的影響。
學(xué)習動機包括外部動機和內(nèi)部動機。內(nèi)部動機比外部動機更加重要,所以,布魯納認為,應(yīng)當將外部動機轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動機。發(fā)現(xiàn)活動有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心,學(xué)生容易受好奇心的驅(qū)使,對探求未知的結(jié)果表現(xiàn)出興趣。所以,布魯納把好奇心稱為“學(xué)生內(nèi)部動機的原型”。
(三)認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本框架
將上述概念組合成一個框架(如圖1所示),可以清楚地把握認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的體系。
結(jié)構(gòu)思想是課程思想,其心理學(xué)基礎(chǔ)是歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng)。發(fā)現(xiàn)學(xué)習是教學(xué)形式,其前提是學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。同時,表征系統(tǒng)又是學(xué)習準備的心理學(xué)基礎(chǔ)。
認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論于現(xiàn)代教育的啟示可以歸納為以下幾點:(1)結(jié)構(gòu)化的課程思想,由此衍生出大概念統(tǒng)領(lǐng)、單元整體、跨學(xué)科綜合等教學(xué)模式。(2)認知學(xué)習觀,即掌握信息本身不是學(xué)習的目的,學(xué)習應(yīng)該“超越所給的信息”,由此衍生出通過知識學(xué)習來培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的現(xiàn)代解釋。(3)表征系統(tǒng)的雙重性,即動作表征、表象表征、符號表征是對不同年齡階段學(xué)生思維的刻畫,具有順序性;這三種表征又在各個年齡段同時并存,也就是對事物的認識存在多元表征樣態(tài)。(4)發(fā)現(xiàn)學(xué)習的目標指向,即發(fā)現(xiàn)結(jié)果是目標之一,但經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程是更為重要的目標。
二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示
(一)注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理
布魯納提出要將學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,講授學(xué)科的結(jié)構(gòu),不僅可以讓學(xué)生簡單而明確地把握學(xué)習內(nèi)容,而且可以培養(yǎng)學(xué)生遷移運用的能力。數(shù)學(xué)是一門知識高度結(jié)構(gòu)化的學(xué)科,教師首先要對數(shù)學(xué)知識有一個整體性、系統(tǒng)性的認知,然后以整體(系統(tǒng))觀念為指導(dǎo)去教學(xué),讓學(xué)生將獲得的新的知識與已有知識聯(lián)系起來去理解和掌握,在頭腦里形成知識網(wǎng)絡(luò)。這樣,學(xué)生就更容易理解、鞏固、保持所學(xué)知識。
注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理,要從兩個方面來開展:
1.課前教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計
第一,以章節(jié)為單元的設(shè)計。教材是教學(xué)內(nèi)容的基本載體,也是教學(xué)設(shè)計的重要依據(jù)。通常情況下,教師可以教材中的章節(jié)為單元來整體設(shè)計。這種類型的單元教學(xué)設(shè)計的主要任務(wù)有:
(1)分析本單元的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。思考本單元知識與前面學(xué)過的哪些知識有聯(lián)系,它們是什么關(guān)系;以及本單元知識與后面要學(xué)的哪些知識有聯(lián)系,它們是什么關(guān)系。
(2)分析數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。思考如何使本單元的數(shù)學(xué)知識與兒童的家庭生活經(jīng)驗、學(xué)校生活經(jīng)驗、社會生活經(jīng)驗有機結(jié)合。
(3)分析本單元的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法可能是貫穿本單元的,也可能是散布在本單元中的。無論哪種情形,都要在教學(xué)設(shè)計和實施中將其凸顯出來。
(4)設(shè)計本單元的教學(xué)目標。圍繞本單元的知識主線,設(shè)計培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目標,列出主要的核心素養(yǎng)表現(xiàn)與次要的核心素養(yǎng)表現(xiàn);對“四基”“四能”目標作出具體描述;對必備品格與正確價值觀目標作出具體描述。
(5)設(shè)計本單元的學(xué)習質(zhì)量評價方案(主要是思考作業(yè)的設(shè)計)。作業(yè)大概可分為兩類:一類側(cè)重于理解和鞏固知識,另一類側(cè)重于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。要考慮兩類作業(yè)的比重,還要兼顧核心素養(yǎng)的考查水平,使得不同水平的題目分布合理。
第二,跨章節(jié)的單元設(shè)計。由不同章節(jié)甚至不同年級的教材內(nèi)容組合成單元,本質(zhì)上是對一個學(xué)段數(shù)學(xué)教材的通盤分析,可以利用大概念(如基本原理、基本方法)作為統(tǒng)領(lǐng),形成知識體系,同時按照教材的知識順序推進教學(xué)。這種類型的單元教學(xué)設(shè)計的意義在于,連通知識點之間的關(guān)系,以舊知識作為鋪墊,用類比的方式學(xué)習新知識;同時,通過溝通知識之間的聯(lián)系,形成知識體系,幫助學(xué)生建立完整的認知結(jié)構(gòu)。
例如,“幾何度量”包含長度、角度、面積和體積等有關(guān)內(nèi)容,分布在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的不同年級(不同章節(jié))中(具體如表1所示)。它們有相同的結(jié)構(gòu)體系,因此,可以用大概念“度量”來統(tǒng)領(lǐng),從而組成一個跨章節(jié)的單元。
教學(xué)內(nèi)容教材分布長度二年級、三年級、六年級角度四年級面積三年級、五年級、六年級體積五年級、六年級教學(xué)“長度”內(nèi)容時,首先,創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感受單位的形成;其次,通過講授和引導(dǎo)向?qū)W生展現(xiàn)“幾何度量”單元的基本結(jié)構(gòu):度量對象的感知(線段)、度量單位的產(chǎn)生與發(fā)展(千米、米、厘米、毫米)、度量工具的使用(刻度尺)和度量方法的選擇(直接比較、間接比較、精確比較);最后,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習過程和數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)單位觀念,發(fā)展數(shù)感與量感。[10]這樣,教學(xué)“角度”內(nèi)容時,就可以采用類比的方法來開展,以問題引領(lǐng)思考:長度有大小,角度有沒有大???長度有單位,角度有沒有單位?長度有度量工具,角度有度量工具嗎?教學(xué)“面積”和“體積”內(nèi)容時,也可以采用這種思路。
2.課后學(xué)習內(nèi)容的整體梳理
無論是以章節(jié)為單元的設(shè)計,還是跨章節(jié)的單元設(shè)計,教學(xué)一個單元的內(nèi)容后,都要引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習內(nèi)容進行整體梳理。事實上,教材中也有相應(yīng)的處理:章節(jié)后面都有知識結(jié)構(gòu)圖。但要注意兩點:一是教材中給出的知識結(jié)構(gòu)圖往往只有知識的縱向發(fā)展,缺少知識的橫向聯(lián)系,需要教師補充相關(guān)內(nèi)容;二是梳理知識并不等同于給出知識結(jié)構(gòu)圖,更重要的是設(shè)計配套的作業(yè)來加強知識之間的聯(lián)系,即設(shè)計一些將不同知識點聯(lián)系起來的題目,讓學(xué)生通過完成這些題目使知識結(jié)構(gòu)在頭腦中穩(wěn)固地貯存下來。
(二)提供富有想象的思維空間
提供富有想象的思維空間有三層含義。一是指提供給學(xué)生的學(xué)習材料可以從多個角度認識:從表面認識到深度認識,從顯性信息的認識到隱性信息的認識,從孤立地認識到聯(lián)系地認識。這就與布魯納所說的“掌握信息本身并不是學(xué)習的目的,學(xué)習應(yīng)該超越所給的信息”相契合。二是指提供給學(xué)生的問題有多種解決途徑,可以讓學(xué)生通過發(fā)散思維尋求解決問題的不同路徑。三是指要鼓勵學(xué)生對解答過的問題進行歸類分析,尋找貫穿一類題目的思想方法,也就是解決問題的通性通法,而不要糾纏于解決某個題目的技能技巧。這是課程標準反復(fù)強調(diào)的理念,需要在教學(xué)中貫徹落實。
例1觀察圖2,你能想到什么?
學(xué)生觀察這三個滑梯可能會發(fā)現(xiàn):有的斜,有的平;有的陡,有的緩;有的高,有的矮;有的寬,有的窄……這些是圖中的顯性信息,那么,圖中的隱性信息是什么呢?
在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生會考慮滑梯的設(shè)計是否合理的問題,進而思考:這個合理性用什么標準來判斷呢?這時,如果用數(shù)學(xué)的眼光來看待這三個滑梯,就會發(fā)現(xiàn)應(yīng)當用滑梯的滑面與地面的夾角來判斷合理性,從而抽象出角的度量概念。
例2某地山洪暴發(fā),河水上漲。鎮(zhèn)防災(zāi)辦公室需要盡快打電話通知沿河的A村、B村、C村的村主任,讓他們迅速組織群眾轉(zhuǎn)移。但是,由于地勢偏僻,經(jīng)濟不發(fā)達,鎮(zhèn)防災(zāi)辦公室和四個村均只有一部電話,且通知一位村主任需要一分鐘。請你設(shè)計一個有效的打電話方案。
這個問題的答案是不唯一的:有效的方案有多種(如圖3所示)。其中,最快的方案也有多種(圖3中方案③的幾種等價形式)。
在此基礎(chǔ)上,教師可以進一步推廣問題:如果要通知8個村,最少需要多少分鐘?如果要通知15個村,最少需要多少分鐘?……你能否找到其中的規(guī)律?
(三)設(shè)置多元表征的問題情境
多元表征分為外部表征和內(nèi)部表征。布魯納提出的表征系統(tǒng)屬于內(nèi)部表征,即動作表征、表象表征和符號表征描述的是人的心理現(xiàn)象和行為表現(xiàn)。多元外部表征指提供多樣的、彈性的信息呈現(xiàn)方式:同一知識點或?qū)W習內(nèi)容可以分別使用文本、圖片、聲音、動畫、多媒體等方式呈現(xiàn)出來,從而使學(xué)習障礙最小化,學(xué)習機會最大化。這些外部表征內(nèi)化后,就演變成內(nèi)部表征了。
設(shè)置多元表征的問題情境,可以從兩個方面開展:(1)在新知識學(xué)習階段,充分利用教育技術(shù)為學(xué)生提供視覺、聽覺等多方位的刺激,提供數(shù)學(xué)實驗場景讓學(xué)生多角度觀察、操作,進而理解概念和規(guī)則;(2)在問題解決階段,讓學(xué)生用多種方式表征問題,找到解決問題的最優(yōu)方法。
例3一包糖果平均分給三個小朋友,如果每人吃掉4塊,那么三人剩下的糖果數(shù)之和恰好是原糖果數(shù)的1/3,問:原糖果有多少塊?
這個問題可以用不同的方式來表征。表征1:畫一個大圓,用它的面積表示原糖果數(shù);把大圓三等分,每份即表示每個小朋友分得的糖果數(shù);在大圓中再畫一個小同心圓,用小同心圓的面積表示三人剩下的糖果數(shù)之和,于是兩圓形成的圓環(huán)的面積便表示三人吃掉的糖果數(shù)之和,圓環(huán)被分成的三個等份表示三人分別吃掉的糖果數(shù)(如圖4所示)。表征2如圖5所示。這個表征更能準確地反映出題目所給的信息,更加通俗易懂。表征3:設(shè)原來糖果有x塊,則x-12=1/3x。
例4小紅有3件不同的上衣和2件不同的褲子,搭配起來有多少種不同的穿法呢?
這個問題也可以用不同的方式來表征(如圖6所示),包括用示意圖表征事物,用文字符號表征事物;靠在一起(利用位置)表征關(guān)系,連線表征關(guān)系,等等。
(四)提倡探究過程的學(xué)習方式
以知識為本的教學(xué)有一種思維定式,就是一定要讓學(xué)生學(xué)到某個知識點,或者掌握一種解題方法,即讓學(xué)生獲得一個“結(jié)果”。以素養(yǎng)為本的教學(xué)應(yīng)突破這個定式,將“結(jié)果”與“過程”并重——有時候,讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程比簡單地獲得一個結(jié)果更加重要,因為探究的過程本身就能發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。
吳正憲老師上過一節(jié)“復(fù)式折線統(tǒng)計圖”的課[11],她是這樣教學(xué)的——
首先,提出一個問題:
同學(xué)們喜愛足球運動嗎?足球運動中有一項重要的技術(shù)叫罰點球。五(1)班和五(2)班計劃進行一次罰點球比賽,看看哪個班的同學(xué)罰點球的水平高。五(1)班準備從甲、乙、丙三人中推薦一人作為代表,跟五(2)班比賽。他們?nèi)嗽诘谝恢苊刻斓挠?xùn)練后,都進行了一次點球比賽,每人罰10個點球,表2是進球的數(shù)據(jù)記錄??戳诉@張表,你準備推薦誰參賽?
學(xué)生每天進球數(shù)星期一星期二星期三星期四星期五甲26147乙45455丙23455然后,發(fā)放學(xué)習單,讓學(xué)生用統(tǒng)計圖作為分析工具,進行探究。
學(xué)生的意見產(chǎn)生了分歧:有的認為應(yīng)從進球總數(shù)考慮,有的認為應(yīng)從進球平均數(shù)考慮,有的認為要看進球的穩(wěn)定性,有的認為要看進球的發(fā)展趨勢。最終,有學(xué)生提出:只有這一張表,還不能確定派誰作為代表。
于是,吳老師又提供了第二周訓(xùn)練后的進球數(shù)據(jù),讓學(xué)生繼續(xù)探究。
……
下課了,也沒有得到一個統(tǒng)一的答案。
這堂課特色很鮮明,采用的是問題開放教學(xué)模式:問題提出之后,一直沒有給出標準答案,而讓學(xué)生自由發(fā)揮,借助直觀想象和邏輯推理,提出自己的觀點,提出自己解決問題的方法。這堂課打破了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題一定要得到最終答案的思維定式,給學(xué)生留下了發(fā)散的思維空間,指向的是學(xué)生數(shù)據(jù)意識、幾何直觀、推理意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。
進一步來看,通過探究得到一個結(jié)論本身就是過程的體現(xiàn),讓學(xué)生經(jīng)歷這個探究過程是教學(xué)設(shè)計時必須考慮的因素。
例如,教學(xué)“三角形的面積公式”時,可以這樣讓學(xué)生經(jīng)歷探究得到三角形面積公式的過程:
第一步,給出如圖7所示的三個圖,讓學(xué)生把每個圖沿一條對角線剪開,再觀察得到的兩個圖形有什么關(guān)系。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn):對角線把一個平行四邊形分成了兩個完全一樣的三角形,所以,兩個三角形的面積相等;進而,三角形的面積等于平行四邊形面積的一半,或者說,平行四邊形的面積是三角形面積的2倍。
第二步,給出如圖8所示的三個圖,讓學(xué)生把每個圖沿一條對角線剪開,再思考所得三角形的底是多少,高是多少,面積是多少。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn):三角形的面積等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。
第三步,出示圖9,讓學(xué)生思考此時三角形的面積和平行四邊形的面積之間是什么關(guān)系,以及在平行四邊形的邊DE上移動三角形頂點A的位置時,這種關(guān)系會不會發(fā)生變化。通過一個三角形的變式演示,讓學(xué)生進一步體會到:任意一個三角形的面積都等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。從而得到三角形面積公式:S=12ah。
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[11] 吳正憲,魯靜華,張秋爽,等.會說話的數(shù)據(jù),讓決策有依據(jù)——“復(fù)式折線統(tǒng)計圖”課堂教學(xué)實錄[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2019(11):14-18.
*本文系喻平教授團隊的“數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”(小學(xué))系列文章之十。