黃欣然　喻平

【編者按】 從2019年第6期開始，我們陸續(xù)刊登了南京師范大學(xué)喻平教授團隊的“數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（小學(xué)）系列文章。其中，前7篇文章聚焦數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)關(guān)注的基本概念（方面），如應(yīng)用題解決、思維品質(zhì)、樣例設(shè)計、非智力因素、邏輯推理、學(xué)習策略、思維發(fā)展等；從第8篇文章（2022年第1期）開始，聚焦的是與數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)有關(guān)的經(jīng)典理論（思想）。這些經(jīng)典理論（思想）常讀常新，是數(shù)學(xué)教育教學(xué)及其研究需要不斷回顧與體味、努力傳承與發(fā)展的原點。本期刊登的文章聚焦布魯納的認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論，大概念統(tǒng)領(lǐng)、核心素養(yǎng)導(dǎo)向、單元教學(xué)、跨學(xué)科學(xué)習、探究式學(xué)習等“新概念”都可以在其中找到根源。

摘要：布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的心理學(xué)基礎(chǔ)是歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng)；課程思想是結(jié)構(gòu)思想；教學(xué)形式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習，其前提是學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示有：注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理，提供富有想象的思維空間，設(shè)置多元表征的問題情境，提倡探究過程的學(xué)習方式。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);布魯納；認知結(jié)構(gòu)；發(fā)現(xiàn)學(xué)習；表征系統(tǒng)

布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本觀點是，（學(xué)科）知識的學(xué)習基于（學(xué)科）結(jié)構(gòu)的學(xué)習。布魯納指出：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”［1］基于這種思想，布魯納提出“發(fā)現(xiàn)學(xué)習”的主張。重溫經(jīng)典，解讀認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論，對當下的數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的參考價值。

一、布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論概述

布魯納認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本框架，由心理學(xué)基礎(chǔ)、課程思想與教學(xué)形式等組成。

（一）認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的心理學(xué)基礎(chǔ)

歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng)為認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論建立了心理學(xué)基礎(chǔ)。

1.歸類理論

布魯納認為，歸類就是分別對待各種相同的事物，對周圍的各種物體、事件和人進行分類，所有的認知活動都涉及類別問題。［2］歸類理論源于布魯納對知覺的研究，他認為知覺過程有四個步驟——（1）初步歸類：注意事物的某些特征，孤立地看待事物；（2）搜尋線索：尋找可以用來辨別該事物的某些特征，以便將其歸入某一類別；（3）證實線索：確認歸類的準確性；（4）結(jié)束證實：不再對其他線索進行探索?？梢?，知覺的過程就是歸類的過程。

歸類理論引申出兩個重要推論。一是結(jié)構(gòu)思想。結(jié)構(gòu)就是一個系統(tǒng)，而組建系統(tǒng)的前提是對事物進行分類，在分類基礎(chǔ)上進一步抽象進行二次分類，以此類推的多層分類結(jié)果就是一個結(jié)構(gòu)。二是認知學(xué)習觀。為了更好地促進學(xué)習，提供信息是必要的，但是，掌握這些信息本身并不是學(xué)習的目的，學(xué)習應(yīng)該超越所給的信息。［3］

顯然，認知學(xué)習觀是基于結(jié)構(gòu)思想的。而且，認知學(xué)習觀與當前課程改革“從知識為本轉(zhuǎn)向素養(yǎng)為本”的基本理念一致：提供給學(xué)生的信息是知識，但學(xué)習的目標不限于理解和掌握知識，更重要的是發(fā)展核心素養(yǎng)。

2.編碼系統(tǒng)

在歸類理論的基礎(chǔ)上，布魯納進一步提出編碼系統(tǒng)的概念。編碼系統(tǒng)是一組相互聯(lián)系的、非具體性的類別。編碼系統(tǒng)的一個重要特征是，對相關(guān)的類別作出層次結(jié)構(gòu)的安排：較高的類別處于上層，較低的類別處于下層。這就是上面所說的多層次歸類，得到的結(jié)果即一種結(jié)構(gòu)。因此，編碼系統(tǒng)理論進一步支持了結(jié)構(gòu)思想。

編碼系統(tǒng)的另一層意義在于，對知識的保持和遷移起著重要作用。因為層次分明、條理清晰的知識在頭腦中會形成優(yōu)良的認知結(jié)構(gòu)，這種認知結(jié)構(gòu)由知識相互聯(lián)結(jié)、相互支撐形成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而成，使知識不容易被遺忘。同時，個體在學(xué)習新知識或解決新問題時，可以沿頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)迅速、準確地提取信息，實現(xiàn)知識的有效遷移。

3.表征系統(tǒng)

布魯納認為，人類智慧生長期間，有三種表征系統(tǒng)在起作用，即動作表征、表象表征和符號表征。動作表征指依據(jù)實物或行為來認識事物；表象表征指通過頭腦中的映象來認識事物；符號表征指通過各種符號來認識事物。布魯納提出的表征系統(tǒng)與皮亞杰的兒童認知發(fā)展理論是相通的，不同之處在于：皮亞杰關(guān)注的是知識本身的性質(zhì)，屬于認識論問題；布魯納關(guān)注的是知識增長的過程，屬于學(xué)習論問題。

“動作—表象—符號”是兒童認知發(fā)展的順序，也是學(xué)習的序列。［4］即人類智慧發(fā)展始終沿著這三種表征系統(tǒng)的順序前進，動作表征、表象表征和符號表征是按順序發(fā)展的，它們不能相互取代，彼此之間也不能跨越某種表征而存在。［5］當認知發(fā)展到一定的程度時，個體就能一直連續(xù)不斷地使用這三種表征系統(tǒng)去認知。也就是說，學(xué)習者至少有三種顯然不同的方式來表征學(xué)習的經(jīng)驗和思維。

在此基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)教育家迪恩斯提出數(shù)學(xué)學(xué)習的知覺變式原則，延伸出多元表征理論。［6］該理論既滿足不同兒童的認知風格，也幫助兒童從多種具體模型中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。依此來設(shè)計教學(xué)，可以較好地達到促進學(xué)生智慧發(fā)展或認知生長的目的。

（二）認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的課程思想與教學(xué)形式

結(jié)構(gòu)思想是認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的課程思想，發(fā)現(xiàn)學(xué)習是認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的教學(xué)形式。

1.結(jié)構(gòu)思想

在《教育過程》一書中，布魯納反復(fù)強調(diào)結(jié)構(gòu)思想的重要性。他用生物學(xué)、數(shù)學(xué)、語言學(xué)中的三個實例通俗地解讀了基本原理統(tǒng)領(lǐng)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。例如，代數(shù)學(xué)就是把已知數(shù)同未知數(shù)用方程聯(lián)系起來，使得未知數(shù)成為可知的一種方法。解這些方程需要使用三個運算法則：交換律、分配律和結(jié)合律。學(xué)生一旦掌握了這三個運算法則所體現(xiàn)的思想，就能認識到，要解的“新”方程其實不是新的，而不過是一個舊方程的變形罷了。［7］

他還用一章的內(nèi)容專門討論基本原理統(tǒng)領(lǐng)的學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性。概括地說，第一，懂得基本原理可以使學(xué)科更容易理解，不僅是對理科的學(xué)習，也包括對文科的學(xué)習；第二，學(xué)科結(jié)構(gòu)有利于知識的記憶——“除非把一件件事情放進構(gòu)造得很好的模式里，否則就會遺忘。詳細的資料是依靠簡化的表達方式保存在記憶里的”；第三，學(xué)科結(jié)構(gòu)有利于知識的遷移——結(jié)構(gòu)是一種模式，有助于理解可能遇到的其他類似的事物；第四，教材的結(jié)構(gòu)化可以縮小“高級”知識和“初級”知識之間的差距，因為兩者可以通過結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。［8］

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》在“課程標準編制”中提出：加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，探索主題、項目、任務(wù)等內(nèi)容組織方式。［9］由此滋生出的大概念、任務(wù)群、問題鏈、單元教學(xué)、跨學(xué)科教學(xué)等概念，本質(zhì)就是結(jié)構(gòu)化，學(xué)理上與布魯納的結(jié)構(gòu)思想一脈相承。

2.發(fā)現(xiàn)學(xué)習

布魯納認為，學(xué)生在掌握學(xué)科基本原理的同時，還要掌握學(xué)習這一學(xué)科的基本方法，其中，發(fā)現(xiàn)的方法最為重要。于是，他依據(jù)表征系統(tǒng)的理論，提出發(fā)現(xiàn)學(xué)習的主張。所謂“發(fā)現(xiàn)學(xué)習”，是指學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，通過自己獨立閱讀、積極思考而自行發(fā)現(xiàn)并掌握新知識的一種學(xué)習方式，包括“在學(xué)習中發(fā)現(xiàn)”和“在發(fā)現(xiàn)中學(xué)習”兩個含義。

要實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)習，應(yīng)當考慮三個前提：學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。

學(xué)習準備涉及兒童的智力發(fā)展、學(xué)習的行為、螺旋式課程。關(guān)于兒童的智力發(fā)展，布魯納用認知表征系統(tǒng)替代了皮亞杰的認知發(fā)展理論，建立了學(xué)習與教學(xué)的橋梁。對于學(xué)習的行為，布魯納認為，學(xué)習是知識獲得、轉(zhuǎn)化和評價的過程。（1）獲得新知識，或者是對已有知識的替代，或者是對已有知識的提煉。（2）獲得了新知識后，還要對它進行轉(zhuǎn)化，可以通過外推（由已知推未知）、內(nèi)插（增添知識或補充空白）、變換等方式把知識整理成另一種形式，以便“超越所給的信息”。（3）評價則是對知識轉(zhuǎn)化的一種檢查，通過評價可以核對處理知識的方法（發(fā)現(xiàn)與轉(zhuǎn)化）是否適合新的任務(wù)或者用得是否正確，因此，評價通常包含對知識的合理性進行判斷。

直覺思維具有非邏輯性和直接性的特點，表現(xiàn)為能很快地產(chǎn)生假設(shè)，迅速地對問題的解決方案作出猜想和預(yù)測，因而對發(fā)現(xiàn)活動極為重要。布魯納十分提倡在發(fā)現(xiàn)學(xué)習中利用直覺思維，因為這樣的思維方式不僅能顯著地提高學(xué)生的認知效率，更能在一定程度上對學(xué)生的內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生潛移默化的影響。

學(xué)習動機包括外部動機和內(nèi)部動機。內(nèi)部動機比外部動機更加重要，所以，布魯納認為，應(yīng)當將外部動機轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動機。發(fā)現(xiàn)活動有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心，學(xué)生容易受好奇心的驅(qū)使，對探求未知的結(jié)果表現(xiàn)出興趣。所以，布魯納把好奇心稱為“學(xué)生內(nèi)部動機的原型”。

（三）認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的基本框架

將上述概念組合成一個框架（如圖1所示），可以清楚地把握認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論的體系。

結(jié)構(gòu)思想是課程思想，其心理學(xué)基礎(chǔ)是歸類理論、編碼系統(tǒng)、表征系統(tǒng)。發(fā)現(xiàn)學(xué)習是教學(xué)形式，其前提是學(xué)習準備、直覺思維、學(xué)習動機。同時，表征系統(tǒng)又是學(xué)習準備的心理學(xué)基礎(chǔ)。

認知結(jié)構(gòu)學(xué)習理論于現(xiàn)代教育的啟示可以歸納為以下幾點：（1）結(jié)構(gòu)化的課程思想，由此衍生出大概念統(tǒng)領(lǐng)、單元整體、跨學(xué)科綜合等教學(xué)模式。（2）認知學(xué)習觀，即掌握信息本身不是學(xué)習的目的，學(xué)習應(yīng)該“超越所給的信息”，由此衍生出通過知識學(xué)習來培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的現(xiàn)代解釋。（3）表征系統(tǒng)的雙重性，即動作表征、表象表征、符號表征是對不同年齡階段學(xué)生思維的刻畫，具有順序性；這三種表征又在各個年齡段同時并存，也就是對事物的認識存在多元表征樣態(tài)。（4）發(fā)現(xiàn)學(xué)習的目標指向，即發(fā)現(xiàn)結(jié)果是目標之一，但經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程是更為重要的目標。

二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理

布魯納提出要將學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，講授學(xué)科的結(jié)構(gòu)，不僅可以讓學(xué)生簡單而明確地把握學(xué)習內(nèi)容，而且可以培養(yǎng)學(xué)生遷移運用的能力。數(shù)學(xué)是一門知識高度結(jié)構(gòu)化的學(xué)科，教師首先要對數(shù)學(xué)知識有一個整體性、系統(tǒng)性的認知，然后以整體（系統(tǒng)）觀念為指導(dǎo)去教學(xué)，讓學(xué)生將獲得的新的知識與已有知識聯(lián)系起來去理解和掌握，在頭腦里形成知識網(wǎng)絡(luò)。這樣，學(xué)生就更容易理解、鞏固、保持所學(xué)知識。

注重教學(xué)內(nèi)容的整體處理，要從兩個方面來開展：

1.課前教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計

第一，以章節(jié)為單元的設(shè)計。教材是教學(xué)內(nèi)容的基本載體，也是教學(xué)設(shè)計的重要依據(jù)。通常情況下，教師可以教材中的章節(jié)為單元來整體設(shè)計。這種類型的單元教學(xué)設(shè)計的主要任務(wù)有：

（1）分析本單元的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。思考本單元知識與前面學(xué)過的哪些知識有聯(lián)系，它們是什么關(guān)系；以及本單元知識與后面要學(xué)的哪些知識有聯(lián)系，它們是什么關(guān)系。

（2）分析數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。思考如何使本單元的數(shù)學(xué)知識與兒童的家庭生活經(jīng)驗、學(xué)校生活經(jīng)驗、社會生活經(jīng)驗有機結(jié)合。

（3）分析本單元的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法可能是貫穿本單元的，也可能是散布在本單元中的。無論哪種情形，都要在教學(xué)設(shè)計和實施中將其凸顯出來。

（4）設(shè)計本單元的教學(xué)目標。圍繞本單元的知識主線，設(shè)計培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目標，列出主要的核心素養(yǎng)表現(xiàn)與次要的核心素養(yǎng)表現(xiàn)；對“四基”“四能”目標作出具體描述；對必備品格與正確價值觀目標作出具體描述。

（5）設(shè)計本單元的學(xué)習質(zhì)量評價方案（主要是思考作業(yè)的設(shè)計）。作業(yè)大概可分為兩類：一類側(cè)重于理解和鞏固知識，另一類側(cè)重于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。要考慮兩類作業(yè)的比重，還要兼顧核心素養(yǎng)的考查水平，使得不同水平的題目分布合理。

第二，跨章節(jié)的單元設(shè)計。由不同章節(jié)甚至不同年級的教材內(nèi)容組合成單元，本質(zhì)上是對一個學(xué)段數(shù)學(xué)教材的通盤分析，可以利用大概念（如基本原理、基本方法）作為統(tǒng)領(lǐng)，形成知識體系，同時按照教材的知識順序推進教學(xué)。這種類型的單元教學(xué)設(shè)計的意義在于，連通知識點之間的關(guān)系，以舊知識作為鋪墊，用類比的方式學(xué)習新知識；同時，通過溝通知識之間的聯(lián)系，形成知識體系，幫助學(xué)生建立完整的認知結(jié)構(gòu)。

例如，“幾何度量”包含長度、角度、面積和體積等有關(guān)內(nèi)容，分布在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的不同年級（不同章節(jié)）中（具體如表1所示）。它們有相同的結(jié)構(gòu)體系，因此，可以用大概念“度量”來統(tǒng)領(lǐng)，從而組成一個跨章節(jié)的單元。

教學(xué)內(nèi)容教材分布長度二年級、三年級、六年級角度四年級面積三年級、五年級、六年級體積五年級、六年級教學(xué)“長度”內(nèi)容時，首先，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感受單位的形成；其次，通過講授和引導(dǎo)向?qū)W生展現(xiàn)“幾何度量”單元的基本結(jié)構(gòu)：度量對象的感知（線段）、度量單位的產(chǎn)生與發(fā)展（千米、米、厘米、毫米）、度量工具的使用（刻度尺）和度量方法的選擇（直接比較、間接比較、精確比較）；最后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習過程和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)單位觀念，發(fā)展數(shù)感與量感。［10］這樣，教學(xué)“角度”內(nèi)容時，就可以采用類比的方法來開展，以問題引領(lǐng)思考：長度有大小，角度有沒有大??？長度有單位，角度有沒有單位？長度有度量工具，角度有度量工具嗎？教學(xué)“面積”和“體積”內(nèi)容時，也可以采用這種思路。

2.課后學(xué)習內(nèi)容的整體梳理

無論是以章節(jié)為單元的設(shè)計，還是跨章節(jié)的單元設(shè)計，教學(xué)一個單元的內(nèi)容后，都要引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習內(nèi)容進行整體梳理。事實上，教材中也有相應(yīng)的處理：章節(jié)后面都有知識結(jié)構(gòu)圖。但要注意兩點：一是教材中給出的知識結(jié)構(gòu)圖往往只有知識的縱向發(fā)展，缺少知識的橫向聯(lián)系，需要教師補充相關(guān)內(nèi)容；二是梳理知識并不等同于給出知識結(jié)構(gòu)圖，更重要的是設(shè)計配套的作業(yè)來加強知識之間的聯(lián)系，即設(shè)計一些將不同知識點聯(lián)系起來的題目，讓學(xué)生通過完成這些題目使知識結(jié)構(gòu)在頭腦中穩(wěn)固地貯存下來。

（二）提供富有想象的思維空間

提供富有想象的思維空間有三層含義。一是指提供給學(xué)生的學(xué)習材料可以從多個角度認識：從表面認識到深度認識，從顯性信息的認識到隱性信息的認識，從孤立地認識到聯(lián)系地認識。這就與布魯納所說的“掌握信息本身并不是學(xué)習的目的，學(xué)習應(yīng)該超越所給的信息”相契合。二是指提供給學(xué)生的問題有多種解決途徑，可以讓學(xué)生通過發(fā)散思維尋求解決問題的不同路徑。三是指要鼓勵學(xué)生對解答過的問題進行歸類分析，尋找貫穿一類題目的思想方法，也就是解決問題的通性通法，而不要糾纏于解決某個題目的技能技巧。這是課程標準反復(fù)強調(diào)的理念，需要在教學(xué)中貫徹落實。

例1觀察圖2，你能想到什么？

學(xué)生觀察這三個滑梯可能會發(fā)現(xiàn)：有的斜，有的平；有的陡，有的緩；有的高，有的矮；有的寬，有的窄……這些是圖中的顯性信息，那么，圖中的隱性信息是什么呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會考慮滑梯的設(shè)計是否合理的問題，進而思考：這個合理性用什么標準來判斷呢？這時，如果用數(shù)學(xué)的眼光來看待這三個滑梯，就會發(fā)現(xiàn)應(yīng)當用滑梯的滑面與地面的夾角來判斷合理性，從而抽象出角的度量概念。

例2某地山洪暴發(fā)，河水上漲。鎮(zhèn)防災(zāi)辦公室需要盡快打電話通知沿河的A村、B村、C村的村主任，讓他們迅速組織群眾轉(zhuǎn)移。但是，由于地勢偏僻，經(jīng)濟不發(fā)達，鎮(zhèn)防災(zāi)辦公室和四個村均只有一部電話，且通知一位村主任需要一分鐘。請你設(shè)計一個有效的打電話方案。

這個問題的答案是不唯一的：有效的方案有多種（如圖3所示）。其中，最快的方案也有多種（圖3中方案③的幾種等價形式）。

在此基礎(chǔ)上，教師可以進一步推廣問題：如果要通知8個村，最少需要多少分鐘？如果要通知15個村，最少需要多少分鐘？……你能否找到其中的規(guī)律？

（三）設(shè)置多元表征的問題情境

多元表征分為外部表征和內(nèi)部表征。布魯納提出的表征系統(tǒng)屬于內(nèi)部表征，即動作表征、表象表征和符號表征描述的是人的心理現(xiàn)象和行為表現(xiàn)。多元外部表征指提供多樣的、彈性的信息呈現(xiàn)方式：同一知識點或?qū)W習內(nèi)容可以分別使用文本、圖片、聲音、動畫、多媒體等方式呈現(xiàn)出來，從而使學(xué)習障礙最小化，學(xué)習機會最大化。這些外部表征內(nèi)化后，就演變成內(nèi)部表征了。

設(shè)置多元表征的問題情境，可以從兩個方面開展：（1）在新知識學(xué)習階段，充分利用教育技術(shù)為學(xué)生提供視覺、聽覺等多方位的刺激，提供數(shù)學(xué)實驗場景讓學(xué)生多角度觀察、操作，進而理解概念和規(guī)則；（2）在問題解決階段，讓學(xué)生用多種方式表征問題，找到解決問題的最優(yōu)方法。

例3一包糖果平均分給三個小朋友，如果每人吃掉4塊，那么三人剩下的糖果數(shù)之和恰好是原糖果數(shù)的1/3，問：原糖果有多少塊？

這個問題可以用不同的方式來表征。表征1：畫一個大圓，用它的面積表示原糖果數(shù)；把大圓三等分，每份即表示每個小朋友分得的糖果數(shù)；在大圓中再畫一個小同心圓，用小同心圓的面積表示三人剩下的糖果數(shù)之和，于是兩圓形成的圓環(huán)的面積便表示三人吃掉的糖果數(shù)之和，圓環(huán)被分成的三個等份表示三人分別吃掉的糖果數(shù)（如圖4所示）。表征2如圖5所示。這個表征更能準確地反映出題目所給的信息，更加通俗易懂。表征3：設(shè)原來糖果有x塊，則x－12=1/3x。

例4小紅有3件不同的上衣和2件不同的褲子，搭配起來有多少種不同的穿法呢？

這個問題也可以用不同的方式來表征（如圖6所示），包括用示意圖表征事物，用文字符號表征事物;靠在一起（利用位置）表征關(guān)系，連線表征關(guān)系，等等。

（四）提倡探究過程的學(xué)習方式

以知識為本的教學(xué)有一種思維定式，就是一定要讓學(xué)生學(xué)到某個知識點，或者掌握一種解題方法，即讓學(xué)生獲得一個“結(jié)果”。以素養(yǎng)為本的教學(xué)應(yīng)突破這個定式，將“結(jié)果”與“過程”并重——有時候，讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程比簡單地獲得一個結(jié)果更加重要，因為探究的過程本身就能發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。

吳正憲老師上過一節(jié)“復(fù)式折線統(tǒng)計圖”的課［11］，她是這樣教學(xué)的——

首先，提出一個問題：

同學(xué)們喜愛足球運動嗎？足球運動中有一項重要的技術(shù)叫罰點球。五（1）班和五（2）班計劃進行一次罰點球比賽，看看哪個班的同學(xué)罰點球的水平高。五（1）班準備從甲、乙、丙三人中推薦一人作為代表，跟五（2）班比賽。他們?nèi)嗽诘谝恢苊刻斓挠?xùn)練后，都進行了一次點球比賽，每人罰10個點球，表2是進球的數(shù)據(jù)記錄?？戳诉@張表，你準備推薦誰參賽？

學(xué)生每天進球數(shù)星期一星期二星期三星期四星期五甲26147乙45455丙23455然后，發(fā)放學(xué)習單，讓學(xué)生用統(tǒng)計圖作為分析工具，進行探究。

學(xué)生的意見產(chǎn)生了分歧：有的認為應(yīng)從進球總數(shù)考慮，有的認為應(yīng)從進球平均數(shù)考慮，有的認為要看進球的穩(wěn)定性，有的認為要看進球的發(fā)展趨勢。最終，有學(xué)生提出：只有這一張表，還不能確定派誰作為代表。

于是，吳老師又提供了第二周訓(xùn)練后的進球數(shù)據(jù)，讓學(xué)生繼續(xù)探究。

……

下課了，也沒有得到一個統(tǒng)一的答案。

這堂課特色很鮮明，采用的是問題開放教學(xué)模式：問題提出之后，一直沒有給出標準答案，而讓學(xué)生自由發(fā)揮，借助直觀想象和邏輯推理，提出自己的觀點，提出自己解決問題的方法。這堂課打破了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題一定要得到最終答案的思維定式，給學(xué)生留下了發(fā)散的思維空間，指向的是學(xué)生數(shù)據(jù)意識、幾何直觀、推理意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

進一步來看，通過探究得到一個結(jié)論本身就是過程的體現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷這個探究過程是教學(xué)設(shè)計時必須考慮的因素。

例如，教學(xué)“三角形的面積公式”時，可以這樣讓學(xué)生經(jīng)歷探究得到三角形面積公式的過程：

第一步，給出如圖7所示的三個圖，讓學(xué)生把每個圖沿一條對角線剪開，再觀察得到的兩個圖形有什么關(guān)系。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：對角線把一個平行四邊形分成了兩個完全一樣的三角形，所以，兩個三角形的面積相等;進而，三角形的面積等于平行四邊形面積的一半，或者說，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍。

第二步，給出如圖8所示的三個圖，讓學(xué)生把每個圖沿一條對角線剪開，再思考所得三角形的底是多少，高是多少，面積是多少。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：三角形的面積等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。

第三步，出示圖9，讓學(xué)生思考此時三角形的面積和平行四邊形的面積之間是什么關(guān)系，以及在平行四邊形的邊DE上移動三角形頂點A的位置時，這種關(guān)系會不會發(fā)生變化。通過一個三角形的變式演示，讓學(xué)生進一步體會到：任意一個三角形的面積都等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。從而得到三角形面積公式：S=12ah。

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［6］ 唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習的認知模型及教學(xué)研究［D］.南京：南京師范大學(xué)，2008：18.

［9］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育課程方案（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11.

［10］ 侯學(xué)萍，陳琳.小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)的整體設(shè)計［J］.教學(xué)與管理，2018（29）：4345.

［11］ 吳正憲，魯靜華，張秋爽，等.會說話的數(shù)據(jù)，讓決策有依據(jù)——“復(fù)式折線統(tǒng)計圖”課堂教學(xué)實錄［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2019（11）：14-18.

*本文系喻平教授團隊的“數(shù)學(xué)學(xué)習心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（小學(xué)）系列文章之十。