余建國 (江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 210044)

1 基本情況

1.1 授課對象

授課對象為四星級高中普通班,基礎(chǔ)一般,對數(shù)學(xué)概念從理解到運用需要在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷多次反復(fù)的學(xué)習過程．

1.2 教材分析

“從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一第3.3節(jié),第1課時為“從函數(shù)觀點看一元二次方程”,主要是引入“二次函數(shù)的零點”概念,并系統(tǒng)歸納二次函數(shù)的零點情況,通過兩個例題,示范求二次函數(shù)的零點、判斷某區(qū)間上二次函數(shù)的零點是否存在．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》的一個顯著變化是解決了初高中過渡和銜接問題,設(shè)置了“預(yù)備知識”,改變了過去通過補課僅僅解決知識層面的問題,強調(diào)遵循學(xué)生的認知規(guī)律,采用適合高中階段的學(xué)習方法．將函數(shù)的零點融合到預(yù)備知識《不等式》一章,在系統(tǒng)地介紹了不等式性質(zhì)之后,在回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習中引入函數(shù)的零點,再用函數(shù)的思想方法解一元二次不等式,體現(xiàn)了函數(shù)應(yīng)用的兩個基本方面:一是用“函數(shù)的思想方法”思考、解決其他數(shù)學(xué)問題;二是用“函數(shù)的思想方法”描述、分析和解決實際問題．

1.3 學(xué)情分析

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習中,通過一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習,學(xué)生知道了求一次函數(shù)y=kx+b圖象與x軸的交點的本質(zhì)就是解方程kx+b=0;對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸是否相交和方程ax2+bx+c=0的解的關(guān)系,也有一些直觀的認識．“函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)=0根的直接推廣,新、舊知識之間只有一層窗戶紙,一捅就破．”[1]從方程到函數(shù)體現(xiàn)了“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想,學(xué)習中需要教師創(chuàng)設(shè)適當?shù)那榫?讓學(xué)生體會到轉(zhuǎn)化的必要性,轉(zhuǎn)化過程是自然的．

1.4 教學(xué)目標

根據(jù)課程標準和以上分析確定如下教學(xué)目標和教學(xué)重點．

教學(xué)目標 (1)回顧求解一元一次方程、一元二次方程的過程,了解函數(shù)零點定義;(2)從函數(shù)零點、方程的根及函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標三者之間的關(guān)系理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系,體會數(shù)學(xué)的整體性;(3)能系統(tǒng)歸納一元二次函數(shù)的零點情況．

教學(xué)重點 用函數(shù)思想統(tǒng)領(lǐng)本節(jié)課的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)觀點看一元二次方程,實現(xiàn)“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化．

2 教學(xué)過程

2.1 參與(engagement)

教師創(chuàng)設(shè)情境或提出問題,喚醒學(xué)生的先前知識經(jīng)驗和產(chǎn)生認知沖突,吸引學(xué)生的注意力和激發(fā)學(xué)習興趣,使學(xué)生積極思考、動手、動腦．

問題1同學(xué)們解過哪些方程?你會解方程x5+x2+2x-3=0嗎?

學(xué)生對這個五次方程肯定為難,教師改變問法:(1)解方程2x-3=0;(2)解方程x2+2x- 3=0;(3)借助函數(shù)y=2x-3的圖象來求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0．

設(shè)計意圖問題1為什么選擇五次方程?因為三次和四次方程實際上都有求根公式,如果預(yù)設(shè)為三次或四次方程,雖然學(xué)生不一定知道有求根公式存在,但本質(zhì)與二次方程一樣,教者將陷入兩難,所以教師創(chuàng)設(shè)的情境必須將學(xué)生逼到“死角”,與學(xué)生的先前知識經(jīng)驗產(chǎn)生認知沖突．當然,這里的五次函數(shù)是單調(diào)的,即它只有一個零點．

2.2 探究(exploration)

在教師提供素材的基礎(chǔ)上,鼓勵學(xué)生獨立思考、討論交流,教師聆聽、觀察,必要時給予學(xué)生恰當?shù)囊龑?dǎo),如追問、反問、提供新的素材等,其角色是學(xué)習的促進者．

問題2反過來,結(jié)合剛才所畫圖象,也可以通過求解2x-3=0,2x-3>0,2x-3<0,來深入理解函數(shù)y=2x-3的性質(zhì)．因此,對于求解方程x2+2x-3=0,你認為還可以選擇什么視角?

畫一元二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象．由圖可知,該函數(shù)與x軸有兩個交點(-3,0)和(1,0),也就是說方程y=0有兩個相異實根-3,1．不僅如此,圖象還告訴我們,當x<-3或x>1時,y>0;當-30,即x2+2x-3>0這樣的不等式稱為一元二次不等式．

追問 那么,你認為如何解方程x5+x2+2x-3=0?

設(shè)計意圖用學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,引出一元二次不等式的概念,開辟研究方程、不等式問題的新視角——函數(shù)的視角．對于函數(shù)y=x5+x2+2x-3,教師可以借助幾何畫板等工具先畫出它的圖象(圖1),先感受其根的存在性,讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成借助直觀理解概念、進行邏輯推理的習慣．另外,這個追問在本課最后還會再提起．

圖1

2.3 解釋(explanation)

對學(xué)生自主探究階段得到的原因、過程及結(jié)果進行梳理,形成比較嚴謹?shù)慕忉?在此基礎(chǔ)上定義新的概念,用數(shù)學(xué)語言規(guī)范地表達.通常還可以指引進一步探究的方向．

由此,從函數(shù)的視角我們發(fā)現(xiàn),使y=0的x值聯(lián)系了函數(shù)、方程和不等式,這個值有特別重要的意義,我們給它一個新的身份:函數(shù)的零點．給出一元二次函數(shù)零點的定義(略)．

問題3完成下列表格:

函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+2方程的根函數(shù)零點

設(shè)計意圖一方面用于理解二次函數(shù)零點定義,感受求零點的方法;另一方面,復(fù)習二次方程根的3種情況,并與求零點相聯(lián)系,為進一步歸納做準備．當然,理解了這些也為一般函數(shù)的零點及求法(或判斷存在性)做鋪墊．在“解釋”環(huán)節(jié),教師還要注意對學(xué)生的數(shù)學(xué)表達給予必要的糾正,促進學(xué)生對新概念的正確理解,因為學(xué)生很容易將新概念與舊有的知識相混淆,如將零點說成交點．

2.4 精致(elaboration)

教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個新的情境,如一個開放性的問題或一個逐漸深入的問題串,讓學(xué)生通過小組合作、討論交流,將新概念與原有的知識建立聯(lián)系,從而使其構(gòu)成新的認知結(jié)構(gòu)．

問題4一元二次函數(shù)零點、一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標三者有什么關(guān)系?

從本質(zhì)上講,三者是一樣的．既然一樣,這就為解決問題提供了新的途徑．教師可以追問,試舉例說明新用途．例如,可以借助于函數(shù)圖象解不等式;也可以借助于函數(shù)圖象解方程(這個說法暫時給予肯定);等等．

問題5列表歸納:當a>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點之間的關(guān)系．

設(shè)計意圖通過歸納,讓新知識形成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),形成“長時記憶”;同時歸納也是培養(yǎng)從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法,“代數(shù)靠歸納,幾何靠類比”,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)．當然,對于“a>0”的提出過程,也是滲透“一般化”的機會．

追問 當a<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點之間的關(guān)系請同學(xué)們自行完成．

例1求證:二次函數(shù)y=2x2+3x-7有兩個零點．

例2判斷二次函數(shù)y=x2-2x-1在區(qū)間(2,3)上是否存在零點．

對于例1和例2,求出零點是顯而易見的方法,教師需要引導(dǎo)學(xué)生用習得的新視角——函數(shù)視角,尤其對例2進行新的探究．如畫出函數(shù)的圖象看看究竟,是否能發(fā)現(xiàn)新的有價值的線索,如“兩端異號”?又如“縮短區(qū)間”?用幾何畫板動態(tài)演示函數(shù)y=x2-2x+a在區(qū)間(2,3)上是否存在零點,追問“異號”是否為必要的,觀察、思考、討論,或者引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化:y=0?a=-x2+2x,從函數(shù)圖象的視角怎么理解?單調(diào)性、對稱性、連續(xù)性……在這里,函數(shù)的“序幕”已徐徐展開．

2.5 評價(evaluation)

對結(jié)果的評價是必須的,同時更應(yīng)該對過程進行評價,且評價的形式要綜合化、多元化,提倡學(xué)生自評、互評,評價應(yīng)該貫穿于整個學(xué)習過程．

問題6通過以上學(xué)習,結(jié)合圖1,你對解方程x5+x2+2x-3=0提出什么有價值的研究問題?

設(shè)計意圖首先是學(xué)會用函數(shù)和零點等數(shù)學(xué)語言表述所提問題;其次是為什么函數(shù)y=x5+x2+2x-3有零點?再次是為什么只有1個零點?不同的提法反映了學(xué)生本節(jié)課達到的思維層次．顯然,教師不可能在本節(jié)課解決學(xué)生所提的所有問題,但它們是新的學(xué)習、新的探究的起點,也是課堂“留白”的藝術(shù)．

問題7(本課小結(jié))通過本節(jié)課的學(xué)習,你學(xué)到了哪些方法或者思想?對照學(xué)習目標,你是否完成了目標?下節(jié)課我們應(yīng)該做什么?

小結(jié)是學(xué)生自我評價的重要形式,也是教師把握學(xué)習目標達成度的觀察窗口．能夠清晰而有條理地表達新概念和新方法,學(xué)會應(yīng)用新概念和新方法來解決新問題,大膽地提出開放性問題,深懷對未知數(shù)學(xué)知識的學(xué)習期待等,都是目標達成度高的體現(xiàn)．

3 回顧反思

3.1 簡述5E教學(xué)模式

5E教學(xué)模式是美國生物學(xué)課程研究(BSCS)開發(fā)出的、以建構(gòu)主義為理論指導(dǎo)的一種教學(xué)模式．它包括5個教學(xué)環(huán)節(jié),即參與、探究、解釋、精致和評價,因為每個環(huán)節(jié)的首字母都是E,故簡稱5E教學(xué)模式[2]．雖然它起源于生物學(xué)課程研究、眾多的研究成果也以生物學(xué)科教學(xué)為例,但筆者研究發(fā)現(xiàn),5E教學(xué)模式與數(shù)學(xué)教育有相通之處,尤其在數(shù)學(xué)概念與原理的教學(xué)中．從圖2的結(jié)構(gòu)可以看出,5E教學(xué)模式與數(shù)學(xué)概念的形成是相通的[3],實證研究表明它是一種操作性強、實用性好的教學(xué)模式．

圖2

3.2 5E指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計

在實際生產(chǎn)生活中,人們面對和迫切需要解決的是方程的近似解．圍繞零點的存在性、近似解的研究,數(shù)學(xué)取得了突飛猛進的發(fā)展,因此課本把零點概念提前,零點問題貫穿函數(shù)學(xué)習的始終,當然它也是高考評價的熱點．“讀書無疑者,須教有疑”(朱熹),本節(jié)課以五次方程“啟疑”,再以五次方程“拓疑”,強化了函數(shù)視角,拓展了思維空間,發(fā)展了函數(shù)觀點．

在“參與”環(huán)節(jié),教師創(chuàng)設(shè)特定的問題情境,讓學(xué)生展示和暴露已有概念,以吸引學(xué)生的學(xué)習興趣．在“探究”環(huán)節(jié),學(xué)生通過仔細觀察,認真分析,概括規(guī)律,建立方程、函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系,這是引入零點的重要前提．在“解釋”環(huán)節(jié),學(xué)生會用自己的語言解釋探究結(jié)果,并能求解具體的一元二次方程的零點．在“精致”環(huán)節(jié),教師為學(xué)生提供時間和空間,系統(tǒng)整理“三個二次”,達到從術(shù)語到內(nèi)涵全方位地理解零點．最后在“評價”環(huán)節(jié),及時了解學(xué)生在零點構(gòu)建過程中教學(xué)和學(xué)習目標的達成度,同時鼓勵學(xué)生大膽提出未來函數(shù)學(xué)習中需要研究的問題或方向．

顯然,5E模式也不一定以線性方式展開,更多的時候是交叉的、立體的,尤其是“探究”和“精致”2個環(huán)節(jié)[4]．先以一次函數(shù)、二次函數(shù)為背景,后以高次函數(shù)為背景;先探開口向上,后探開口向下;后續(xù)學(xué)習中先研究多項式函數(shù),再研究超越函數(shù);等等.這種周期性的5E教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心,通過創(chuàng)設(shè)層層遞進的問題情境,驅(qū)動學(xué)生自主探究,促進學(xué)生對概念的整體理解與知識建構(gòu)．

3.3 豐富5E模式內(nèi)涵

5E教學(xué)模式的核心階段是“探究”,教學(xué)主體過程和重點也是在“探究”[5]．在數(shù)學(xué)概念形成 過程中,不僅要求教師設(shè)置好探究活動,更重要的是教會學(xué)生如何探究．教師的作用是給予學(xué)生 恰時恰點的引導(dǎo),實現(xiàn)探究過程的連續(xù)、自然和有效．這與新課標提倡的“四基”“四能”在理念和 實施層面是一致的．教學(xué)中不應(yīng)囿于固定的模式,而是應(yīng)該緊扣模式的核心,豐富和發(fā)展5E教學(xué) 模式．