孫培培 朱會(huì)芳

摘 要：高考評(píng)價(jià)體系將“引導(dǎo)教學(xué)”納入核心功能，有利于理順教考關(guān)系，增強(qiáng)“以考促教的主動(dòng)意識(shí)”.這里的“考”指高考，“教”就是課堂教學(xué).高考試題所涉及的思想方法大都在教材中有所體現(xiàn)，甚至重復(fù)出現(xiàn)，這就為我們的教學(xué)提供了思路——以考促教.

關(guān)鍵詞：以考促教；課堂教學(xué)；高考試題

新高考背景下，大家開始重新審視人教版教材，回歸教材成了大家的口頭禪，書上的內(nèi)容很多，如何回歸是大家的疑惑，本文就2021年新高考Ⅰ卷的第19題展開探討.

1 例題解析

例1 （2021年新高考Ⅰ卷第19題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b²=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1） 證明：BD=b；

（2） 若AD=2DC，求cos∠ABC.

高考考查學(xué)生高質(zhì)量地整合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，考查學(xué)生在面對(duì)情境時(shí)獨(dú)立思考和探索創(chuàng)新的內(nèi)在的認(rèn)知品質(zhì)，即思維品質(zhì)、方式和能力的綜合［1］.

課程標(biāo)準(zhǔn)［2］：① 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.

② 借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.

③ 利用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

2 聯(lián)系教材

必修第二冊(cè)6.4平面向量的應(yīng)用中利用向量的方法探究了平行四邊形的兩條對(duì)角線與兩條鄰邊的關(guān)系（三角形的中線也類似），蘊(yùn)含了向量算兩次的思想，體現(xiàn)了向量的應(yīng)用性：

例2 （必修第二冊(cè)39頁(yè)）如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？

分析：平行四邊形的對(duì)角線可以用兩邊（即基底）來表示；遷移到三角形中，即三角形的中線問題（三等分點(diǎn)等）可以選擇基底表示.

其實(shí)這個(gè)結(jié)論和方法都可以進(jìn)行推廣：如三角形的中位線，三角形的三等分點(diǎn)等，考查學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，以及學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

涉及兩個(gè)向量的和或差的模的問題，大多只需對(duì)向量的和或差的模平方，便能夠快速解決.在解決問題的過程中，我們應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生使用書中給出的向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”：（1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2） 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3） 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

教材：人教版教材把正、余弦定理放在了向量的應(yīng)用中，我們?cè)诮虒W(xué)中要充分挖掘向量的應(yīng)用價(jià)值.向量本身是一種工具，工具就是為我們服務(wù)的，我們要充分利用這一工具解決平面幾何、立體幾何問題.

解法1 余弦定理算兩次.

解：（1） 以∠BCD為背景構(gòu)造余弦定理聯(lián)立方程即可得解.

（2） 本題也可以選擇以∠BAD或者∠ADB和∠BDC這一補(bǔ)角來解決.

教材：教科書利用向量的數(shù)量積進(jìn)行探究，快速地獲得了余弦定理，充分體現(xiàn)了向量的優(yōu)勢(shì).事實(shí)上，當(dāng)我們把三角形的兩邊用向量表示后，問題轉(zhuǎn)化為了關(guān)于兩個(gè)向量及其夾角的問題，于是，自然而然地想到利用向量的數(shù)量積進(jìn)行探究.

解法2 坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)解決問題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，怎樣表示點(diǎn)坐標(biāo)是學(xué)生解題的難點(diǎn).

坐標(biāo)法學(xué)生運(yùn)用非常少，這與我們的教學(xué)不重視坐標(biāo)法在三角形中的運(yùn)用也有很大的關(guān)系.

（必修第二冊(cè)43頁(yè)）在余弦定理的證明中，教科書中留有一個(gè)思考：你能用其他方法證明余弦定理嗎？這是一個(gè)很好的滲透坐標(biāo)法的時(shí)機(jī).

無獨(dú)有偶，在選擇性必修第一冊(cè)中也有一些滲透坐標(biāo)法的機(jī)會(huì)，如例3所示.

例3 用坐標(biāo)法證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

分析：首先要建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

證明：如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

在ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，0），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（b，c），由平行四邊形的性質(zhì)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+b，c）.

由兩點(diǎn)間的距離公式，得

即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.

坐標(biāo)法的運(yùn)用不僅僅局限于解析幾何與立體幾何中，在平面幾何中也有非常廣泛的運(yùn)用.用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的步驟如下：根據(jù)具體問題情境的特點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，根據(jù)對(duì)幾何問題的分析，探索解決問題的思路，運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論，解決幾何問題.

分析：以解三角形為背景考查三角恒等變換、誘導(dǎo)公式.這題讓考生叫苦不迭，究其原因?yàn)椴恢绾翁幚韘inB=-cosC這一條件.該題體現(xiàn)了新高考的課程理念：在新問題情境中分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)和素養(yǎng)解決問題.

解：因?yàn)閟inB=-cosC，所以C為鈍角，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)橹澜荁和角C的弦值之間的關(guān)系，可以選擇用邊b，c以及角B，C來表示點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而達(dá)到消元的作用.

鏈接高考：（2017年新課標(biāo)Ⅰ卷第9題）y=Asin（ωx+φ）的圖象變換涉及到誘導(dǎo)公式的考查，以三角函數(shù)的圖象變換為背景考查誘導(dǎo)公式在高考試題中比比皆是.

教學(xué)啟示：

高考評(píng)價(jià)將“引導(dǎo)教學(xué)”納入核心功能，有利于理順教考關(guān)系，增強(qiáng)“以考促教”的主動(dòng)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)“以考促教、以考促學(xué)”的目的.

3 啟示

3.1 加強(qiáng)高考試題的研究

高考試題是專家們依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材命制的，具有很高的研究?jī)r(jià)值.它們體現(xiàn)了新課改的理念、高考評(píng)價(jià)體系的要求，根據(jù)教材精準(zhǔn)打擊.隨著新高考改革的不斷深入，為了越來越好地理順教考關(guān)系，研究高考試題是每個(gè)教師的必修課.我們不應(yīng)只關(guān)注解題的技巧，一題多解等，還應(yīng)該注重知識(shí)體系和思想方法的考查，通過研究高考試題，我們發(fā)現(xiàn)有些知識(shí)點(diǎn)重復(fù)的考查，每一種解題方法在教材中都有對(duì)應(yīng)的體現(xiàn)，如向量法在教材中以例題的形式呈現(xiàn)，余弦定理求中線長(zhǎng)在教材中以課后習(xí)題的形式體現(xiàn)，坐標(biāo)法有例題、習(xí)題和思考等.高考試題對(duì)每一方法的考查都是有其教材背景的.

老師都習(xí)慣于依賴當(dāng)年的最新模擬試題，而不注重對(duì)高考試題的研究，模擬試題有些題目是知識(shí)點(diǎn)的重現(xiàn)，沒有新意；有些題目很難，背離了高考考查的意圖.而高考試題雖然知識(shí)重復(fù)考查，但都出其不意，體現(xiàn)創(chuàng)新性的要求，我們要從創(chuàng)新性的角度出發(fā)理解知識(shí)的內(nèi)涵和外延，進(jìn)而指導(dǎo)我們的教學(xué).

3.2 重視教材的回歸

以一道高考試題說起：（2022年全國(guó)乙卷文科）若f（x）=ln|a+1/1-x|+b是奇函數(shù)，則a=_______，b=_______.在函數(shù)奇偶性教學(xué)的過程中，談及是否可以利用定義域求參數(shù)的值時(shí)，我就談到了本道高考試題，無論是根據(jù)定義還是選取特殊值都非常煩瑣，而本道高考試題就是從定義域的角度出發(fā)解決問題的.回顧教材奇偶函數(shù)的定義，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)新教材的改變之處：顯現(xiàn)了定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即x∈D，都有-x∈D），而舊教材是隱含在定義中的.研究高考，回歸教材不是一句空話，讓我們對(duì)教材的理解更加的通透，我們?cè)诮虒W(xué)的過程中才能更加游刃有余，這就是“以考促教”.

3.3 重視知識(shí)、方法的交叉

本例中的向量、余弦定理、坐標(biāo)法，都具有一定的聯(lián)系，我們用向量的方法證明了余弦定理，用坐標(biāo)法研究了向量，其實(shí)也用坐標(biāo)法證明了余弦定理，這三種方法是相通的.而學(xué)生的選擇往往是狹隘的，如用坐標(biāo)法證明余弦定理便較為少見.因?yàn)樽鴺?biāo)法沒有得到老師應(yīng)有的重視.如解決復(fù)雜的向量問題時(shí)，往往可以選擇坐標(biāo)法，我們老師同樣說：也可以用坐標(biāo)法解決.久而久之，坐標(biāo)法成為了學(xué)生耳邊的過客，導(dǎo)致學(xué)生不知道用坐標(biāo)法還可以解決平面幾何問題，只知道解決立體幾何與解析幾何.究其原因是教師沒有理順教考關(guān)系，沒有銜接好教考關(guān)系.

3.4 重視公式的推導(dǎo)過程

如sinB=-cosC，誘導(dǎo)公式五和六對(duì)學(xué)生來講本就是難點(diǎn)，學(xué)生不能很好地從對(duì)稱的角度發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱關(guān)系，理解起來就比較困難，光憑死記硬背不是長(zhǎng)久之計(jì).教材中用一課時(shí)介紹這兩個(gè)誘導(dǎo)公式，有些老師一節(jié)課介紹了六組誘導(dǎo)公式.教材中用了探究、留白證明的方式想讓學(xué)生明白其來龍去脈，而我們卻背道而馳.在處理這些公式時(shí)，兩角和與差的正余弦公式，通過例題和習(xí)題的方式讓學(xué)生證明，其目的應(yīng)該是從不同的角度理解誘導(dǎo)公式，有些老師為了節(jié)省時(shí)間，又留給學(xué)生一句話：誘導(dǎo)公式是兩角和與差的正余弦公式的特例.學(xué)生沒有基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，怎能體會(huì)其特殊性？

教材、高考相互影響，相互滲透，研究高考試題，讓我們更加理解教材的編寫意圖，更加清晰地理清教考關(guān)系，從而讓我們的課堂更高效.高效的課堂會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，從而促進(jìn)“考”，這就是高考評(píng)價(jià)體系中所說的教考合一.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 教育部考試中心制定.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2020.