張穎

摘 要：本文結(jié)合新高考實施以來部分地區(qū)高考原題，討論分析“恒成立”問題在高考試題中的呈現(xiàn)形式及解決辦法.通過對高考試題的分析，總結(jié)一些共性的解題策略.首先判斷待解題型是否屬于“恒成立”問題，若屬于“等式恒成立”問題，則可通過“特殊化”的辦法打開思路，尋找動因，利用變化中的不變量構(gòu)造等量關(guān)系；若屬于“不等式恒成立”問題，則可利用參變分離等方法，從函數(shù)的角度理解問題，進(jìn)而求出解答.

關(guān)鍵詞：恒成立；特殊化；函數(shù)；動因

“恒成立”問題一直是高考試題中的一個熱點問題.新高考實施以來，各類題型、不同考點中往往都會滲透“恒成立”問題.那么，應(yīng)如何解答“恒成立”問題？下面結(jié)合近幾年的高考試題談一些求解此類問題的方法.

3 結(jié)論

綜合前面幾道高考試題的解答，今后我們在遇到問題時，可以按照下面的線索進(jìn)行思考：

（1） 判斷所要解決的問題是否為“恒成立”問題.

首先看已知條件中是否有“任意的”“無論取何值”“存在無窮個”等對于某個命題都成立的語句.若并未明確指出的，我們可以通過探尋題意中是否存在“變中之不變”的含義來辨別是否為“恒成立”問題.

（2） 若屬于“等式恒成立”問題，我們可以從兩個方面考慮：

其一，能否采用“特殊化”的思想，如例1、例2.此時，或許有些問題就解決了，而哪怕有些問題不能完全解決也基本能找到問題的突破口，使復(fù)雜問題簡單化，給我們提供一些啟示.

其二，尋找“變”的原因（即“動因”）和“不變”的量，如例3.也就是說，要從問題中挖掘出是哪一個量在不斷地變化，而哪一個量又是不變的.這樣，可以列出那些“不變”的量的等式.

（3） 若問題屬于“不等式恒成立”問題，我們也可以從兩個方面考慮：

其一，將所求參數(shù)a與變量x分離，比如例4.轉(zhuǎn)化為f（x）＞a或f（x）＜a恒成立，進(jìn)而求出f（x）的最值，滿足a＜f（x）min或a＞f（x）max，找出參數(shù)的范圍.

其二，構(gòu)造新函數(shù)y=f（x）-a，再利用其圖象，給出滿足y＞0或y＜0的充要條件，進(jìn)而將問題解決.

當(dāng)然，當(dāng)參數(shù)和變量可以分離時，分離參數(shù)的方法較為方便，尤其是在變量x的取值有范圍限制的時候.

總之，從歷年的考題變化看，“恒成立”問題是?？汲Ｐ碌臒衢T話題，而且常常出現(xiàn)在中檔或中檔以上難度的解答題中.對于“恒成立”問題，學(xué)生要掌握以上介紹的幾種處理方法，做到心中有底，這樣才能以不變應(yīng)萬變.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉玉婷，倪軍.雙減背景下基于問題解決的初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（5）：5456.

［2］ 顧峰.指向問題解決的數(shù)學(xué)課堂情境導(dǎo)入方式的探究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（5）：1718.

［3］ 徐翠萍，孔德宏.2021年全國高考數(shù)學(xué)甲卷理科第21題的解法及變式探究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（4）：8789.

［4］ 蔡陳.嚴(yán)謹(jǐn)檢驗，靈活解題——由函數(shù)的奇偶性錯解分析引發(fā)的思考［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（4）：6769.

［5］ 羅理想.高考數(shù)學(xué)解析幾何考查狀況分析——以2021年高考數(shù)學(xué)全國二卷為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（3）：8182.