姜兆敏 孟鳳娟 嚴(yán)靜

摘 要：文中基于GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何軟件，以師范生的解析幾何課程為例，探索使解析幾何教學(xué)內(nèi)容可視化的途徑，為學(xué)生探究解析幾何中的概念、理論、圖形等提供思路，有效提升了課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)方向師范生的空間想象能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究問(wèn)題的能力，提高了師范生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平和信息技術(shù)應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件；可視化；動(dòng)態(tài)演示；解析幾何

《解析幾何》是師范專業(yè)數(shù)學(xué)方向的一門必修課，具有抽象性和直觀性兩重屬性.關(guān)于這部分的教學(xué)用傳統(tǒng)教學(xué)手段，教師很難徒手在黑板上快速、準(zhǔn)確、生動(dòng)地畫(huà)出空間曲面、曲線，雖然可以結(jié)合PPT講解，但是PPT上的靜態(tài)的圖形缺乏生動(dòng)性、直觀性，難以實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果.為了改善這類弊端，有的高校教師用數(shù)學(xué)軟件Matlab、Mathematic、Maple等輔助教學(xué)，但是這些軟件需要較強(qiáng)的編程能力，不適合大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師，且這些軟件不能插入PPT使用.“工欲善其事，必先利其器”，動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板GeoGebra軟件簡(jiǎn)便易學(xué)［1］，文件占用內(nèi)存小，可以加載到PPT中演示，為一些需要“數(shù)形結(jié)合”課程的教學(xué)帶來(lái)了高效便捷，同時(shí)，生動(dòng)的動(dòng)畫(huà)演示增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生的空間想象力，能迅速提升教學(xué)效果.

蘇格拉底時(shí)代，教師需要聲如洪鐘；課堂教學(xué)時(shí)代，教師需要板書(shū)工整；PPT教學(xué)時(shí)代，教師需要熟悉多媒體教學(xué)；慕課教學(xué)時(shí)代，教師需要讓課堂生動(dòng)、有趣；智慧教學(xué)時(shí)代，教師需要學(xué)會(huì)智能操作.隨著時(shí)代的進(jìn)步和發(fā)展，教師應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，優(yōu)化課堂教學(xué)模式，不斷成長(zhǎng)和進(jìn)步.信息技術(shù)時(shí)代，人們對(duì)信息的獲取絕大部分是依賴視覺(jué)實(shí)現(xiàn)的，信息的圖像化能夠加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解.教師將信息技術(shù)與課程深度融合的目的是以信息技術(shù)為云梯，縮小數(shù)學(xué)家的思維方式和學(xué)生的思維方式之間的鴻溝，考慮學(xué)生的認(rèn)知心理，理解學(xué)生的認(rèn)知困難所在，能更有效地助力學(xué)生的學(xué)習(xí)，為學(xué)生探索未知啟發(fā)思路，引導(dǎo)學(xué)生改善學(xué)習(xí)方法，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以實(shí)現(xiàn)的教學(xué)效果.在《解析幾何》［2］的教學(xué)中，如果教師應(yīng)用GeoGebra軟件輔助教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行可視化、多元化呈現(xiàn)，能使得一些抽象復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容變得直觀易懂，促進(jìn)學(xué)生迅速掌握所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率，教師能夠輕松實(shí)現(xiàn)《解析幾何》課程的培養(yǎng)目標(biāo).由于GeoGebra軟件容易上手，教師也可以在課堂上向?qū)W生傳授一些指令的使用方法，提高新時(shí)代的師范生應(yīng)用信息技術(shù)的能力，使師范生的高等教育向著信息化高水平發(fā)展.

1 可視化案例

1.1 理解圓錐曲線的概念

用一個(gè)平面去截一個(gè)二次錐面，得到的交線稱為圓錐曲線，圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線.在教學(xué)時(shí)，教師可以利用GeoGebra軟件為學(xué)生理解圓錐曲線的概念創(chuàng)設(shè)背景，動(dòng)態(tài)展示不同位置的平面去截圓錐面得到不同形狀的交線，幫助學(xué)生理解圓錐曲線的概念.具體過(guò)程如下：

在指令欄輸入：無(wú)限長(zhǎng)圓錐（（0，0，0）， z軸， 45°），得到圓錐面z2=x2+y2，創(chuàng)建角度滑動(dòng)條α，最小0°，最大360°，創(chuàng)建數(shù)值滑動(dòng)條b，最小-5，最大5，輸入指令：平移（旋轉(zhuǎn)（z=0， α， y軸）， 向量（（0， 0， 0）， （0， 0， b））），得到平面p，使用工具欄中的相交曲線工具，得到平面p和圓錐面的交線，啟動(dòng)滑動(dòng)條α、b，改變交線的形狀，還可以創(chuàng)建平面p的平面視圖，在平面視圖上考查截線形狀，隨著滑動(dòng)條取值的改變，平面的位置隨之變化，得到變化的圓錐曲線.

1.2 截痕法研究曲面的形狀

在空間解析幾何教學(xué)中，有些空間曲面形狀比較復(fù)雜，學(xué)生很難通過(guò)曲面的方程得到曲面的形狀，比如雙曲拋物面.在課堂教學(xué)中，教師很難在黑板上徒手畫(huà)出圖形，即使用繪圖軟件畫(huà)出靜態(tài)圖形在PPT上展現(xiàn)給學(xué)生，但是學(xué)生們也只是對(duì)圖形走馬觀花似的看了一番，只能直觀感受到雙曲拋物面形狀像“馬鞍”，并不能深入理解曲面方程和圖形的內(nèi)在聯(lián)系，也不能深刻領(lǐng)會(huì)方程中各個(gè)變量的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系.

如果教師使用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)，那么將會(huì)給學(xué)生帶來(lái)全新的學(xué)習(xí)體驗(yàn).教師結(jié)合雙曲拋物面的方程表達(dá)式z=x²/a²－y²/b²，令x，y，z取不同的常數(shù)a，b，c，首先進(jìn)行理論上的推導(dǎo)，得到不同的截線的方程，然后再利用GeoGebra動(dòng)態(tài)展示截痕，將抽象的幾何圖形變成“看得見(jiàn)，摸得著”的動(dòng)態(tài)曲線，通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生能非常容易地把截線和其方程建立起直接聯(lián)系，并通過(guò)在大腦中綜合截痕得出雙曲拋物面的形狀，在這樣的學(xué)習(xí)中，學(xué)生更容易頓悟出雙曲拋物面名稱的由來(lái).

作圖過(guò)程：在指令欄輸入：如果（-5<=x<=5-5<=y<=5，x^2/4-y^2/9），得到雙曲拋物面a（x，y），創(chuàng)建三個(gè)數(shù)值滑動(dòng)條a，b，c，使用工具欄里的相交曲線指令，分別得到雙曲拋物面a（x，y）與平面x=a，y=b，z=c的截線，啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)a，b，c，得到截線的動(dòng)畫(huà).

1.3 空間曲面概念的可視化

旋轉(zhuǎn)曲面是由平面里的一條曲線繞著同一平面里的一條直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面.在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)曲面的教學(xué)時(shí)，借助GeoGebra可以動(dòng)態(tài)演示旋轉(zhuǎn)曲面形成的過(guò)程.通過(guò)改變母線的形狀，能夠旋轉(zhuǎn)出不同形狀的旋轉(zhuǎn)曲面，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，能直觀地感受到數(shù)學(xué)的美.下面以圓環(huán)面為例簡(jiǎn)要說(shuō)明旋轉(zhuǎn)曲面的教學(xué)設(shè)計(jì).

同時(shí)打開(kāi)繪圖區(qū)和3D繪圖區(qū)，首先在平面繪圖區(qū)繪制母線c：x²+（y－2）²=1，在指令欄輸入： x^2+（y-2）^2=1，得到圓c，然后輸入：曲面（c，360°，x軸），可在3D繪圖區(qū)生成圓周c繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面——圓環(huán)面.如果要展示圓環(huán)面的形成過(guò)程動(dòng)畫(huà)，可創(chuàng)建角度滑動(dòng)條α，最小0°，最大360°，在指令欄輸入：曲面（c，α，x軸），啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)α，那么可以觀察到圓環(huán)面的整個(gè)形成過(guò)程.我們還可以繪制母線c繞著x軸旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，創(chuàng)建整數(shù)滑動(dòng)條n，最小1，最大50，在指令欄輸入：序列（旋轉(zhuǎn)（c，2pi*i/n，x軸），i，1，n），可以觀察到母線繞著x軸旋轉(zhuǎn)生成圓環(huán)面的過(guò)程，如圖1.將母線換成其他曲線，可以生成不同形狀的旋轉(zhuǎn)曲面.

1.4 理解空間曲面、曲線參數(shù)方程

1.4.1 球面的參數(shù)方程及經(jīng)緯線

空間中一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)（x，y，z）和球面坐標(biāo) （r，θ，φ）的關(guān)系為

在講解球面坐標(biāo)（r，θ，φ）的定義時(shí)，可以借助滑動(dòng)條動(dòng)態(tài)演示. 創(chuàng)建數(shù)值滑動(dòng)條r，范圍［0，5］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，2π）， 啟動(dòng)滑動(dòng)條r，可以觀察到球面的大小發(fā)生改變. 創(chuàng)建角度滑動(dòng)條α，范圍［0， 2π］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，α）， 創(chuàng)建角度滑動(dòng)條β，范圍［0，π］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，β，θ，0，2π），啟動(dòng)角度滑動(dòng)條α和β，可以觀察到部分球面的生成，將球面的參數(shù)方程中的參數(shù)φ，θ的幾何含義和取值范圍直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生，如圖2所示.

在球面的參數(shù)方程教學(xué)時(shí)，還可以進(jìn)一步地利用序列指令繪制球面上的經(jīng)線和緯線.在指令欄輸入：序列（曲線（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π），θ，0，2π，0.5），得到球面上的一組經(jīng)線，序列（曲線（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），θ，0，2π），φ，0，π，0.5），得到球面上的一組緯線，可以進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于球面的參數(shù)方程中的參數(shù)φ，θ的定義的理解.

1.4.2 例題展示

2 思考與展望

目前，GeoGebra軟件在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)廣泛使用［35］.實(shí)踐證明，在教學(xué)中利用GeoGebra軟件對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、最值問(wèn)題和函數(shù)圖像的教學(xué)起到了非常顯著的教學(xué)效果.在國(guó)外高校GeoGebra軟件使用非常廣泛［6］，在國(guó)內(nèi)高校的教學(xué)中，GeoGebra軟件的使用已經(jīng)悄然升起.GeoGebra軟件除了可以輔助解析幾何的教學(xué)，還可以應(yīng)用于微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、物理、化學(xué)等學(xué)科.鑒于GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)，在高校的理工科教學(xué)中有非常廣闊的發(fā)展空間，值得大力推廣.將GeoGebra軟件融入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂，優(yōu)化課堂教學(xué)形式已成為必然趨勢(shì).GeoGebra軟件豐富的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源以及容易上手的特點(diǎn)，利于學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使師范生在本科階段掌握信息化技術(shù)，更有利于學(xué)生將來(lái)就業(yè)和提高中小學(xué)數(shù)學(xué)授課水平.對(duì)于大學(xué)教師來(lái)說(shuō)，利用GeoGebra軟件輔助教學(xué)能夠提高教學(xué)質(zhì)量，訓(xùn)練學(xué)生的空間思維能力，培養(yǎng)學(xué)生善于利用先進(jìn)工具探索新知的良好學(xué)習(xí)品質(zhì)，減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.但是教師在教學(xué)時(shí)，如何在抽象思維和具象思維之間的取得平衡，避免過(guò)度可視化教學(xué)內(nèi)容，把握教學(xué)內(nèi)容可視化的時(shí)機(jī)，做到不提前不滯后，如何指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，還需要我們進(jìn)一步的探索和研究.

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