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基于HPM視角的等比數(shù)列前n項和教學設計探討

2023-04-19 17:40劉學民
長春教育學院學報 2023年6期
關鍵詞:公比等式公式

劉學民

發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和的規(guī)律不難,學生也較容易理解,但是等比數(shù)列求和公式的推導有一定難度。目前,我國絕大多數(shù)高中和中職教材的推導方法都是技巧性很強的“錯位相減法”,這個方法需要在求和等式的兩邊同時乘以公比q,那么為什么要乘以公比q?乘以其他數(shù)可不可以?這些問題的答案往往是教材和教師直接“告知”的,學生沒有按照層層遞進、知識建構的方式得到求和公式及推導方法,這樣就產(chǎn)生了思維斷層。學生既難以深透掌握公式,又難以提高探索能力。HPM(History and Pedagogy of Mathematics)視角是在數(shù)學教育中,通過數(shù)學歷史的運用提高教育水平。研究發(fā)現(xiàn),在本章教學中,如能基于HPM 視角,對教學內容再整合、教學方式再設計,教學效果就會明顯不同。

一、前期準備

首先,分析學情、教材,確定教學目標。本節(jié)課程的主要難點在于學生很容易把等比數(shù)列前n 項和與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比,其中有積極因素,可因勢導利,但二者求和公式的推導有本質不同,這就要求學生突破原有思維的束縛。另外,對于q=1這一特殊情況,學生往往容易忽視,尤其在使用過程中容易出錯。

其次,查找相關史料。信息技術的發(fā)展為師生快速準確查找相關圖片、視頻、史料提供了極大方便,節(jié)約了大量時間和資源,使HPM理念的實踐具有可行性。經(jīng)仔細篩選,所使用的史料如下:

1.公元前3000年成書的蘇美爾計數(shù)泥版(編號MS3047)背面刻錄的5個簡單數(shù)序列,構成了一個等比數(shù)列,這可能是迄今為止發(fā)現(xiàn)最早的等比數(shù)列。

2.約公元前1700年,巴比倫泥版上的問題:以20%的年息貸錢給人,何時連本帶利翻一番?

3.公元前1650年,埃及紙草上僧侶文記錄的問題:有房七間,每間有貓七只,每只貓每日食鼠七只,每鼠每日食麥穗七株,每株麥穗含麥七粒。問房屋、貓、老鼠、麥穗、麥子總和多少?

4.13 世紀初,意大利數(shù)學家斐波那契(1170~1250)在《計算之書》中的問題:“七婦去羅馬,每婦牽七騾,每騾負七袋,每袋裝七塊面包,每塊面包配有七把小刀,每把小刀配有七個刀鞘,問婦女、騾子、面包、刀、鞘各多少?”

5.公元4世紀左右的《孫子算經(jīng)》(卷下)有一名題:“今有出門,望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何?”[1]

二、教學方式選擇

1.以重構式為主。HPM 視角下數(shù)學教學方式有多種,如重構、點綴、附加等,等比數(shù)列求和方式的探索在數(shù)學史有濃墨重彩的一筆,從古代貫穿至近代,在教學中,需要結合其發(fā)展歷史重構教學內容,故此項教學以重構為主要方式,其他方法如點綴式、附加式、復制式、順應式等在教學中也有所體現(xiàn)。

2.采用支架式教學方式。具體流程是:首先,教師搭“腳手架”,遵循最近發(fā)展區(qū)理論建立概念框架,可以運用累加法、因式分解公式、錯位相減法等。其次,創(chuàng)設情境,復習回顧等比數(shù)列,列舉古文明中的等比數(shù)列最終都會歸結于求和,并提出問題,利用古印度中的國際象棋問題啟發(fā)學生思考,激發(fā)興趣,讓他們了解等比數(shù)列問題歷史悠久。通過與等差數(shù)列的比較、復述概念等方法讓學生進一步掌握等比數(shù)列的內涵與外延,接著進入等比數(shù)列求和公式的推導階段。再次,通過新增更多的求和方法,如拼湊法、因式分解法、比例法、解方程法、錯位相減法等,啟發(fā)學生逐步深入推導,把等比數(shù)列求和公式學深學透。并在教學中引入相關史料,如埃及《萊茵德紙草書》上記錄埃及人用遞推法推演等比數(shù)列求和公式的過程,[2]歐幾里得《幾何原本》第九卷命題35的證明方法,[3]讓學生嘗試運用前人的方法推導等比數(shù)列求和公式,特別是多種方法的比較,提升其數(shù)學思維能力。最后,讓學生思考:公式中存在的是q ≠1,如果q=1,那這個等比數(shù)列求和公式又會出現(xiàn)什么樣的情形?結合獨立探究與合作學習的方法,在共享集體思維成果的基礎上達到對所學概念比較全面、正確的理解,最終完成對所學知識的意義建構。[4]

三、HPM視角下的教學策略

數(shù)學是邏輯嚴密、抽象、簡潔的一門學科,但有很多學生并不喜歡數(shù)學,他們認為數(shù)學只是定理和計算,抽象、深奧、枯燥、刻板,是數(shù)學家玩的智力游戲。教師在教學中有責任和義務激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,使他們變被動學習為主動、快樂的學習。HPM 理念提供了一個新視角,注重數(shù)學知識的歷史文化向度,借鑒數(shù)學發(fā)展的歷史順序,消除學生邏輯證明的枯燥感,讓他們體驗知識的形成過程,享受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣。

(一)復習等比數(shù)列,陳述古文明相關記載

教師運用信息技術展示古代文明記載的等比數(shù)列相關圖片、視頻及資料說明,從兩河流域神秘的楔形文字到恒河流域深奧的吠陀梵文,從埃及《萊茵德紙草書》記載的財產(chǎn)之和到齊魯大地惠子與墨子的尺棰取半之爭,等比數(shù)列的悠久歷史從古代四大文明中可見一斑。隨著數(shù)學的發(fā)展,等比數(shù)列的概念不斷完善,知識不斷豐富,成為刻畫現(xiàn)實世界的一類函數(shù)模型。[5]教學中,教師可以先讓學生寫出以上古代記載的等比數(shù)列的首項、公比及通項公式,再引導他們發(fā)現(xiàn)這些歷史記載,最后歸結于求它們的總和。

(二)聯(lián)系歷史和生活創(chuàng)設情境,引入新課

片段1:播放一段拉面師傅做拉面的視頻,吸引學生注意力的同時,介紹中國獨特的飲食文化。教師就此視頻提問:拉面師傅將一根很粗的面條拉伸、捏合,如此反復幾次,就拉成了很多根細面條,多數(shù)師傅拉伸8次,手藝高超的能拉伸10次,此時的面條細如發(fā)絲,經(jīng)過8次和10次分別可以拉伸出多少根面條?

片段2:視頻展示國際象棋相關資料,通過國際象棋具有數(shù)學文化背境的故事調動學習的積極性。在古印度,有個名叫西薩的人,發(fā)明了國際象棋,印度國王大為贊賞,并許諾可以滿足他的任何要求。西薩說:請在棋盤的64 個方格上,第一格放1 粒小麥,第二格放2 粒,第三格放4 粒,后面每一格都是前一格的兩倍,直至第64 格。國王令人按西薩的要求去做,結果讓他大吃一驚。教師提問:為什么國王如此吃驚?你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎?并引導學生寫出麥??倲?shù),即求等比數(shù)列的前n 項和。這個故事流傳廣泛、頗具吸引力,很多國家的教材都通過它引入等比數(shù)列求和。

(三)逐步深化問題,引導學生推導公式

為了能讓學生自主推導出等比數(shù)列求和公式,教師設計了幾個層層遞進的問題。

問題1:等比數(shù)列求和能不能借鑒等差數(shù)列的求和方式?S64=1+2+22+23+……+263,我們應采用什么方法計算?

問題2:借鑒等差數(shù)列求和的方法推理等比數(shù)列求和公式,屬于什么推理模式?是否科學準確?

問題3:教師啟發(fā)提示,因等比數(shù)列每一項都是前一項的兩倍,如果把S64=1+2+4+8+……+263變形為1+1+2+4+8+……+263-1,逐項相加會有什么發(fā)現(xiàn)?

學生得到:1+1=2,2+2=22,22+22=23,發(fā)現(xiàn)首項加上1后,每前兩項相加都會等于后一項,這樣中間的計算過程都可以忽略。

解決問題3后,讓學生總結公比為2的等比數(shù)列求和方法。通過在求和式子最前面加上一個首項,并在末尾減去它,其和不變,這樣拼湊出前兩項和等于后一項,教師步步深入,趁熱打鐵,并拋出以下問題。

問題4:如果公比不是2,那該怎么計算?如我國古代著名思想家莊子曰:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!?0天一共能截取多少?50、100天又能截取多少?

問題5:公比是3的等比數(shù)列能不能用拼湊法求和?比如S10=1+3+32+33+……+39,應怎樣計算?

教師可以提示:我們的目標是把數(shù)列各項拼湊成能按一定規(guī)律連續(xù)相加,試試在前面加上,最后減去。單獨的一個例題學生很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律,為了讓學生找到拼湊數(shù)與公比的關系,教師繼續(xù)舉例并提問。

問題6:公比為4 的等比數(shù)列,S10=1+4+42+43+……+49,應該拼湊哪個數(shù)?若公比推廣到q,應怎樣拼湊?

通過一系列的引導、啟發(fā),教師很自然地提出本節(jié)學習的終極問題。

問題7:如果把這個等比數(shù)列換成一般等比數(shù)列,前n項求和公式應該是什么?

學生導出:如果{an}的公比為q(q≠1)則

蘇聯(lián)心理學家維果斯基提出,教師要把握學生的兩種水平,一是學生現(xiàn)有的發(fā)展水平,二是通過他人的啟發(fā)、引導、指導和幫助可以達到更高層次解決問題的水平,這兩種水平的差距就是“最近發(fā)展區(qū)”。教師應對學生的認知水平有清晰的認識,著眼于他們的最近發(fā)展區(qū),引導學生達到潛在的發(fā)展水平,同時創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)。教師應為學習者建構對知識的理解的概念框架,框架中的概念能幫助學習者進一步理解問題,為此,應先把復雜的學習任務加以分解,便于把學習者的理解逐步引向深入。因此,在教學中,首先設計首項為1、公比為2的等比數(shù)列相加,引導學生解決后,再提出首項為1、公比為1/2的等比數(shù)列如何求和,進而在首項不變的情況下,把公比變?yōu)?、4等,啟發(fā)學生思維,引導其發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得到公比為q、首項為1 的等比數(shù)列求和方法,最后將首項修改為一般常數(shù),進而推導出等比數(shù)列求和公式。此教學設計從簡單到復雜、特殊到一般,層層遞進、步步深入、水到渠成,促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展,提高其解決問題的能力,達到了較好的教學效果。

(四)沿著歷史足跡,探求等比數(shù)列求和方式的發(fā)展

復習初中所學因式分解公式:a3-1=(a-1)(a2+a+1),a4-1=(a-1)(a3+a2+a+1)

問題1:以這兩個公式為基礎類推,a5-1 如何分解?推至一般情況,an-1(n∈N+)如何分解?從中能得到什么啟示?

學生得到a5-1=(a-1)(a4+a3+a2+a+1),an-1=(a-1)(an-1+……+a2+a+1),發(fā)現(xiàn)上面的式子可變形為,這是公比為a,首項為1的等比數(shù)列前n項和。

問題2:如何將上述發(fā)現(xiàn)變換成首項為a1,公比為q的前n項和?

展示《幾何原本》圖片,介紹歐幾里得生平事跡及《幾何原本》文獻價值與傳播意義。歐幾里得是古希臘最負盛名、最有影響的數(shù)學家之一,他的《幾何原本》是最偉大的著作之一,是古希臘數(shù)學發(fā)展的頂峰?!稁缀卧尽凡粌H是歐洲數(shù)學的基礎,還對幾何學、數(shù)學和科學的未來發(fā)展、對西方人的思維方法產(chǎn)生了很大影響?!稁缀卧尽分饕獌热菔菐缀螌W,還涉及數(shù)論、無理數(shù)理論等其他課題,對知識體系的創(chuàng)建率先使用了公理化的方法,這一方法后來成為建立知識體系的典范。

問題3:在《幾何原本》第九卷《數(shù)論》的命題35中,歐幾里得從比例的角度給出了等比數(shù)列的前n項和公式:“如果眾數(shù)成連比,那么第二個數(shù)減去第一個數(shù)的差比上第一個數(shù),會等于最后一個數(shù)減去第一個數(shù)的差比上各項之和。”且讓學生用數(shù)學符號表述此語句并證明。到此階段,等比數(shù)列求和就不那么困難了,有多種方法解決,但為了引導學生推出教材中的“錯位相減法”,可以結合數(shù)學發(fā)展史設計如下幾個環(huán)環(huán)相扣的問題。

問題4:等式Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1,從第二項起提出一個公比q,會有什么結果?

學生馬上可以得到:Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2)。

問題5:如果括號內的加數(shù)中加上一個a1qn-1,再減去a1qn-1,則此等式可變成什么形式?

學生得到:Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),此時,多數(shù)學生沒有發(fā)現(xiàn)變化后的等式有什么奧秘,還在困惑為什么這樣做;有少數(shù)同學會想到把等式右邊括號中的前n項相加,用Sn代入,若學生還不能想到,教師可以把括號中的前n 項和圈起來,提示等式既可以右邊代左邊,也可以左邊代右邊。學生恍然大悟,得到教師指出此方法為方程法,學生發(fā)現(xiàn)這些方法中,此方法最簡單。但有學生指出,此方法雖然簡單巧妙,但不夠直觀。教師指出,以此法為基礎,稍加變化,會得到一種更加直觀、簡潔的方法。

問題6:把求和等式分別減去首項和尾項,會得到如下兩個式子:

(1)式和(2)式有什么關系?你能從中推出求和公式嗎?

有了前面知識的鋪墊,學生得出:Sn-a1=q(Sn-a1qn-1),將等式稍作整理,得到等比數(shù)列求和公式。教師指出,此方法是法國數(shù)學家拉克洛瓦在《代數(shù)學基礎》中首次提出,被稱之為“掐頭去尾法”,其實質是方程法的一種簡潔變化。時間來到近代,在此基礎上,又有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)更簡單的求和方法。

問題7:請同學們觀察如下兩個等式:

學生發(fā)現(xiàn)(1)式右邊去掉首項,(2)式右邊去掉末項,其他項都相同。多數(shù)學生能馬上想到把這兩式相減,得到等比數(shù)列求和公式。這時,教師指出這就是教材中的“錯位相減法”。

教材中求和公式的唯一推導方法是“錯位相減法”,由于學生自己推導這個方法有一定難度,若沒有相關知識的鋪墊,平鋪直入,學生思維會產(chǎn)生斷層,只能死記硬背,不利于他們數(shù)學思維的發(fā)展,也違背了教學規(guī)律,因此,前期要先學習其他方法。眾多教學理論、教學方法都非常重視學生在啟發(fā)下自己找到問題答案,蘇格拉底的“助產(chǎn)術”教育法提出,教師要像產(chǎn)婆一樣,用提問的方式啟發(fā)學生,引導其自己思考問題,找出問題的答案。本次教學中,教師運用拼湊法、比例法、方程法和“掐頭去尾法”作為“腳手架”,層層深入,完美剖析了錯位相減法中“減”的妙用,在探求其他方式時,可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)造思維。本次的學習過程如同攀登高山,在教師的指引下,學生跨越層層阻礙登上頂峰,一種“會當凌絕頂,一覽眾山小”的感覺油然而生,體驗成就感,激發(fā)學習興趣。數(shù)學教學應堅持“少而精”的原則,“少”是教師用語要精煉,宣講的內容要“少”,側重引導學生理解基本的科學概念、規(guī)則、理論和模式;“精”則是要求學生學得深入、細致,能理解科學的本質,終身受益。教學中通過問題設計,完善學生的知識結構,使其由簡單的模仿和接受轉變?yōu)閷χR的主動認知,進一步提高分析、類比及綜合能力。

最后,教師要特別提醒,等比數(shù)列求和公式中,q不能等于1,如果q=1,怎么求和?學生通過探究找到答案:如果q=1,等比數(shù)列求和公式分母為零;如果q=1,此數(shù)列不是全為零的情況下,就同時為等比數(shù)列、等差數(shù)列和常數(shù)列,可用等差數(shù)列或者常數(shù)列的求和方式。

融入歷史文化的數(shù)學教學很有吸引力,能夠促進學生對數(shù)學的理解,提升其對數(shù)學價值的認識,構筑數(shù)學與人文之間的橋梁,滿足學生的求知欲和好奇心,印證了數(shù)學思維的廣闊性和數(shù)學文化的多元性,讓數(shù)學課告別枯燥、沉悶,成為精彩紛呈、靈動飛揚的藝術呈現(xiàn)。

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