李 政,肖 珍,吳 曉

(常德學(xué)院智能建筑學(xué)院,中國(guó) 常德 415000)

雙模量材料結(jié)構(gòu)已開(kāi)始在工程實(shí)際中被廣泛應(yīng)用,例如納米吸波材料石墨/環(huán)氧樹(shù)脂復(fù)合材料就是典型的雙模量材料,其拉伸區(qū)的彈性模量是壓縮區(qū)的彈性模量的4倍。因此,研究雙模量材料結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)逐漸增多。文獻(xiàn)[1]采用蟻群算法求解了二維拉壓不同模量反問(wèn)題,文獻(xiàn)[2]研究了基于敏度分析的拉壓不同模量桁架問(wèn)題的數(shù)值分析,文獻(xiàn)[3]研究了不同拉壓特性的厚壁球殼分析,文獻(xiàn)[4]基于應(yīng)力球張量法的不同模量陶瓷梁有限元分析,文獻(xiàn)[5]研究了基于雙模量理論的均布載荷下簡(jiǎn)支梁的解析解及數(shù)值分析,文獻(xiàn)[6]給出了拉壓彈性模量不同曲梁的彈性解,文獻(xiàn)[7]采用彈性理論研究了拉壓彈性模量不同矩形截面桿的彎曲,文獻(xiàn)[8]研究了拉壓彈性模量不等材料簡(jiǎn)支梁的線性振動(dòng)問(wèn)題。但是,文獻(xiàn)[1-8]均沒(méi)有研究集中載荷作用下雙模量矩形截面簡(jiǎn)支梁的彎曲變形。本文借鑒文獻(xiàn)[9]和[10]的半逆解方法研究了集中載荷作用下雙模量矩形截面簡(jiǎn)支梁的彎曲變形,以完善雙模量材料梁彈性計(jì)算理論,為工程計(jì)算設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 彎曲應(yīng)力表達(dá)式

以圖1所示雙模量矩形截面簡(jiǎn)支梁為例,研究其彎曲變形。

圖1 集中載荷作用下簡(jiǎn)支梁

由彈性理論可知,梁的應(yīng)力可用應(yīng)力函數(shù)表示為

(1)

式中,φi為應(yīng)力函數(shù),i=1表示拉伸區(qū),i=2表示壓縮區(qū)。

由文獻(xiàn)[7]可知雙模量梁彎曲時(shí),拉伸區(qū)、壓縮區(qū)距離中性軸的高度分別為

(2)

式中,E1,E2分別為拉伸區(qū)、壓伸區(qū)彈性模量。

對(duì)于圖1所示簡(jiǎn)支梁忽略體力作用時(shí),剪應(yīng)力在梁上下表面均為零,且沿x方向無(wú)變化。參閱文獻(xiàn)[9-10]并結(jié)合式(1)可令應(yīng)力函數(shù)為

φi(x,y)=x(Aiy3+Biy2+Ciy)+Hiy3+Kiy2。

(3)

把式(3)代入式(1)中可得

σxi=x(6Aiy+2Bi)+6Hiy+2Ki,σyi=0,τxyi=-(3Aiy2+2Biy+Ci)。

(4)

圖1所示簡(jiǎn)支梁應(yīng)力邊界條件為

x=0,y=0,σx1=σx2=0,

(5a)

y=h1,τxy1=0,

(5b)

y=-h2,τxy2=0。

(5c)

圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁中性層連續(xù)條件為

y=0,σx1=σx2=0,τxy1=τxy2。

(6)

利用式(1)及式(5a)可得

σx1=6H1y,σx2=6H2y,K1=K2=0。

(7)

由于圖1所示簡(jiǎn)支梁在x=0處,梁截面彎矩為零,因此梁截面拉壓彎曲應(yīng)力也為零,由式(7)可知

H1=H2=0。

(8)

再利用式(4)和式(6)～(8)可知

B1=B2=0。

(9)

(10)

利用式(4)和(5b)可得

(11)

把式(4)和(11)代入式(10)可得

(3)1∶25 000水系沉積物測(cè)量較1∶50 000水系沉積物測(cè)量結(jié)果更佳。不僅對(duì)異常的反應(yīng)更準(zhǔn)確，而且更有利于指導(dǎo)下一步找礦。

(12)

把式(7)～(9)和式(12)代入式(4)中可得圖1所示簡(jiǎn)支梁拉伸、壓縮區(qū)應(yīng)力表達(dá)式分別為

(13a)

(13b)

當(dāng)E1=E2時(shí),式(13)皆退化為材料力學(xué)給出的應(yīng)力公式。

2 撓曲線表達(dá)式

由彈性理論可知圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

(14a)

(14b)

(14c)

式中,ui為梁軸向位移,wi為梁彎曲撓度,μi為泊松比。

把式(13)代入式(14a)中可求得拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移為

(15a)

(15b)

把式(13a)拉伸區(qū)應(yīng)力分量代入式(14b)中可得拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的彎曲撓度為

(16a)

(16b)

把式(15a)和(16a)代入式(14c)中可得

(17)

把式(15b)和(16b)代入式(14c)中可得

(18)

由式(17)可以求得

(19a)

(19b)

(20a)

(20b)

圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁的邊界條件為

x=0,y=0,u1=w1=0,

(21a)

y=0,w1=w2,

(21b)

(21c)

x=0,y=0,u2=w2=0。

(21d)

利用式(15)和(16)、式(19)和(21)可以得到圖1所示簡(jiǎn)支梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移撓度表達(dá)式及彎曲撓度表達(dá)式分別為

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

式(22)即為集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達(dá)式。

3 討論分析

本節(jié)討論集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁的彈性理論解和把集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁作為各向同性材料梁材料力學(xué)解的誤差。

材料力學(xué)方法給出了把圖1所示集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁作為各向同性材料梁彎曲應(yīng)力公式為

(23)

材料力學(xué)方法給出了把圖1所示集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁作為各向同性材料梁的中性軸撓曲線表達(dá)式為

(24)

利用式(13)和(23)可以得到本文方法求得的任意梁截面最大彎曲應(yīng)力公式與材料力學(xué)方法求得的任意梁截面最大彎曲應(yīng)力公式的誤差表達(dá)式為

(25a)

(25b)

(25c)

利用式(22)和(24)可以得到,當(dāng)Ei=E1,Ei=E2時(shí),本文方法得到的中性軸處彎曲撓度與材料力學(xué)方法得到的中性軸處彎曲撓度的誤差表達(dá)式分別為

(26a)

(26b)

下面把式(25)和(26)計(jì)算的誤差值均列在表1～5中以便討論分析。具體計(jì)算數(shù)值可見(jiàn)表1～5。

表1 拉應(yīng)力誤差 δ1 單位:%

表2 壓應(yīng)力誤差 δ2 單位:%

表3 剪應(yīng)力誤差 δ3 單位:%

表4 彎曲撓度誤差 δ4( Ei=E1 ) 單位:%

表5 彎曲撓度誤差 δ5 ( Ei = E2) 單位:%

由以上推導(dǎo)計(jì)算可知,式(22)給出了集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達(dá)式,這說(shuō)明雙模量梁截面任意點(diǎn)的彎曲撓度都不相同,而材料力學(xué)方法僅能推導(dǎo)出集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁的中性軸撓曲線表達(dá)式。

對(duì)表1～5進(jìn)行分析可以知道:對(duì)于集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁,當(dāng)0.91.1時(shí),雙模量梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的彎曲應(yīng)力與把雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁作為各向同性材料梁的彎曲應(yīng)力的誤差皆大于5%。當(dāng)0.6

4 結(jié)論

(1)本文方法給出了集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁拉伸區(qū)、壓縮區(qū)的軸向位移及彎曲撓度表達(dá)式,這說(shuō)明雙模量梁截面任意點(diǎn)的彎曲撓度都不相同。

(2)當(dāng)0.9

(3)雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁中性軸處彎曲撓度對(duì)n值變化很敏感,原則上建議計(jì)算雙模量簡(jiǎn)支矩形截面梁中性軸處彎曲撓度應(yīng)采用彈性理論。