汪留嶼

【摘 要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象作為六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，不僅在很大程度上反映了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的整體水平，而且直接影響其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。為了研究高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的現(xiàn)狀和影響因素，文章通過設(shè)計(jì)測評(píng)框架、編制測評(píng)試題、實(shí)施測評(píng)環(huán)節(jié)、分析測評(píng)結(jié)果、形成研究結(jié)論五個(gè)步驟對南通市T校343名學(xué)生進(jìn)行測評(píng)，最后得到有關(guān)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的研究結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、引言

為應(yīng)對21世紀(jì)教育面臨的挑戰(zhàn)，國際21世紀(jì)教育委員會(huì)向聯(lián)合國教科文組織提交了報(bào)告《教育——財(cái)富蘊(yùn)藏其中》，這個(gè)報(bào)告首次提出了四個(gè)“學(xué)會(huì)”，即學(xué)會(huì)認(rèn)知、學(xué)習(xí)做事、學(xué)會(huì)共處、學(xué)會(huì)成為自己，這四個(gè)“學(xué)會(huì)”為21世紀(jì)的人才培養(yǎng)提供了方向［1］。2014年，教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》提出要研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，把對學(xué)生的發(fā)展要求具體化，深入回答“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人”的問題［2］。因此，無論是聯(lián)合國教科文組織，還是我國教育部，都提出要培養(yǎng)適合時(shí)代需求的人才?！兑庖姟愤€把具體人才的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，具體到各個(gè)學(xué)科及各個(gè)學(xué)段，研究核心素養(yǎng)已成為時(shí)代主題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分為六個(gè)部分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這六個(gè)核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，但六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的關(guān)系怎樣？彼此地位如何？這里并沒有明確說明。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征［3］?？梢?，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能夠反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。張淑梅等人通過對2016年教育部普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)組有關(guān)專家編制的七套試卷的測評(píng)結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)六大核心素養(yǎng)之間具有顯著的相關(guān)性，數(shù)學(xué)抽象作為基礎(chǔ)素養(yǎng)，直接影響其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平［4］。可以說，數(shù)學(xué)抽象的水平在很大程度上能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體水平，因此在六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，地位顯著，研究意義突出。

目前，對數(shù)學(xué)抽象的研究主要分為以下四個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)抽象與課堂教學(xué)的融合；（2）數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)與提升；（3）數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵分析及水平劃分；（4）數(shù)學(xué)抽象的測評(píng)研究。其中，研究最多的是前兩種，后兩種由于理論知識(shí)缺乏、實(shí)際操作困難等原因研究不多。尤其是對數(shù)學(xué)抽象的測評(píng)研究，由于各地區(qū)、各學(xué)段、各年級(jí)學(xué)生的所學(xué)內(nèi)容和知識(shí)水平不一，因此在相關(guān)試題的編制上難度很大、研究較少，研究結(jié)論也難以統(tǒng)一。本文嘗試通過研究分析數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，并進(jìn)行差異性分析，形成研究結(jié)論，為一線教師提供教學(xué)建議。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究方法

本研究采用質(zhì)性研究和量化研究相結(jié)合的研究方法。質(zhì)性研究是通過搜索中國知網(wǎng)等數(shù)據(jù)庫查閱與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有關(guān)的文獻(xiàn)資料，進(jìn)而設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的測評(píng)框架；量化研究是采用限時(shí)閉卷測驗(yàn)的方式測評(píng)高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并對測試結(jié)果進(jìn)行編碼、統(tǒng)計(jì)和分析，從而得到研究結(jié)論。

（二）研究對象

本研究選擇南通市某中學(xué)的學(xué)生作為研究對象，共計(jì)343人，具體見表1。

（三）研究工具

1.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評(píng)框架

研究根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》設(shè)計(jì)測評(píng)框架，將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)分為三個(gè)水平，從“情境與問題”“知識(shí)與技能”“思想與方法”“交流與表達(dá)”四個(gè)認(rèn)知維度來劃分?jǐn)?shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并對其中的部分內(nèi)容進(jìn)行修改和詮釋（見表2）。

2.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)試題編制

試題主要從高一所學(xué)的知識(shí)中進(jìn)行篩選，考查內(nèi)容及來源見表3。預(yù)測試的結(jié)果表明，學(xué)生普遍在“交流與表達(dá)”的試題中表現(xiàn)較差，難以有效檢測，因此，正式測試只測試前三個(gè)維度，具體情況見表4。

三、測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

（一）試卷信度和效度分析

本研究運(yùn)用SPSS軟件，對343份有效試卷在4道測試題（共9道小題）中所得分?jǐn)?shù)進(jìn)行信度和效度分析。由于數(shù)學(xué)抽象本身是一個(gè)比較抽象的概念，在測試時(shí)難免會(huì)存在測量不到位的情況，因此在信度和效度上的要求應(yīng)略低于一般問卷。研究采用[α]信度系數(shù)來分析整個(gè)試卷內(nèi)部一致性信度，試卷總得分的信度系數(shù)為0.709，大于0.7，信度良好，說明測試結(jié)果具有較強(qiáng)的可靠性。

此外，研究還利用SPSS軟件進(jìn)行因子分析，選擇KMO和Bartletts檢驗(yàn)，可以得出顯著性水平為0.000，小于0.05，同時(shí)KMO的值為0.734，大于0.7，說明問卷的結(jié)構(gòu)效度良好。

（二）數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)總體分析

本次測試卷總分40分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，T校343名高中生總平均分為24.20分，得分率為60.5%。對學(xué)生的具體得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，試卷總分40分，以總分的[1/4]，[1/2]，[3/4]作為分界線，分為0—10、11—20、21—30、31—40四組（如圖1）。其中，有36.44%的學(xué)生得分在31分及以上，有27.99%的學(xué)生得分在21分到30分之間，有28.57%的學(xué)生得分在11分到20分之間，有7.00%的學(xué)生得分在10分及以下。因此，在本次高中生數(shù)學(xué)抽象測試中，有超過[1/3]的學(xué)生得分表現(xiàn)優(yōu)秀，僅有不到[1/10]的學(xué)生得分表現(xiàn)很差，總體表現(xiàn)不錯(cuò)。

由于各題總分設(shè)置有所不同，因此本研究在各題具體分?jǐn)?shù)后還添加了得分率，即平均得分除以滿分分?jǐn)?shù)再乘以100%（如圖2）。

從圖中可知，得分率最高的三道題分別是第四題第一問、第四題第二問和第一題第二問，而這三小問都在水平一中，可見，學(xué)生對水平一的內(nèi)容掌握較好。而得分率最低的三道題分別是第四題第四問、第四題第三問和第三題第二問，而這三小問都在水平三中，可見，學(xué)生對水平三的掌握較弱。因此，這基本符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也從側(cè)面說明了測評(píng)框架的合理性。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，本研究進(jìn)一步分析高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)各水平及各維度上的具體表現(xiàn)。

從表5可以發(fā)現(xiàn)，有78.75%的學(xué)生達(dá)到水平一，有64.64%的學(xué)生達(dá)到水平二，有40.64%的學(xué)生達(dá)到水平三，總體表現(xiàn)不錯(cuò)。

從表6可以發(fā)現(xiàn)，被測試學(xué)生維度一（情境與問題）得分率為68.54%，維度二（知識(shí)與技能）得分率為72.50%，維度三（思想與方法）得分率為39.54%。其中，維度二的得分率最高，說明學(xué)生對基本知識(shí)技能掌握得很好；維度三的得分率最低，說明學(xué)生對思想方法的理解不足。

總的來說，T校絕大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)都達(dá)到了水平一的程度，還有一小部分學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)達(dá)到了水平三的程度，學(xué)生對基本知識(shí)的掌握較好，對思想方法的理解較弱，總體表現(xiàn)不錯(cuò)。

（三）高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的差異分析

1.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的年級(jí)差異分析

研究選擇T校高一創(chuàng)新班72人，高二創(chuàng)新班68人進(jìn)行測試，高一創(chuàng)新班總均分為29.59分，高二創(chuàng)新班總均分為30.65分，差距不大，對兩個(gè)班級(jí)在各水平及各維度上的得分進(jìn)行均值比較。

從表7可以發(fā)現(xiàn)，高二創(chuàng)新班在各水平的平均分均高于高一創(chuàng)新班，但差距很小。

從表8可以發(fā)現(xiàn)，高二創(chuàng)新班在維度一（情境與問題）上的得分高于高一創(chuàng)新班，但在維度二（知識(shí)與技能）和維度三（思想與方法）上的得分都較低，這說明高二學(xué)生在新情境中解決問題的能力較強(qiáng)，但在基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法上的掌握程度較低，可能和復(fù)習(xí)迎考有關(guān)。

為了探究不同年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)上的表現(xiàn)是否具有顯著性差異，對其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（見表9）。

從表9可以發(fā)現(xiàn)，水平一的P值等于0.313，水平二的P值等于0.895，水平三的P值等于0.206，均大于0.05，故各水平上不存在顯著性差異。維度一的P值等于0.000，維度二的P值等于0.015，存在顯著性差異，維度三的P值等于0.776，無顯著性差異。總的來說，可以認(rèn)為高一、高二學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平不存在顯著性差異，但高一學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握更好，高二學(xué)生對問題情境的處理更強(qiáng)。

2.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的性別差異分析

研究選擇T校女生169人與男生174人進(jìn)行測試，女生的總平均分為21.21分，男生的總平均分為27.02分，對男女生在各水平及各維度上的得分進(jìn)行均值比較。

從表10可以發(fā)現(xiàn)，男生在各水平上的平均分均高于女生，隨著水平的升高，差距逐漸增大。

從表11可以發(fā)現(xiàn)，男生在各維度上的平均分均高于女生，維度一（情境與問題）差距較大，維度二（知識(shí)與技能）和維度三（思想與方法）差距不大，這說明男生在新情境中處理問題的能力較強(qiáng)。

為了探究不同性別學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)上的表現(xiàn)是否具有顯著性差異，對其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（見表12）。

從表12可以發(fā)現(xiàn)，三個(gè)水平和三個(gè)維度的P值均小于0.05，故存在顯著性差異。因此，可以認(rèn)為不同性別高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)存在顯著性差異，男生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)更高，尤其擅長從新情境中解決問題。

3.高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的文理差異分析

研究根據(jù)T校文理生比例選擇高二理科班（以下簡稱理科班）133人與高二文科班（以下簡稱文科班）70人進(jìn)行測試，理科班總平均分為21.91分，文科班總平均分為16.54分，對文理生在各水平及各維度上的得分進(jìn)行均值比較。

從表13可以發(fā)現(xiàn)，理科班學(xué)生在各水平上得分均高于文科班學(xué)生，隨著水平的升高，優(yōu)勢更加明顯。

從表14可以發(fā)現(xiàn)，理科班在各維度上得分均高于文科班，在維度一（情境與問題）上差距最大，在維度三（思想與方法）上差距最小。這說明理科生在新情境中解決問題的能力較強(qiáng)，而在思想方法的理解上，文理生差異較小。

為了探究文理科學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)各個(gè)水平及維度上的表現(xiàn)是否具有顯著性差異，對其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)，水平一P值大于0.05，水平二和水平三的P值均小于0.05，因此，文理科學(xué)生在水平二和水平三上存在顯著性差異。維度一和維度二的P值均小于0.05，維度三的P值大于0.05，因此，文理科學(xué)生在維度一和維度二上存在顯著性差異。總的來說，文理科高中生在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)上的表現(xiàn)存在顯著性差異，理科生對基本知識(shí)的掌握和處理問題情境的能力更強(qiáng)。

四、研究結(jié)論及教學(xué)建議

（一）研究結(jié)論

1. T校高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)整體情況良好，絕大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)達(dá)到水平一，其中將近[13]的學(xué)生能夠達(dá)到水平三。

2.高一、高二學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不存在顯著性差異，兩者對思想與方法的理解程度接近，高一學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握更好，高二學(xué)生在新情境中處理問題的能力更強(qiáng)，這可能和高二學(xué)生復(fù)習(xí)備考、知識(shí)遺忘有關(guān)，總體差異較小。

3.高中男女學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)存在顯著性差異，男生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的平均水平明顯高于女生，尤其是處理新情境問題的能力優(yōu)勢顯著。

4.高中文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)存在顯著性差異，選修物理的理科生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的平均水平明顯高于選修歷史的文科生，尤其是對基本知識(shí)的掌握和處理新問題情境的能力，理科生優(yōu)勢明顯，這或許和理科生中男生比例較大有關(guān)。

（二）教學(xué)建議

1.圍繞核心素養(yǎng)，制訂教學(xué)目標(biāo)

研究結(jié)論表明，高一、高二學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不存在顯著性差異，盡管高二學(xué)生存在知識(shí)遺忘或備考復(fù)習(xí)等情況，但依然表明學(xué)生在經(jīng)歷了一年的學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)并沒有得到較大提升。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要內(nèi)涵，形成于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)。不同于具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不依賴于某幾節(jié)課的教學(xué)，而是滲透在整個(gè)高中教學(xué)過程中，而且難以在短期內(nèi)實(shí)施有效評(píng)價(jià)。因此，數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)教學(xué)前，必須深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體內(nèi)涵、價(jià)值及表現(xiàn)，明晰六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在不同水平及不同維度上的大體要求。數(shù)學(xué)教師要結(jié)合特定的教學(xué)任務(wù)，把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)中的生長點(diǎn)，并據(jù)此制訂教學(xué)目標(biāo)，包括章節(jié)目標(biāo)、單元目標(biāo)乃至課堂目標(biāo)，明確這些目標(biāo)對實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的貢獻(xiàn)。如制訂函數(shù)章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，除了知識(shí)技能與思想方法層面，還需讓學(xué)生在理解函數(shù)概念和性質(zhì)的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在解決數(shù)形結(jié)合問題時(shí)提升直觀想象素養(yǎng)，在實(shí)現(xiàn)函數(shù)、方程及不等式的轉(zhuǎn)化中提升邏輯推理素養(yǎng)，在解決實(shí)際問題的過程中提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等。

2.關(guān)注學(xué)生特點(diǎn)，改進(jìn)教學(xué)模式

研究結(jié)論表明，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平受多個(gè)因素影響，例如與性別、選科等因素都有關(guān)系。男生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的平均水平高于女生，尤其擅長處理新情境問題，選修物理的學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的平均水平高于選修歷史的學(xué)生，對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握更好。

在新高考模式下，除了傳統(tǒng)意義上以成績區(qū)分班級(jí)差異，性別、選科、組合等也成為極具參考意義的因素，而班級(jí)特點(diǎn)是開展一切教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)。在設(shè)計(jì)教學(xué)前，數(shù)學(xué)教師需要認(rèn)識(shí)班級(jí)間的差異，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，把握班級(jí)的學(xué)情特點(diǎn)，并以此作為選擇班級(jí)教學(xué)模式的依據(jù)。我們常用的數(shù)學(xué)教學(xué)模式包括以教師講解為主導(dǎo)的講授教學(xué)模式，以提出問題、啟發(fā)討論為核心的啟發(fā)式教學(xué)模式，以問題為線索貫穿課堂的問題解決教學(xué)模式和以提出問題、學(xué)生多途徑探究為主的探究教學(xué)模式等。盡管這些教學(xué)模式特色鮮明、理論豐富、操作清晰，但由于班級(jí)差異，教師在運(yùn)用教學(xué)模式時(shí)還需稍加改進(jìn)，要結(jié)合班級(jí)特點(diǎn)適當(dāng)增加或減少某些環(huán)節(jié)和內(nèi)容，以符合實(shí)際班情。如在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，女生多的班級(jí)要適當(dāng)增加情境的數(shù)量，降低問題的難度，多讓學(xué)生在處理問題過程中體會(huì)導(dǎo)數(shù)的含義，實(shí)現(xiàn)對導(dǎo)數(shù)概念的深入理解。

3.優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，深化思想方法

研究結(jié)論表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象維度三“思想與方法”上的表現(xiàn)最差，這說明，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解、對基本方法的掌握較弱，究其原因，一方面是數(shù)學(xué)思想方法本身抽象程度高，學(xué)習(xí)難度大；另一方面是由于數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中重視程度不足，教學(xué)方法不佳。

數(shù)學(xué)思想與方法是人們對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)和基本看法，通常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念、原理、命題的抽象過程及數(shù)學(xué)問題解決的過程中。數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)知識(shí)又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱性知識(shí)，是一種高度抽象的產(chǎn)物，要在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中才能使學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的穩(wěn)定成分。因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)依賴于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要通過創(chuàng)造情境激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提出問題引發(fā)積極思考，開展活動(dòng)促進(jìn)深度探究，讓學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中由淺入深、由表及里地逐步感受數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵與價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化。如在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，數(shù)學(xué)教師可以先創(chuàng)設(shè)情境引入空間向量的概念，接著提出問題“可以從哪些角度研究空間向量？”，激發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而回憶平面向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)，最后開展活動(dòng)“推廣空間向量的線性運(yùn)算”，實(shí)現(xiàn)類比思想的教學(xué)與深化［5］。

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［5］汪留嶼.基于數(shù)學(xué)抽象的高中數(shù)學(xué)章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì)：以“空間向量與立體幾何”為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（6）：30-34.

（責(zé)任編輯：陸順演）