雷青蘭

【摘要】隨著我國社會(huì)生產(chǎn)力與科技的不斷發(fā)展，教育領(lǐng)域也發(fā)生了很大變化.改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法和觀念，運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)技術(shù)手段，成為滿足教育改革要求和提高課堂教學(xué)效果的關(guān)鍵.GeoGebra軟件是現(xiàn)代化教學(xué)工具，具有操作簡單方便、交互性強(qiáng)、學(xué)習(xí)效率高以及應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)，將其運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可將抽象的數(shù)學(xué)圖形直觀地展示給學(xué)生，幫助學(xué)生形象地理解和學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，在提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量等方面具有積極的作用.文章介紹了GeoGebra軟件的概念，并深入分析了GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，希望能幫助教師合理掌握GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】GeoGebra軟件；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文系2022年湖南省郴州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃一般課題“GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：CJKG2022B028）的階段性成果.

引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人們對(duì)現(xiàn)代信息傳遞手段有了新的要求，這也給信息化教學(xué)帶來了新的發(fā)展契機(jī).為滿足教育改革的要求，教師需要對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)方法進(jìn)行創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代信息化技術(shù)與課堂教學(xué)的有效融合.而將以GeoGebra軟件為代表的現(xiàn)代化教學(xué)工具應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，能直觀地展示抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

一、GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)和微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，其作為動(dòng)態(tài)的幾何軟件，可以作點(diǎn)，畫向量、直線、線段、函數(shù)等，還能根據(jù)輸入的數(shù)值對(duì)圖形進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，讓學(xué)生直觀觀察抽象圖形的動(dòng)態(tài)變化.GeoGebra軟件不僅能夠提供大量的計(jì)算工具，還能進(jìn)行各種幾何變換，如旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)角度及平移角等，從而幫助學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì).GeoGebra由幾何工作窗口、代數(shù)工作窗口和工作表窗口組成.在GeoGebra代數(shù)命令窗口輸入表達(dá)式，按下回車鍵，代數(shù)區(qū)內(nèi)會(huì)出現(xiàn)代數(shù)表達(dá)式，還會(huì)有對(duì)應(yīng)的圖形出現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一，能夠讓學(xué)生用代數(shù)方法學(xué)習(xí)幾何.總之，GeoGebra軟件具有輔助求解代數(shù)、幾何問題等功能.教師應(yīng)用GeoGebra軟件開發(fā)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀意識(shí)，簡化學(xué)生的學(xué)習(xí)思維方式，幫助學(xué)生深入理解深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問題.

二、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

（一）創(chuàng)建直觀形象

教師可借助GeoGebra軟件為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境、想象情境與實(shí)驗(yàn)情境等，讓學(xué)生在實(shí)際教學(xué)情境中直觀地觀察需要學(xué)習(xí)的知識(shí)，也會(huì)激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生產(chǎn)生自主探究的意識(shí)，由此促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)與形轉(zhuǎn)化規(guī)律的掌握.

就高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，最重要的就是讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合理解數(shù)學(xué)知識(shí)，借此對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí).例如，對(duì)立體幾何，教師在制作課件時(shí)可先在GeoGebra軟件上使用3D繪圖功能畫圖，再配合GeoGebra里的動(dòng)態(tài)功能制作實(shí)驗(yàn)教學(xué)課件，借此更直觀、更形象地展示數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生直觀感知圖形的性質(zhì)，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生有效的視覺意識(shí)，最終提升學(xué)生的直觀想象能力，幫助學(xué)生借助幾何圖形探索數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生形成幾何直觀意識(shí)，這樣既能填補(bǔ)實(shí)物模型的空白，還能完成抽象幾何向直觀圖形的轉(zhuǎn)換.以“立體圖形的直觀圖”的教學(xué)為例，其教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生繪制空間幾何體直觀圖，為學(xué)生學(xué)好立體幾何打下基礎(chǔ).因此，教師在教學(xué)中如何幫助學(xué)生正確地畫出各種形式的空間圖形就顯得十分重要.課程主要介紹了斜二測畫法，它具有形象直觀、容易記憶和運(yùn)用等特點(diǎn)，所以在實(shí)際教學(xué)中被廣泛應(yīng)用.因此，在本課中教師首先要幫助學(xué)生掌握斜二測畫法.教材中給出了長方體、圓柱以及圓柱與圓錐組合體的直觀圖繪制方法.由于這些圖形中各部分形狀不同，因此它們都有相應(yīng)的直視圖或斜視圖.在教學(xué)中，教師可運(yùn)用GeoGebra軟件可動(dòng)態(tài)繪制圖形的優(yōu)勢進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由欤寣W(xué)生探討圓錐、圓臺(tái)、球的直觀圖畫法，進(jìn)而使學(xué)生掌握繪制空間幾何體直觀圖的方法，認(rèn)識(shí)空間幾何體直觀圖，從直觀層面學(xué)習(xí)基本的立體圖形知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)多面體、旋轉(zhuǎn)體、組合體等多種圖形的理解，讓學(xué)生深刻了解平面與空間幾何之間的關(guān)系，更好地掌握立體幾何的概念以及規(guī)律.

借助圖形這一工具實(shí)現(xiàn)數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化是一種行之有效的教學(xué)方法.教師可利用幾何畫板等輔助設(shè)備進(jìn)一步增強(qiáng)直觀教學(xué)手段的實(shí)用性和有效性.例如，教師可使用GeoGebra軟件畫圓柱體，讓學(xué)生從不同的角度觀察圓柱體，或者將三維立體圖像展示給學(xué)生，進(jìn)一步加深他們對(duì)物體形狀和大小等方面的認(rèn)識(shí)與理解.學(xué)生可利用GeoGebra軟件的幾何功能區(qū)繪制圓柱體，然后按照提示在坐標(biāo)系中對(duì)圓柱體上下底面的圓心進(jìn)行處理，選擇下底面圓心，輸入底面半徑，再點(diǎn)擊確認(rèn)，右邊繪圖區(qū)將自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)圓柱.學(xué)生還可借助幾何圖形輔助運(yùn)算操作，如要將二維圖形轉(zhuǎn)換成三維空間物體模型，則需要根據(jù)三維建模方法建立三維坐標(biāo)系，之后才能創(chuàng)建出具有立體感的物體模型，使學(xué)生在動(dòng)手模擬繪圖的過程中更加直觀地認(rèn)識(shí)相應(yīng)圖形，并且在數(shù)與形不斷轉(zhuǎn)化與關(guān)聯(lián)的過程當(dāng)中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成更加明確、直觀的理解.

（二）構(gòu)建知識(shí)模型

教師在對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解時(shí)運(yùn)用GeoGebra軟件，可使學(xué)生靈活運(yùn)用已獲得的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握與理解，建立舊知識(shí)和新知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，從而有效運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題.

就高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師可通過數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化，使幾何問題代數(shù)化，借此讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)，并借助幾何直觀發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)利用圖形進(jìn)行解題分析與求解，將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探索欲.教師也可以借助GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)，準(zhǔn)備數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件，由此直觀展現(xiàn)數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生借助建構(gòu)幾何圖形探索數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生形成幾何直觀意識(shí).另外，教師借助幾何圖形進(jìn)行輔助運(yùn)算操作，也有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化規(guī)律的掌握.教師可采用構(gòu)造圖形的方法幫助學(xué)生理解代數(shù)問題的解決思路，讓學(xué)生掌握數(shù)與形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方法，使學(xué)生更加容易找到數(shù)學(xué)問題的解決方法.教師借助這一方式還能夠促使學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，從而便于理解和掌握.這種直觀的教學(xué)手段對(duì)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換能力的構(gòu)建起到了很好的促進(jìn)作用，還能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.以“函數(shù)的概念和性質(zhì)”的教學(xué)為例，在教學(xué)過程中，教師可以利用GeoGebra軟件制作課件，以此更直觀地顯示對(duì)應(yīng)圖形和函數(shù)式之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生在觀看課件后學(xué)會(huì)探討其內(nèi)在關(guān)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換的意識(shí).在此基礎(chǔ)上，教師可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成具體形象的圖像信息，幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)內(nèi)容.通過這一教學(xué)模式，學(xué)生既能深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合的含義，又能學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形求解數(shù)學(xué)問題.

（三）師生共同參與

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂一般都是教師先向?qū)W生傳授深?yuàn)W的理論知識(shí)，然后布置作業(yè)，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，但是這種教學(xué)方法不但不能強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)效果，還會(huì)讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的熱情.因此，要想提高課堂效率，教師就必須改變傳統(tǒng)教學(xué)方式，引入更多先進(jìn)的教育理念和教學(xué)方法.教師可應(yīng)用GeoGebra軟件進(jìn)行演示教學(xué)，再依據(jù)教學(xué)問題或引申問題，讓學(xué)生親自動(dòng)手進(jìn)行探索.具體的操作如下.第一，教師在學(xué)生動(dòng)手操作的過程中在一旁觀摩，在學(xué)生遇到問題時(shí)予以幫助和指導(dǎo)，讓其學(xué)會(huì)獨(dú)立動(dòng)手和自主思考，以此達(dá)到GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用實(shí)效.在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，教師不僅應(yīng)該幫助學(xué)生解決疑難問題，還要對(duì)學(xué)生提出有效的意見和建議，如此才能更好地提升教學(xué)質(zhì)量.第二，教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者，應(yīng)該發(fā)揮主導(dǎo)作用，保證課堂教學(xué)活動(dòng)的有序開展，在教學(xué)中掌握節(jié)奏，恰當(dāng)?shù)貙?duì)課堂中出現(xiàn)的問題加以指導(dǎo)，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的問題，切實(shí)發(fā)揮教師組織者、策劃者的應(yīng)有作用.第三，教師應(yīng)充分結(jié)合教材內(nèi)容以及學(xué)生學(xué)情設(shè)計(jì)出符合教學(xué)要求的問題，讓學(xué)生把學(xué)習(xí)中遇到的深?yuàn)W、不易掌握的知識(shí)點(diǎn)記錄下來反饋給教師，教師及時(shí)給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生解決疑難問題.

使用GeoGebra軟件授課時(shí)，教師可在教學(xué)中精心設(shè)計(jì)互動(dòng)與提問環(huán)節(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生上臺(tái)動(dòng)手操作，讓學(xué)生自主探索知識(shí).在這一基礎(chǔ)上，教師可以將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，借助這一手段培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，從而達(dá)到優(yōu)化教學(xué)效果的目的.另外，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容設(shè)置不同類型的問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極提出問題與解決方法，從而有效培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在向?qū)W生傳授重難點(diǎn)知識(shí)的過程中，教師可使用GeoGebra軟件，采用分組的方式，指導(dǎo)學(xué)生開展組內(nèi)討論，以此培養(yǎng)學(xué)生的合作探究精神.如開展“簡單幾何體的表面積與體積”的教學(xué)，本節(jié)主要內(nèi)容是計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積，學(xué)生初次計(jì)算時(shí)會(huì)因圖形太抽象感到無所適從，為此教師可以運(yùn)用GeoGebra軟件繪制柱體、錐體、臺(tái)體，并向?qū)W生展示幾何圖形的展開圖，讓學(xué)生弄清組合體的組成形式，這樣學(xué)生就能掌握多面體表面積計(jì)算就是求各個(gè)面的面積和，圓柱體、圓錐體、圓臺(tái)體的側(cè)面是曲面，側(cè)面積計(jì)算需要將曲面展開，表面積就是側(cè)面積與底面圓的面積的和.之后，教師可根據(jù)圖形的組成形式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用“拼接面”“切割”“補(bǔ)形”的方法求幾何體的表面積和體積.為了進(jìn)一步探究柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積的區(qū)別與聯(lián)系，教師可先將學(xué)生分為小組，然后用GeoGebra軟件指導(dǎo)學(xué)生組內(nèi)討論，以此提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.之后，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇不同類型的教具展示相關(guān)幾何體，或者指導(dǎo)學(xué)生使用GeoGebra軟件繪制相關(guān)幾何體，通過親自動(dòng)手或者組內(nèi)互動(dòng)探索這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)，從而發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主觀能動(dòng)性.

（四）學(xué)生自主探究

課前預(yù)習(xí)是提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率和效果的重要環(huán)節(jié)之一，也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣以及探索精神的重要途徑.對(duì)學(xué)生不易掌握的內(nèi)容，教師可將其與其他學(xué)科相結(jié)合，這樣能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，提高教學(xué)質(zhì)量.教師可先用GeoGebra軟件向?qū)W生進(jìn)行演示教學(xué)，然后根據(jù)引申問題讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的直觀觀察能力、抽象概括能力、聯(lián)想能力與讀圖能力.同時(shí)，教師可借助此軟件幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)習(xí)題，并歸納總結(jié)出相應(yīng)的解題規(guī)律與方法，或者借助軟件對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行輔助解釋，從而使學(xué)生借助這一工具加深對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解與掌握.另外，在這個(gè)過程當(dāng)中，教師可借助教學(xué)課件，讓學(xué)生利用GeoGebra軟件觀察數(shù)學(xué)圖形，概括數(shù)學(xué)知識(shí).

以“三角函數(shù)”教學(xué)為例，學(xué)生在初中階段就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)知識(shí)，所以對(duì)本節(jié)課內(nèi)容學(xué)習(xí)具備一定的基礎(chǔ).學(xué)生面臨的一個(gè)新的學(xué)習(xí)問題是：角這一概念擴(kuò)展后，原來熟知的銳角三角函數(shù)能否同樣擴(kuò)展為任意角？這一問題可使學(xué)生體驗(yàn)新知識(shí)產(chǎn)生的可能性和自然性.教師借助GeoGebra軟件導(dǎo)入新課能使這個(gè)問題的解決變得更輕松.教師可在GeoGebra軟件的輔助下利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示，讓學(xué)生系統(tǒng)地理解該部分內(nèi)容，同時(shí)讓學(xué)生借助該軟件探究不同角度下正弦和正弦波之間存在著怎樣的變化規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的認(rèn)識(shí).然后，教師可讓學(xué)生求解任意角的三角函數(shù)值，學(xué)生可以直觀觀察到只要找到角的終邊，使得終邊端點(diǎn)與原點(diǎn)之間有1個(gè)單位距離，便可求出這個(gè)角的三角函數(shù)值.然后，教師可引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)弧度的定義：長等于半徑長的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為1弧度，單位縮寫是rad.在此基礎(chǔ)上，教師可提出計(jì)算圓周長及面積的兩種方法.此外，教師可借助GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)π和180°，2π和360°之間的關(guān)系.運(yùn)用GeoGebra軟件編制數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件既能有效指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，又能有效地促進(jìn)學(xué)生觀察能力的發(fā)展.

結(jié) 語

總之，GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用能幫助學(xué)生形成更加形象、直觀的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).同時(shí)，教師通過該軟件可以更好地促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的開展，學(xué)生會(huì)因GeoGebra軟件帶來的數(shù)學(xué)美感而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.所以，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從教學(xué)和學(xué)生實(shí)際出發(fā)，將GeoGebra軟件合理穿插到數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的成效.

【參考文獻(xiàn)】

[1]何麗萍.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件的策略[J].基礎(chǔ)教育論壇，2022（31）：111-112.

[2]周李曉.GeoGebra與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的案例研究[J].理科考試研究，2022，29（21）：25-26.

[3]張文香.GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究性應(yīng)用[J].家長，2022（29）：55-57.