陶毓姍　章勤瓊

【摘? ?要】除法豎式是小學階段筆算教學的難點。除法豎式教學需要把握好情境意義理解與活動操作過程的聯(lián)系，加強算法與算理的聯(lián)系。兩、三位數(shù)除以一位數(shù)在除法豎式學習中處于承前啟后的位置。教師將理解算理、掌握算法的核心目標具體化之后，對學生的學習起點和學習路徑作了分析，在此基礎上對單元進行了整體教學設計，增加了活動操作，以充分理解算理，并將豎式教學與橫式進行緊密關聯(lián)，加強算法與算理的聯(lián)系。

【關鍵詞】學習路徑；單元整體教學；兩、三位數(shù)除以一位數(shù)；算法與算理的聯(lián)系

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，運算能力的內涵之一是“能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系” ［1］。算法指的是計算的方法，算理指的是計算的道理，兩者相輔相成、相互聯(lián)系。理解了算理，能更容易掌握算法；掌握了算法，也有利于算理的理解。只有將算理和算法融合起來，學生的計算能力才能真正得以提高。

“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”單元是小學階段整數(shù)除法的第二個知識模塊?？v觀北師大版小學數(shù)學教材，整數(shù)除法主要分為三個階段教學：表內除法的運算和應用、除法口算和除法筆算及應用、三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法筆算及應用。第一階段主要學習表內除法和有余數(shù)的除法，學生通過乘法口訣計算結果，同時需要理解除法豎式的合理性。第二階段的重點是學習兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法，學生需要進一步掌握筆算方法，理解除法豎式需要按照數(shù)位逐步進行，并為第三階段三位數(shù)除以兩位數(shù)的學習提供至關重要的支撐。所以第二階段對除法算理的理解與算法的掌握尤其重要。作為教師，怎樣能更好地讓學生理解算理？基于學習路徑的研究框架［2］，筆者對這一單元進行了整體教學的思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

北師大版教材三年級下冊“除法”單元主要目標包括：經(jīng)歷平均分物的過程，探索并掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)除法的計算方法，進一步理解除法豎式計算的道理；結合解決實際問題的過程，正確計算兩、三位數(shù)除以一位數(shù)；經(jīng)歷觀察、操作、推理等活動過程，提高解決相關除法問題的能力；能結合具體情境進行估算，進一步發(fā)展估算的意識和能力。

人教版教材三年級下冊“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元主要目標包括：經(jīng)歷口算除法的探索過程，會口算除數(shù)是一位數(shù)，商是整十、整百、整千的數(shù)以及一位數(shù)除幾百幾十（或幾千幾百）的除法；經(jīng)歷一位數(shù)除多位數(shù)筆算的探索過程，掌握一般的筆算方法，能正確地計算一位數(shù)除多位數(shù)，并能用乘法驗算；經(jīng)歷在具體的情境中用估算解決問題的過程，掌握一位數(shù)除多位數(shù)的除法估算的一般方法，增強估算意識，形成估算的習慣；經(jīng)歷解決問題的過程，學會簡單的、有條理的思考，能夠靈活選擇合適的計算方法解決簡單的實際問題。

對比兩個版本的學習目標，可以看到都涵蓋了以下內容：理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理、掌握豎式計算的方法、發(fā)展估算的意識和能力、解決除法相關的實際問題。

（二）確定核心目標

本單元的除法豎式是學生第一次接觸分層記錄的除法，理解難度較大。一方面，學生要理解除的順序，明白分層記錄的道理，理解從高位開始除的必要性，知道當高位除完有剩余時，需把余數(shù)轉化成幾個十或幾個一，再和下一位的數(shù)合起來繼續(xù)除；另一方面，教師要引導學生注重豎式記錄的關聯(lián)性，將豎式記錄與具體情境、橫式計算聯(lián)系起來，構建豎式計算方法和算理之間的關聯(lián)。

因此，筆者將本單元的核心目標確定為理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理并掌握豎式計算的方法。

（三）核心目標具體化

綜合以上分析，核心目標主要為兩點。第一，理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理。在之前二年級學生第一次接觸除法豎式的基礎上，本單元的算理理解具體表現(xiàn)為兩個水平層次：結合分小棒的操作情境，使學生理解可以按照不同的計數(shù)單位來分，如既可以先一根一根地分，也可以先一捆一捆地分；在分的過程中若捆有剩余，需要將捆拆開變成根，即理解高位轉化為低位的過程。第二，掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式記錄方法。具體表現(xiàn)為學生通過構建豎式記錄與橫式的關聯(lián)，體會豎式記錄形式的合理性；在實際操作情境中理解豎式記錄中每一步的意思，建立算法模型。

二、確定學習起點

為了解學生的學習起點，筆者從理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法算理和豎式計算兩個方面對自己任教的一個班的學生進行了前測。

（一）算理理解水平分析

為了解學生對算理的理解水平，筆者設計了兩位數(shù)除以一位數(shù)算理理解的表現(xiàn)性評價框架并開展了前測。

測試題：56根小棒平均分給4個人，每人分到多少根小棒？用你喜歡的方法，分一分，算一算。

測試時，讓學生自己用小棒操作，并將操作的結果用畫圖等多種方式表征出來。接著，以算理理解的四個水平層次為基礎［3］，設計了如表1的評價框架，并對測試結果作了統(tǒng)計。

從前測結果可以看出，大部分同學能夠用自己的方法得到正確結果，但說不清楚自己是怎么想的；有10個學生能通過畫小棒的方式圈出分的過程，得出結果，但絕大部分同學無法說出先算什么，再算什么；只有少部分同學用橫式清楚地寫出了計算順序，即把剩余的捆與原來的根合在一起繼續(xù)分。

（二）豎式記錄情況分析

在前測中，還需要學生用自己的方式來列豎式。以48÷4為例，學生豎式記錄情況的統(tǒng)計結果如表2。

從上表中可以看出，有40人無法正確寫出除法豎式，其中有16人是根據(jù)口算得出的結果，豎式記錄無法解釋“分一分”的過程；無法進行豎式記錄或其他有17人，其中有7人甚至忘記了除法豎式的格式，直接按照加、減、乘法的豎式格式；有8人是完全空白的。只有3人能正確寫出完整的豎式記錄，但當詢問他們能否將豎式記錄與橫式、“分一分”關聯(lián)起來時，他們不能很清楚地表達，豎式記錄僅僅是因為記憶模仿寫出來的。

三、分析學習路徑

基于以上分析，從單元整體教學視角出發(fā)，本單元教學可以分為三個階段。

第一階段，理解兩位數(shù)除以一位數(shù)除法的算理本質。借助小棒，以直觀模型再現(xiàn)平均分的過程，讓學生在操作中理解兩位數(shù)除以一位數(shù)中分2次的經(jīng)歷，體會從高位開始分的必要性。有了直觀模型與操作活動的支持，能使學生深刻理解除法算理，形成“分一分”通法。

第二階段，引導學生以關聯(lián)的視角進行豎式記錄。結合操作活動的步驟，以及橫式記錄的過程，引導學生理解和掌握除法豎式的計算步驟以及每一步的實際含義，將算理和算法融合在一起。學生對于三位數(shù)除以一位數(shù)的算理、算法的學習就水到渠成了。

第三階段，引導學生借助已有的知識經(jīng)驗和基礎，在解決問題的過程中，對三位數(shù)除以一位數(shù)的具體算法進行變式和遷移。

四、單元整體教學思考

根據(jù)學情分析，大多數(shù)學生對“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的算理理解和他們的豎式記錄都存在很大的問題，有的學生甚至不會書寫正確的除法筆算格式?？梢钥闯?，這類學生在第一次接觸除法豎式時就沒有體會到豎式記錄的合理性，特別是無法將豎式記錄與操作過程進行對應。因此，在本單元的筆算教學中，教師應該引導學生關注情境意義、橫式計算過程和豎式記錄的關聯(lián)，讓學生不僅體會豎式記錄的合理性，還要能結合情境，理解豎式記錄過程中每一步的含義。

綜上分析，應基于學生的學習路徑，以單元視角的整體角度對教材進行有機整合、合理優(yōu)化和靈活運用，做到真正為學生服務。為此作了如下思考。

（一）加強活動操作，促進算理理解

從學生前測可以看出，大多數(shù)學生對豎式計算中平均分物的過程并不是很清晰，因此筆者準備了一節(jié)基于算理理解的活動課，讓學生在平均分的過程中，建立豎式計算的表征模型，理解活動過程中每一步的意思。目標為：（1）創(chuàng)設分桃子的現(xiàn)實分物情境，讓學生經(jīng)歷分小棒的過程。（2）理解活動的每一個步驟，并能用橫式記錄下來。（3）在活動過程中體會“先十個十個分，再一個一個分”。

（二）以算理促算法，適當整合內容

在理解算理的基礎上，打破教材原來按照知識點分為“十位剛好整除和有剩余”兩課時的編排方式，將本單元的教學分成“理解算理”和“豎式記錄”兩節(jié)課。在第一節(jié)操作活動課之后，在第二節(jié)課以教材中的“分桃子”為情境，開展指向“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式教學。這能夠有效地促進學生對算理的理解和算法的構建。另外還需創(chuàng)設一個三位數(shù)除以一位數(shù)的“分一分”操作活動。教材中是以求高鐵的速度為情境學習“三位數(shù)除以一位數(shù)”，但學生對算理的理解是比較抽象的，不能很清晰地說出每個數(shù)字在情境中的意義。因此筆者采用了分“人民幣”的情境，同樣基于學生的現(xiàn)實生活，卻使學生對算理的理解更加容易了。

（三）筆算除法中對于“0”的教學的整合思考

筆算除法在“0”的處理上緊緊圍繞“不夠商1就商0”和“0除以任何不是0的數(shù)都得0”進行，教材中分兩節(jié)課進行：在“猴子的煩惱”一課中以“306÷3、840÷6”為例，學生經(jīng)歷的是“0除以任何不是0的數(shù)都得0”的知識點；在“節(jié)約”一課中以“912÷3、522÷4”為例，學生經(jīng)歷的是“不夠商1就商0”的知識點。從教材的編排邏輯分析，這樣的編排是符合學生的學習思維習慣的，所以在教學這兩節(jié)課時，教材中的材料和結構可不做大的改動［4］?？紤]到“被除數(shù)中有0”的教學需要，同時結合課堂作業(yè)本中的練習題，可以在“306÷3、840÷6”的教學中，把“節(jié)約”一課中的試一試例題“502÷2”也融入進來，讓學生體會“被除數(shù)中間有0并不能肯定商中間有0”。

基于以上對單元整體教學的思考，為了更加符合學生的學習路徑，又對“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的單元教學內容安排作了適度的調整（如表3）。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章勤瓊，陳錫成.基于學習路徑分析的小學數(shù)學單元整體教學思考框架［J］.小學數(shù)學教育，2021（3）：13-16.

［3］章勤瓊，陽海林，陳肖穎.小學數(shù)學教學中的表現(xiàn)性評價及其應用［J］.課程·教材·教法，2021，41（3）：83-89.

［4］何奇斌.“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”單元整合與關鍵課例設計［J］.小學數(shù)學教育，2021（4）：57-59.

*本文系2020年國家社科基金一般項目“大數(shù)據(jù)支持下的中小學合作型課堂組織形式建構研究”（項目編號：20BGL127）的研究成果。