吳廣進, 盧宗興, 于瀟雁

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院,福州 350116)

并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大,精度高,整體受力較為均勻,承載能力強,結(jié)構(gòu)對稱性好等特點,以上優(yōu)點決定并聯(lián)機構(gòu)常運用于精度較高承載工況較大的環(huán)境中[1],但由于并聯(lián)機構(gòu)相對較為復(fù)雜,桿件受到運動約束,導(dǎo)致其工作空間存在不同程度受限[2],其控制較為復(fù)雜而少自由度并聯(lián)機構(gòu)能夠一定程度上避免運動控制復(fù)雜性,目前,并聯(lián)機構(gòu)主要用于并聯(lián)機床的研制,工業(yè)微動機器人,飛行模擬器,航天交會對接,醫(yī)療一起等現(xiàn)代尖端技術(shù)領(lǐng)域。

踝關(guān)節(jié)作為人體承重關(guān)節(jié),在日?；顒又袇⑴c奔跑、跳躍等活動,常受到不同程度的沖擊[3],踝關(guān)節(jié)扭傷占全身關(guān)節(jié)扭傷占比居高,而踝關(guān)節(jié)外側(cè)扭傷占踝關(guān)節(jié)扭傷占比近85%[4],在腳踝康復(fù)機構(gòu)領(lǐng)域,李劍鋒等[5]對機構(gòu)驅(qū)動參數(shù)范圍進行設(shè)定,求解出機構(gòu)工作空間,通過雅克比矩陣分析腳踝康復(fù)機構(gòu)運動學(xué)性能,求得機構(gòu)靈巧性指標;劉芳芳等[6]通過螺旋理論進一步對該機構(gòu)自由度進行分析,通過逆解方程求得機構(gòu)一階影響系數(shù),采用搜索法求解機構(gòu)可達姿態(tài)空間,表明機構(gòu)具有良好的動態(tài)特性,但此機構(gòu)運動控制稍復(fù)雜;樊曉琴等[7]基于踝關(guān)節(jié)運動特性及中醫(yī)牽引康復(fù)療法,研發(fā)出(2-SPS+PU)&R 混聯(lián)式踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu),結(jié)合閉環(huán)矢量法求得機構(gòu)逆解,通過工作空間表明機構(gòu)能夠滿足受損踝關(guān)節(jié)的康復(fù)需求;崔馬茹等[8]提出 3-URPR 少自由度并聯(lián)機構(gòu),應(yīng)用螺旋理論計算機構(gòu)自由度,應(yīng)用閉環(huán)矢量法分析機構(gòu)逆解,最后在逆解及確定結(jié)構(gòu)參數(shù)下求得機構(gòu)可達工作空間;上述研究雖都求得機構(gòu)工作空間且均符合所要求的康復(fù)空間,但作者并未對機構(gòu)參數(shù)布局對機構(gòu)各性能影響進一步研究;嚴騁等[9]對新型三自由度純轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)設(shè)計,對影響機構(gòu)工作空間的參數(shù)進行分析,求得機構(gòu)工作空間與參數(shù)之間的關(guān)系,但并未進行進一步分析面積變化的原因。由于腳踝康復(fù)運動的獨特性,且少自由度并聯(lián)機構(gòu)能夠運用于腳踝康復(fù)。

在實際康復(fù)運動中,僅趾背屈及內(nèi)外翻就能夠覆蓋大部分踝關(guān)節(jié)區(qū)域肌肉鍛煉,且對后續(xù)康復(fù)訓(xùn)練能夠起到一定的作用[10],內(nèi)外旋運動在實際康復(fù)過程中出現(xiàn)程度較低。本文提出2UPS/RR少自由度并聯(lián)機構(gòu),能夠為踝關(guān)節(jié)提供趾背屈、內(nèi)外翻及復(fù)合康復(fù)運動,其運動能夠為踝關(guān)節(jié)肌肉提供康復(fù)訓(xùn)練,并且穩(wěn)固的支撐結(jié)構(gòu)能夠使動平臺承受一定重量的載荷時不發(fā)生搖動,本文通過對機構(gòu)布局優(yōu)化,使得機構(gòu)工作空間滿足踝關(guān)節(jié)康復(fù)需求。

1 2UPS/RR機構(gòu)構(gòu)型描述

近年來,并聯(lián)機構(gòu)與醫(yī)療康復(fù)交叉學(xué)科的研究較為活躍,本文結(jié)合并聯(lián)機構(gòu)上述優(yōu)點及人體腳踝康復(fù)運動特性,開發(fā)研制2UPS/RR機構(gòu)并將其應(yīng)用于腳踝康復(fù)領(lǐng)域,2UPS/RR的并聯(lián)踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)如圖 1所示。

圖1 機構(gòu)模型

機構(gòu)主要由靜平臺、動平臺,兩條驅(qū)動支鏈及一條約束支鏈組成:每條支鏈中U代表虎克副、P為電機推桿,S為球副,其機構(gòu)簡單緊湊,運動副都為面接觸,機構(gòu)承載能力強。

1.1 坐標軸建立

2UPS/RR機構(gòu)簡圖如圖 2所示,定義坐標如:機構(gòu)繞兩旋轉(zhuǎn)軸所在空間上的交點為點O,定義定坐標系O-XYZ原點位于點O,定坐標系的X軸方向水平朝右,Z軸豎直向上,根據(jù)右手螺旋定則確定定坐標系的Y軸;定義動坐標系T-UVW原點與動坐標系原點重合,初始位置狀態(tài)下,兩坐標系所對應(yīng)的軸線重合,建立過程不再進行贅述。定義符號如下:定義約束支鏈中支撐桿兩旋轉(zhuǎn)副分別為R1、R2,Z軸與靜平臺交點設(shè)為O″點,Z軸與動平臺交點設(shè)為O′點,兩虎克副的旋轉(zhuǎn)軸中心點分別設(shè)為ai點(i=1、2),兩球副的球心點分別設(shè)為bi(i=1、2)。

圖2 機構(gòu)簡圖

1.2 自由度計算

黃真等[11]提出反螺旋理論分析機構(gòu)自由度,使用機構(gòu)反螺旋表示機構(gòu)末端受到得約束;本機構(gòu)由靜平臺、動平臺、運動支鏈aibi(i=1,2)以及約束支鏈組成,運動支鏈采用UPS運動副,其中U副代表虎克副,P副代表電機推桿,S代表球副,兩條支鏈左右對稱分布,定平臺通過虎克(U)副與推桿連接,動平臺動通過球(＄)副與推桿連接,對機構(gòu)運動支鏈aibi進行運動分析,且坐標的選擇并不影響支鏈螺旋系,重新建立螺旋系分析,坐標如圖 3所示,在機構(gòu)初始布局下Ob1=(-43.65,6.02,394.05),Ob1為b1點在固定坐標系下的位置,其支鏈的螺旋系如下:

圖3 UPS支鏈約束螺旋

圖 4 閉環(huán)矢量圖

(1)

求得式(1)中6個螺旋是線性無關(guān)的,對支鏈運用螺旋的互易積為零的原理來求解此運動螺旋系的反螺旋,即

(2)

可知此運動支鏈UPS對動平臺未產(chǎn)生新的運動約束[12],同理另側(cè)支鏈也未對動平臺產(chǎn)生運動約束,則根據(jù)后側(cè)支撐支鏈(RR)可知動平臺能夠繞X、Y軸旋轉(zhuǎn),同時根據(jù) K-G(Kutzbach-Grübler)自由度計算公式[13], 機構(gòu)的自由度可表示為

(3)

在空間自由度計算中,由于該機構(gòu)不存在公共約束,選擇機構(gòu)階數(shù)m=6,機構(gòu)構(gòu)件數(shù)(包括機架)n=5,機構(gòu)鉸鏈數(shù)g=6:分別為2個球副、2個虎克副、2個轉(zhuǎn)動副;fi為第i個鉸鏈所擁有的自由度;綜上計算得到: 2UPS/RR機構(gòu)具有2個自由度,所以該機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)是通過兩個電機推桿的直線運動輸出轉(zhuǎn)化為平臺繞兩個空間固定軸的旋轉(zhuǎn),進而帶動腳底進行趾背屈及內(nèi)外翻康復(fù)運動。

F=6×(5-6-1)+(3×2+2×2+2×2)=2

1.3 機構(gòu)逆解

若要輸出指定動平臺位姿,則應(yīng)當(dāng)建立機構(gòu)逆解模型[14];由動平臺位姿α、β,通過逆解模型求得兩推桿桿長變化規(guī)律,求機構(gòu)逆解的關(guān)鍵在于建立機構(gòu)輸入輸出之間的映射模型,本節(jié)通過閉環(huán)矢量法求解機構(gòu)逆解。

機構(gòu)動平臺的位姿可通過先繞定坐標系中X軸旋轉(zhuǎn)α角,再繞動坐標系V軸旋轉(zhuǎn)β角,最終得到動坐標軸的位姿矩陣為:

(4)

式中:R(α,X),R(β,V) 分別為旋轉(zhuǎn)矩陣; s=sin,

c=cos。

初始狀態(tài)下推桿基座虎克副幾何中心在固定坐標下的幾何矢量Oai=(Xai,Yai,Zai)T,其中Zai=-h。初始狀態(tài)下球副幾何中心在動坐標系下的位置矢量Tbi=(Xbi,Ybi,Zbi)T;球副幾何中心在定坐標系下的位置矢量為Obi;則可得

Obi=ORTTbi+orgPT=[Xbicβ+Zbisβ,Xbisαsβ+

Ybicα-Zbisαcβ,-Xbicαsβ+Ybisα+Zbicαcβ]T(5)

式中orgPT為動坐標系原點在定坐標系下的位置。

根據(jù)閉環(huán)矢量法求解踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)的位置逆解,如圖4所示。機構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 機構(gòu)參數(shù)

Oai+Li=Obi計算機構(gòu)逆解為

Li=Obi-Oai=[Xbicβ+Zbisβ-Xai,Xbisαsβ+Ybicα-

Zbisαcβ-Yai,-Xbicαsβ+Ybisα+Zbicαcβ-Zai]T

(6)

將表1中機構(gòu)參數(shù)代入式(6)中得:

L1=[161.35cβ+9.05sβ-205,161.35sαsβ+

158.98cα-9.05sαcβ-165,-161.35cαsβ+

158.98sα+9.05cαcβ+385]T

(7)

L2=[-161.35cβ+9.05sβ+205,-161.35sαsβ+

158.98cα-9.05sαcβ-165,161.35cαsβ+

158.98sα+9.05cαcβ+385]T

(8)

根據(jù)建立逆解的數(shù)學(xué)模型,已知動平臺末端位姿參數(shù)(α,β)根據(jù)式(7)和式(8)兩個獨立方程,即可求得的兩支鏈推桿長度|Li|(i=1，2)具體數(shù)值。

2 機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間影響

并聯(lián)機構(gòu)工作空間的大小和形狀決定著機構(gòu)的可達工作空間的大小,是衡量機構(gòu)工作能力的一個重要指標[15-16],其主要受到以下因素影響:驅(qū)動副的行程;球副最大轉(zhuǎn)角;推桿與動平臺之間的干涉;連桿桿件間的干涉。

根據(jù)上述所得到的逆解公式(6),選取機構(gòu)約束表達式為:

(9)

利用上述參數(shù),結(jié)合點集法[18],規(guī)律性改變動平臺位姿,繪制出機構(gòu)工作空間,并使用包絡(luò)線表示其邊界形狀,根據(jù)包絡(luò)線區(qū)域內(nèi)部點集數(shù)量,工作空間面積可以表示為

Area=Length(Piont)×Δα×Δβ

(10)

式中:Length(Piont)為包絡(luò)線區(qū)域內(nèi)部點的數(shù)量;Δα、Δβ為動平臺變化的固定增量。

求得此時機構(gòu)工作空間面積為1 107°2,由圖5所示,初始布局機構(gòu)背屈能夠達到22°,趾屈能達到18°,內(nèi)外翻接近為18°,結(jié)合表2人體踝關(guān)節(jié)康復(fù)所需運動角度,為使得機構(gòu)工作空間滿足腳踝康復(fù)空間,研究機構(gòu)合理布局,使其能夠滿足腳踝康復(fù)的運動角度,以下研究機構(gòu)布局對于工作空間的影響[17]。

圖5 初始結(jié)構(gòu)下的工作空間

表2 踝關(guān)節(jié)康復(fù)所需角度

2.1 球副最大轉(zhuǎn)角對工作空間影響

球副的最大轉(zhuǎn)角決定了球副連接兩側(cè)桿件的擺動范圍,其轉(zhuǎn)角大小影響機構(gòu)的工作空間,討論球副最大轉(zhuǎn)角對工作空間的影響如圖6所示,其工作空間面積如圖7所示。

圖6 球副最大轉(zhuǎn)角對工作空間的影響

圖7 球副角度對工作空間面積影響

由圖6可知,當(dāng)球副轉(zhuǎn)角從20°增至30°時,機構(gòu)趾背屈及內(nèi)外翻空間 隨著球副最大轉(zhuǎn)角的增加而增大,當(dāng)球副最工作角度由30°往上增加時,由于并聯(lián)機構(gòu)桿件與動平臺存在干涉限制及推桿行程限制,此時工作空間的增加效果并不明顯;由7可知,球副最大轉(zhuǎn)角增加時,機構(gòu)工作空間面積也隨之增加;結(jié)合人體腳踝實際轉(zhuǎn)動范圍及機構(gòu)受力等綜合因素考慮,選取球副最大轉(zhuǎn)角為30°。

2.2 球副安裝間距對工作空間的影響

研究球副安裝間距對工作空間的影響,通過調(diào)整兩球副距VOW平面距離,即b1、b2的U坐標絕對值大小(表1),研究其對工作空間的影響。

在初始布局條件下,對機構(gòu)球副安裝間距進行內(nèi)移分析(即減小bi點U坐標絕對值),如圖8所示,當(dāng)球副安裝位置從初始位置向內(nèi)移至30 mm的過程中,由于內(nèi)移使連接桿開度減小,在推桿行程不變情況下,機構(gòu)內(nèi)外翻角度呈增大趨勢,當(dāng)兩連接桿開度內(nèi)移30～50 mm之間時,這是由于動平臺與推桿間運動干涉限制,導(dǎo)致內(nèi)外翻的角度呈減小趨勢;如圖9所示,球副在內(nèi)移0～30 mm過程中,工作空間面積由1 519°2增加至1 683.8°2,球副在內(nèi)移30～50 mm過程中,工作空間面積由1 683.8°2減小至1 583.3°2。綜上考慮機構(gòu)使用性及緊湊性,將機構(gòu)球副內(nèi)移30 mm。

圖8 球副內(nèi)移距離對工作空間影響

圖9 球副內(nèi)移距離對工作空間面積影響

2.3 推桿基座間距對工作空間的影響

研究兩推桿基座安裝距YOZ平面距離對工作空間的影響,通過調(diào)整兩推桿基座距YOZ平面距離,即a1、a2的X坐標絕對值大小(表1),研究其對工作空間的影響。

在初始布局條件下,對機構(gòu)推桿基座進行內(nèi)移分析(即減小ai點X坐標絕對值大小),如圖10所示,由最初機構(gòu)初始布局下,基座均向內(nèi)移動0～30 mm區(qū)間內(nèi),機構(gòu)整體運動角度并未有較大幅度的增加;當(dāng)基座向內(nèi)移30～50 mm區(qū)間內(nèi),機構(gòu)內(nèi)外翻角度呈減小趨勢,是由于動平臺與推桿間存在運動干涉限制,導(dǎo)致內(nèi)外翻幅度減小;如圖11所示,推桿基座內(nèi)移0～10 mm過程中,機構(gòu)工作空間面積呈增大趨勢,推桿基座內(nèi)移10～50 mm過程中,機構(gòu)工作空間面積不斷減小,這是由于推桿和動平臺干涉存在的結(jié)果;綜上考慮機構(gòu)使用性及緊湊性,將機構(gòu)基座間距內(nèi)移30 mm。

圖10 推桿基座內(nèi)移對工作空間面積影響

圖11 推桿基座內(nèi)移對工作空間面積影響

2.4 推桿前后位置對工作空間影響

研究機構(gòu)推桿前后安裝位置對機構(gòu)工作空間的影響,通過同時調(diào)整球副安裝座及推桿基座前后位置,即同時改變ai的Y坐標及、bi點V坐標(表1),研究推桿安裝位置與工作空間之間的關(guān)系。

如圖12所示,當(dāng)推桿整體向后移動時(Y軸負方向),機構(gòu)內(nèi)外翻空間并未有增加,這是由于并聯(lián)機構(gòu)動平臺與推桿干涉限制使其內(nèi)外翻空間并未有過多增加,機構(gòu)趾背屈工作空間呈增大趨勢,這是由于在推桿行程一定的情況下,推桿越靠近旋轉(zhuǎn)中心,機構(gòu)趾背屈范圍呈增大趨勢;如圖13所示,機構(gòu)面積隨著推桿位置后移而增大,但桿件后移過程中,不僅需考慮推桿空間位置與后部支撐桿干涉,還需兼顧機構(gòu)輸入速度與輸出速度之間的比例關(guān)系(即機構(gòu)雅克比矩陣)不宜過于大[18];綜上所述,將推桿整體后移30 mm,作為最終推桿安裝位置。

圖12 推桿前后位置對工作空間影響

圖13 推桿前后位置對工作空間面積影響

機構(gòu)結(jié)構(gòu)布局確定情況下,最終工作空間如圖14所示。

圖14 最終工作空間

機構(gòu)最大背屈達到34°,最大趾屈達到-28°,機構(gòu)內(nèi)外翻能夠到達22°,機構(gòu)工作空間面積2 025.75°2,結(jié)合表2所示,最終機構(gòu)布局下的工作空間滿足腳踝康復(fù)要求。

本節(jié)主要研究機構(gòu)零件布局對機構(gòu)工作空間的影響,目的在于找出兩者之間映射關(guān)系,并研究分析工作空間變化原因,為機構(gòu)布局及工作空間關(guān)系提供研究基礎(chǔ)及理論依據(jù)。

3 機構(gòu)算例分析

3.1 機構(gòu)工作空間

根據(jù)上述機構(gòu)轉(zhuǎn)動空間的分析,得出符合踝關(guān)節(jié)康復(fù)的機構(gòu)布局,通過上述確定下的機構(gòu)布局,可以求得動平臺中心點(O′點)的運動空間,如圖15所示,從圖中可以看出,O′點運動空間與腳底板下方的工作空間類似:呈凸出曲面;中心點運動空間過渡平滑且內(nèi)部無空缺,表明在此空間內(nèi)運動光滑連續(xù)且不存在奇異位型。

圖15 機構(gòu)O′點工作空間

3.2 MATLAB算例

將公式(8)和公式(9)逆解方程導(dǎo)入MATLAB中進行編程,設(shè)置動平臺運動規(guī)律α=-20cos(πt/10)、β=20sin(πt/10),得到兩桿桿長隨時間的變化曲線如圖16所示。

圖16 MATLAB桿長逆解

3.3 ADAMS運動算例驗證

2UPS/RR腳踝康復(fù)機構(gòu)模型簡化,去除不必要的特征,并導(dǎo)入ADAMS中設(shè)置相應(yīng)約束及運動副,模型簡化及約束結(jié)果如圖17所示。在此模型正確約束下,得到機構(gòu)自由度為2,驗證上述求得機構(gòu)自由度;進而在旋轉(zhuǎn)副中添加旋轉(zhuǎn)驅(qū)動,設(shè)置趾背屈運動副類型revolute、函數(shù)(時間)-20cos(πt/10)、設(shè)置內(nèi)外翻運動副類型revolute、函數(shù)(時間)20sin(πt/10);上述設(shè)置后使得使動平臺在空間上作章動復(fù)合運動[19],通過仿真測量機構(gòu)兩桿桿長變化如圖18所示。

圖17 ADAMS模型

圖18 ADAMS算例仿真

將MATLAB桿長數(shù)據(jù)(圖16)及ADAMS仿真桿長數(shù)據(jù)(圖18)進行對比,其桿長變化對比如圖19所示,可得機構(gòu)逆解方程正確性,兩圖中數(shù)據(jù)稍有偏差但趨勢一致,主要來自于ADAMS模型測量點選取的誤差,這一偏差并不影響運動算例驗證;從上述實例表明不僅在理論計算上,而且在仿真模型中,均能實現(xiàn)機構(gòu)動平臺繞Z軸做20°的章動運動。

圖19 ADAMS與MATLAB 比較圖

計算動平臺中心點(O′點)的三維軌跡,倘若機構(gòu)軌跡點中斷或不連續(xù),則機構(gòu)因桿件干涉等原因無法完成指定運動軌跡。由圖20可以看出,點軌跡并不連續(xù),這是因為該處因桿件干涉等原因,O′點無法到達而形成中斷的軌跡;而當(dāng)機構(gòu)做20°章動復(fù)合運動時,O′點在已半徑為130sin(π/9)做圓周運動,運動軌跡如圖21所示,參考點在空間中運動連續(xù)平滑且無中斷,表明機構(gòu)做20°章動過程中并未有桿件間干涉。

圖20 桿件干涉時O′點軌跡

圖21 O′空間運動軌跡

4 總結(jié)和展望

1) 求解機構(gòu)運動空間過程中,不僅考慮干涉問題,而且以實際運動情況上引入安全間距5 mm概念,保證求解出工作空間滿足安全要求又符合實際。

2) 優(yōu)化前機構(gòu)運動角度不能夠覆蓋腳踝康復(fù)空間;優(yōu)化后內(nèi)外翻角度增加10°,趾背屈角度增加20°,優(yōu)化后機構(gòu)運動角度能夠覆蓋腳踝康復(fù)空間。

3) 優(yōu)化前的機構(gòu)工作空間為1 107°2,優(yōu)化后的機構(gòu)工作空間為2 025.75°2;最終機構(gòu)工作空間大幅度提升,通過與踝關(guān)節(jié)康復(fù)角度對比,其能夠覆蓋腳踝康復(fù)空間,所設(shè)計機構(gòu)符合腳踝康要求。

4) 通過模型仿真分析驗證機構(gòu)運動連續(xù)性及機構(gòu)逆解正確性,對以運動空間為目標參數(shù)的機構(gòu)優(yōu)化提供了優(yōu)化方向及理論基礎(chǔ);后續(xù)可引入雅克比矩陣、機構(gòu)靈巧度對機構(gòu)運動平順性進一步分析。