汪凱, 江勝飛, 胡波, 張曉東

(1. 成都理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,成都 610059; 2. 中石油西南油氣田分公司,四川瀘州 646000;3. 西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,成都 610500)

目前,基于振動信號的軸承故障監(jiān)測都是從信號處理的角度進(jìn)行研究,而沒有結(jié)合到軸承振動的動力學(xué)特性。本研究從正常軸承的振動特性入手,旨在進(jìn)一步驗(yàn)證軸承間隙對軸承振動的影響。Tallian和Gustafsson[1]首先提出了軸承內(nèi)間隙對振動的影響,仿真結(jié)果說明了軸承間隙越大,軸承振動的振幅也越大。文獻(xiàn)[2-3]基于赫茲接觸理論提出了非線性3-DOF模型,通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了增大預(yù)緊力或者增加滾動體的數(shù)量或者兩者都增加會減小振動幅值。文獻(xiàn)[4-5]同樣基于赫茲接觸理論通過非線性模型對混沌運(yùn)動進(jìn)行了研究分析,數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了轉(zhuǎn)子滾動軸承系統(tǒng)會有諧波、超諧波、亞諧波、振動以及混沌振蕩現(xiàn)象。陳予怒院士為了深刻揭示球軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振機(jī)理,首次應(yīng)用平均法求得了系統(tǒng)在主共振情況下的解析解,并討論了系統(tǒng)參數(shù)對主共振的影響[6-7]。郭瑞、趙國瑤等基于軸承間隙內(nèi)潤滑油的流動特點(diǎn),提出了流場中存在動壓-空化耦合關(guān)系,并結(jié)合氣液混合相模型及全空化模型對間隙內(nèi)三維流場進(jìn)行數(shù)值求解[8]。魏維等以軸承間隙為設(shè)計(jì)變量,分析軸承間隙對動態(tài)特性系數(shù)的影響,研究結(jié)果表明,增大軸承間隙會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9-10]。

綜合文獻(xiàn)調(diào)研,只有極少數(shù)的文獻(xiàn)是基于對軸承振動模型的研究,同時(shí)各種振動的分類與軸承參數(shù)之間的可能關(guān)系也沒有進(jìn)行研究分析。本研究將結(jié)合振動信號與軸承振動的動力學(xué)特性對2-DOF非線性模型進(jìn)行研究分析,明確軸承振動不同類型的分類以及軸承間隙對振動信號的影響。

1 系統(tǒng)模型的建立

將軸承支撐的旋轉(zhuǎn)機(jī)械簡化成由轉(zhuǎn)盤、旋轉(zhuǎn)軸以及軸對稱分布的彈簧和阻尼器代表的兩柔性軸承構(gòu)成的系統(tǒng)模型,如圖1所示。

圖1 兩軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

由滾動軸承支撐的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),幾乎沒有滾動體承受動載荷,同時(shí)承載區(qū)域的彈性變形提供系統(tǒng)剛度。當(dāng)機(jī)械在低速旋轉(zhuǎn)時(shí),慣性力和粘滯阻尼都可忽略不計(jì),且加載在系統(tǒng)上的主動力就是轉(zhuǎn)子靜態(tài)時(shí)的重量。當(dāng)機(jī)械在高速旋轉(zhuǎn)時(shí),轉(zhuǎn)子的慣性力和粘滯阻尼會影響軸承外圈在軸向和徑向上的運(yùn)動,并產(chǎn)生非線性、耦合的變剛度。

為了研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中滾動軸承的動力學(xué)特性,在質(zhì)量、彈簧、阻尼系統(tǒng)中將轉(zhuǎn)子的質(zhì)量集中于內(nèi)圈中心,同時(shí)由一組等同并行的非線性彈簧支撐該系統(tǒng)。該2-DOF模型如圖2所示,相對于轉(zhuǎn)子來說,該系統(tǒng)忽略了滾動體的慣性,同時(shí)承載區(qū)域內(nèi)滾動體所受的合力為激振力。

圖2 2-DOF滾動軸承的模型

針對2-DOF滾動軸承的模型,做以下假設(shè):

1) 軸處于內(nèi)圈的中心位置,且外圈是靜止的;

2) 整個(gè)系統(tǒng)的外力只有轉(zhuǎn)子的重力,且假設(shè)滾道是無故障的;

3) 軸承的幾何參數(shù)如下,內(nèi)外圈的半徑分別為Ri和R0,軸承內(nèi)間隙為e,滾珠直徑為Db,而且在整個(gè)過程中Db是恒定不變的。

模型中,滾動體均布在轉(zhuǎn)子上,且第i個(gè)滾動體的位置角度θi為

(1)

式中:N為滾動體的總數(shù)目；ω為內(nèi)圈的轉(zhuǎn)速,且與主軸轉(zhuǎn)速ωs成正比。

(2)

由于內(nèi)圈的位置變化,會產(chǎn)生小的變形量δi,且施加于每個(gè)滾動體上。

這些徑向變形量可根據(jù)圖3的幾何模型上滾動體的位置角度θi、內(nèi)圈的坐標(biāo)(x,y)及間隙e計(jì)算出來。

圖3 徑向變形量計(jì)算模型

得出徑向變形量為

δi=xcosθi+ysinθi-e

(3)

將式(1)代入式(3),得到徑向變形量為

(4)

回復(fù)力Fi與承載區(qū)域的每個(gè)滾動體都有關(guān)聯(lián),通過赫茲接觸理論可以得到

(5)

式中:k為接觸剛度;權(quán)重n的取值取決于滾動體的形狀。

根據(jù)外載荷與滾動體的承載平衡關(guān)系,可得：

(6)

在式(6)中,當(dāng)單位階躍函數(shù)(x>0,H(x)>0;x≤0,H(x)=0)大于零時(shí),承載區(qū)域內(nèi)的相關(guān)滾珠就會受壓且壓力施加在內(nèi)圈上。因此,轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程可表示為：

(7)

式中Nc表示承載區(qū)域內(nèi)滾動體的個(gè)數(shù)。

為了求解式(7),承載區(qū)域內(nèi)滾動體的個(gè)數(shù)Nc和轉(zhuǎn)子平衡點(diǎn)的位置由承載區(qū)域內(nèi)滾動體回復(fù)力的泰勒級數(shù)展開式分析得到,式(7)就轉(zhuǎn)化成一組包含周期系數(shù)的非線性常微分方程組。這樣,系統(tǒng)方程的閉合解就可以通過廣義積分變換法求解。

2 載荷分布角的研究

在滾動軸承中,通過滾動體將載荷傳遞到內(nèi)外圈上,徑向力連續(xù)分布在內(nèi)圈與外圈之間受壓的滾動體上。

載荷分布角如圖4所示。

圖4 載荷分布角

因此,轉(zhuǎn)子的徑向變形量僅僅存在于承載區(qū)的滾動體上,可表示為：

(8)

通過極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,x=rtcosαt,y=rtsinαt,以內(nèi)圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn),可表示為:

(9)

(10)

當(dāng)單個(gè)滾動體支撐起整個(gè)轉(zhuǎn)子的重量時(shí),此時(shí)rt出現(xiàn)最大值。在這種準(zhǔn)靜態(tài)條件下(ω≈0),依據(jù)赫茲接觸理論和式(9)及式(10),可以推導(dǎo)出載荷分布角的表達(dá)式為

(11)

因此,帶擾動項(xiàng)的承載區(qū)內(nèi)滾動體數(shù)目的計(jì)算公式就可以推導(dǎo)出來,可表示為

(12)

承載區(qū)域內(nèi)滾動體的數(shù)目主要取決于軸承內(nèi)間隙和徑向力。此外,承載區(qū)域內(nèi)滾動體的位置和數(shù)目會隨著時(shí)間的變化而不斷改變,因此系統(tǒng)剛度對承載區(qū)域內(nèi)滾動體的數(shù)目有決定性的作用,這也是系統(tǒng)振動和系統(tǒng)時(shí)變性的潛在因素。

3 平衡點(diǎn)分析

將軸的平衡點(diǎn)標(biāo)記為(x,y),基于公式(7)將任一點(diǎn)對時(shí)間求導(dǎo)(xe,ye)=0。因此,在無故障滾動軸承上施加一個(gè)理論上完全平衡的轉(zhuǎn)子,平衡點(diǎn)則滿足以下方程組。

(13)

平衡點(diǎn)的位置取決于軸承間隙、徑向力以及承載區(qū)域內(nèi)的滾動體的數(shù)目。通過數(shù)值求解公式(13)可以得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。當(dāng)軸承內(nèi)間隙為0時(shí)(e=0),承載區(qū)域內(nèi)滾動體的數(shù)目達(dá)到最大值Nc=N/2。在準(zhǔn)靜態(tài)條件下(ω≈0),公式(13)通過極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換xe=recosφe,ye=resinφe得到：

(14)

(15)

對于內(nèi)間隙為零的軸承的平衡點(diǎn)方程可以表示為

(xe,ye)|e=0=[0,-(4W/Nk)2/3]

(16)

為了研究軸承內(nèi)間隙對平衡點(diǎn)位置的影響,將?127渦輪鉆具軸承的數(shù)據(jù)代入公式(13)進(jìn)行數(shù)值求解分析,?127渦輪鉆具軸承的具體參數(shù)見表1。

表1 ?127渦輪鉆具軸承的具體參數(shù)

通過公式求解,當(dāng)內(nèi)間隙e<4.5 μm時(shí),內(nèi)環(huán)承載區(qū)有3～4個(gè)滾動體,此時(shí)有且僅有一個(gè)平衡點(diǎn);當(dāng)內(nèi)間隙e>4.5 μm時(shí),可能會有3個(gè)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性可以通過轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(xe,ye)處雅可比矩陣的特征值來表示,即:

(17)

當(dāng)ω≠0時(shí),通過求解公式(13)得到一些離散的點(diǎn)。在分歧點(diǎn)e=4.5 μm以下,平衡點(diǎn)都是單一穩(wěn)定且無變化的,每個(gè)e值都對應(yīng)一個(gè)唯一的平衡點(diǎn)。隨著內(nèi)間隙的增加,并超過分歧點(diǎn)e=4.5 μm時(shí),有3個(gè)平衡點(diǎn),并且這3個(gè)平衡點(diǎn)的位置分布基本都是沿著同一曲線向兩端延伸,如圖5所示。

圖5 動平衡點(diǎn)穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域的分布

圖5揭示了平衡點(diǎn)的分布與內(nèi)間隙和軸承轉(zhuǎn)速(ω=800 r/min)的關(guān)系。

通過數(shù)值分析證實(shí)了內(nèi)圈存在著兩種實(shí)質(zhì)上不同的振動類型,以分歧點(diǎn)e=4.5 μm為臨界點(diǎn)。對于小的軸承內(nèi)間隙e<4.5 μm,振動是周期性的。當(dāng)軸承內(nèi)間隙超過分歧點(diǎn)時(shí),就會出現(xiàn)沿Y軸對稱分布的振動類型,在此命名為“井架”振動類型。在低轉(zhuǎn)速,運(yùn)動還是周期性的并且在Y軸的一定范圍內(nèi)。一旦轉(zhuǎn)速提高,軸將會出現(xiàn)跳動情況,從“井架”的一端跳動到“井架”的另一端,也就是給定一個(gè)單一頻率的輸入信號ω,而輸出的則是軸運(yùn)動的隨機(jī)廣譜頻率。此外,在相位空間,軸軌跡隨時(shí)間的變化而變化,中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)也在隨機(jī)的變化。并且,隨著轉(zhuǎn)速的不斷提高,會發(fā)生混沌現(xiàn)象。

4 案例分析與求解

案例1 零間隙滾動軸承

在零間隙滾動軸承中,承載區(qū)域的角度為π,承載的滾動體數(shù)目為N/2。通過常數(shù)變易法來求解在水平方向和垂直方向兩種不同情況的解。

水平方向(x方向),轉(zhuǎn)速在基本頻率附近,則內(nèi)圈的運(yùn)動Nω≈ω1;垂直方向(y方向),轉(zhuǎn)速在基本頻率附近,則內(nèi)圈的運(yùn)動Nω≈ω2。

圖6所示是零間隙滾動軸承在水平方向和垂直方向上的頻率響應(yīng)結(jié)果,并對廣義積分變換法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬仿真的結(jié)果進(jìn)行對比分析。

圖6 零間隙滾動軸承在水平方向和垂直方向上的頻率響應(yīng)結(jié)果

在兩種情況下,廣義積分變換法的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果具有較好的一致性。對于圖6中存在的一點(diǎn)偏差,通過分析后主要有兩個(gè)原因:1) 是對模型進(jìn)行了假設(shè),即假設(shè)是由Nω≈ω1或Nω≈ω2引起的主共振;2) 在對公式(7)進(jìn)行近似求解時(shí),忽略了振動模型在水平方向上和垂直方向上的耦合作用。

案例2 正的小徑向間隙(0

在第2種案例中,為了進(jìn)行廣義積分變換法,對公式進(jìn)行近似處理得到

(18)

在特定的周期0～2π內(nèi),依據(jù)i不同的取值情況,得到有效的近似結(jié)果。在數(shù)值模擬分析的過程中,為了匹配原始函數(shù)的值,我們將范圍外的近似值設(shè)定為0。

對運(yùn)動控制方程進(jìn)行歸一化處理,得到：

(19)

通過常數(shù)變易法來求解公式(19)在以下兩種不同情況的解。第一種情況,水平方向(x方向),轉(zhuǎn)速在基本頻率附近,則內(nèi)圈的運(yùn)動Nω≈ω1;第二種情況,垂直方向(y方向),轉(zhuǎn)速在基本頻率附近,則內(nèi)圈的運(yùn)動Nω≈ω2。

圖7所示是正的小徑向間隙滾動軸承在水平方向和垂直方向上的頻率響應(yīng)結(jié)果,并對廣義積分變換法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬仿真的結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

通過比較圖6和圖7可知,隨著軸承間隙的增大會導(dǎo)致x方向和y方向上振動幅值的增大。此外,頻率響應(yīng)圖說明了隨著軸承間隙的變大,會使x方向和y方向上的共振頻率降低。對于這種軟化效應(yīng),主要是因?yàn)槌休d區(qū)域內(nèi)滾動體數(shù)目在減少,并隨著軸承間隙的不斷增大,導(dǎo)致內(nèi)圈單一的周期運(yùn)動,這樣就降低了振蕩器的有效剛度。而且,這種在垂直方向上的影響效果要比水平方向上更加明顯。事實(shí)上,軸承固有頻率的階數(shù)在間隙e=0到e=4.5 μm之間發(fā)生了反轉(zhuǎn)。當(dāng)e=0時(shí),ω1<ω2,而當(dāng)e=4.5 μm時(shí),ω1>ω2。

圖7 正的小徑向間隙滾動軸承在水平方向和垂直方向上的頻率響應(yīng)結(jié)果

5 臺架試驗(yàn)驗(yàn)證

研究證實(shí)了軸承間隙與軸承振動有著密切的聯(lián)系,為了驗(yàn)證理論模型的正確性和可靠性,結(jié)合改進(jìn)的數(shù)值分析方法和臺架試驗(yàn)對前序的2-DOF非線性模型和理論推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證。

5.1 軸承沖擊實(shí)驗(yàn)

測試軸承的具體參數(shù)如表2所示,滾動體的內(nèi)阻尼主要由潤滑劑產(chǎn)生[11-13],軸承阻尼的理論計(jì)算是很難實(shí)現(xiàn)的,因?yàn)樗C合考慮到潤滑劑的材料,黏度等因素。因此,將通過沖擊實(shí)驗(yàn)來測定阻尼參數(shù)。

表2 測試軸承的具體參數(shù)

為了測定穩(wěn)定有效的黏度,每一次測試都是在軸承運(yùn)行20 min后進(jìn)行測試,跑合裝置如圖8所示。

圖8 跑合實(shí)驗(yàn)臺

由于潤滑劑的黏度對阻尼因素的影響比較大,因此在求解運(yùn)動控制方程中,分兩組對比實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說明,一組是標(biāo)準(zhǔn)的潤滑油(v=15 mm2/s)，參數(shù)見表2中軸承A;另一組則是高黏度潤滑脂(v=110 mm2/s)，參數(shù)見表2中?127軸承。

滾動軸承在阻尼比為4.15% (通過沖擊實(shí)驗(yàn)來測定阻尼參數(shù))時(shí)測得的第1階固有頻率是2 941 Hz。因此,測試軸承的當(dāng)量剛度可表示為

k=2.623 2×104(lc-2rc)0.92

(20)

式中:k為測試軸承的當(dāng)量剛度，N/mm1.08；lc為滾珠接觸之間的長度；rc為滾道邊緣的半徑。

5.2 臺架說明

在圖9所示的試驗(yàn)裝置中,采用3035AG加速度計(jì)來測量軸承的振動信號,其精度為100 mV/g。采用動態(tài)信號分析儀,并配備低通抗混濾波器來獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集及處理部分:通過傳感器采集到的模擬信號經(jīng)過隔離和放大,經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換后通過端子板進(jìn)入數(shù)據(jù)采集控制板,通過并行總線與計(jì)算機(jī)相連,在自主研發(fā)的程序控制下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)過程監(jiān)測和數(shù)據(jù)的采集。

圖9 實(shí)驗(yàn)臺架

5.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

從相平面或者龐加萊映射中,可以直觀的觀察到系統(tǒng)的混沌特性。通過MATLAB整合與編程處理通過梯形方法得到的加速度數(shù)據(jù),得到軸承振動的速度與位移分布圖。為了更好的觀察到奇異吸引子的存在,在實(shí)驗(yàn)中我們通過獲取長的數(shù)據(jù)序列來增加龐加萊點(diǎn)的數(shù)目。在這次實(shí)驗(yàn)中,設(shè)定轉(zhuǎn)速為600 r/min,采樣頻率為6 000 Hz,采樣時(shí)間為30 min。然后對數(shù)據(jù)進(jìn)行再采樣,此時(shí)的采樣頻率為250 Hz,最后繪制龐加萊映射。圖10所示為從整合與編譯得到的加速度數(shù)據(jù)中提取的軸承振動的位移-速度分布。

圖10 軸承振動的位移分布和速度分布

然而,如果一個(gè)系統(tǒng)沒有足夠的阻尼,那么混沌吸引子就會以不規(guī)則的云點(diǎn)形式存在,這種情況如圖11a)所示。圖10和圖11a)的數(shù)據(jù)都是通過對標(biāo)準(zhǔn)油(v=15 mm2/s)潤滑的軸承進(jìn)行測試得到的數(shù)據(jù)。為了增加軸承的阻尼,對軸承圈和滾動體進(jìn)行潤滑脂(v=110 mm2/s)潤滑,這樣就使得阻尼從572.4 Ns/m增加到694 Ns/m。在圖11b)龐加萊映射中,通過分形自相似特征的吸引子的存在證實(shí)了系統(tǒng)混沌行為的存在。在相同的阻尼參數(shù)、軸承尺寸參數(shù)以及相同的轉(zhuǎn)速下,由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的奇異吸引子的圖(圖11b))與通過求解運(yùn)動公式(7)的結(jié)果接近。這種定性的結(jié)果不僅證實(shí)了軸承混沌行為的存在,而且驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型和理論推導(dǎo)的可靠性。

圖11 臺架實(shí)驗(yàn)結(jié)果的龐加萊映射

6 結(jié)論

1) 結(jié)合振動信號與軸承振動的動力學(xué)特性建立了2-DOF非線性軸承模型,采用廣義積分變換法分別求解軸承在零間隙和正的小徑向間隙(0

2) 基于赫茲彈性接觸理論分析滾動軸承動力學(xué)特性,得到軸承內(nèi)圈的平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于軸承的內(nèi)間隙。當(dāng)軸承間隙e<4.5 μm時(shí),有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),而且在平衡點(diǎn)中心附近,軸承內(nèi)圈存在著周期振動。當(dāng)軸承的間隙e>4.5 μm時(shí),有3個(gè)平衡點(diǎn)。隨著軸承內(nèi)間隙的增加,會導(dǎo)致諧振頻率的降低。

3) 當(dāng)軸承間隙e>4.5 μm時(shí),隨著轉(zhuǎn)速的變化,系統(tǒng)會產(chǎn)生混沌振動。隨著軸承內(nèi)間隙和轉(zhuǎn)速的不斷增大和提高,發(fā)生混沌振動的區(qū)域也不斷增多。

4) 通過對兩種不同軸承間隙的案例求解和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了軸承振動模型的正確性與可靠性,進(jìn)而為滾動軸承系統(tǒng)的振動控制提供了理論依據(jù)。