韓先國 劉巖龍

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京100191)

隨著并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論研究的發(fā)展與成熟，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，包括并聯(lián)機(jī)床［1－2］、并聯(lián)轉(zhuǎn)臺［3］、裝配對接機(jī)構(gòu)［4－5］等.并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種由多個(gè)并行支鏈構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，與傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，具有高剛度、高精度、高承載能力、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)［6－7］.

然而并聯(lián)機(jī)構(gòu)也有缺點(diǎn)，奇異問題就是廣泛存在于并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一個(gè)固有難題，常見的有工作空間的位姿奇異和邊界奇異［8］.當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生位姿奇異時(shí)，鎖定所有支鏈的驅(qū)動，動平臺仍具有一個(gè)特定的瞬時(shí)螺旋運(yùn)動，并聯(lián)機(jī)構(gòu)會發(fā)生失控的危險(xiǎn);當(dāng)發(fā)生邊界奇異時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)會失去某個(gè)方向的運(yùn)動自由度，此時(shí)無論多大的輸入驅(qū)動，都不能使動平臺產(chǎn)生運(yùn)動，并聯(lián)機(jī)構(gòu)到達(dá)位姿空間邊界.

目前已經(jīng)有大量文獻(xiàn)研究了工作空間的奇異問題［9－10］，但已有的研究成果主要是從動平臺工作空間來分析奇異問題，很少有文獻(xiàn)從并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的輸入空間對奇異問題進(jìn)行研究.因此本文通過對3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺單支鏈驅(qū)動問題進(jìn)行分析，研究了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入空間奇異問題，發(fā)現(xiàn)單支鏈驅(qū)動奇異即為位姿奇異，給出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入空間邊界的定義，最后確定了并聯(lián)機(jī)構(gòu)單支鏈歸零的一般策略.

1 問題提出

為實(shí)現(xiàn)空間3自由度的轉(zhuǎn)動功能，設(shè)計(jì)了一種3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺，用于運(yùn)動姿態(tài)模擬，其結(jié)構(gòu)形式如圖1所示.該機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺、中間支撐立柱和3個(gè)UPS支鏈組成，支鏈與靜平臺通過虎克鉸U連接，與動平臺通過球鉸S連接，支鏈中間有移動副P.支撐立柱與動平臺通過球鉸連接，與靜平臺固連.

圖1 3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺原理圖

給定動平臺的目標(biāo)位姿，利用位置反解算法可以得到各支鏈的驅(qū)動桿長，通過驅(qū)動3個(gè)支鏈的移動副，改變支鏈桿長，對動平臺進(jìn)行運(yùn)動控制;已知各支鏈桿長時(shí)，利用位置正解算法可以求出動平臺的位姿角，再進(jìn)行驅(qū)動控制.但是當(dāng)遇到突發(fā)情況，比如突然斷電，系統(tǒng)重啟后，丟失支鏈桿長值信息，又沒有動平臺的位姿角度，無法對并聯(lián)轉(zhuǎn)臺進(jìn)行運(yùn)動控制.

發(fā)生這種情況時(shí)，需要進(jìn)行各支鏈歸零，就是使支鏈回到初始桿長.在支鏈移動副中有零位開關(guān)，驅(qū)動支鏈伸縮到達(dá)零位開關(guān)，就實(shí)現(xiàn)了支鏈歸零.目前的歸零方法是固定2個(gè)支鏈桿長不變，單獨(dú)對第3個(gè)支鏈桿長進(jìn)行調(diào)整，多次調(diào)整單支鏈桿長完成歸零.這種調(diào)整方法存在問題是，當(dāng)固定2個(gè)支鏈桿長時(shí)，第3支鏈桿長無法實(shí)現(xiàn)全行程，在運(yùn)動到某個(gè)桿長值后受到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)約束就無法再驅(qū)動，下面分析產(chǎn)生這種問題的原因.

2 單支鏈驅(qū)動的運(yùn)動分析

2.1 利用旋量互易積求解動平臺角速度

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺處于某個(gè)位姿時(shí)，固定2個(gè)支鏈桿長不變，分析第3個(gè)支鏈以及動平臺的運(yùn)動特點(diǎn)，如圖2所示.

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)單支鏈運(yùn)動分析

支鏈對動平臺的作用力為 Fi(i=1，2，3)，對動平臺中心取矩為Ri×Fi，則支鏈對動平臺的力矢為(Fi，Ri× Fi)，改寫為 fi(li，Ri× li)，其中 fi表示支鏈力數(shù)值，li表示支鏈方向向量.動平臺轉(zhuǎn)動角速度為ω，由于中間支撐立柱的約束，不能移動，因此動平臺的運(yùn)動螺旋可表示為 =(ω，0).

支鏈1和支鏈2桿長固定，其支鏈力矢只對動平臺產(chǎn)生約束作用，對動平臺運(yùn)動螺旋做功為零，因此支鏈1和2力矢與動平臺運(yùn)動螺旋互易積為零，即

展開為

支鏈力不為0，將上式化簡為

即

該齊次線性方程組只有2個(gè)方程，求解動平臺角速度向量ω會有無窮多解，取其模長為1的基礎(chǔ)解ω0作為動平臺角速度方向向量.

接下來可以求出球鉸A3的速度方向向量

將vA3向支鏈3投影，得到沿支鏈軸向驅(qū)動速度:

該投影值v3的物理含義為:動平臺的速度矢量模長為1時(shí)，支鏈3需要的驅(qū)動速度值.當(dāng)支鏈3軸向速度v3≠0時(shí)，支鏈3可以伸縮運(yùn)動;如果v3=0，則球鉸速度vA3垂直于支鏈l3，支鏈3不能進(jìn)行伸縮運(yùn)動，即支鏈3受到結(jié)構(gòu)約束無法驅(qū)動.

2.2 計(jì)算實(shí)例

將上述分析結(jié)果應(yīng)用于3UPS-S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，動平臺的工作空間用ZXZ歐拉角描述，具體為進(jìn)動角 ψ =0～360°，章動角 θ=0～54°，自旋角 φ =－ψ，反解計(jì)算出3個(gè)支鏈的行程:

各支鏈的零位姿初始桿長值分別為

使支鏈1和2保持零位姿桿長值，支鏈3桿長為

其中ΔL表示支鏈3桿長變化量，其取值范圍為－86～86 mm，即動平臺實(shí)現(xiàn)工作空間時(shí)支鏈的全行程.進(jìn)行支鏈3軸向速度計(jì)算的流程圖如圖3所示.

圖3 計(jì)算流程圖

從圖4的曲線可知，當(dāng)支鏈3桿長變化量為－28 mm時(shí)，支鏈3的軸向驅(qū)動速度v3=0，此時(shí)支鏈3不能再進(jìn)行驅(qū)動，因此支鏈3可驅(qū)動的桿長變量范圍為－28～86 mm.

圖4 支鏈3球鉸速度方向向量沿支鏈軸向分量

2.3 單支鏈驅(qū)動特點(diǎn)

固定3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺的2個(gè)支鏈，只對第3個(gè)支鏈進(jìn)行驅(qū)動時(shí)，由于結(jié)構(gòu)限制，其驅(qū)動范圍具有邊界，小于整個(gè)運(yùn)動行程，單支鏈驅(qū)動桿長不能任意取值.

3 單支鏈驅(qū)動邊界時(shí)的奇異分析

3.1 單支鏈驅(qū)動奇異與位姿奇異的關(guān)系

并聯(lián)轉(zhuǎn)臺進(jìn)行單支鏈驅(qū)動到達(dá)邊界時(shí)，機(jī)構(gòu)不能正常運(yùn)動，將這種現(xiàn)象稱為支鏈驅(qū)動奇異.為了分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生驅(qū)動奇異時(shí)的約束情況，以圖5所示的單支鏈運(yùn)動機(jī)構(gòu)進(jìn)行說明.

圖5 單支鏈運(yùn)動機(jī)構(gòu)

圖5的單支鏈運(yùn)動機(jī)構(gòu)中，連桿在驅(qū)動支鏈的伸縮桿作用下繞立柱固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動.當(dāng)連桿旋轉(zhuǎn)到與驅(qū)動支鏈共線時(shí)，驅(qū)動支鏈不能再伸長，桿長到達(dá)邊界.此時(shí)支鏈的驅(qū)動力與立柱約束力共線，發(fā)生線性相關(guān)，支鏈不能再驅(qū)動.

同理，當(dāng)并聯(lián)轉(zhuǎn)臺的單支鏈運(yùn)動到達(dá)邊界時(shí)，該支鏈?zhǔn)艿浇Y(jié)構(gòu)約束而不能再驅(qū)動，說明此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)已具有沿第3支鏈方向的約束，第3支鏈與其他2個(gè)支鏈的約束產(chǎn)生線性相關(guān).

并聯(lián)轉(zhuǎn)臺的3個(gè)支鏈發(fā)生線性相關(guān)后，必然有1個(gè)支鏈的約束不起作用，系統(tǒng)的有效約束只剩下2個(gè)自由度，而動平臺具有3個(gè)運(yùn)動自由度，并聯(lián)轉(zhuǎn)臺處于欠約束的狀態(tài)下，整個(gè)機(jī)構(gòu)位于奇異位姿.

因此可以判定并聯(lián)機(jī)構(gòu)單支鏈驅(qū)動到達(dá)邊界時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生位姿奇異，即單支鏈驅(qū)動奇異就是位姿奇異.

3.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入空間邊界定義

在單支鏈驅(qū)動到達(dá)邊界時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生位姿奇異，其雅可比矩陣降秩，3個(gè)支鏈線性相關(guān).對并聯(lián)機(jī)構(gòu)此時(shí)的速度關(guān)系進(jìn)行分析.

式(7)中的系數(shù)矩陣即為雅可比矩陣，記為J，由式(7)可得

其中Ji表示雅可比矩陣的第i行.在奇異位姿處，雅可比矩陣的各行線性相關(guān)，因此有

其中k1和k2表示常系數(shù).將式(9)代入式(8)可得

化簡為即支鏈3的驅(qū)動速度與支鏈1和2的驅(qū)動速度相關(guān).此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的速度不能獨(dú)立取值，各支鏈到達(dá)了位置空間邊界.

從以上分析可以定義并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入空間邊界:當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生位姿奇異時(shí)，各支鏈線性相關(guān)，支鏈驅(qū)動速度也線性相關(guān)，有一個(gè)支鏈的速度不能獨(dú)立輸入，從而使得輸入向量降維，在該點(diǎn)處支鏈輸入空間到達(dá)邊界.

因此，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)到達(dá)輸入空間邊界時(shí)，單支鏈發(fā)生驅(qū)動奇異，引起了各支鏈線性相關(guān)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異位姿.

4 單支鏈歸零策略

3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺進(jìn)行支鏈歸零時(shí)，應(yīng)使并聯(lián)機(jī)構(gòu)盡量避開奇異位姿，遠(yuǎn)離輸入空間邊界.根據(jù)文獻(xiàn)［11］研究，在靠近工作空間零位姿處，并聯(lián)機(jī)構(gòu)不容易發(fā)生奇異.因此通過單支鏈調(diào)整，使動平臺接近工作空間零位姿，來達(dá)到支鏈歸零的目的.

在任意位姿下，3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺3個(gè)支鏈的最長桿與最短桿差值越大，動平臺的位姿角就越大.因此可以先將3個(gè)支鏈中的最長桿縮短，再將最短桿伸長，使3個(gè)支鏈桿長接近，這樣就可以遠(yuǎn)離奇異位姿和支鏈桿長邊界.

在進(jìn)行支鏈桿長調(diào)整時(shí)，不能一次對某個(gè)支鏈進(jìn)行大范圍調(diào)整，而應(yīng)按照少量多次的原則，每次對最長桿和最短桿調(diào)整較小的長度，分多次完成調(diào)整，才能避免單支鏈驅(qū)動到達(dá)輸入邊界.

這種單支鏈歸零策略在實(shí)際應(yīng)用于3UPS-S并聯(lián)轉(zhuǎn)臺后，可以取得較好的位姿調(diào)整效果，能夠使并聯(lián)轉(zhuǎn)臺各支鏈順利回到零位置.

5 結(jié)論

1)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行單支鏈驅(qū)動具有邊界，桿長不能任意取值;

2)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入空間驅(qū)動奇異就是工作空間位姿奇異，此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)到達(dá)輸入空間邊界;

3)并聯(lián)機(jī)構(gòu)單支鏈驅(qū)動歸零策略為:先將各支鏈中的最長桿縮短，再將最短桿伸長，并且分多次調(diào)整支鏈桿長，每次調(diào)整較小幅度.

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