譚明群 陳算榮

［摘? 要］ 基本不等式是不等式證明的重要基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)核心概念之一. 查閱基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)都是基于某版教材給出的教學(xué)方案，缺少多維比較分析. 文章對(duì)現(xiàn)行六個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材中“基本不等式”的引入方式、證明方法、課時(shí)安排和例習(xí)題設(shè)置進(jìn)行比較分析，在此基礎(chǔ)上整合優(yōu)化“基本不等式”教學(xué)內(nèi)容，提出設(shè)計(jì)方案，再探討教師的教材使用觀和價(jià)值觀.

［關(guān)鍵詞］ 基本不等式；教材比較；整合優(yōu)化；設(shè)計(jì)方案

教材是教師實(shí)施教學(xué)、實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源，也是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ). 2019年根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）編寫的六個(gè)版本的教材通過了審定. 每種版本的教材都有其設(shè)計(jì)理念、設(shè)計(jì)思路，當(dāng)然也存在不足之處. 因此對(duì)不同版本的教材進(jìn)行比較分析，一方面能夠幫助教師理解其設(shè)計(jì)理念，同時(shí)找出各自的優(yōu)點(diǎn)加以整合，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)；另一方面，可以讓教師樹立正確的教材使用觀和價(jià)值觀. 本文以“基本不等式”為例，結(jié)合《課標(biāo)》的要求，對(duì)人教A版、人教B版、蘇科版、北師大版、滬教版、湘教版高中數(shù)學(xué)教材中的“基本不等式”內(nèi)容進(jìn)行比較分析，在此基礎(chǔ)上整合優(yōu)化本課的教學(xué)內(nèi)容，提出設(shè)計(jì)方案.

教材比較

1. 基本不等式引入方式的比較

通過對(duì)六個(gè)版本教材中的基本不等式的引入方式進(jìn)行比較（見表1），可以歸納為三種方式：趙爽弦圖、具體實(shí)例、直接給出. 趙爽弦圖在初中學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)已接觸過，通過它引入基本不等式融入了數(shù)學(xué)史，含有一定的育人價(jià)值. 通過實(shí)例引入，學(xué)生更容易理解基本不等式，另外，教師可用更加貼近學(xué)生生活的實(shí)例，方便學(xué)生理解和記憶. 在前兩種方式的對(duì)比下，直接給出基本不等式顯得比較突兀，學(xué)生接受起來比較困難. 所以，對(duì)于基本不等式的引入而言，可以采用趙爽弦圖的方式引入后，教師再結(jié)合實(shí)例加深學(xué)生的理解.

2. 基本不等式證明方法的比較

通過對(duì)六個(gè)版本教材中的基本不等式證明方法的對(duì)照比較（見表2），可以看出每版教材都運(yùn)用了幾何法，可見幾何法的重要性. 運(yùn)用幾何法證明基本不等式蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想方法，《課標(biāo)》要求在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而掌握數(shù)學(xué)思想方法就是形成和發(fā)展能力的基礎(chǔ)［7］. 學(xué)生可以通過幾何法的證明更加深刻了解基本不等式，但這種方法學(xué)生不易想到，需要教師引導(dǎo). 所以，在講解基本不等式的證明方法時(shí)可以先從簡(jiǎn)單的方法開始，例如先讓學(xué)生自己想辦法證明基本不等式，引出作差法、分析法、綜合法，再引導(dǎo)學(xué)生尋找?guī)缀谓忉?

3. 基本不等式課時(shí)安排和例習(xí)題設(shè)置的比較

通過對(duì)六個(gè)版本教材中的基本不等式的課時(shí)安排和例習(xí)題設(shè)置的比較，可以看出除了人教B版，其余五個(gè)版本的教材對(duì)于基本不等式這節(jié)內(nèi)容都設(shè)置了2個(gè)課時(shí)，大體來看都是第1課時(shí)講解概念和證明，第2課時(shí)講解實(shí)際應(yīng)用. 基本不等式是不等式證明的重要基礎(chǔ)，學(xué)生掌握其應(yīng)用又比較困難，所以最好設(shè)置2個(gè)課時(shí). 就例題設(shè)置而言，第1課時(shí)設(shè)置2—3道例題較為合理，第2課時(shí)設(shè)置3—4道例題為宜. 習(xí)題都涉及證明和最值問題，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)置、調(diào)整習(xí)題.

基于教材比較的教學(xué)設(shè)計(jì)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)該內(nèi)容的教學(xué)要求，基于以上多個(gè)版本教材的比較分析，整合以上各版本教材的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)“基本不等式”第1課時(shí)進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1. 創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)新知

問題1 （多媒體展示第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)）大家請(qǐng)看這幅圖（圖1），這是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，早在我們學(xué)習(xí)“勾股定理”的時(shí)候就見過這幅圖，但這幅圖的奧妙遠(yuǎn)不止于此，今天我們?cè)賮硇蕾p一下這幅圖，同時(shí)思考：圖中有哪些幾何圖形？它們之間有什么相等關(guān)系和不等關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，采用趙爽弦圖的引入方式能讓課堂充滿數(shù)學(xué)歷史文化的韻味，具有很好的育人價(jià)值. 另外，可以讓學(xué)生體會(huì)到趙爽弦圖不僅可以用來證明勾股定理，而且還蘊(yùn)含著基本不等式的證明方法.

2. 合作交流，生成新知

問題2 如果用a，b來表示直角三角形的兩條直角邊，請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語言來表示一下上面發(fā)現(xiàn)的不等關(guān)系.

追問1：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危╝=b）時(shí)，上述的關(guān)系變了嗎？如果變了，變成什么樣子了？（用幾何畫板演示E，F(xiàn)，G，H變?yōu)橐稽c(diǎn)的過程）

追問2：把上面兩種情況合并一下可以寫成a2+b2≥2ab（a，b都為正數(shù)時(shí)成立），同學(xué)們思考一下這個(gè)不等式在a，b∈R時(shí)成立嗎？同桌之間交流一下.

追問3：這里的“當(dāng)且僅當(dāng)”怎么理解呢？

追問4：接下來，請(qǐng)大家用文字語言描述一下重要不等式a2+b2≥2ab.

設(shè)計(jì)意圖：由趙爽弦圖得到重要不等式a2+b2≥2ab，體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的思想，再由重要不等式得到基本不等式，體現(xiàn)了代換思想，整個(gè)過程自然流暢. 北師大版教材和滬教版教材直接給出基本不等式，雖然簡(jiǎn)潔明了，但學(xué)生接受起來比較困難，這種方式?jīng)]有讓學(xué)生經(jīng)歷基本不等式探究與發(fā)現(xiàn)的過程. 另外，得到重要不等式a2+b2≥2ab后如何引出基本不等式是一個(gè)難點(diǎn)，教材上都是直接代換，比較突兀，大多數(shù)學(xué)生不理解為什么要這樣代換. 這里的設(shè)計(jì)思路是“重要不等式—文字語言—回到趙爽弦圖用文字語言再表示—符號(hào)語言（引出代換）—基本不等式”，學(xué)生通過對(duì)趙爽弦圖的再觀察就會(huì)明白為什么要代換.

3. 師生共探，證明新知

問題3 我們從趙爽弦圖得到了基本不等式，那它到底成不成立呢？數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)性，請(qǐng)同學(xué)們想一想，可以用什么方法證明基本不等式呢？

追問1：基本不等式實(shí)質(zhì)上就是比較大小，以前學(xué)習(xí)的比較大小的方法都有哪些呢？

追問2：除了作差法，我們今天還要學(xué)習(xí)一種新的方法. 要證≥，只需要證a+b≥____，變形為a+b-2≥0. 請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，不等號(hào)左邊怎么化簡(jiǎn)？即（____-____）2≥0，顯然它是成立的，而且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

追問3：我們還可以直接從（-）2≥0推出≥，請(qǐng)寫出過程.

追問4：上面三種方法都是從代數(shù)的角度進(jìn)行證明的，那你能不能從幾何的角度證明基本不等式呢？

追問5：可以表示直角三角形斜邊上的高，而可以表示直角三角形斜邊上的中線. 直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高（如圖2所示），這就是基本不等式的幾何解釋，它還有其他的幾何解釋嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后去探索一下.

設(shè)計(jì)意圖：上述基本不等式的證明方法參考了蘇科版教材和滬教版教材，證明方法從易到難. 這里涉及四種證明方法，作差法是最簡(jiǎn)單、學(xué)生最容易想到的，從它過渡；分析法是本節(jié)課的難點(diǎn)，它是一個(gè)新知識(shí)，教師要幫助學(xué)生理解其實(shí)質(zhì)，便于學(xué)生以后證明其他題目時(shí)也能熟練運(yùn)用；綜合法和分析法是對(duì)稱概念，學(xué)生可以通過基本不等式的證明過程加強(qiáng)對(duì)這兩種方法的理解；幾何法是最難的、學(xué)生不容易想到的，但通過前面的教材分析發(fā)現(xiàn)它又是最重要的方法，因?yàn)榭梢酝ㄟ^幾何法得到基本不等式的幾何解釋，由“形”到“數(shù)”，完成數(shù)形結(jié)合.

4. 例題練習(xí)，鞏固新知

例1 已知x>0，求x+的最小值；此時(shí)x等于多少？

例2 已知x，y都是正數(shù)，求證：

（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S2.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的例題選自人教A版的例題，兩道例題都是基本不等式的直接應(yīng)用，難度較小，學(xué)生通過例題練習(xí)既能加深對(duì)概念的理解也能提升自信心.

5. 課堂小結(jié)，深化新知

問題4 本節(jié)課你學(xué)到了什么？從知識(shí)、方法和思想上談一談.

設(shè)計(jì)意圖：通過本問題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲，從知識(shí)、方法、思想三個(gè)層面進(jìn)行回憶，知識(shí)上：學(xué)習(xí)了重要不等式和基本不等式；方法上：包括作差法、分析法、綜合法、幾何法；思想上：涉及數(shù)形結(jié)合思想和代換思想. 通過總結(jié)梳理本節(jié)課的脈絡(luò)，使學(xué)生養(yǎng)成思考總結(jié)的好習(xí)慣. 同時(shí)，通過總結(jié)可以使學(xué)生獲得成就感、增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

6. 課后探究、拓展新知

作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后去探究基本不等式其他的幾何解釋.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于基本不等式的幾何解釋，課上只講了“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”這一種，但是學(xué)生想到的可能不止這種方法，讓學(xué)生課后去思考其他幾何解釋是為了拓展學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí)，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)由“形”到“數(shù)”，還要學(xué)會(huì)由“數(shù)”到“形”，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

總結(jié)與探討

優(yōu)化后的“基本不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì)是在充分對(duì)比六個(gè)版本教材的基礎(chǔ)上，整合了六個(gè)版本教材的優(yōu)點(diǎn)，但又不是簡(jiǎn)單整合，而是基于《課標(biāo)》和學(xué)情設(shè)計(jì)的，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重視培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng). 具體體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：第一，導(dǎo)入過程采用的是趙爽弦圖，注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透；第二，探究過程從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過代換得到基本不等式，突破“為什么要代換”這個(gè)難點(diǎn)；第三，證明過程綜合了六個(gè)版本教材的方法，讓學(xué)生接觸到分析法和綜合法，體會(huì)它們之間的區(qū)別，重點(diǎn)講解幾何法，將基本不等式直觀化，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

經(jīng)歷整合多個(gè)版本教材、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐，提出以下兩點(diǎn)思考.

1. 建立正確的教材使用觀

“教師不是教科書的執(zhí)行者，而是教學(xué)方案的開發(fā)者.”教材不是權(quán)威，教師不能照本宣科，但教材是專家精心編制的載體，有一定的參考意義. 作為教師要建立正確的教材使用觀，在使用教材進(jìn)行備課時(shí)應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：首先，教師應(yīng)理解每版教材的設(shè)計(jì)思路；其次，教師閱讀教材后應(yīng)判斷哪種方法更適合自己的學(xué)生；最后，應(yīng)對(duì)教材所呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行剪裁、編排、充實(shí)、活化，設(shè)計(jì)出既符合知識(shí)本身的邏輯順序，又符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方案.

2. 建立正確的教材價(jià)值觀

教材對(duì)于教師來說不僅可以幫助其備課、上課，還可以幫助其深入理解知識(shí)、提升教學(xué)水平. 因此，作為教師要建立正確的教材價(jià)值觀，學(xué)會(huì)挖掘和利用教材中的資源，閱讀教材中不能完全采納的教學(xué)設(shè)計(jì)，帶著自己的思考、帶著批判的眼光去看待教材上的各個(gè)環(huán)節(jié). 這個(gè)過程實(shí)際上是教師與教材的對(duì)話，以及教師的自我提問，在不斷對(duì)話和自我提問中深入理解教材，提升自己的專業(yè)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）：必修第一冊(cè)［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（B版）：必修第一冊(cè)［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］? 蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫組. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)：必修第一冊(cè) （送審版）［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

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［6］? 張景中，黃步高. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)：必修第一冊(cè) （送審版）［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2019.

［7］? 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

基金項(xiàng)目：揚(yáng)州大學(xué)2021年度研究生教育教學(xué)改革與實(shí)踐課題“新情境下教育碩士實(shí)踐創(chuàng)新能力提升行動(dòng)研究”（JGLX2021_008）.

作者簡(jiǎn)介：譚明群（1998—），本科學(xué)歷，主要從事數(shù)學(xué)教育研究工作.

通訊作者：陳算榮（1972—），博士，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)、教師教育研究工作.