［摘? 要］ 數(shù)學概念的建構(gòu)方式有多種. 文章認為，實踐操作活動建構(gòu)概念，能讓學生對概念的形成過程產(chǎn)生深刻理解，形成長時記憶；模型建構(gòu)概念是幫助學生完善知識體系的基礎(chǔ)；演繹建構(gòu)概念能讓學生理清概念間的聯(lián)系；類比建構(gòu)概念可讓學生對概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生清晰的認識；反思建構(gòu)概念可發(fā)展學生的學習能力.

［關(guān)鍵詞］ 概念；模型建構(gòu)；演繹建構(gòu)；類比建構(gòu)；反思建構(gòu)

概念是數(shù)學的細胞，是一切教學活動的基礎(chǔ). 高中階段所涉及的數(shù)學概念包含代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計與三角學等，量多且范圍廣，一些抽象程度高且綜合性強的概念，難免會給學生的學習帶來困擾. 幫助學生理清概念的內(nèi)涵與外延是突破這一難點的關(guān)鍵. 實踐證明，優(yōu)化高中數(shù)學概念建構(gòu)可從以下幾方面做起.

活動建構(gòu)概念

教學中，教師若將概念直接告知學生，學生很快就會忘記；若演示給學生看，學生能夠記??；若讓學生親歷過程，學生能弄清概念形成的來龍去脈. 動作是感知的源泉，是教學的基礎(chǔ). 學生的智慧往往凝聚在十只手指上，操作活動的開展能為概念的建構(gòu)，奠定生動形象的表象基礎(chǔ)，幫助學生更好地接納、建構(gòu)概念.

隨著新課改的推進，在注重“過程教育”的當下，實踐操作活動的開展已經(jīng)從一種課堂形式轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生學習的內(nèi)在需求，因此它成了不同數(shù)學課型的首選. 正如楊振宇所言，已有的知識與方法是別人指明道路讓你去走，而新的知識與學習方法需要我們自己去探索. 為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，讓學生從根本上掌握概念的本質(zhì)，教師應(yīng)將培養(yǎng)學生的主動探索能力根植于課堂的每個環(huán)節(jié)，讓學生在手腦并用的活動中自主建構(gòu)并內(nèi)化新的概念［1］.

概念的形成會經(jīng)歷一個漫長的過程，一般由人類通過大量實踐逐步抽象而來. 教學中，教師可創(chuàng)造更多的機會，讓學生親歷概念的形成與發(fā)展過程，尤其是在多媒體迅速發(fā)展的今天，教師可以借助幾何畫板等工具，讓學生經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)、探索與歸納等過程，便于學生自主抽象概念，深刻體會“告知”與“自主建構(gòu)”的區(qū)別.

實踐操作能改變學生的數(shù)學觀，養(yǎng)成學生良好的學習習慣. 教師設(shè)計概念教學時，應(yīng)結(jié)合學生實際的認知水平和特點，創(chuàng)設(shè)豐富的活動情境，引導(dǎo)學生感知、體驗、應(yīng)用概念，達到主動建構(gòu)和完善認知體系的目的. 如判斷立體幾何中的空間直線與平面的位置關(guān)系，教學圓錐曲線、向量坐標、概率等，都可以通過開展活動來幫助學生建構(gòu)概念.

案例1 “拋物線”的概念教學.

活動步驟：

（1）在一張紙的2厘米處畫一點，按照圖1所示的方法，將這張紙折疊20～30次獲得一系列折痕，并將這些折痕勾勒出來，形成一條曲線輪廓.

（2）觀察并猜想：所有折痕圍出了拋物線的形狀.

（3）畫圖，建立平面直角坐標系，獲得與y=1/4x2的圖像接近的圖像.

（4）借助幾何畫板演示折紙的過程與拋物線的形狀.

（5）如圖2所示，畫3條與y軸平行的直線，經(jīng)過折紙發(fā)現(xiàn)其反射線恒過y軸上的某個定點.

（6）借助幾何畫板進行演示與證明.

（7）形成“焦點”“準線”的概念，概括拋物線的概念.

經(jīng)過以上實踐活動的探索，學生很快獲得了拋物線及焦點與準線的完整定義. 在此過程中，學生積極參與整個操作過程，學習熱情空前高漲. 借助操作活動的開展實施概念教學，可讓學生在動手動腦的過程中仔細觀察，自主獲得問題的主要特征，為進一步抽象概念奠定基礎(chǔ).

當然，概念教學活動的開展，除了動手實操外，教師還可以帶領(lǐng)學生觀察一些仿真的實驗，以形成直觀的視覺沖突，為更好地建構(gòu)概念服務(wù). 值得注意的是，隨著時代發(fā)展而興起的現(xiàn)代化教學手段，不能只作為教師在課堂上演示的工具，還要讓這些先進的設(shè)備設(shè)施成為學生動手實操的學具，鼓勵學生邊操作、邊觀察，獲得主動發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)新知的能力.

模型建構(gòu)概念

數(shù)學模型是指為了達到某種教學目的，對現(xiàn)實原形進行抽象并簡化而來的數(shù)學結(jié)構(gòu). 建模思想的本質(zhì)是抽象與轉(zhuǎn)化，從概念建構(gòu)的角度來看，建模是指抽象出現(xiàn)實事物的本質(zhì)特征，并將抽象而來的內(nèi)容提煉轉(zhuǎn)化為概念的重要思想. 數(shù)學建模對學生領(lǐng)會數(shù)學思想方法，體驗概念形成具有重要意義.

建模思想指導(dǎo)概念教學，不僅利于學生建構(gòu)數(shù)學知識，還能促進學生對新事物的理解與掌握，從一定程度上培養(yǎng)與發(fā)展學生的學習興趣，提高教學的時效性. 借助建模思想實施的概念教學與傳統(tǒng)的概念教學的側(cè)重點有所區(qū)別.

案例2 “數(shù)列”的概念教學.

傳統(tǒng)的數(shù)列概念教學，一般遵循以下流程，情境介紹有序變化的實例—抽象定義—辨析定義，其教學重點基本放在辨析哪些屬于數(shù)列、哪些不屬于數(shù)列的范疇，著重關(guān)注數(shù)列“有序”這一特點. 這種教學模式讓不少學生難以理解“有序”的要求是什么，為什么要研究“有序”這個問題.

以建模思想研究數(shù)列概念教學，一般遵循以下流程，師生共同探尋有序變化的實際案例—用數(shù)學語言表征案例所具備的共同屬性—抽象出數(shù)列的概念，其教學重點在概念的產(chǎn)生過程上，不僅要讓學生明白數(shù)列具有“有序”特征，還要讓學生結(jié)合數(shù)列概念的研究目的與產(chǎn)生過程，明白為什么數(shù)列具有“有序”特征.

類比以上兩種教學流程，前者將教學重心放在概念定義的辨析上，后者的教學重心則傾向于學生在建構(gòu)概念過程中的體驗. 換個角度來分析，即前者更注重概念本身，而后者則跳出了概念本身，在建構(gòu)過程中獲得理解. 也就是說傳統(tǒng)的教學模式能讓學生明白概念是什么，建模思想下的教學模式能讓學生明確概念為什么是這樣的.

我們所生存的這個物質(zhì)世界本就存在著不少有序變化的事物，教師帶領(lǐng)學生主動發(fā)現(xiàn)這類事物的特點，并將其有序性抽象出來可讓學生建構(gòu)新的數(shù)學模型，即形成數(shù)列概念. 鑒于以上兩種教學模式的類比，教師教學數(shù)列概念時，應(yīng)將教學重心傾向于數(shù)列的作用與意義，切忌與學生一起糾纏在概念的字面意義上，糾結(jié)于字面意義的概念教學無法讓學生體驗到概念的實際價值.

演繹建構(gòu)概念

數(shù)學知識本就是以概念為核心的演繹體系. 將高中階段的數(shù)學概念進行簡單羅列，會發(fā)現(xiàn)很多概念之間存在著一定的邏輯關(guān)系. 如大家熟悉的函數(shù)，它與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等都有著重要的內(nèi)在聯(lián)系，其中對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是反函數(shù)的關(guān)系.

概念與概念之間不論是從屬關(guān)系，還是一般與特殊的關(guān)系，都為學生建構(gòu)概念明確了方向. 從認知學的角度來看，概念學習同樣遵循“同化”與“順應(yīng)”過程，此過程主要通過概念間的聯(lián)系而界定［2］. 其實，概念間的邏輯關(guān)系是概念教學的催化劑，它不僅能幫助學生建構(gòu)穩(wěn)固的知識體系，還能讓學生體驗從特殊到一般或從一般到特殊的認知規(guī)律.

綜上分析，教師在概念教學中可通過演繹來完善學生對概念間的邏輯關(guān)系的認識，讓學生建構(gòu)完整的概念體系.

案例3 “三角函數(shù)”的概念教學.

三角函數(shù)的概念教學在三角比內(nèi)容后，不少學生直接認為這是三角知識，若探索三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，教師沒有采取相應(yīng)的辨析措施，直接以題論題進行講解，則會讓學生忽略“三角函數(shù)實則為一類特殊的函數(shù)”，教學效果自然大打折扣.

在三角函數(shù)概念的教學環(huán)節(jié)，教師如果帶領(lǐng)學生借助函數(shù)概念的研究方法，深化對三角函數(shù)的認識，那么三角函數(shù)概念的建構(gòu)則順理成章. 這種以演繹建構(gòu)概念的教學策略，對于學生而言，三角函數(shù)不再是孤立存在的三角學的相關(guān)知識了，而是“函數(shù)”這個大家族中的一個特殊點.

類比建構(gòu)概念

數(shù)學知識體系中，有不少屬性類似的概念. 遇到這一類的概念教學，教師可帶領(lǐng)學生從已知的概念屬性出發(fā)，借助問題情境引發(fā)學生自主類比、抽象，并給予新概念合適的名稱. 如此，新概念更容易同化到學生原有的認知體系中.

案例4 “異面直線的距離”的概念教學.

異面直線的距離反映的是兩條異面直線相對位置的幾何量，其中異面直線形成的角并不能刻畫異面直線間的遠近程度，只能說明異面直線的傾斜程度怎么樣，如果想要刻畫兩條異面直線間的遠近程度，還需要用“異面直線的距離”來分析.

為了讓學生在類比過程中建構(gòu)良好的概念結(jié)構(gòu)，教師可帶領(lǐng)學生回顧之前接觸過的點與點的距離、點與直線的距離以及平行線間的距離等，邊回顧、邊概括它們之間存在的共同點為：每種距離問題都可以歸納為點與點的距離，且這種距離具有“確定性”與“最小性”特征.

明確了關(guān)于距離的特征后，再研究兩條異面直線的距離問題. 此時，要求學生自主探討以下兩個問題：①關(guān)于異面直線a，b，它們之上的哪兩點間具有最小距離？為什么？②如圖3所示，已知點B為直線a上任意一點，過點B作BA與直線b垂直，A為垂足，那么線段AB的長是異面直線a，b的距離嗎？

探究引導(dǎo)：過點A作AC與直線a垂直，C為垂足，點C與點B不重合，那么在Rt△ABC中有AB>AC，也就是說存在AB并非最小的情況. 而后又過點C作CD與直線b垂直……若線段只與直線a，b中的一條垂直，則該線段只能是由a，b上相應(yīng)的三點連接而成的直角三角形的斜邊，其長絕不可能為a，b上任意兩點的最小距離. 那么，異面直線a，b上任意兩點的最小距離究竟是哪根線段的長呢？

通過以上引導(dǎo)，學生很快就有一種豁然開朗之感，并獲得結(jié)論：如果異面直線存在最小距離的話，那么最小距離就是與異面直線都垂直相交的線段的長.

在教師的引導(dǎo)與類比分析中，學生將獲得的結(jié)論進行規(guī)范論證并表述，確定當異面直線a，b存在公垂線段NM時，公垂線段NM的長是最小的，且是唯一的，因此公垂線段NM的長為異面直線a，b的距離.

類比分析讓學生自主建構(gòu)新概念，其中對于已有的距離概念的理解是衍生新概念的附著點. 鑒于概念是由學生自主類比分析建構(gòu)的，屬于一種自然過渡，課堂顯得自然、淳樸且充滿著生機. 實踐證明，抓住新舊概念的異同點，可讓舊概念成為新概念的學習基礎(chǔ)，讓新概念從舊概念的身上生長而來. 當然，類比的形式有多樣，如有限與無限的類比、平面和空間的類比等，類比帶來的結(jié)論并不一定完全準確，教師還應(yīng)引導(dǎo)學生形成及時勘誤的習慣，以完善對概念的認識.

反思建構(gòu)概念

眾所周知，衡量學生對概念的掌握程度，并不在于學生對概念的語言表征的情況，而要從學生對概念內(nèi)涵與外延的理解程度來分析. 良好的反思習慣是建構(gòu)概念的基礎(chǔ)，也是促使學生對概念產(chǎn)生深刻理解的主要途徑.

案例5 “雙曲線”的概念教學.

課堂中，當抽象出雙曲線的定義（略）后，為了強化學生對雙曲線定義中的關(guān)鍵詞“絕對值”“小于

F

F”等的認識，教師提出以下問題要求學生進行反思：①若在其他條件不變的情況下，分別將定義中“小于

F

F”的條件替換成“等于

F

F”和“大于

F

F”，點的軌跡會是怎樣的？②若其他條件不變，僅僅去掉“絕對值”，點的軌跡會是怎樣的？③當常數(shù)為0時，點的軌跡會是怎樣的？④去掉限制條件“小于

F

F”，其余條件均不發(fā)生變化，點的軌跡又會是怎樣的？

在以上幾個問題的驅(qū)動下，學生對雙曲線的定義進行了全面反思，把每一種情況都考慮到了. 這種反思建構(gòu)概念的方式，讓學生對雙曲線的定義有了更深層次的理解，為接下來的應(yīng)用夯實了基礎(chǔ).

總之，概念教學在高中數(shù)學教學中占有舉足輕重的作用. 教師應(yīng)從內(nèi)心深處認識到概念教學的重要性，選擇優(yōu)異的學生容易理解和認識概念的策略進行教學，讓學生在理解與認識概念的過程中夯實知識基礎(chǔ)，提升學習能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］? 邵光華，章建躍. 數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討［J］.課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［2］? 章建躍. 如何幫助學生建立完整的函數(shù)概念［J］. 數(shù)學通報，2020，59（09）：1-8.

作者簡介：王蕾（1985—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學與研究工作，曾獲廣東省高中數(shù)學核心知識講解比賽二等獎.