賀蓉，汪鑫林，傅旻帆

（1.上?？萍即髮W(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201210；2.中國科學(xué)院大學(xué)中國科學(xué)院上海高等研究院，上海 201210）

得益于新一代開關(guān)器件、集成技術(shù)和控制系統(tǒng)的發(fā)展，無線充電技術(shù)效率得到顯著提升。感應(yīng)式無線充電技術(shù)以便于維護(hù)、方便快捷和安全可靠等特點(diǎn)在某些場合逐漸取代有線電能傳輸技術(shù)。不同于有線傳輸，無線電能傳輸系統(tǒng)需要根據(jù)不同場合和不同目標(biāo)需求進(jìn)行設(shè)計(jì)，例如需要多個(gè)接收線圈滿足多負(fù)載同時(shí)充電的用戶需求，多個(gè)發(fā)射線圈用于增大充電面積和傳輸能力，而多個(gè)接收或者多個(gè)發(fā)射都屬于多線圈無線充電系統(tǒng)[1-7]。

目前學(xué)術(shù)界關(guān)于多線圈無線充電技術(shù)的研究大多集中在單發(fā)射多接收系統(tǒng)或者多發(fā)射單接收系統(tǒng)，系統(tǒng)效率最大化是研究目標(biāo)之一。文獻(xiàn)[8]研究了單發(fā)射多接收系統(tǒng)耦合線圈效率最高點(diǎn)，并歸納了最高點(diǎn)時(shí)副邊側(cè)的最優(yōu)負(fù)載電阻和原邊側(cè)對應(yīng)的反射阻抗。為了滿足不同功率需求，許多文獻(xiàn)都選擇調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻率輸出不同功率[9-11]，輸出自由度低。文獻(xiàn)[12]分析了單發(fā)射多接收系統(tǒng)在滿足不同功率分配需求時(shí)系統(tǒng)效率最大化的激勵(lì)電流；文獻(xiàn)[13]總結(jié)了多發(fā)射單接收系統(tǒng)線圈效率最高點(diǎn)需要的最優(yōu)電流比例和最優(yōu)負(fù)載。現(xiàn)有文獻(xiàn)缺乏以下兩點(diǎn)分析和研究：①多發(fā)射多接收無線充電系統(tǒng)最優(yōu)效率點(diǎn)的特性分析；②不同耦合線圈個(gè)數(shù)系統(tǒng)的共性和特性研究，主要包括輸入輸出對線圈效率的影響、功率分配和損耗分布等。

本文以多線圈無線充電系統(tǒng)為主要研究對象，以系統(tǒng)效率最大化為主要研究目標(biāo)，建立電路模型以便于數(shù)學(xué)建模和仿真研究，主要利用拉格朗日乘子法理論分析求得線圈效率最優(yōu)時(shí)的穩(wěn)態(tài)特性，總結(jié)了影響系統(tǒng)效率的主要因素，最后搭建雙發(fā)射雙接收無線充電系統(tǒng)樣機(jī)驗(yàn)證理論分析的準(zhǔn)確性和可行性。

1 多線圈無線充電系統(tǒng)

擁有t 個(gè)獨(dú)立發(fā)射線圈和r 個(gè)獨(dú)立接收線圈的多線圈無線充電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，主要包括直流電源Vdc，i、發(fā)射側(cè)逆變電路、耦合線圈及其補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、接收側(cè)整流電路和負(fù)載。

圖1 多線圈無線充電系統(tǒng)框架Fig.1 Configuration of multi-coil wireless charging system

系統(tǒng)調(diào)控級電路包括逆變電路、整流電路和外加的DC/DC變換器，耦合線圈及其補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)屬于無源電路。無源電路特性基本決定調(diào)控級電路的控制策略，該特性主要是指輸入電壓/電流、輸出電壓/電流和傳輸效率。高傳輸效率是系統(tǒng)追求的目標(biāo)之一，耦合線圈等效串聯(lián)電阻損耗往往高于其他損耗，因此耦合線圈傳輸效率最大化是系統(tǒng)效率提升的關(guān)鍵點(diǎn)。耦合線圈常用互感模型表示，其中Ltx，i和rtx，i為發(fā)射側(cè)第i 個(gè)線圈自感及其等效串聯(lián)電阻；Lrx，j和rrx，j為接收側(cè)第j 個(gè)線圈自感及其等效串聯(lián)電阻，Mij為第i 個(gè)發(fā)射側(cè)線圈和第j 個(gè)接收側(cè)線圈間互感，kij為耦合系數(shù)，定義為

其中，1≤i≤t，1≤j≤r。為了簡化分析，暫且忽略發(fā)射側(cè)線圈之間的交叉耦合以及接收側(cè)線圈之間的交叉耦合。

2 效率最大化分析

2.1 耦合線圈效率分析

效率分析時(shí)接收側(cè)補(bǔ)償采用S 型結(jié)構(gòu)，完全諧振狀態(tài)下，整流電路及后端負(fù)載可整體視作一個(gè)等效電阻，輸入以激勵(lì)電流為例。圖2為多線圈無線充電系統(tǒng)的耦合線圈及其補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，Itx，i為第i 個(gè)發(fā)射線圈的輸入電流有效值，Crx，j為第j 個(gè)接收側(cè)串聯(lián)補(bǔ)償電容，滿足jωLrx，j+1/jωCrx，j=0，Irx，j為第j 個(gè)接收線圈的輸出電流有效值，Rrx，j為第j 個(gè)接收端的等效阻抗。

圖2 耦合線圈模型Fig.2 Model of coupling coils

每個(gè)接收端的KVL 方程為

線圈效率ηc的表達(dá)式為

效率最大化問題本質(zhì)上為帶約束式（2）的優(yōu)化問題式（3），可用拉格朗日乘子法求解[14]，對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為

式中：Itx，1=a1；Itx，2，opt=a1a2；…；Itx，t，opt=a1at；ηc，max為線圈最大效率；Rrx，j，opt為第j個(gè)接收的最優(yōu)等效負(fù)載電阻；Rin，i，opt為第i 個(gè)發(fā)射線圈的最優(yōu)反射阻抗。最優(yōu)效率點(diǎn)時(shí)，發(fā)射端和接收端功率分布呈現(xiàn)不同比例關(guān)系，例如：對于每個(gè)發(fā)射端，其輸出功率和損耗比例是一個(gè)與最優(yōu)效率相關(guān)的恒定值，每個(gè)發(fā)射線圈的效率相等，即

式中：Po_tot為負(fù)載總功率；Ploss為耦合線圈寄生電阻總損耗，Ploss=Ploss_tx+Ploss_rx，其中Ploss_tx為發(fā)射端線圈寄生電阻總損耗，Ploss_rx為接收端寄生電阻總損耗。當(dāng)Rrx，j，opt?rrx，j時(shí)有

類似地，對于每個(gè)接收端，其輸出功率和損耗比例也是一個(gè)與最優(yōu)效率相關(guān)的定值，每個(gè)接收線圈的效率相等，即

且發(fā)射端總損耗和接收端總損耗滿足

2.2 特殊系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性

特殊系統(tǒng)包含3 種情況，分別為：①t=1，r=1；②t=1，r>1；③t>1，r=1。將上述3 種情況代入式（5），輸入激勵(lì)、負(fù)載電阻和最高效率狀態(tài)如表1 所示。

表1 特殊系統(tǒng)線圈效率最優(yōu)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)特性Tab.1 Steady-state characteristics of special IPT system at operating point with maximum coils efficiency

3 仿真驗(yàn)證

不同多線圈無線充電系統(tǒng)有不同的效率特性，尤其是上文提到的特殊系統(tǒng)，最優(yōu)電流比例和最優(yōu)負(fù)載電阻具有一定程度的獨(dú)立性。現(xiàn)以3 個(gè)不同無線充電系統(tǒng)（單發(fā)射三接收、三發(fā)射單接收和雙發(fā)射雙接收）為例，仿真驗(yàn)證不同系統(tǒng)的共性和特性。

3.1 單發(fā)射三接收無線充電系統(tǒng)

對于單發(fā)射三接收無線充電系統(tǒng)（t=1，r=3），仿真模型如圖2 所示，仿真軟件為Matlab，系統(tǒng)參數(shù)如表2 所示。對比不同耦合下（k1=0.2 和0.3，k2=[0.1，0.2]）系統(tǒng)仿真最優(yōu)負(fù)載和采用表1 計(jì)算最優(yōu)負(fù)載的區(qū)別，其中kj（1≤j≤3）為發(fā)射線圈與第j 個(gè)接收線圈的耦合系數(shù)；Q 是指線圈的品質(zhì)因數(shù)，Q=2πfL/r，其中f為系統(tǒng)運(yùn)行頻率，L為線圈自感，r為線圈內(nèi)阻。

表2 系統(tǒng)參數(shù)（單發(fā)射三接收）Tab.2 System parameters（1TX-3RX）

不同耦合下最優(yōu)負(fù)載的對比結(jié)果如圖3 所示，可以觀察到計(jì)算值和仿真值基本吻合，說明理論推導(dǎo)是準(zhǔn)確可行的。

圖3 不同耦合下最優(yōu)負(fù)載電阻仿真值和計(jì)算值對比Fig.3 Comparison between simulated and calculated optimal load resistance under different couplings

根據(jù)理論分析，對于單發(fā)射多接收系統(tǒng)，效率隨每個(gè)負(fù)載電阻變化而變化，理想情況下存在某一點(diǎn)使得線圈效率最大化，這一運(yùn)行點(diǎn)由線圈參數(shù)、頻率和發(fā)射接收端距離共同決定，與輸入激勵(lì)無關(guān)，這是單發(fā)射多接收系統(tǒng)與其他多線圈系統(tǒng)不同的一點(diǎn)。

3.2 三發(fā)射單接收無線充電系統(tǒng)

另一個(gè)特殊多線圈系統(tǒng)為多發(fā)射單接收系統(tǒng)，仿真以三發(fā)射單接收（t=3，r=1）為例，仿真參數(shù)如表3 所示。

表3 系統(tǒng)參數(shù)（三發(fā)射單接收）Tab.3 System parameters（3TX-1RX）

對比不同耦合下（k1=0.1 和0.2，k2=[0.2，0.3]）系統(tǒng)仿真值和采用表1 計(jì)算值的區(qū)別，其中ki（1≤i≤3）為第i 個(gè)發(fā)射線圈與接收線圈的耦合系數(shù)，對比結(jié)果如圖4 所示。圖4（a）和（b）分別為k1=0.1、0.2≤k2≤0.3 和k1=0.2、0.2≤k2≤0.3的最優(yōu)電流比例，圖4（c）為最優(yōu)負(fù)載電阻的仿真值和計(jì)算值，可見二者基本重合。

圖4 不同耦合下最優(yōu)電流比例、最優(yōu)負(fù)載電阻仿真結(jié)果和計(jì)算值對比Fig.4 Comparison between simulated and calculated optimal current ratio and optimal load resistance under different couplings

對于多發(fā)射系統(tǒng)，主要特點(diǎn)是輸入激勵(lì)如何分配，表1 表明最優(yōu)電流比例完全取決于互感和寄生電阻，與輸出電阻負(fù)載無關(guān)，仿真不同負(fù)載下線圈最高效率點(diǎn)的電流分配，如圖5 所示，結(jié)果表明不同于其他多線圈無線充電系統(tǒng)，多發(fā)射單接收系統(tǒng)的負(fù)載電阻不會影響最優(yōu)電流分配，但決定線圈的最高效率。

圖5 不同負(fù)載電阻不同電流比例下的線圈效率Fig.5 Coils efficiency under different load resistances and different current ratios

3.3 雙發(fā)射雙接收無線充電系統(tǒng)

多發(fā)射多接收系統(tǒng)仿真以雙發(fā)射雙接收（t=2，r=2）為例，仿真參數(shù)如表4 所示。對比不同耦合下（k11=0.1 和0.2，k22=[0.1，0.2]）系統(tǒng)仿真值和采用式（5）計(jì)算值的區(qū)別，對比結(jié)果如圖6 所示，仿真結(jié)果和計(jì)算值基本吻合。

表4 系統(tǒng)參數(shù)（雙發(fā)射雙接收）Tab.4 System parameters（2TX-2RX）

圖6 不同耦合下最優(yōu)電流比例、最優(yōu)負(fù)載電阻仿真結(jié)果和計(jì)算值對比Fig.6 Comparison between simulated and calculated optimal current ratio and optimal load resistance under different couplings

根據(jù)理論分析，由于多重耦合，多發(fā)射多接收系統(tǒng)線圈效率最高點(diǎn)下的最優(yōu)電流和最優(yōu)負(fù)載是互相制約的，不存在獨(dú)立于另一變量而存在的最優(yōu)狀態(tài)。

3.4 共性分析

對于不同多線圈系統(tǒng)，共性在于功率分配和損耗分布，以損耗為例，仿真不同耦合下最優(yōu)狀態(tài)的發(fā)射端和接收端損耗值，如圖7 所示，3 類多線圈無線充電系統(tǒng)的發(fā)射端和接收端損耗都近似相等，其中發(fā)射端損耗都略大于接收端損耗。

圖7 不同多線圈系統(tǒng)在不同耦合下最優(yōu)效率點(diǎn)發(fā)射接收端損耗Fig.7 Transmitter and receiver losses of different multi-coil IPT systems at operation point with maximum efficiency under different couplings

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以雙發(fā)射雙接收無線充電系統(tǒng)為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)頻率和線圈參數(shù)如表4 所示，實(shí)驗(yàn)平臺和對應(yīng)電路模型分別如圖8 所示，圖9為案例A 最高效率點(diǎn)對應(yīng)的逆變輸出電壓、電流以及第2 個(gè)逆變器的輸出電壓、電流和負(fù)載電壓波形，實(shí)驗(yàn)采用功率分析儀和數(shù)字萬用表測量輸入、輸出功率，以此為基礎(chǔ)計(jì)算效率。單路主要包括：直流電源、全橋逆變、耦合線圈（BPP-CP）及其補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、整流電路以及電子負(fù)載。實(shí)驗(yàn)采用LCC-S 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，補(bǔ)償電感為：Ltx11=32 μH，Ltx21=31.85 μH；補(bǔ)償電容為：Ctx11=109 nF，Ctx，1=57 nF，Ctx21=110.2 nF，Ctx，2=57 nF，Crx，1=153.9 nF，Crx，2=153.9 nF。

圖8 實(shí)驗(yàn)平臺及其電路模型Fig.8 Experimental setup and its circuit model

圖9 逆變器實(shí)驗(yàn)波形Fig.9 Experimental waveforms of inverters

為了驗(yàn)證理論分析的準(zhǔn)確性，實(shí)驗(yàn)以2 組不同耦合為例：在最優(yōu)電流比例左右測試變化負(fù)載電阻時(shí)的DC 端輸入輸出功率，以此求得功率，分析效率的實(shí)驗(yàn)最優(yōu)點(diǎn)和理論最優(yōu)點(diǎn)的匹配程度。案例A中：k11=0.13，k21=0.11，k12=0.1，k22=0.1，通過上文理論分析，結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)，計(jì)算此雙發(fā)射雙接收無線充電系統(tǒng)的最優(yōu)電流比例和最優(yōu)負(fù)載電阻為：a2，opt=Itx，2∶Itx，1=0.193，Rol，opt=4.088 Ω，Ro2，opt=4.264 Ω。案例B中：k11=0.1，k21=0.11，k12=0.11，k22=0.12，同理：a2，opt=Itx，2∶Itx，1=1.1，Ro1，opt=4.063 Ω，Ro2，opt=4.237 V。圖10為當(dāng)線圈電流為最優(yōu)比例時(shí)，線圈效率ηcoil隨負(fù)載電阻變化情況，圖（a）為案例A 仿真結(jié)果，圖（b）為案例B 仿真結(jié)果。

圖10 最優(yōu)電流比例時(shí)不同負(fù)載電阻下系統(tǒng)效率變化（仿真結(jié)果）Fig.10 Changes in system efficiency with optimal current ratio and different load resistances（simulation results）

對于案例A，實(shí)驗(yàn)測量了3 組不同線圈電流比例a=0.70，0.91，1.30 下負(fù)載變化時(shí)系統(tǒng)效率ηs變化曲線結(jié)果如圖11 所示，可見系統(tǒng)效率在最優(yōu)電流比例和最優(yōu)負(fù)載時(shí)最高。類似地，對于案例B，實(shí)驗(yàn)測量了3 組不同線圈電流比例a=0.9，1.1，1.6 下負(fù)載變化時(shí)系統(tǒng)效率變化曲線，結(jié)果如圖12 所示。

圖11 不同電流比例和不同負(fù)載電阻下系統(tǒng)效率變化（案例A 實(shí)驗(yàn)結(jié)果）Fig.11 Changes in system efficiency with different current ratios and different load resistances（Case A experimental results）

圖12 不同電流比例和不同負(fù)載電阻下系統(tǒng)效率變化（案例B 實(shí)驗(yàn)結(jié)果）Fig.12 Changes in system efficiency with different current ratios and different load resistances（Case B experimental results）

以案例A為例，由圖10（a）和圖11（b）可知，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定誤差，但是基本變化趨勢一致。由圖11 和圖12 實(shí)際系統(tǒng)實(shí)時(shí)測試所得表明，在最優(yōu)電流比例和最優(yōu)電阻負(fù)載下系統(tǒng)效率是最高的，與理論一致。由于逆變電路和整流電路都是非理想狀態(tài)，變換器本身的寄生參數(shù)會影響最優(yōu)負(fù)載，導(dǎo)致計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值存在一些誤差，但系統(tǒng)效率在最優(yōu)負(fù)載附近的值都較高，可忽略誤差影響。

5 結(jié)語

針對多線圈無線充電系統(tǒng)的效率優(yōu)化問題，本文提出了求解最優(yōu)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)特性的通用方法，即拉格朗日乘子法，總結(jié)了不同多線圈系統(tǒng)的特性和共性，包括最優(yōu)狀態(tài)時(shí)的輸入輸出狀態(tài)、功率和損耗分布。最高線圈效率點(diǎn)的仿真結(jié)果和理論計(jì)算基本重合，搭建的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)也驗(yàn)證了理論分析的可行性。后續(xù)將在本文的理論基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究多線圈無線充電系統(tǒng)在特定功率分配下的穩(wěn)態(tài)特性和控制方法。