馬淑紅 焦照勇 賈光瑞

(河南師范大學(xué)物理學(xué)院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

1 引言

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)是理論力學(xué)課程教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容之一[1]，許多實(shí)際問題涉及的主要是做一般運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，求解這類復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題需要正確分析運(yùn)動(dòng)間關(guān)聯(lián)和運(yùn)動(dòng)形式，恰當(dāng)選取體(動(dòng))坐標(biāo)系，以及靈活運(yùn)用力學(xué)知識(shí)和方法.許多學(xué)生在解決問題時(shí)主要運(yùn)用基點(diǎn)法公式，解題方法單一死板，形成了思維定式.當(dāng)遇到復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，學(xué)生會(huì)感到困惑、迷思、無從下手，不利于發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的發(fā)展[4].本文基于教學(xué)實(shí)踐，以教材中飛機(jī)上螺旋槳運(yùn)動(dòng)的典型問題為例[1]，通過“一題多解”多途徑探究[2～4]，展示和探討它對(duì)促進(jìn)學(xué)生整合知識(shí)、優(yōu)化方法，靈活運(yùn)用、融會(huì)貫通和物理核心素養(yǎng)發(fā)展的作用和重要性.

2 一題多解

【例題】當(dāng)飛機(jī)在空中以一定值速度u沿半徑為R的水平圓形軌道O轉(zhuǎn)彎時(shí)，求當(dāng)螺旋槳尖端B與中心A的連線和豎直線成θ角時(shí)，B點(diǎn)的速度vB及加速度aB.已知螺旋槳的長(zhǎng)度AB=l，螺旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為ω1.

(a)

(b)

(c)

(d)

(1)

解法1：自然坐標(biāo)系絕對(duì)位矢求導(dǎo)法.

如圖1(b)所示，螺旋槳尖端點(diǎn)B相對(duì)于固定點(diǎn)O的絕對(duì)位矢

(2)

對(duì)式(2)兩邊求時(shí)間的瞬時(shí)變化率，得到點(diǎn)B的速度

(3)

(4)

類似地，對(duì)式(4)兩邊求時(shí)間的瞬時(shí)變化率，并應(yīng)用式(1)，可得點(diǎn)B絕對(duì)加速度

(5)

上述解法是從動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)位矢出發(fā)，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)量關(guān)系，通過求矢量對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化率，得出動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度.該解題方法思路簡(jiǎn)單，關(guān)鍵在于求動(dòng)系單位矢量瞬時(shí)變化率.

解法2：剛體運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法.

(6)

(7)

運(yùn)用剛體基點(diǎn)公式

可得結(jié)果式(8)

(8)

綜上，由于坐標(biāo)軸選取不同，該結(jié)果與解法1結(jié)果表示形式有別；解法2中建立的剛體體坐標(biāo)系更直觀明了，其關(guān)鍵是確定剛體繞基點(diǎn)瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

解法3：點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)法.

由點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論：動(dòng)點(diǎn)B相對(duì)于靜系的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)(vB、aB)等于其相對(duì)動(dòng)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)(vr、ar)與動(dòng)系相對(duì)于靜系的牽連運(yùn)動(dòng)兩者的疊加，即

(9)

動(dòng)點(diǎn)對(duì)動(dòng)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)：螺旋槳尖端動(dòng)點(diǎn)B相對(duì)動(dòng)系原點(diǎn)A的相對(duì)位矢、相對(duì)速度和相對(duì)加速度分別為

(10)

經(jīng)上述分析計(jì)算，可得動(dòng)點(diǎn)B對(duì)靜系的絕對(duì)速度和加速度.

類似地，若建立以螺旋槳中心點(diǎn)A為原點(diǎn)的動(dòng)坐標(biāo)系[如圖2(b)]，則點(diǎn)B相對(duì)動(dòng)系靜止(ar和vr等于零)，解法3回歸到解法2.

該方法的關(guān)鍵是動(dòng)系的建立和相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析[5]，這里分別以機(jī)身和螺旋槳?jiǎng)酉禐槔?，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)理解，加強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用和掌握解題方法.

3 解法討論及對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

比較上述解法不難發(fā)現(xiàn)：

(1)剛體基點(diǎn)公式法僅適用于固結(jié)于剛體上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，其余兩種方法在求解任意動(dòng)點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題時(shí)更具普適性.

(2)絕對(duì)位矢求導(dǎo)法是最基礎(chǔ)的解法，基于動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)位矢，運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度，推理過程簡(jiǎn)單，學(xué)生都能熟練掌握.該方法有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的邏輯思維方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?，?qiáng)化求導(dǎo)微分物理思想的滲透，具有與其他方法異曲同工之妙.

(3)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)法是基于運(yùn)動(dòng)疊加原理來描述點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)變換關(guān)系為

歸結(jié)為“一點(diǎn)、二系、三運(yùn)動(dòng)”，其解題思路清晰，學(xué)生易形成解題程序性范式，其關(guān)鍵是正確分析各種運(yùn)動(dòng)，是一種普適解法.

上述3種解題方法和思路從不同的觀點(diǎn)出發(fā)，能夠開闊學(xué)生眼界和思路，促使學(xué)生對(duì)所學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行整合和重構(gòu)，貫通各章節(jié)碎片化的知識(shí)以達(dá)到靈活運(yùn)用，啟迪創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生多途徑解決問題的能力.通過一題多解對(duì)問題進(jìn)行反思，多問多想為什么，弄清物理本質(zhì)，站在物理觀念的角度，運(yùn)用科學(xué)思維和深入分析探究的科學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)造性思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展.

4 結(jié)論

本文運(yùn)用絕對(duì)位矢求導(dǎo)法、剛體基點(diǎn)公式法、點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)法一題多解“飛機(jī)上螺旋槳的運(yùn)動(dòng)”問題，討論了各解法的關(guān)鍵和坐標(biāo)系選取的影響.旨在通過“一題多解”強(qiáng)化學(xué)生對(duì)所學(xué)理論的融會(huì)貫通和解題方法的靈活運(yùn)用，提高學(xué)生解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展.

它能促進(jìn)學(xué)生整合知識(shí)、優(yōu)化方法，靈活運(yùn)用、觸類旁通、融會(huì)貫通的教學(xué)效果，提高學(xué)生解決問題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)物理的積極主動(dòng)性和創(chuàng)造性思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展.