莫云飛 王勝杰 孫利平 彭胡萍 譚志光 曾可 郭有能 劉亮 盧一兵

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

1 引言

作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)課程，各個高校都將大學(xué)物理作為理工科專業(yè)的必修課[1].大學(xué)物理涉及物理學(xué)的基本概念、理念和方法是構(gòu)成學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，也是高新技術(shù)理論的重要基礎(chǔ).通過對該課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)世界觀，增強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神.

電磁學(xué)是物理學(xué)中一門具有魅力的分支學(xué)科，是大學(xué)物理課程中的重要內(nèi)容之一.電磁學(xué)涉及許多抽象的概念、公式和定理，初學(xué)者很難理解和記憶.此外，學(xué)生必須在掌握矢量分析和微積分方程的基礎(chǔ)上才能正確地分析電磁現(xiàn)象[2,3]，這些困難給低年級學(xué)生造成了巨大的學(xué)習(xí)阻礙.為了輔助教學(xué)和減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，筆者在教學(xué)方法上總結(jié)了電磁學(xué)的規(guī)律，分析如下：

電磁學(xué)主要講授電場與磁場，由于電場與磁場的知識點(diǎn)具有對稱性和相似性的特點(diǎn)，因此通過分析，我們發(fā)現(xiàn)電場與磁場的內(nèi)容在理論概念、物理公式和解題方法上都有著相同的規(guī)律.因此，教學(xué)中或?qū)W習(xí)中恰當(dāng)?shù)匾腩惐确╗4～6]，對涉及的物理概念、公式和解題方法等方面進(jìn)行類比，可以建立起知識間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生加深知識點(diǎn)的理解和遷移，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散學(xué)習(xí)思維且有利于學(xué)生從被動學(xué)習(xí)提升到主動學(xué)習(xí)，從而對教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量都有極大的提高.

圖形記憶法就是將碎片的知識點(diǎn)進(jìn)行歸納和總結(jié)后通過圖形整合在一起[7].筆者在講解電磁學(xué)相關(guān)例題過程中，將電場和磁場相類似的例題進(jìn)行修剪合并，通過圖形的形式展示出來，收獲了相對于單純講授概念更好的效果.學(xué)生可以通過圖形找到概念或知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，從而構(gòu)建知識框架圖或知識網(wǎng)，這樣比單純背誦概念和定理更能輕松地理解和記憶.

本文正是基于以上考慮，運(yùn)用類比法結(jié)合圖形記憶法，以電磁學(xué)常見的例題為教學(xué)模型，將電磁學(xué)課程中有關(guān)靜電場和穩(wěn)恒磁場教學(xué)例題進(jìn)行具體類比、分析與探討，為電磁學(xué)課程教學(xué)提供一些參考.

2 運(yùn)用類比法結(jié)合圖形記憶法對常見例題的講解或?qū)W習(xí)

在學(xué)習(xí)電場和磁場中的各種性質(zhì)時，都可以通過類比法+圖形記憶方法來進(jìn)一步理解和記憶.本文列舉了3個示例，分別為長直帶電直線與長直載流直導(dǎo)線、均勻帶電圓環(huán)與通電圓環(huán)、高斯定理與安培環(huán)路定理.

2.1 第一種模型

長度為L的均勻帶電直線和載流直導(dǎo)線在周圍空間分別激發(fā)電場和磁場的分布情況，如圖1所示.

長度為L的均勻帶電直線

長度為L的載流直導(dǎo)線

如圖1(a)和(b)，在長度為L的均勻帶電直線垂直方向和延長方向上，求解電場分布情況；圖1(c)和(d)，在長度為L的載流直導(dǎo)線垂直方向和延長方向上，求解磁場分布情況.求解過程都是在垂直方向的空間任意取一點(diǎn)P，然后將P分別往帶電直線和載流直導(dǎo)線做投影，獲得投影點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并在帶電直線和載流直導(dǎo)線上分別取電荷元dq和電流元Idl.

在電場模型圖1(a)中，假設(shè)均勻分布正電荷，首先計(jì)算電荷元dq激發(fā)的電場

(1)

求得在垂直和平行帶電直線方向的電場分量分別為

(2)

接著利用幾何關(guān)系

-y=acotθ→dy=acsc2θdθ
r2=a2+(-y)2=a2csc2θ

(3)

代入式(2)整理并從θ1積分到θ2，之后求得

(4)

最后對式(4)做極限假設(shè)，當(dāng)θ1≈0,θ2≈π;則

(5)

圖1(b)求延長線上一點(diǎn)P的電場

(6)

在磁場模型圖1(c)中，首先利用電流元Idl激發(fā)磁場公式

(7)

求得P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度，通過右手螺旋法則Idl×er判斷P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度方向?yàn)榇怪逼矫嫦蚶铮捎谳d流導(dǎo)線上每個電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都是垂直平面向里，因此P點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

(8)

將幾何關(guān)系

l=acot(π-θ)=-acotθ→dl=acsc2θdθ

代入式(8)并從θ1積分到θ2，整理結(jié)果如下

(9)

當(dāng)P點(diǎn)無限向載流直導(dǎo)線靠攏或載流直導(dǎo)線無限長時，θ1≈0,θ2≈π,則

(10)

圖1 (d) 表示當(dāng)導(dǎo)線有限長，在延長線上一點(diǎn)P，其磁感應(yīng)強(qiáng)度一定等于零，因?yàn)閵W斯特實(shí)驗(yàn)表明電流磁效應(yīng)在垂直載流直導(dǎo)線方向最強(qiáng)，延長線上B=0.

2.2 第二種模型

求解均勻帶電圓環(huán)和通電圓環(huán)分別在中心軸上激發(fā)的電場和磁場分布情況，如圖2所示.

(a)半徑為R的均勻帶電圓環(huán)

(b)半徑為R的通電圓環(huán)

求解方法都是在中心軸上固定一點(diǎn)P，并從電荷元或電流元做指向P點(diǎn)的位矢r.假設(shè)OP=x為常數(shù)，則位矢r與中心軸形成的夾角θ是固定的，先求出EP和BP是關(guān)于x的函數(shù)，然后討論場強(qiáng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度隨x的變化規(guī)律.其過程如下：

分別將帶電圓環(huán)和通電圓環(huán)無限均勻分割成等量的正電荷元dq和電流元Idl，以O(shè)點(diǎn)為對稱點(diǎn)，在圓環(huán)上取等量的電荷元dq和dq′與等量的電流元Idl和Idl′.

(11)

(12)

(13)

(14)

接著對x的取值進(jìn)行討論，當(dāng)x=0時，即環(huán)心處E=0；當(dāng)x?R時

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

引入載流線圈的磁矩Pm=ISn,則

2.3 第三種模型

運(yùn)用高斯定理求解電場的分布和運(yùn)用安培環(huán)路定理求解磁場的分布,如圖3所示.

(a) 無限長均勻帶電直線

(b) 無限長均勻帶電直線周圍電場分布的函數(shù)關(guān)系

(c) 無限長均勻帶電直線的電場線分布特征

(d) 垂直平面向外的無限長直線電流

(e) 無限長直線電流周圍磁場分布的函數(shù)關(guān)系

(f) 無限長直線電流的磁場線分布特征

當(dāng)電荷和電流的分布具有對稱性時，可以運(yùn)用電場中的高斯定理和磁場中的安培環(huán)路定理分別求解空間電場和空間磁場的分布.如圖3(a)～(c)表示運(yùn)用高斯定理求無限長均勻帶電直線在周圍空間激發(fā)電場的分布情況， 圖3(d)～(f)表示運(yùn)用安培環(huán)路定理求無限長載流直導(dǎo)線在周圍空間激發(fā)磁場的分布情況.求解思路如下：

假設(shè)圖3(a)為均勻分布著正電荷的無限長直線且電荷密度為λ，在空間中任意確定一點(diǎn)P，將P點(diǎn)往帶電直線做投影并獲得投影點(diǎn)為O點(diǎn).以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱的取兩個電荷元dq和dq′，這對電荷元在P點(diǎn)激發(fā)電場關(guān)于OP軸對稱，在垂直O(jiān)P軸方向相互抵消，只剩下平行OP軸方向分量，因此無限長帶電直線可以分解成無數(shù)對關(guān)于O點(diǎn)對稱的電荷元，每一對電荷元在P點(diǎn)激發(fā)電場求矢量和都是平行OP軸且垂直帶電直線.

接著做一個閉合的高斯圓柱曲面，此圓柱面的上底和下底以O(shè)P=r為半徑，高度為L,直接運(yùn)用高斯定理求解.

高斯定理的左邊

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

可以看出無限長均勻帶電直線在周圍空間激發(fā)的電場是非均勻電場，場強(qiáng)與距離成反比[如圖3(b)]，電場方向垂直帶電直線向外(正電荷)或垂直指向帶電直線(負(fù)電荷)[如圖3(c)].

圖3(d)為垂直平面向外的無限長載流直導(dǎo)線，在垂直載流直導(dǎo)線的平面內(nèi)任意找一點(diǎn)P，以O(shè)P=r為半徑畫同心圓，則圓上任意一點(diǎn)都完全等價，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小相等，方向與電流方向滿足右手螺旋法則且都是圓的切向方向.以P點(diǎn)為起點(diǎn)，在圓上取一線元dl，當(dāng)dl的大小趨向于零時，dl的方向也是圓的切向方向，因此根據(jù)安培環(huán)路定理，也可以將磁感應(yīng)強(qiáng)度B以標(biāo)量形式提取到積分符號之前.

安培環(huán)路定理左邊

∮LB·dl=B·∮Ldl=B·2πr

(25)

安培環(huán)路定理右邊等于環(huán)路所包含電流代數(shù)和的μ0倍，因此

(26)

B·2πr=μ0I

(27)

可以看出無限長載流直導(dǎo)線在周圍空間激發(fā)的磁場是非均勻磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度與距離成反比[如圖3(e)]；磁感應(yīng)強(qiáng)度方向沿磁場線的切向方向，而磁場線的繞行方向與電流方向滿足右手螺旋法則[如圖3(f)].

同理，針對任意曲面在任意電場中的電場強(qiáng)度通量與任意曲面在任意磁場中的磁場強(qiáng)度通量、無限大帶電平面在周圍空間激發(fā)電場分布與無限大通電平面在周圍空間激發(fā)磁場分布等模型也采用類比法結(jié)合圖形記憶法進(jìn)行講解和學(xué)習(xí)，預(yù)期將會起到事半功倍的效果.

3 結(jié)束語

類比法結(jié)合圖形記憶法是一種非常重要的思維方式，針對《電磁學(xué)》中深奧難懂的例題，抓住電場與磁場在定理描述、概念理解及解題方法等相似點(diǎn)，運(yùn)用圖形記憶法整合零碎的知識點(diǎn)并以圖形展示，最后運(yùn)用類比法進(jìn)行講解或?qū)W習(xí)，此時教學(xué)或?qū)W習(xí)也能做到有跡可循.講解或?qū)W習(xí)陌生的相關(guān)磁場例題時，將其與已經(jīng)熟悉的相關(guān)電場例題聯(lián)系起來，能夠引導(dǎo)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上感受新知識的魅力，這不僅能使學(xué)生迅速地理解磁場相關(guān)的知識點(diǎn)，還能進(jìn)一步鞏固電場相關(guān)的定理和概念.教師運(yùn)用類比法結(jié)合圖形記憶法將會發(fā)現(xiàn)教學(xué)效率極大的提高，教學(xué)過程中通過不斷地歸納總結(jié)，獲得教學(xué)工作中事半功倍的成就感.

通過類比法給合圖形記憶法，在本校2021級通信專業(yè)的教學(xué)中，筆者明顯感覺到這屆學(xué)生比往屆學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和積極性都有很大改變.往屆學(xué)生基本為了應(yīng)對考試而被動學(xué)習(xí)，而這屆學(xué)生開始會在課堂主動提問，課后也會到圖書館查閱相關(guān)資料幫助自己對知識的理解，曠課現(xiàn)象減少很多，作業(yè)抄襲現(xiàn)象也明顯降低到5%左右，平時的平均成績從68分左右提高到88分，及格通過率已提升到82%，充分說明了類比法結(jié)合圖形記憶法在教學(xué)中的關(guān)鍵作用.