鄭潤(rùn)楠 姜玉梅

(揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 揚(yáng)州 225000)

蘇俊

(江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 江蘇 南通 226600;華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 上海 200062)

1801年英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊(Thomas Young)的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，為光的波動(dòng)學(xué)說提供了堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)支撐，被美國(guó)《物理世界》雜志評(píng)選為“最美”的十大物理實(shí)驗(yàn)之一[1].楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)不僅被《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定為學(xué)生必做實(shí)驗(yàn)，也是高校光學(xué)、大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)等課程的重要內(nèi)容.

近年來，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的仿真研究數(shù)量頗多，比較常用的軟件工具有MATLAB，Mathematica，Labview等[2～4]，均能較好地實(shí)現(xiàn)參數(shù)可調(diào)節(jié)和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)等功能.然而，在課堂教學(xué)過程中運(yùn)行此類大型應(yīng)用程序并不方便，且現(xiàn)有研究主要側(cè)重于對(duì)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的模擬，對(duì)干涉原理的模擬則與常見教科書在介紹雙縫實(shí)驗(yàn)原理時(shí)的配圖類似，都是基于惠更斯原理描繪出各個(gè)波陣面，并將其與干涉圖樣在同一平面內(nèi)呈現(xiàn)，如圖1所示.

圖1 教科書中關(guān)于雙縫實(shí)驗(yàn)的常見配圖

然而，惠更斯原理無法準(zhǔn)確解釋波的干涉現(xiàn)象[5].并且，靜態(tài)圖無法體現(xiàn)波的傳播過程，平面圖也難以同時(shí)呈現(xiàn)波的疊加與分布，導(dǎo)致部分空間思維能力欠佳的學(xué)生在理解該實(shí)驗(yàn)時(shí)存在一定困難[6].因此，本文運(yùn)用GeoGebra軟件的3D繪圖功能，開發(fā)了一個(gè)三維動(dòng)態(tài)模擬楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的程序，可作為物理教學(xué)的輔助，降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，幫助學(xué)生更好地理解干涉原理與現(xiàn)象.

1 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的干涉原理

楊氏雙縫干涉是一種典型的雙光束干涉.如圖2所示，兩光源S1和S2的距離為d，光源所在平面與屏幕平行，兩者之間的垂直距離為D，在屏幕上任取一點(diǎn)P，它與S1和S2的距離分別為r1和r2.

圖2 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)示意圖

兩光源S1和S2的振動(dòng)方向相同，圓頻率為ω，振幅大小分別為A1和A2，初相位分別為φ1和φ2，則S1和S2兩點(diǎn)的光振動(dòng)方程分別為

E10=A1cosωt+φ1

(1)

E20=A2cosωt+φ2

(2)

E10=A1cosk1v1t+φ1

(3)

E20=A2cosk2v2t+φ2

(4)

t時(shí)刻，從S1和S2發(fā)出的兩列波引起P點(diǎn)的光振動(dòng)分別是

E1=A1cosφ1-k1r1-v1t

(5)

E2=A2cosφ2-k2r2-v2t

(6)

P點(diǎn)處的合振幅為

(7)

P點(diǎn)處的光強(qiáng)為

(8)

其中

Δφ=φ2-φ1-k2r2-k1r1

(9)

當(dāng)Δφ=±2jπ，j=0,1,2,… 時(shí)，干涉相長(zhǎng)，光強(qiáng)最大.

當(dāng)Δφ=±2j+1π，j=0,1,2,…時(shí)，干涉相消，光強(qiáng)最小.

楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的裝置通常放在空氣中，因此有k1=k2=k，Δφ=φ2-φ1-kr2-r1，在D?d條件下，光學(xué)教科書常通過r2-r1≈dsinθ，sinθ≈tanθ兩次近似，得到干涉的規(guī)律，而沒有對(duì)近似條件之外的情況進(jìn)行詳細(xì)探討.近似處理雖便于學(xué)生掌握，但會(huì)給定量研究引入一些誤差，利用幾何關(guān)系式(10)、(11)求出實(shí)際的幾何路程則可避免這一誤差.

(10)

(11)

2 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)動(dòng)態(tài)模擬程序的開發(fā)

GeoGebra是一款免費(fèi)、開源、兼容性高的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，近年來將其用于輔助中學(xué)物理教學(xué)的研究熱度較高，其動(dòng)態(tài)演示功能可以幫助學(xué)生更直觀地理解物理概念與規(guī)律.由于它還是一款漸進(jìn)式網(wǎng)頁應(yīng)用(PWA)，因此教師可直接在課堂上用瀏覽器打開鏈接進(jìn)行演示，十分便捷.本節(jié)將對(duì)運(yùn)用GeoGebra軟件開發(fā)此模擬演示程序時(shí)的主要思路與步驟進(jìn)行介紹.

第一步定義物理量：首先，打開GeoGebra的3D繪圖區(qū)和默認(rèn)繪圖區(qū)，調(diào)整合適的界面格局；然后，運(yùn)用“描點(diǎn)”工具在3D繪圖區(qū)的y軸上取一點(diǎn)，命名為S1，使用“定長(zhǎng)線段”工具設(shè)置在y軸上與點(diǎn)S1距離為d的點(diǎn)S2.接著，在與y軸距離為D處繪制一條平行于y軸的直線，在直線上取一點(diǎn)P，連接PS1和PS2，連線與x軸方向的夾角分別設(shè)為α1和α2；最后，在默認(rèn)繪圖區(qū)中創(chuàng)建對(duì)應(yīng)物理量的“滑動(dòng)條”.

第二步輸入方程：為了演示波的傳播過程，首先輸入從兩光源S1和S2發(fā)出光波的波動(dòng)方程.以光傳播距離在x軸方向上的投影為自變量X，t時(shí)刻，在S1P方向上與S1相距l(xiāng)1的一點(diǎn)P1(xP1,yP1)處產(chǎn)生的光振動(dòng)為

EP1=A1cosφ1-k1l1-v1t

(12)

同理，S2在與其相距l(xiāng)2的一點(diǎn)P2(xP2,yP2)處產(chǎn)生的振動(dòng)為

EP2=A2cosφ2-k2l2-v2t

(13)

且由于P1是線段PS1上的一點(diǎn)，因此，有

(14)

同理，對(duì)P2，有

(15)

在GeoGebra的“代數(shù)區(qū)”中輸入相應(yīng)代碼，如圖3所示，即得到兩列波的圖樣，為了模擬波形隨時(shí)間的推進(jìn)，此處還定義了自變量隨時(shí)間變化的取值范圍.

圖3 部分程序代碼

之后輸入不含近似處理的合振幅分布函數(shù)式(7)與光強(qiáng)分布函數(shù)式(8)等的代碼，可得到合振幅分布曲線以及光強(qiáng)分布曲線等圖樣.

第三步為功能拓展與完善：首先，由于楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)要求兩束光為相干光，所以在程序中設(shè)置了一個(gè)“同步”的功能，可以通過點(diǎn)擊“同步”按鈕將S1和S2的角波數(shù)、波速、初相位快速進(jìn)行統(tǒng)一；之后，為了更直觀地呈現(xiàn)“干涉相消”和“干涉相長(zhǎng)”現(xiàn)象，通過波動(dòng)方程模擬出兩列波到達(dá)P點(diǎn)之后的延續(xù)狀態(tài)以及疊加后的波形；最后，為了讓學(xué)生更直觀地體會(huì)光程差對(duì)疊加效果的影響，尤其是當(dāng)φ2=φ1時(shí)，光程差的作用效果，基于“折射率n=1時(shí)，光程差等于幾何路程差”的結(jié)論，以P點(diǎn)為圓心、以r1和r2兩者中的較小者為半徑，用虛線繪制了一個(gè)輔助圓，并用對(duì)比色突現(xiàn)出幾何路程差值部分的波形，加以復(fù)選框功能讓用戶自行選擇是否顯示相關(guān)內(nèi)容.最終模擬程序的界面及其鏈接二維碼如圖4所示.

(a)

(b)

3 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)動(dòng)態(tài)模擬程序的演示

3.1 光波的傳播與疊加

此程序可向?qū)W生動(dòng)態(tài)展示從S1和S2發(fā)出的兩列波的傳播過程以及在P點(diǎn)疊加的任意情況，尤其是在P點(diǎn)發(fā)生干涉相長(zhǎng)和干涉相消的情況.例如：在λ1=λ2=10參數(shù)條件下的兩列相干波，當(dāng)光程差恰好等于一個(gè)波長(zhǎng)時(shí)，如圖5(a)所示，則合振幅最大，光強(qiáng)最大；而當(dāng)光程差恰好等于半個(gè)波長(zhǎng)時(shí)，如圖5(b)所示，則兩列波相互抵消，合振幅最小，光強(qiáng)最小.

運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬演示，可將抽象的干涉規(guī)律形象化，調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺直觀功能，從而加深學(xué)生對(duì)干涉現(xiàn)象及干涉條件的理解.

(a)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)干涉相長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模擬

(b)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)干涉相消的動(dòng)態(tài)模擬

3.2 不同參數(shù)下的干涉圖樣

學(xué)生對(duì)光波波長(zhǎng)λ,雙縫間距d,光屏與雙縫距離D這些參數(shù)對(duì)干涉圖樣影響的認(rèn)識(shí)，僅局限于在近似條件下干涉圖樣相鄰明(暗)條紋的間距Δx與上述參數(shù)間的定量關(guān)系式

(16)

由于缺乏形象感知，大部分學(xué)生對(duì)此公式只能死記硬背，更不了解不同參數(shù)對(duì)干涉圖樣強(qiáng)度的影響.而GeoGebra可以將這些參數(shù)對(duì)干涉強(qiáng)度和干涉條紋間距的影響可視化，有助于學(xué)生靈活把握此類公式，加深對(duì)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的理解.

例如，分別設(shè)置λ,d,D對(duì)應(yīng)滑動(dòng)條的播放速度，可以直觀地演示干涉圖樣隨單一參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，從而讓學(xué)生感知相鄰明(暗)條紋間距Δx與λ,d,D3個(gè)參數(shù)之間的定性關(guān)系，如圖6所示.

而通過調(diào)節(jié)“全局設(shè)置”中的“精確度”，還可運(yùn)用GeoGebra直接測(cè)出干涉圖樣相鄰明(暗)條紋的間距Δx.如圖7所示，設(shè)置精確度為“保留10位小數(shù)”，輸入?yún)?shù)λ=640 nm，d=0.4 mm，D=50 cm，可計(jì)算出相鄰兩暗條紋的間距，即B,C兩點(diǎn)的距離，所得結(jié)果與運(yùn)用近似公式(16)計(jì)算的結(jié)果差異極小，表明GeoGebra也可用于開展物理定量研究.

圖6 楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)分布的動(dòng)態(tài)模擬

圖7 運(yùn)用GeoGebra測(cè)量相鄰暗條紋的間距

4 結(jié)束語

本文運(yùn)用GeoGebra軟件的3D繪圖功能，開發(fā)了一個(gè)動(dòng)態(tài)模擬楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的程序，能夠?qū)崿F(xiàn)干涉過程的可視化，直觀地揭示出干涉現(xiàn)象的成因，還能用于定性和定量地研究干涉條紋、光強(qiáng)分布與光波波長(zhǎng)λ,雙縫間距d和光屏與雙縫距離D的關(guān)系，輔助楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的教學(xué).并且，由于此程序中幾乎所有參數(shù)都可自行設(shè)置，因此,除了用于模擬相干波的疊加，還可用于研究其他非相干波的疊加.GeoGebra程序的源代碼都是開放的，教師可根據(jù)教學(xué)與研究的需要對(duì)本文所設(shè)計(jì)程序進(jìn)行更深入的拓展與應(yīng)用.