蔣進(jìn)科 方宗德

（1.長安大學(xué)汽車學(xué)院/汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點實驗室，陜西西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安 710072）

齒輪承載傳動誤差反映了輪齒實際嚙合與理想嚙合的偏差情況，承載傳動誤差幅值（ALTE）大小是工作過程中振動的直接激勵，是產(chǎn)生振動、噪聲的重要因素［1-3］，通過齒面承載接觸分析（LTCA）可以獲得齒輪理論承載傳動誤差。文獻(xiàn)［4-8］借助有限元軟件進(jìn)行LTCA 仿真，其分析結(jié)果受有限元網(wǎng)格精度及齒輪副安裝精度影響，計算效率較低，主要用于給定齒面的齒輪副傳動性能仿真。文獻(xiàn)［9-11］根據(jù)輪齒嚙合過程中的力學(xué)平衡條件、載荷當(dāng)量安裝調(diào)整值、角位移協(xié)調(diào)原理、赫茲理論等，按照一定的假設(shè)條件對輪齒嚙合過程進(jìn)行數(shù)值LTCA模擬，有的側(cè)重力學(xué)分析或幾何分析，有些研究模型過于繁瑣。文獻(xiàn)［12］將齒面接觸分析（TCA）與有限元法結(jié)合起來，針對單對齒輪副提出了一種實用高效的LTCA 數(shù)值方法，為本文研究提供了參考。文獻(xiàn)［13］在計算時變嚙合剛度基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了承載傳動誤差的簡化公式，并與有限元計算方法對比驗證了其正確性。文獻(xiàn)［14］基于切片法獲得修形斜齒輪的剛度，進(jìn)一步獲得輪齒承載傳動誤差，該方法不適合復(fù)雜齒面及修形齒面。文獻(xiàn)［15］中綜合Ease-off 拓?fù)浞抡媾c輪齒剛度非線性單元的耦合解析，給出拓?fù)湫扌锡X面承載傳動誤差的計算方法。以上方法都是通過對已知齒面進(jìn)行LTCA 仿真，獲得承載傳動誤差，然而其無法通過設(shè)計嚙合位置承載傳動誤差來逆向設(shè)計齒面。

齒輪靜態(tài)承載傳動誤差大小與輪齒受載后的實際重合度、幾何參數(shù)有很大關(guān)系，輪齒修形改變齒輪副實際重合度，是減小ALTE 的有效途徑［16］。先后出現(xiàn)了二階、四階、高階幾何傳動誤差修形齒面設(shè)計［17-20］，其通過預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的形狀參數(shù)，結(jié)合TCA、LTCA、優(yōu)化算法，進(jìn)一步降低了ALTE，然而，優(yōu)化方法很難使ALTE 降為零。同樣，文獻(xiàn)［21］針對高重合度斜齒輪，基于不同嚙合區(qū)之間輪齒承載變形規(guī)律來預(yù)設(shè)幾何傳動誤差，進(jìn)行齒面修形優(yōu)化設(shè)計，盡管可以獲得很小的ALTE，但是其修形曲面沿齒向方向呈現(xiàn)周期性波動，且修形量很小，易導(dǎo)致磨齒干涉，在工程應(yīng)用中難以推廣。此外，該方法主要是針對線接觸漸開線圓柱齒輪進(jìn)行修形設(shè)計，線接觸齒面修形后齒面適配量相對較小，實際重合度主要受輪齒齒間間隙影響，而對于適配量較大的復(fù)雜局部共軛齒面，其實際重合度受齒間間隙與齒面法向間隙二者共同影響，因此，該方法未必適合。文獻(xiàn)［22-23］表明優(yōu)化靜態(tài)ALTE 未必降低振動，ALTE 降低后也易導(dǎo)致傳動誤差曲線中高頻成分增加，產(chǎn)生新的振動。

綜上所述，為了有效降低某具體工況振動，需要研究可加工的零ALTE 齒輪的修形設(shè)計與制造方法。為此，針對平行軸漸開線圓柱齒輪，結(jié)合TCA、LTCA 數(shù)值方法提出一種基于零ALTE 的新LTCA 方法。該方法通過對嚙合位置同時嚙合齒對的齒間間隙進(jìn)行補(bǔ)償，消除不同嚙合位置輪齒承載變形的差異；通過對齒面不同嚙合位置補(bǔ)償間隙的約束，可獲得光滑的修形齒面，避免了齒面修形量的周期性波動，為進(jìn)一步的高性能齒面減振設(shè)計與分析提供理論參考。

1 預(yù)設(shè)修形齒面建模

齒輪副的齒面初始接觸間隙即幾何特性表示為接觸線法向間隙和齒間間隙之和，可通過TCA方法獲得。齒間間隙主要影響輪齒動態(tài)特性，接觸線法向間隙主要影響輪齒接觸區(qū)的大小、位置，進(jìn)一步影響輪齒強(qiáng)度及動態(tài)特性。齒面修形是對輪齒微觀幾何的修正，需要結(jié)合齒間間隙與齒面法向間隙產(chǎn)生的機(jī)理進(jìn)行修形設(shè)計。修形齒面表達(dá)不能脫離理論齒面，數(shù)字化齒面進(jìn)行TCA分析時，計算過程中迭代太多，計算效率較低，因此，修形齒面需要有確定的解析表達(dá)式。通過共軛齒面和齒面初始接觸間隙所映射的法向修形曲面的疊加，可以靈活、解析地表達(dá)復(fù)雜修形齒面。修形齒輪副齒間間隙的大小表示為圖1（a）所示拋物線幾何傳動誤差曲線Ψ的函數(shù)，將嚙合點M0處幾何傳動誤差乘以該點位矢rf在法矢nf方向的投影半徑，可得到接觸齒對的齒間間隙，根據(jù)函數(shù)Ψ的參數(shù)ε1、λ0可設(shè)計齒間間隙。如圖1（b）所示，根據(jù)嚙合點M0處rf、nf計算瞬時接觸橢圓長軸上點Mj處的位矢，過Mj點平行于nf的直線與兩齒面的交點Mj1和Mj2之間的距離即為齒對的接觸線法向間隙；根據(jù)圖1（c）的修形量分段拋物線函數(shù)ζ的參數(shù)d1、d2、q1、q2可設(shè)計接觸線的法向間隙。漸開線斜齒輪齒面的齒廓、齒向、拓?fù)湫扌螌嶋H是綜合了齒間間隙、接觸線法向間隙的齒面微觀幾何設(shè)計，其設(shè)計思路見文獻(xiàn)［24］。

圖1 齒輪修形曲線Fig.1 Curves of modified gear

2 零承載傳動誤差幅值齒輪副齒間間隙補(bǔ)償量確定

文中主要是對齒輪副的齒間間隙進(jìn)行補(bǔ)償，關(guān)于接觸線法向間隙的補(bǔ)償方法更為復(fù)雜，暫不予討論?；诹鉇LTE 的齒輪副齒面補(bǔ)償間隙計算原理為：結(jié)合原LTCA 方法，獲得輪齒嚙合位置最大承載變形量，通過對共軛或預(yù)設(shè)修形齒輪一個嚙合周期初始齒間間隙補(bǔ)償，使補(bǔ)償后的承載變形等于該最大變形量，通過改進(jìn)原LTCA 方程的求解算法反求出該補(bǔ)償間隙。為了便于加工修形齒面，該補(bǔ)償間隙大小需要根據(jù)齒面嚙合位置進(jìn)行約束，保證嚙入或嚙出位置的補(bǔ)償間隙較大，并減少補(bǔ)償間隙的周期性波動。原LTCA 技術(shù)原理為將TCA 與有限元法結(jié)合起來，根據(jù)嚙合位置的多齒對初始間隙，將齒輪副受力接觸轉(zhuǎn)化為求解齒面有限個離散接觸點的力學(xué)平衡問題，其數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

圖2 齒輪LTCA模型Fig.2 LTCA model for gears

在載荷P作用下，某瞬時有兩對齒接觸并發(fā)生彈性變形，設(shè)小輪固定，大輪沿法向運(yùn)動Z。忽略齒面摩擦且假設(shè)輪齒沿瞬時接觸方向發(fā)生線接觸，齒面接觸描述如下：

式中：pjk（j=1，2，…，n）、djk（j=1，2，…，n）為齒對k的沿瞬時接觸線方向離散點j處的法向載荷、變形后的輪齒間隙，pk、dk為其離散點組成的向量；Fk為齒對k的接觸離散點組成的法向柔度向量，通過有限元計算得到；wk為齒對k離散點初始接觸間隙組成的向量，通過TCA計算得到。上式是由已知參數(shù)F、P、W和未知參數(shù)p、Z、d組成的一個非線性規(guī)劃，求解后可得到未知參數(shù)，將Z轉(zhuǎn)化為嚙合線上的位移，用轉(zhuǎn)角表示即為一個嚙合周期的承載傳動誤差。Z是有限元解，包含輪齒受力彎曲變形及接觸變形。

一個嚙合周期的各個嚙合位置由于輪齒接觸間隙和嚙合剛度的不同而得到不同的Z，構(gòu)成了承載傳動誤差曲線。欲使ALTE 為零，必須使各嚙合位置的Z相同；而上面LTCA 方法只能正向輸入W求解Z，無法通過輸入相同的Z逆向求解嚙合位置的W。逆向求解的間隙實際是對原初始間隙的修正，其可以表示為原初始間隙與補(bǔ)償間隙的和，為了獲得該補(bǔ)償間隙，需要重新構(gòu)造LTCA 方程，同時對求解算法進(jìn)行改進(jìn)。

假設(shè)接觸位置的補(bǔ)償初始間隙ejk（j=1，2，…，n）增大（ejk≥0），其組成向量為ek，則補(bǔ)償后承載變形始終會大于等于補(bǔ)償前最大承載變形，這里主要補(bǔ)償齒間間隙，則新LTCA位移協(xié)調(diào)方程為

理論上式（2）存在多個解，e受齒面補(bǔ)償位置、補(bǔ)償量大小影響，且齒面各嚙合位置的補(bǔ)償間隙可以有多種組合。例如，一個嚙合周期分成8（k=1，2，…，8）等份，齒面總計21個接觸位置，主要補(bǔ)償靠近嚙入端第1～8 位置或嚙出端第17～21 或中間第9～16 位置的間隙，其他位置補(bǔ)償量通過約束與主補(bǔ)償位置產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系。考慮到齒對的多齒接觸特性，當(dāng)k=1 時應(yīng)補(bǔ)償?shù)氖堑?、9、17 個接觸位置，以靠近嚙入端第1 個接觸位置為主補(bǔ)償，第9、17個位置通過權(quán)系數(shù)a11、a21約束，鑒于中間位置的補(bǔ)償量a11易導(dǎo)致內(nèi)凹，因此其取值小于0.3，嚙出端a21系數(shù)可以稍大于0.3即

式（2）、（3）及（1）中的力平衡條件、非嵌入條件構(gòu)成新的LTCA 方程組，其是由已知參數(shù)F、P、W、Z和未知參數(shù)p、d、e組成的一個非線性規(guī)劃，通過對原LTCA求解算法的改進(jìn)可以反求出未知參數(shù)。附加齒間間隙e疊加于原預(yù)設(shè)的修形齒面即為零ALTE齒輪副的修形齒面。e的大小及其擬合曲面形狀影響修形齒面的加工難易程度，理想的附加齒間間隙應(yīng)是從齒面嚙入至嚙出呈拋物線形狀、非周期性且不易太小，便于通過平面砂輪線接觸或錐面砂輪點接觸數(shù)控磨齒實現(xiàn)齒面高階修正。e轉(zhuǎn)化為嚙合線上角位移，可得到不同嚙合位置的附加幾何傳動誤差Te（單位″）為

式中：Rb2、β分別為被動大輪基圓半徑和螺旋角。輪齒綜合剛度表示為

3 零承載傳動誤差幅值修形齒面確定

上面方法確定了齒輪副有限個接觸位置的附加幾何傳動誤差，采用三次均勻B 樣條對其進(jìn)行擬合，則整個嚙合過程中附加幾何傳動誤差為

式中：xi為小輪轉(zhuǎn)角，Vi為齒面接觸點補(bǔ)償幾何傳動誤差型值的控制點列向量，i=1，…，n-1；M為常量矩陣。至此整個嚙合過程中零ALTE 齒面的主動輪轉(zhuǎn)角φ1與被動輪轉(zhuǎn)角φ2的關(guān)系表示為

式中：z1、z2為主、被動輪齒數(shù)；φ10、φ20為主、被動輪初始轉(zhuǎn)角。根據(jù)齒面嚙合原理，將大輪齒面視為假想齒輪刀具，按照式（7）傳動比關(guān)系展成小輪，可確定零ALTE 的小輪修形齒面位矢r1、法矢n1；假設(shè)修形均放在小輪上，則零ALTE 小輪法向修形量為

式中：r1t、n1t分別為小輪漸開線齒面位矢、單位法矢，u、l為齒面參數(shù)。零ALTE 修形齒面的設(shè)計過中僅需要3 次LTCA 計算，其中第1、3 次采用原LTCA正向算法對第2次的新LTCA算法進(jìn)行輔助計算和驗證，整個計算過程僅需1 min左右。

第1 次原LTCA 仿真中輸入數(shù)據(jù)為預(yù)設(shè)修形齒面的初始接觸間隙，主要獲得嚙合周期的最大承載變形量Zmax；第2次新LTCA仿真，輸入?yún)?shù)為預(yù)設(shè)修形齒面的初始接觸間隙與Zmax（各嚙位置均相等），通過逆向求解獲得各嚙合位置的補(bǔ)償修形量，并對其插值獲得整個嚙合過程中的補(bǔ)償修形量，進(jìn)一步獲得零ALTE修形齒面，但是插值會有一定的誤差，因此需要對插值后的齒面重新進(jìn)行第3 次正向LTCA 計算。輸入?yún)?shù)為零ALTE 修形齒面TCA 計算的初始接觸間隙，其意義是進(jìn)一步驗證逆LTCA算法及插值獲得的零ALTE 齒面精度的有效性。具體流程如圖3所示。

圖3 零ALTE修形齒面主動設(shè)計流程Fig.3 Flow chart of active design tooth surface for Zero ALTE modification gears

4 數(shù)值仿真與分析

以表1、表2 所示的直、斜齒輪副為例，針對具體工況、不同重合度齒輪副的零ALTE 齒面的主動修形設(shè)計與分析如下。

表1 直齒齒輪副參數(shù)Table1 Parameters of spur gear pair

表2 斜齒齒輪副參數(shù)Table 2 Parameters of helical gear pair

（1）基于LTCA 數(shù)值方法的承載變形仿真精度驗證。文中LTCA 方法的仿真精度受齒面柔度系數(shù)插值精度影響即受瞬時接觸線離散點個數(shù)的影響。為了驗證LTCA 方法的正確性，鑒于直齒輪綜合嚙合剛度的計算方法已通過了試驗并制定了相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，這里以表1所示直齒輪副為例，按照GT 3480.1—2019計算公式進(jìn)行比對。GB 計算公式是根據(jù)實心盤狀齒輪測量獲得，對于低載荷工況（單位齒寬載荷<300 N/mm）是通過理論修正系數(shù)（取值0.8～1.0）進(jìn)行調(diào)整的，這里取大輪扭矩5 000 N·m 屬于高載荷工況，因此，該公式中的計算數(shù)值不進(jìn)行修正，即理論修正系數(shù)取1.0。LTCA 方法中，材料的楊氏模量E=206 GPa，泊松比=0.3，齒輪有限元網(wǎng)格模型采用20節(jié)點等參單元，精度高于相同體積下的8節(jié)點六面體單元模型，并根據(jù)齒寬和模數(shù)比值，沿齒向方向的網(wǎng)格個數(shù)進(jìn)行了自適應(yīng)加密，可以滿足計算精度要求。這里齒輪柔度系數(shù)的計算采用有限元網(wǎng)格個數(shù)在齒高、齒向均為6及雙線性插值獲得接觸線離散點的柔度系數(shù)。瞬時接觸線均勻離散點個數(shù)分別為5、7時，二者的計算結(jié)果如圖4所示，可見LTCA 方法與GB 方法結(jié)果較為接近，特別是接觸線離散點為7 個時結(jié)果一致，主要原因是LTCA方法中有限元網(wǎng)格中齒向為6個單元，此時插值點位置離網(wǎng)格型值點最近，插值精度較高。

圖4 直齒輪承載變形算法對比Fig.4 Comparison of load deformation algorithms for spur gears

（2）基于預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的直齒輪零ALTE齒面仿真。針對僅預(yù)設(shè)拋物線幾何傳動誤差，即齒廓修形直齒輪，分別在2 000 N·m 及4 000 N·m 工況進(jìn)行零ALTE 齒面1及零ALTE 齒面2的設(shè)計。一個嚙合周期分為8等份，一個齒從嚙入至嚙出接觸位置（小輪齒根至齒頂）總計13個，其中第6至8接觸位置為單齒嚙合區(qū)，主要對靠近嚙入端的第1至8 個嚙合位置進(jìn)行間隙補(bǔ)償，補(bǔ)償間隙及幾何傳動誤差見圖5（a）。預(yù)設(shè)修形齒面的第8個位置承載變形最大，顯然零ALTE 齒面1 的補(bǔ)償間隙大小與未補(bǔ)償前的承載變形大小變化規(guī)律相反，即承載變形越大，補(bǔ)償間隙越小，這與物理模型規(guī)律是一致的（如圖5（b）所示）。零ALTE齒面1接觸印痕良好、幾何傳動誤差無明顯內(nèi)凹現(xiàn)象（如圖5（c）所示）；隨載荷變化輪齒承載傳動誤差增加（如圖5（d）所示）；預(yù)設(shè)修形齒面在2 000、4 000 N·m 工況下ALTE 分別為0.000 6°、0.003 5°，而補(bǔ)償后的齒面（零ALTE齒面1、零ALTE齒面2）ALTE值為6.4×10-8°、4.2×10-7°（即為0），可見附加間隙的擬合誤差對ALTE無影響（如圖5（e）所示）。零ALTE 齒面1的修形量較光滑，整體呈現(xiàn)凸?fàn)?，相對?biāo)準(zhǔn)齒面其附加展成位移僅較預(yù)設(shè)修形齒面在嚙入端略有變化，但整體上還是接近拋物線形狀，便于加工；而零ALTE齒面2的修形量較大，主要是因為4 000 N·m工況下預(yù)設(shè)修形齒面的承載變形差異較大導(dǎo)致（如圖5（f），5（g），5（h），5（i）所示）。因此，預(yù)設(shè)的修形量、載荷對零ALTE 齒面補(bǔ)償修形量及加工難易程度有一定的影響。

圖5 基于預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的直齒輪零ALTE齒面設(shè)計與分析Fig.5 Tooth design and analysis for spur gear with zero ALTE based on preset geometric transmission error

（3）對角修形斜齒輪零ALTE 齒面仿真。僅預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的方法進(jìn)行的斜齒輪修形可實現(xiàn)一種對角修形齒面。斜齒輪重合度較大，同時嚙合齒對可超過3個，補(bǔ)償修形量的位置更為靈活，可以有多種組合。為了研究補(bǔ)償間隙大小、曲線形狀與齒面主要補(bǔ)償位置的關(guān)系，針對同一預(yù)設(shè)幾何傳動誤差斜齒輪進(jìn)行補(bǔ)償修形設(shè)計，預(yù)設(shè)修形量見圖6（a）。預(yù)設(shè)修形齒面TCA 仿真見圖6（b），較大幾何傳動誤差可以減小安裝誤差敏感性，齒面接觸位置總計21 個，這種對角修形對齒面印痕影響較小，類似直齒輪齒廓修形。負(fù)載3 000 N·m 工況下承載變形如圖6（c）所示，預(yù)設(shè)修形后的ALTE 減小近50%，嚙合周期內(nèi)其變化先減小后增大，對預(yù)設(shè)修形齒面進(jìn)行4 種不同類型補(bǔ)償修形，其中零ALTE 齒面2、零ALTE 齒面3、零ALTE 齒面4依次補(bǔ)償靠近嚙入端的第1～8個位置、嚙出端第17～21個位置、中間部分的第9～16 個位置，ALTE 齒面1綜合嚙入端及嚙出端位置進(jìn)行補(bǔ)償。補(bǔ)償后的齒面即零ALTE 齒面1、零ALTE 齒面2、零ALTE 齒面3、零ALTE 齒面4 的ALTE 值分 別 為2.50×10-5°、2.5×10-5°、2.6×10-5°、2.6×10-5°，分別接近0，較共軛齒面減小了98%，圖中僅給出零ALTE 齒面4的承載傳動誤差。附加間隙的擬合誤差對承載傳動誤差基本無影響（4 種補(bǔ)償修形的ALTE 曲線基本重合）。補(bǔ)償修形量轉(zhuǎn)化為幾何傳動誤差如圖6（d）所示，分析如下。

①主要補(bǔ)償齒面中部時，補(bǔ)償間隙量最小，且出現(xiàn)較小的中凹現(xiàn)象，補(bǔ)償量變化與預(yù)設(shè)修形齒面的ALTE 變化規(guī)律基本相反，主要原因是預(yù)設(shè)修形齒面中部的修形量基本無變化，主要補(bǔ)償?shù)氖菄Ш衔恢贸休d變形之間的差異。②主要補(bǔ)償嚙出端時，補(bǔ)償量最大且在嚙合位置21 處，其原因是同時嚙合齒對即齒面接觸位置5 處的預(yù)設(shè)初始間隙較?。灰蛑餮a(bǔ)償位置17～21 總計5 個，必然要引起同時嚙合齒對第1～5個位置的補(bǔ)償量變化。③主要補(bǔ)償嚙入端時，同樣，補(bǔ)償量變化與預(yù)設(shè)修形齒面的ALTE 變化規(guī)律基本相反，但其較補(bǔ)償中部時的數(shù)值大，原因是不僅要補(bǔ)償承載變形差異，還要補(bǔ)償嚙合位置初始接觸間隙（預(yù)設(shè)修形量）之間的差異。可見補(bǔ)償間隙曲線形狀受嚙合位置及其預(yù)設(shè)初始接觸間隙的影響，且不同類型中齒面基本都存在一段補(bǔ)償量，其特征為變化規(guī)律與輪齒承載變形變化規(guī)律相反。④部分零ALTE齒面修形曲面見圖6（e），6（f），6（g）所示，曲面無較大內(nèi)凹，可見合理的附加齒間間隙基本能很好融合于預(yù)設(shè)修形齒面。

圖6 基于預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的斜齒輪零ALTE齒面附加齒間間隙仿真Fig.6 Simulation of additional tooth clearance for helical gear with zero ALTE based on preset geometric transmission error

文中的齒面附加修形量是根據(jù)附加幾何傳動誤差得到的，其特點是修形量沿輪齒瞬時接觸方向相等，而齒條刀具（例如大平面砂輪）與工件接觸時正是沿著這條瞬時接觸線切削，當(dāng)幾何傳動誤差無較大內(nèi)凹或呈現(xiàn)拋物線形狀，該方向上平面砂輪的曲率始終小于輪齒接觸線主曲率，且砂輪的展成運(yùn)動曲線與傳動誤差曲線的形狀一致，因此不發(fā)生干涉，可通過改變滾比在多軸數(shù)控機(jī)床上實現(xiàn)砂輪磨齒加工，具體見文獻(xiàn)［25］.

（4）基于預(yù)設(shè)拓?fù)湫扌蔚男饼X輪零ALTE 齒面仿真。預(yù)設(shè)幾何傳動誤差的修形齒面適用于航空高速薄壁結(jié)構(gòu)斜齒輪的修形。實際中拓?fù)湫扌涡饼X輪應(yīng)用更為廣泛，針對同一種預(yù)設(shè)拓?fù)湫扌锡X面進(jìn)行補(bǔ)償，其預(yù)設(shè)修形曲面見圖7（a）。零ALTE 齒面1主要補(bǔ)償中間部分的第9～16個位置，零ALTE齒面2主要綜合嚙入端及嚙出端位置進(jìn)行補(bǔ)償，計算得到的最大補(bǔ)償量分別為3、5 μm，該補(bǔ)償量可以很好地融合于預(yù)設(shè)修形齒面（即零ALTE齒面的修形量趨于光滑，且無較大內(nèi)凹）如圖7（b），7（c）所示，理論上可通過點接觸磨齒實現(xiàn)該齒面加工?；邶X間間隙的補(bǔ)償量不改變齒面接觸印痕，僅改變齒輪副的幾何傳動誤差（如圖7（d），7（e）所示）。針對3 000 N·m 工況下補(bǔ)償修形后的零ALTE 齒面1、零ALTE 齒面2、零ALTE 齒面3 的ALTE 分別為5.3×10-5°、4.7×10-5°、4.0×10-5°即接近0，較共軛齒面減小了97%。隨載荷增加，補(bǔ)償修形后ALTE先從某值減小至零，此時載荷（3 000 N·m）作用下齒間間隙并未完全消除，隨載荷的增加承載變形并非接近線性增加，而是緩慢增加，相比前面的修形方式在更寬載荷范圍降低了ALTE（如圖7（f）所示）。

圖7 基于預(yù)設(shè)拓?fù)湫扌蔚牧鉇LTE齒面修形設(shè)計Fig.7 Tooth design for helical gears with zero ALTE based on preset topology modification

需要說明的是文中LTCA 模型忽略了齒距誤差影響，主要適用于高精度齒輪副。文獻(xiàn)［25］中針對不同類型相對基節(jié)誤差下的LTCA 研究表明：相對基節(jié)誤差在不同程度上放大了嚙合位置的承載變形，相鄰齒對的相對基節(jié)誤差幅值越大，ALTE 越大。因此，當(dāng)齒對存在相對基節(jié)誤差時，本文的方法在降低ALTE 方面仍有一定的改善作用。此外，齒輪副齒數(shù)互質(zhì)使得齒對相對基節(jié)誤差隨機(jī)性很大，因此，整個傳動過程中零ALTE 很難實現(xiàn)；在本文研究基礎(chǔ)上通過智能算法總結(jié)整個傳動過程中相對基節(jié)誤差與ALTE 的關(guān)系，并進(jìn)行預(yù)估，可確定更合理的補(bǔ)償修形方式，為下一步的齒輪傳動全過程中ALTE最小奠定基礎(chǔ)。

此外，當(dāng)具體載荷工況ALTE 減小為零時，臨近具體載荷工況的ALTE 也有可觀的改善，理論上修形漸開線齒輪副不可能實現(xiàn)多個載荷下ALTE 為零。追求更寬載荷范圍下ALTE 最小，則需要進(jìn)一步研究基于拓?fù)湫扌瘟鉇LTE設(shè)計方法。

5 結(jié)語

建立零ALTE齒輪LTCA數(shù)值新方法，該方法按照預(yù)設(shè)修形齒面的LTCA分析獲得承載變形最大值，以嚙合周期的承載變形量與該最大值相等為已知條件，建立新LTCA 方程，并反求嚙合位置的附加修形量，該修形量特點是沿瞬時接觸線相等，且疊加于原預(yù)設(shè)修形齒面即為零ALTE齒面。主要結(jié)論為：

1）零ALTE 齒面的補(bǔ)償修形量大小、曲線形狀與齒面主要補(bǔ)償位置、預(yù)設(shè)修形量、載荷有關(guān)；

2）當(dāng)嚙合周期內(nèi)補(bǔ)償位置的預(yù)設(shè)修形量變化較小時，補(bǔ)償量變化與預(yù)設(shè)修形齒面的ALTE 變化規(guī)律基本相反，即承載變形越大，補(bǔ)償間隙越小；實際補(bǔ)償?shù)氖浅休d變形差異，整體補(bǔ)償量較??；

3）當(dāng)嚙合周期內(nèi)補(bǔ)償位置的預(yù)設(shè)修形量變化較大時，整體補(bǔ)償量也較大，原因是不僅要補(bǔ)償承載變形差異，還要補(bǔ)償嚙合位置初始接觸間隙（預(yù)設(shè)修形量）之間的差異；

4）合理的補(bǔ)償位置與預(yù)設(shè)修形量，可使補(bǔ)償量很好地融合于預(yù)設(shè)的修形齒面，即零ALTE 齒面的修形量趨于光滑、無較大內(nèi)凹，便于ALTE 齒面加工；

5）基于預(yù)設(shè)拓?fù)湫扌锡X面的零ALTE 修形齒面，當(dāng)ALTE 減小為零后，隨載荷的增加承載變形緩慢增加，可在更寬載荷范圍降低ALTE；

6）文中討論了基于齒間間隙補(bǔ)償方法的齒面修形設(shè)計，可應(yīng)用于各種齒輪副，而對于接觸線法向間隙的補(bǔ)償方法及綜合二者的補(bǔ)償方法需要進(jìn)一步討論。