莫海軍 趙航 成雨 黃杰 陳思宏 柯韋圣 萬(wàn)珍平?

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣東廣州 510640；2.珠海市鈞興機(jī)電有限公司，廣東珠海 519170）

隨著新能源汽車(chē)齒輪箱向著高轉(zhuǎn)速、高效率、長(zhǎng)壽命、低噪音方向發(fā)展，齒輪制造技術(shù)也由高精度制造向高性能制造方向轉(zhuǎn)變［1-2］。噴丸強(qiáng)化技術(shù)由于工藝簡(jiǎn)單、提高零件疲勞壽命效果顯著、成本低等特點(diǎn)，成為齒輪加工制造的關(guān)鍵技術(shù)之一［3］。傳統(tǒng)噴丸因采用較大的彈丸直徑，導(dǎo)致噴丸強(qiáng)化后的齒輪表面粗糙度以及齒面變形增大，無(wú)法滿足高精度、高性能齒輪的制造要求。微粒子噴丸因彈丸粒徑在0.02～0.10 mm之間，噴丸速度大于150 m/s，具有變形小以及降低零件表面粗糙度等優(yōu)點(diǎn)［4］，因此微粒子噴丸強(qiáng)化技術(shù)已成為高性能齒輪制造的重要方法之一［5］。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)微粒子噴丸強(qiáng)化機(jī)理及應(yīng)用進(jìn)行了大量研究，但主要集中研究分析齒輪噴丸強(qiáng)化效果以及噴丸工藝參數(shù)對(duì)齒輪疲勞壽命的影響，并且大多以實(shí)驗(yàn)為主。一般情況下，微粒子噴丸強(qiáng)化可以使齒輪的疲勞壽命提高30%以上［6-8］。然而，對(duì)微粒子噴丸前后齒面微觀形貌表征以及齒輪動(dòng)態(tài)接觸特性影響的研究較少。高速齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中，法向接觸剛度作為齒輪動(dòng)態(tài)接觸特性的重要部分，精確建立微粒子噴丸齒面法向接觸剛度模型，對(duì)提高齒輪動(dòng)力學(xué)性能以及進(jìn)一步分析微粒子噴丸對(duì)高性能齒輪的影響具有重要意義。

Majumdar等［9］基于分形理論首次建立了結(jié)合面接觸特性模型（M-B模型），并仿真分析了微觀形貌參數(shù)對(duì)模型的影響規(guī)律。許多學(xué)者基于M-B 模型，進(jìn)一步研究齒輪的接觸特性。王曉鵬等［10］運(yùn)用分形理論建立微點(diǎn)蝕齒輪法向接觸剛度模型，研究發(fā)生不同程度微點(diǎn)蝕的齒輪法向接觸剛度特性。劉鵬等［11］通過(guò)引入摩擦因素推導(dǎo)出適用于微線段齒輪的法向接觸剛度模型。Wu 等［12］建立了考慮摩擦因素及彈塑性變形的漸開(kāi)線圓弧齒輪法向接觸剛度模型。李小彭等［13］運(yùn)用分形理論描述齒輪輪廓并分析不同分形維數(shù)D下的齒輪嚙合剛度對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

綜上所述，許多學(xué)者針對(duì)不同工況或者不同齒形齒輪的接觸特性進(jìn)行相關(guān)研究，但大多都基于基礎(chǔ)的分形理論對(duì)齒面進(jìn)行形貌表征，構(gòu)建齒輪接觸特性模型，而未針對(duì)齒面形貌考慮微凸體相互作用、彈塑性變形等影響因素。微粒子噴丸后齒面會(huì)發(fā)生一定程度的彈塑性及塑性變形，且形成微米甚至納米級(jí)的凹坑，因此在微粒子噴丸齒輪實(shí)際嚙合過(guò)程中，微凸體間的接觸會(huì)產(chǎn)生相互作用以及彈塑性變形。

為更加精確地分析微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度特性，文中對(duì)微粒子噴丸齒面微觀形貌進(jìn)行分析，基于分形理論，結(jié)合齒輪真實(shí)嚙合過(guò)程，考慮微凸體相互作用及微凸體彈塑性變形對(duì)接觸特性的影響，構(gòu)建微粒子噴丸齒輪表面法向接觸剛度模型，定量研究噴丸前后及不同噴丸參數(shù)對(duì)齒輪法向接觸剛度的影響，進(jìn)一步改進(jìn)和完善齒輪動(dòng)力學(xué)齒輪嚙合剛度計(jì)算數(shù)學(xué)/力學(xué)模型。

1 微粒子噴丸齒面形貌分析

文中采用材料為20CrMo 的漸開(kāi)線齒輪作為微粒子噴丸對(duì)象，噴丸參數(shù)如表1所示。使用Mitutoyo粗糙度儀測(cè)其表面粗糙度，圖1為四組齒輪表面粗糙度值，由圖可知，微粒子噴丸齒輪表面粗糙度值低于未噴丸齒輪，其次，隨著噴丸壓強(qiáng)的增大，齒輪表面粗糙度值也隨之增大。

圖1 不同噴丸參數(shù)齒輪表面粗糙度Fig.1 Surface roughness of gears with different shot peening parameters

表1 噴丸參數(shù)Table 1 Shot peening parameters

采用Quanta 200 環(huán)境掃描電子顯微鏡觀察分析微粒子噴丸前后齒面的表面形貌，如圖2（a）、2（b）所示。未噴丸表面存在許多平行的磨痕，為明顯的磨削加工痕跡。微粒子噴丸表面形貌整體呈現(xiàn)為疊浪型，且表面呈現(xiàn)微米甚至納米級(jí)彈坑，表面形貌更加均勻，微凸體尺度更小，因此微粒子噴丸后表面粗糙度值小于未噴丸齒輪表面，可將微粒子噴丸齒面視為隨機(jī)分布著無(wú)數(shù)個(gè)微凸體。

圖2 微粒子噴丸前后齒面形貌圖Fig.2 Surface topography before and after fine particle shot peening

通過(guò)對(duì)微粒子噴丸齒面微凸體的分布及接觸特性分析，推導(dǎo)微粒子噴丸齒面的分形接觸參數(shù)，從而建立微粒子噴丸齒面接觸剛度模型。為能夠更加準(zhǔn)確表征實(shí)際齒面形貌特征及提取相關(guān)特征參數(shù)，文中對(duì)微粒子噴丸齒輪齒面形貌的高度數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，圖3（a）、3（b）為采用Olympus OLS 5000-SAF激光共聚焦顯微鏡對(duì)齒面形貌高度信息的采集結(jié)果。根據(jù)齒面高度信息，后文將采用功率譜密度函數(shù)法計(jì)算得出齒輪微觀分形參數(shù)。

圖3 微粒子噴丸齒輪高度信息Fig.3 Height information of fine particle shot peening gears

2 考慮微凸體相互作用的分形接觸模型

2.1 單個(gè)微凸體分形接觸模型

為了表征具有無(wú)序、隨機(jī)分布微凸體的微粒子噴丸齒面，進(jìn)而分析齒輪法向接觸剛度，文中運(yùn)用Weierstrass-Mandelbrot 分形函數(shù)［14］（W-M 函數(shù)）表征具有無(wú)序、隨機(jī)等行為的微粒子噴丸齒面，表達(dá)式如下：

式中：z為輪廓高度；G為分形粗糙度幅值；D（1

將兩粗糙接觸表面等效簡(jiǎn)化為一粗糙表面和一剛性光滑平面接觸，單個(gè)微凸體與剛性光滑平面接觸如圖4所示。其中δ為微凸體的變形量，r為微凸體真實(shí)接觸面積的半徑，r'為微凸體的截?cái)嘟佑|面積的半徑，R為微凸體的峰頂曲率半徑。

圖4 微凸體接觸示意圖Fig.4 Contact diagram of asperity

根據(jù)式（1），加載后單個(gè)微凸體的變形量δ等于余弦函數(shù)的峰谷幅度差，即當(dāng)cos?n=1 和時(shí)，單個(gè)微凸體的變形量δ如下：

式中，a'為微凸體的截?cái)嘟佑|面積，a'=πr'2。

由圖4的幾何關(guān)系可知，微凸體的峰頂曲率半徑R為

2.2 單個(gè)微凸體接觸狀態(tài)分析

為了確定微凸體的分形接觸參數(shù)，必須對(duì)單個(gè)微凸體的接觸狀態(tài)進(jìn)行研究，即微凸體的三種變形狀態(tài)：彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形［15-16］。

2.2.1 彈性變形階段

Wang等［17］基于彈性理論和Hertz接觸理論建立了考慮微凸體相互作用的結(jié)合面力學(xué)模型，推導(dǎo)出彈性變形狀態(tài)下微凸體的接觸載荷表達(dá)式：

式中，ae為微凸體的實(shí)際接觸面積，ae=πr2；E為兩接觸面材料的綜合彈性模量［17］，其表達(dá)式為

式中：E1、E2、γ1、γ2分別是兩粗糙表面的彈性模量和泊松比。

根據(jù)圓形彈性微接觸［18］，微凸體在彈性變形狀態(tài)下的實(shí)際接觸面積ae可表示為

將式（3）和式（6）代入式（4）可得到彈性變形狀態(tài)下微凸體的接觸載荷fe與截?cái)嘟佑|面積a'的函數(shù)關(guān)系式：

則單一微凸體接觸剛度的表達(dá)式為

當(dāng)微凸體剛發(fā)生屈服時(shí)，微凸體臨界接觸載荷fec表達(dá)式［17］為

式中，σy為較軟材料的屈服強(qiáng)度；aec為臨界接觸面積。

由式（7）和（9）可得剛發(fā)生屈服時(shí)的臨界截?cái)嘟佑|面積和臨界接觸彈性變形量δec。

2.2.2 彈塑性變形階段

2002 年Kogut 等［19］建立了可變形球被剛性平面壓扁后的有限元接觸模型，分析了變形量增大時(shí)彈塑性接觸界面的演化過(guò)程，該模型提供了接觸載荷、接觸面積的無(wú)量綱表達(dá)式：

式中，fep、aep分別為微凸體彈塑性狀態(tài)下的接觸載荷、實(shí)際接觸面積。

由式（4）、（10）、（13）、（14）得：

當(dāng)δ=6δec時(shí)，第一彈塑性臨界截?cái)嘟佑|面積可聯(lián)立式（12）得：

2.2.3 完全塑性變形階段

當(dāng)δ≥110δec時(shí)，微凸體發(fā)生完全塑性變形，臨界完全塑性變形量［16］表達(dá)式為：

將式（18）帶入（12），得到微凸體臨界完全塑性變形截?cái)嘟佑|面積：

完全塑性變形階段，其接觸載荷和接觸面積［16］表達(dá)式為

2.3 法向接觸剛度模型

由文獻(xiàn)［20］可知，平面接觸面積分布函數(shù)n1(a')表達(dá)式如下：

式中：ψ為區(qū)域擴(kuò)展系數(shù)；a'l為最大微凸體的截?cái)嘟佑|面積；ψ與分形維數(shù)之間的關(guān)系［21］為：

由于齒輪齒面接觸微凸體接觸個(gè)數(shù)與平面微凸體接觸不同，陳奇［22］將兩曲面接觸等效為兩圓柱體接觸，給出圓柱面接觸系數(shù)λC表達(dá)式：

式中：B為圓柱體寬度；R1、R2為對(duì)應(yīng)的圓柱體曲率半徑。則齒面接觸微凸體的面積分布函數(shù)n(a')為

兩接觸表面真實(shí)接觸面積是所有接觸微凸體接觸面積總和［23］，表達(dá)式為

式中：Are、Arep1、Arep2、Arp分別為彈性接觸面積、第一彈塑性接觸面積、第二彈塑性接觸面積和塑性接觸面積。

兩接觸表面總的接觸載荷是所有接觸微凸體接觸載荷的總和［23］，表達(dá)式為

式中：Fne、Fnep1、Fnep2、Fnp分別為彈性接觸載荷、第一彈塑性接觸載荷、第二彈塑性接觸載荷和塑性接觸載荷。

王潤(rùn)瓊等［24］研究表明微凸體在彈性變形階段表現(xiàn)出剛度特性，而在塑性變形階段微凸體并不會(huì)表現(xiàn)出剛度特性。所以?xún)山佑|表面總的法向接觸剛度是表面所有接觸微凸體發(fā)生彈性變形表現(xiàn)的接觸剛度之和，表達(dá)式為

將式（28）、式（29）進(jìn)行無(wú)量綱化，得到量綱一的法向載荷、法向接觸剛度計(jì)算模型：

式中，Aa為名義接觸面積。

2.4 分形接觸模型仿真分析

圖5（G=10-11，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及分形維數(shù)D的變化規(guī)律，可以看出，量綱一的法向接觸剛度Kn*隨著量綱一法向總載荷Fn*的增大而增大，即法向載荷增大時(shí)，圓柱接觸面法向接觸剛度也隨著增加。此外，量綱一的法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而增大。

圖5 分形維數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響Fig.5 Influence of fractal dimension on normal contact stiff?ness

圖6（D=1.6，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及分形粗糙幅值G的變化規(guī)律?？梢钥闯?，法向接觸剛度隨分形粗糙幅值的增大而減小。

圖6 分形粗糙幅值對(duì)法向接觸剛度的影響Fig.6 Influence of fractal roughness amplitude on normal contact stiffness

圖7（D=1.6，G=10-11，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及材料特性參數(shù)的變化規(guī)律，可以看出，量綱一的法向接觸剛度Kn*隨材料特性參數(shù)的增大而增大，即提高材料屈服強(qiáng)度可以提高法向接觸剛度，進(jìn)而提高接觸表面承載能力以及抵抗變形的能力。

圖7 材料特性參數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響Fig.7 Influence of material characteristic parameter on normal contact stiffness

通過(guò)對(duì)分形接觸模型仿真分析可知，分形參數(shù)D和G對(duì)法向接觸剛度的影響具有一致性，即增大分形維數(shù)和提高表面光潔度能增大表面法向接觸剛度；從而提高接觸表面抵抗變形的能力。

3 微粒子噴丸齒面法向接觸剛度

3.1 分形參數(shù)的提取

分形參數(shù)是由W-M 函數(shù)的功率譜函數(shù)與波長(zhǎng)的對(duì)數(shù)曲線確定的，根據(jù)文獻(xiàn)［25］得到微觀形態(tài)的功率譜密度函數(shù)如下：

功率譜密度函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得：

令k=2D-5，c=2(D-1)lgG-lg(2lnγ)，則式（32）可以表示為

如方程式（34）所示，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下微觀形態(tài)的功率譜密度函數(shù)是一條直線，通過(guò)斜率和縱坐標(biāo)截距求得分形參數(shù)D和G：

前文對(duì)粗糙表面的輪廓高度信息進(jìn)行測(cè)量，得到離散的輪廓高度數(shù)據(jù)z（x），如圖3（b）所示。將測(cè)量的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）并取雙對(duì)數(shù)，得到測(cè)量輪廓的對(duì)數(shù)功率譜密度函數(shù)lgS（ω），再對(duì)其進(jìn)行最小二乘法的一次多項(xiàng)式擬合，得到如圖8所示的功率譜圖。

圖8 功率譜圖Fig.8 Graph of power spectrum

3.2 微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度分析

本文采用材料為20CrMo 的漸開(kāi)線齒輪作為微粒子噴丸對(duì)象，漸開(kāi)線齒輪副相關(guān)計(jì)算參數(shù)如表2所示。

表2 漸開(kāi)線齒輪副相關(guān)計(jì)算參數(shù)Table2 Relevant calculation parameters of involute gear pair

由Bobillier 法則作圖法［26］和齒輪齒廓相關(guān)計(jì)算參數(shù)，得出齒面上嚙合點(diǎn)的曲率半徑與嚙合角的關(guān)系［27］：

式中：m為模數(shù)；α為壓力角；z1、z2為主從動(dòng)輪齒數(shù)；α1m、α2m為主從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)嚙合角；ρ1m、ρ2m為主從動(dòng)輪嚙合點(diǎn)曲率半徑。

由兩圓柱體Hertz 接觸理論推導(dǎo)出接觸半寬與嚙合角的關(guān)系［27］：

式中，F(xiàn)為載荷，P為輸入功率，n為轉(zhuǎn)速，R1m為主動(dòng)輪嚙合點(diǎn)半徑，B為齒寬，b為接觸半寬。

由前文分形參數(shù)提取方法對(duì)不同微粒子噴丸參數(shù)齒輪進(jìn)行計(jì)算，得到不同噴丸參數(shù)齒輪表面的分形參數(shù)D和G如表3所示。

表3 不同噴丸參數(shù)齒輪的分形參數(shù)Table 3 Fractal parameters of gears with different shot peening parameters

由表3可知，隨著噴丸壓強(qiáng)的增大，分形維數(shù)減小，粗糙幅值增大，其變化趨勢(shì)與齒面粗糙度變化一致，即表面粗糙度增加，表面光潔度降低，分形越粗糙。因此分形參數(shù)提取結(jié)果可信。

將各計(jì)算參數(shù)代入法向接觸剛度模型進(jìn)行仿真計(jì)算，并與Yang-Sun模型［28］和NASA報(bào)告中的半經(jīng)驗(yàn)公式［29］對(duì)比，結(jié)果如圖9所示。由圖可知，微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度大于未噴丸齒輪法向接觸剛度，即微粒子噴丸可以提高齒輪法向接觸剛度；其次，隨噴丸壓強(qiáng)的增大，齒輪法向接觸剛度呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)，因此合理的調(diào)控微粒子噴丸參數(shù)是提高齒輪接觸剛度，進(jìn)而增強(qiáng)齒輪接觸疲勞強(qiáng)度的關(guān)鍵。

圖9 不同噴丸效果的齒輪法向接觸剛度Fig.9 Normal contact stiffness of gears with different fine par?ticle shot peening effects

通過(guò)與兩種剛度模型的對(duì)比可知，本文中提出的模型與兩種對(duì)比模型的法向接觸剛度數(shù)量級(jí)均在109，體現(xiàn)出本文模型的正確性。由于Yang-Sun模型和NASA 報(bào)告中的半經(jīng)驗(yàn)公式兩種剛度模型都未考慮接觸表面微觀形貌特征，僅從齒輪宏觀幾何尺寸角度分析齒輪剛度特性，因此在具體數(shù)值上本文模型與兩種對(duì)比模型存在差異。由文中模型分析結(jié)果可知：微粒子噴丸在一定程度上影響齒輪法向接觸剛度，可見(jiàn)對(duì)于分析高性能齒輪的接觸特性，不僅需要考慮齒輪宏觀幾何尺寸，還應(yīng)對(duì)齒面微觀形貌特性進(jìn)行分析，從而更加準(zhǔn)確地分析齒輪接觸特性。

4 結(jié)論

（1）從微觀層面對(duì)比分析了微粒子噴丸前后齒輪表面形貌的變化。結(jié)果表明，微粒子噴丸使得齒面發(fā)生變形，形成隨機(jī)的微米級(jí)甚至納米級(jí)凹坑，且微粒子噴丸齒輪表面粗糙度低于未噴丸齒輪表面粗糙度。

（2）建立了考慮彈性-彈塑性-塑性變形以及微凸體相互作用的齒輪結(jié)合面法向接觸剛度模型，得到分形參數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響規(guī)律。法向接觸剛度隨分形維數(shù)的增大而增大，隨粗糙幅值的增大而減小。

（3）分析了微粒子噴丸前后及不同噴丸強(qiáng)度對(duì)齒輪法向接觸剛度的影響規(guī)律。相較于未噴丸齒輪，微粒子噴丸能提高齒輪法向接觸剛度，隨著噴丸強(qiáng)度的提升，齒輪法向接觸剛度降低。

綜上所述，微粒子噴丸工藝不僅在提升齒輪疲勞壽命及控制變形方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，而且對(duì)齒輪接觸剛度的提升也具有一定的效果。本文也為后續(xù)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及微粒子噴丸工藝等的進(jìn)一步研究做了鋪墊。