趙克剛 何坤陽 黎杰 梁志豪 貝涇浩 王玉龍

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州 510640；2.廣州華工機動車檢測技術有限公司，廣東廣州 510640；3.廣州汽車集團股份有限公司汽車工程研究院，廣東廣州 511434）

混合動力汽車的能量管理策略問題不僅關系到整車的燃油經(jīng)濟性，同時也與排放性，整車動力性等性能密切相關［1］。許多能量管理策略的研究側重于提高燃油經(jīng)濟性，在優(yōu)化過程中沒有考慮其它目標，所獲得的最優(yōu)解犧牲了與之相沖突的其它目標［2］。為了提升混合動力汽車的綜合性能，學者們在考慮燃油經(jīng)濟性的同時，也將電池損耗［3-5］、駕駛性能［6］、尾氣排放［7-8］等指標納入優(yōu)化的范圍，并提出了相關的多目標能量管理優(yōu)化問題求解方法。

多目標進化算法是多目標能量管理策略優(yōu)化問題常用的求解方法。Cheng 等［9］通過利用三種先進的多目標進化算法優(yōu)化基于規(guī)則的混合動力汽車能量管理策略，驗證了多目標進化算法運用于實際問題的可行性。秦大同等［4］基于多目標改進遺傳算法對規(guī)則參數(shù)的優(yōu)化結果，分析了規(guī)則參數(shù)對油耗和電池損耗的影響。耿文冉等［10］提出了基于粒子群優(yōu)化算法和等效燃油消耗最小策略的多目標能量管理策略，實現(xiàn)了降低整車能耗并控制電池電量。文獻［11］中以燃油消耗、SOC和排放性能作為能量管理策略優(yōu)化目標，應用遺傳算法實現(xiàn)了折中優(yōu)化。然而，多目標進化算法依賴解的適應度值來引導對解空間的搜索，難以有效利用各階段決策變量之間的關聯(lián)性信息提高搜索效率［12］；同時，多目標進化算法本身的收斂性并不總是能夠保證的，求解結果未必是最優(yōu)的［13］。

DP算法作為一種收斂性能保證的確定性算法，常用于求解能量管理策略等多階段決策問題［13］。加權法可以將多目標優(yōu)化等效轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化進行求解［14］，因此，學者們通常將加權法和動態(tài)規(guī)劃法結合起來處理多目標能量管理策略。文獻［15-17］在研究以提高燃油經(jīng)濟性和保護電池為目標的能量管理策略時，基于加權法建立了性能函數(shù)，應用動態(tài)規(guī)劃法求解了該優(yōu)化問題，并分析了不同權系數(shù)對求解結果的影響。隗寒冰等［18］將燃油消耗量和HC、NOx、CO的排放量的優(yōu)化目標歸一化處理，并用加權法將各目標處理為單目標函數(shù)，最終利用DP算法完成求解。由文獻［19］可知，通過加權法轉(zhuǎn)化所得的單目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解必是原多目標優(yōu)化問題的非支配解。多目標優(yōu)化的意義在于求取非支配解集以供設計者根據(jù)設計需要選擇［6］。然而，應用加權法選取一個權重系數(shù)只能獲得一個最優(yōu)解，因此需要遍歷一定范圍內(nèi)的權重系數(shù)才能獲得問題的非支配解集。遍歷權重系數(shù)的主要問題在于權重系數(shù)的均勻分布不一定產(chǎn)生一個均勻分布的非支配解集，且反復求解單一優(yōu)化問題將造成相當大的計算負擔。

針對現(xiàn)有的多目標能量管理策略求解算法存在的不足，在保證充分發(fā)揮動態(tài)規(guī)劃法的收斂性和全局優(yōu)化特性的前提下，本文將動態(tài)規(guī)劃法拓展到多目標優(yōu)化領域，提出了非支配排序動態(tài)規(guī)劃法。

1 非支配排序動態(tài)規(guī)劃法

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃法的求解思想，將多目標多階段決策問題依據(jù)時間或空間劃分為N個子階段問題，每個子階段問題都有現(xiàn)階段的容許狀態(tài)變量空間以及對應的容許控制變量空間。多目標多階段決策問題的數(shù)學模型可表示為

式中：f為目標函數(shù)向量；Jq，k為第k個子階段的第q個目標函數(shù)累積值；X(k)為第k階段容量為n的容許狀態(tài)空間，用xi[k]表示X(k)中的第i個狀態(tài)變量；Ui(k)為在第k階段第i個狀態(tài)下容量為m的容許控制集合，用表示X(k)中的第j個狀態(tài)變量；為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，x[k+1]為k階段作出的決策通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求得第k+1階段所處的狀態(tài)。

在每個階段通過決策，即可求得現(xiàn)階段瞬時代價函數(shù)

對于每個階段中某個狀態(tài)變量，首先求取它在不同允許控制變量下產(chǎn)生的瞬時代價函數(shù)值，然后通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得到下一階段所處狀態(tài)以及對應的累積目標函數(shù)值，相加求得現(xiàn)階段的累積目標函數(shù)值，即：

實際上，遍歷整個允許狀態(tài)空間求得的是所有狀態(tài)在不同控制策略下的累積目標函數(shù)值集合Jk(X(k))。為獲得整個問題的最優(yōu)控制策略，要保證每個階段中確定的策略是最優(yōu)的。因此，需在Jk(X(k))內(nèi)進行尋優(yōu)以獲取最優(yōu)解optJk(xi(k))及對應的控制策略。然而，對于多目標問題，每個階段求得的累積目標函數(shù)值為向量，應用傳統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃法難以完成尋優(yōu)過程。

在多目標問題中，難以同時使所有優(yōu)化目標達到最優(yōu)，一般只能獲取一組各目標折中權衡的非支配解集作為最優(yōu)解。在每個階段的尋優(yōu)過程中應用快速非支配排序算法［20］，對求得目標函數(shù)累積向量集進行非支配排序可獲得現(xiàn)階段的非支配解集，即：

依序逆向遞推至初始階段，便可得到關于整個問題的非支配解集以及對應的最優(yōu)策略，即整個問題的解。

2 多目標能量管理優(yōu)化問題的構建

本節(jié)以混聯(lián)式混合動力汽車為研究對象，將最小化燃油消耗量和電池損耗作為優(yōu)化目標，構建多目標能量管理策略優(yōu)化問題。

2.1 目標函數(shù)

根據(jù)一種基于損耗累積模型的混合動力汽車電池壽命估計方法［21］，可通過計算電池有效安時流通量來評估電池的實際消耗。因此，對于考慮燃油消耗和電池損耗的能量管理策略問題，目標函數(shù)為

式中：Be為發(fā)動機的燃油消耗量；Aheff為有效安時流通量；be為瞬時燃油消耗量；I為流經(jīng)動力電池的電流；σ表示電池在不同工作條件下電荷轉(zhuǎn)移的強度，稱為強度系數(shù)。為了計算方便，本文用安培（A）與時間秒（s）的乘積表示有效安時流通量，其單位表示為A·s。

發(fā)動機的瞬時燃油消耗量可簡化為發(fā)動機轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩靜態(tài)函數(shù)［22］，即

式中，Te，ne分別為發(fā)動機的工作轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速。

2.2 動力學約束條件

在能量管理策略的研究中主要關注車輛的經(jīng)濟性表現(xiàn)，因此只考慮車輛的縱向速度變化而忽略其他影響。根據(jù)車輛縱向動力學模型［23］，驅(qū)動輪端的需求轉(zhuǎn)矩受行駛工況的道路滾動阻力系數(shù)f和坡度角α以及行駛車速u和加速度a影響，驅(qū)動輪端需求功率P可用數(shù)學公式表示為

式中，T為驅(qū)動輪端的需求轉(zhuǎn)矩，n為驅(qū)動輪端的需求轉(zhuǎn)速。

不同構型的混合動力汽車，其動力源部件布置與耦合方式不盡相同，但從本質(zhì)上說，整車穩(wěn)定行駛所需要的功率均來自發(fā)動機和電池輸出的功率：

式中，P為需求功率，Pe為發(fā)動機輸出功率，Pb為動力電池輸出功率；ηt為傳動系機械效率。

兩個電機的輸出功率分別為Pm1、Pm2，它們的工作效率主要與工作時的輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速有關，可表示為

式中：Tm1、Tm2和nm1、nm2分別為兩個電機的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速；ηm1、ηm2分別為兩個電機的工作效率。

各動力部件的輸出功率可通過式（10）計算，

式中：Ti、ni分別為動力部件輸出的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速。

混合動力汽車的各動力部件的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩與整車需求轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩通過特定的方式耦合起來，耦合方式分為轉(zhuǎn)矩耦合、轉(zhuǎn)速耦合和功率耦合速［24］，可分別用方程式（11）、（12）、（13）表示：

式中：λ、β1、β2、γ、ψ1、ψ2均為耦合機構的特性系數(shù)。

為保證混合動力系統(tǒng)的正常使用，動力部件的轉(zhuǎn)速ni應在轉(zhuǎn)速范圍[ni_min，ni_max]內(nèi)，輸出轉(zhuǎn)矩Ti應在相應的允許范圍[Ti_min(ni)，Ti_max(ni)]內(nèi)，i=e，ml，m2 分別代表發(fā)動機、電機1、電機2；電池荷電狀態(tài)SOC 和輸出功率Pb分別不能超出[SOCmin，SOCmax]和[Pb_min，Pb_max]。

2.3 求解步驟

應用NSDP 求解多目標能量管理優(yōu)化問題的具體步驟如下。

步驟1將功率分配比（電池輸出功率與整車需求功率之比）作為控制變量μ，將電池SOC 作為狀態(tài)變量x。

步驟2設定非支配解集中解的最大個數(shù)pareto-num，將問題劃分為N個階段，各階段有m個狀態(tài)變量，每個狀態(tài)變量對應有n個控制變量；令k=N。

步驟7對于第k階段的每個xi[k]，重復步驟3-步驟6，即可獲得該階段整個非支配解集；k=k-1。

步驟8重復步驟3-步驟7，直至k=1，便可獲得整個問題的非支配解集。

3 仿真與分析

為驗證NSDP的有效性，本節(jié)設計了如下實驗。

1）算法性能對比實驗 分為4個小實驗，實驗1和實驗2 分別以功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV作為仿真對象，在NSDP 中設置不同的非支配解集個數(shù)，分析解集個數(shù)對求解結果的影響；實驗3和實驗4在前兩個實驗的基礎上應用WDP 和NSDP 求解在勻加速工況的多目標能量管理策略，對比兩種算法的求解性能；

2）WLTC工況仿真實驗 利用NSDP求解第二款方案的混合動力汽車在WLTC工況的多目標能量管理優(yōu)化問題，獲得非支配解集并進行分析。

3.1 動力系統(tǒng)概況

3.1.1 方案一

方案一為功率分流式混合動力系統(tǒng)，由發(fā)動機、兩個電機、動力電池以及行星齒輪機構等組成，其結構形式如圖1所示。整車質(zhì)量m=1 710 kg，車輪半徑r=0.317 m，動力系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

圖1 混合動力系統(tǒng)構型圖（方案一）Fig.1 Hybrid power system configuration diagram（Option 1）

表1 動力系統(tǒng)參數(shù)（方案一）Table 1 Power system parameters（Option 1）

該混合動力系統(tǒng)各動力部件的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩與整車需求轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩耦合方程為

式中，u為目標車速，im2為電機2到輪端的傳動比，iPG為行星齒輪機構的齒圈到輪端的傳動比，r為車輪半徑。

動力電池輸出功率的計算公式為

式中，sign（z）表示求取z的符號的函數(shù)。

3.1.2 方案二

方案二為串并聯(lián)式混合動力系統(tǒng)，主要包括發(fā)動機、驅(qū)動電機、離合器、ISG電機和動力電池等零部件，發(fā)動機可與ISG 電機構成輔助動力單元（APU），組成結構如圖2所示；整車質(zhì)量m=1 710 kg，車輪半徑r=0.317 m，其動力系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

圖2 混合動力系統(tǒng)構型圖（方案二）Fig.2 Hybrid power system configuration diagram（Option 2）

表2 動力系統(tǒng)參數(shù)（方案二）Table 2 Power system parameters（Option 2）

該混合動力系統(tǒng)的動力學方程可表示為

式中：PAPU為APU 的輸出功率；ηTM為驅(qū)動電機的工作效率；TTM、nTM分別為驅(qū)動電機的輸出轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)速；μ為功率分配比；ie和iTM分別為發(fā)動機和驅(qū)動電機到驅(qū)動輪端的速比；當c=0 時，表示離合器處于分離狀態(tài)，混合動力系統(tǒng)處于純電驅(qū)動或串聯(lián)驅(qū)動模式，其中串聯(lián)驅(qū)動模式包括APU直驅(qū)模式（整車需求功率完全由APU提供）、串聯(lián)放電模式（整車需求功率由APU和電池共同提供）和串聯(lián)充電模式（APU 的輸出功率一部分供給驅(qū)動電機、一部分供給電池充電）；當c=1 時，表示離合器處于接合狀態(tài)，混合動力系統(tǒng)處于并聯(lián)或發(fā)動機直驅(qū)模式；當c=2 時，表示混合動力系統(tǒng)以制動能量回收模式進行工作。

3.2 算法性能對比實驗

本次實驗的比較對象為NSDP和WDP，而后者在處理時間較長的復雜仿真工況時將面臨“維數(shù)災難”，倘若利用WDP 進行遍歷多個權重系數(shù)的仿真，計算機的存儲硬件將面臨很大的挑戰(zhàn)，且時間成本也將會是巨大的。因此，本次實驗選取一段簡單的勻加速工況（0～96.6 km/h）作為仿真工況，既能體現(xiàn)不同車速下基于兩種算法的能量管理策略對HEV的控制效果，又能兼顧現(xiàn)實的軟硬件條件。此外，每個小實驗中兩個算法的程序均維持在工況前后電池SOC不變。

3.2.1 實驗1和實驗2

為了分析最大非支配解個數(shù)對NSDP 求解結果的影響，實驗1和實驗2分別以功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV為仿真對象，將NSDP的最大非支配解個數(shù)設置為40、80、120、160和200來求解上述勻加速仿真工況下的多目標能量管理策略，求解結果如圖3和表3所示。

圖3 實驗1和實驗2的求解結果Fig.3 Solution results of experiment 1 and experiment 2

表3 實驗1和實驗2求解結果中的指標值［26-29］Table 3 Index values in the solution results of experiment 1 and experiment 2

表3 中，解集距離指標D(S1，S2)用來度量兩個解集之間的最小平均距離，S1和S2是同一個多目標優(yōu)化問題的兩個解集，用|S|表示解集S中解的個數(shù)，用vi表示解集S1中第i個解，d(vi，S2)表示vi和S2中的點的最小歐式距離，則它們之間的距離可以根據(jù)式（17）計算。

解集覆蓋率指標C(S1，S2)計算的是解集S1中被解集S2中至少一個解支配的解的數(shù)目占解集S1所有解的個數(shù)的比例，它的數(shù)學描述為

本小節(jié)計算的各個解集距離指標D(?，S2)和解集覆蓋率指標C(g，S2)中的g為各解集，S2均為最大非支配解個數(shù)為200的解集。

由圖3 看出，盡管設置的最大解集個數(shù)不同，但兩個實驗的各解集均在對應的同一個pareto 前沿附近。同時根據(jù)表3，以數(shù)量設置為200 的解集作為參考，其它解集的距離指標和覆蓋率指標的值并不大。因此，在40～200 范圍內(nèi)，最大解集個數(shù)對算法的求解結果收斂性影響較小。對于SP 指標，它可以度量解集在目標空間的分布均勻性，從兩個實驗可以看出，隨著最大解集個數(shù)的增大，解集的均勻性有所提升；然而，從實驗結果來看，解集個數(shù)從120 到200 的均勻性提升卻不大。所以，可以選擇將NSDP的最大非支配解集個數(shù)設置為120。

3.2.2 實驗3和實驗4

為了對比NSDP 和WDP 的算法性能，將NSDP的非支配解集最大解個數(shù)設置為120，WDP算法的權重系數(shù)ω也在［0，1］范圍內(nèi)均勻取120 個值，二者在同一個計算平臺進行仿真實驗3 和實驗4，仿真工況為勻加速工況，仿真對象分別為功率分流式HEV 和串并聯(lián)式HEV。將兩個實驗的兩組解集繪制到同一坐標系下，如圖4所示。計算兩種算法的各個性能評價指標值，結果如表4所示。

圖4 實驗3和實驗4求解結果Fig.4 Solution results of experiment 3 and experiment 4

表4 實驗3和實驗4求解結果中的指標值［26-29］Table 4 Index value in the solution results of experiment 3 and experiment 4

由表4可知，盡管WDP在［0，1］范圍內(nèi)均勻取了120個權重系數(shù)值，但是兩個實驗最終分別只獲得了14、46 個有效解。這是因為對于離散問題，權重系數(shù)的微小改變不足以改變決策，從而使得相差較小的權重系數(shù)最終所獲得的結果相同。

HV 指標能夠同時評價所求解集的收斂性和廣泛性，在兩個實驗中，求解結果的HV 指標相差分別為1.606 8%和0.805 6%，兩種算法的收斂性和廣泛性表現(xiàn)相近。根據(jù)解集距離指標計算結果以及由圖4 所示，NSDP 算法的解集很接近WDP 算法的解集；實驗3 中C(NSDP，WDP)和C(WDP，NSDP)分別為0.050 0和0.066 7，說明兩個算法僅有個別解支配另一算法的解；實驗4 中C(NSDP，WDP)和C(WDP，NSDP)均為0，說明兩種算法的解集互不存在支配關系。綜上所述，NSDP 能夠保證動態(tài)規(guī)劃法的收斂性和廣泛性。

在實驗3中，WDP的SP指標（40.038 4）遠大于NSDP 的SP 指標（1.713 0），表明NSDP 所獲得解集的均勻性明顯優(yōu)于WDP 所獲解集的均勻性。在實驗4中，兩種算法求解結果的SP指標相差不大，說明它們所獲得解集的均勻性表現(xiàn)接近?？梢?，利用WDP 均勻遍歷權重系數(shù)并不能保證獲得均勻的解集。在實驗4 中，WDP 和NSDP 所求得的解集非常的相近，個別解存在一定的差別，主要原因是在NSDP 求解過程中每個階段都會根據(jù)擁擠度舍棄掉一部分的非支配解。

在同一計算平臺下求解勻加速工況下的多目標能量管理策略問題，兩次實驗NSDP 求解花費時間分別為621 s和2 518.8 s，而WDP 求解花費的時間分別為66 046 s 和297 354.1 s，分別是NSDP 的106 倍和118 倍。這說明NSDP 在求解效率方面具有顯著的優(yōu)勢。

3.3 WLTC工況仿真實驗

本小節(jié)面向方案2 構型HEV，根據(jù)GB19578—2021《乘用車燃料消耗量限值》，選取WLTC 工況作為仿真工況，并利用NSDP 求解。根據(jù)3.2 節(jié)的結論，在區(qū)間［40，200］內(nèi)，最大非支配解個數(shù)并不會顯著影響算法的收斂性和均勻性，且考慮到WLTC 工況時間更長以及兼顧算法的求解效率，將NSDP最大非支配解個數(shù)也設置為120。計算平臺為64 位Win10 操作系統(tǒng)，配置8 核i7-8700K 3.70GHz的CPU，64GB物理內(nèi)存。

NSDP 最終獲得有效解個數(shù)為120 個，求解時間為54 882 s，非支配解集如圖5 所示。若采取加權的動態(tài)規(guī)劃法，由3.2 節(jié)實驗可估計所需的時間約為1 525 個小時，且難以獲得均勻的、能反映仿真對象特性的求解結果，這顯然不能令人滿意。

圖5 WLTC工況下的非支配前沿Fig.5 Non-dominated frontier under WLTC

由圖5可知，隨著燃油消耗總量的增加，有效安時流通總量在不斷減少，但是其減少的速率也在不斷降低。在到達某一個點（轉(zhuǎn)折點）后，燃油消耗總量的增加并不會造成有效安時流通總量的明顯減少。為了探究出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，選取轉(zhuǎn)折點前后各3個點的求解結果進行分析，具體求解結果如表5所示。

表5 轉(zhuǎn)折點前后各3個點的求解結果Table 5 Solution results of 3 points before and after the turning point

為了更清晰展現(xiàn)不同非支配解之間的差異，圖6是表5中各點的SOC變化曲線和工作分布點。由表5和圖6可以得出，在轉(zhuǎn)折點前，燃油消耗量的增加主要是因為采用純發(fā)動機驅(qū)動模式次數(shù)的增加，而有效安時流通總量減少的主要原因則是采用純電驅(qū)動模式的次數(shù)減少。從油耗最小點變化到有效安時流通總量最小點，在車速較高和需求轉(zhuǎn)矩較大的工況下使用并聯(lián)驅(qū)動模式的次數(shù)越來越少，取而代之的是串聯(lián)驅(qū)動（包含APU 直驅(qū)）；相對于轉(zhuǎn)折點前，轉(zhuǎn)折點后采用APU直驅(qū)模式占比的增加，這是燃油消耗量增加而不會引起電池有效安時流通總量的劇烈變化的主要原因。因為在此工作模式下，APU消耗燃油產(chǎn)生的電流不經(jīng)過動力電池而全部供給驅(qū)動電機。

圖6 SOC變化曲線和工作分布點圖Fig.6 SOC change curve and work point diagram

非支配解集轉(zhuǎn)折點求解結果相對于油耗最小點燃油消耗總量增加了5.26%，而有效安時流通總量降低了72.29%，大幅降低了動力電池的壽命損失；從轉(zhuǎn)折點到有效安時流通總量最小點變化不大，而燃油消耗總量變化明顯，電池壽命損耗的降低將犧牲較大的燃油經(jīng)濟性。因此，可以選擇轉(zhuǎn)折點優(yōu)化的最終結果。對于NSDP 的求解結果，工程人員也可以根據(jù)設計的需求選取其他解作為最終優(yōu)化結果。

4 結論

為了高效高質(zhì)量地求解混合動力汽車多目標能量管理優(yōu)化問題，本文將動態(tài)規(guī)劃法和非支配排序法兩者的求解思想有機結合，設計了NSDP 算法。通過算法性能對比實驗看出，NSDP 不僅能夠保持動態(tài)規(guī)劃法的收斂性和廣泛性，而且能穩(wěn)定地獲得均勻的非支配解集。同時，NSDP 所需的求解時間僅不到WDP的1%，在求解效率方面有顯著優(yōu)勢。

應用NSDP 完成了某款串并聯(lián)式混合動力汽車在WLTC仿真工況下的多目標能量管理優(yōu)化問題的求解，并針對求解結果進行了分析。借助于NSDP這一求解工具，可高效地獲得多目標能量管理策略優(yōu)化問題非支配解集，相關技術人員可通過非支配解集充分了解最優(yōu)策略下各個指標之間的相互關系，總結其中規(guī)律，為實際能量管理策略的設計做準備。