文/林仁果

引 言

錯(cuò)題集是指將學(xué)習(xí)過(guò)程中所做錯(cuò)的題目整理到一起形成一個(gè)冊(cè)子的一種學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不可避免地會(huì)犯一些錯(cuò)誤，做錯(cuò)一些題目，將這些錯(cuò)誤的題目及時(shí)而有效地整理出來(lái)，能在很大程度上讓學(xué)生明確哪些知識(shí)還未掌握，并進(jìn)行有針對(duì)性的學(xué)習(xí)與突破。復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，在這一系統(tǒng)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生勢(shì)必需要完成大量的練習(xí)題目。這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地整理錯(cuò)題集實(shí)質(zhì)上便起著“查漏補(bǔ)缺”的重要作用，能為學(xué)生的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明方向。以下，筆者僅結(jié)合自身的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教育實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)錯(cuò)題集的合理運(yùn)用，發(fā)表個(gè)人認(rèn)識(shí)，望能引導(dǎo)更多的初中數(shù)學(xué)教育同人及其學(xué)生充分認(rèn)識(shí)錯(cuò)題集的價(jià)值，以錯(cuò)題集切實(shí)助推初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)效率及質(zhì)量的提升與優(yōu)化。

一、初中生復(fù)習(xí)中整理錯(cuò)題集的價(jià)值

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)做大量的題目，而相當(dāng)一部分學(xué)生持有的態(tài)度便是“老師讓做我便做”，但是至于哪些題目做對(duì)了，哪些題目做錯(cuò)了，做錯(cuò)的題目是因?yàn)槭裁醋鲥e(cuò)的，應(yīng)該怎么改正等，都不在學(xué)生的考慮范圍內(nèi)。這樣一味地陷入“題?！睉?zhàn)術(shù)，縱使做的題目很多，學(xué)生仍未能獲得良好的效果。但在引入錯(cuò)題集之后，教師會(huì)督促學(xué)生將自己數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中所遇到的有錯(cuò)誤的題目及時(shí)且系統(tǒng)地進(jìn)行整理。學(xué)生不僅需要抄寫題目，還要將自己做錯(cuò)的步驟、做錯(cuò)的原因以及正確的解題步驟一一詳細(xì)而清晰地寫出來(lái)。這能推動(dòng)學(xué)生在做錯(cuò)數(shù)學(xué)題目之后加以分析與思考，讓學(xué)生“知其然更知其所以然”[1]。這樣的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是優(yōu)質(zhì)的，能讓學(xué)生明確自身未掌握的知識(shí)點(diǎn)，有助于學(xué)生及時(shí)調(diào)整復(fù)習(xí)計(jì)劃及狀態(tài)，對(duì)自己未突破的數(shù)學(xué)內(nèi)容加以復(fù)習(xí)與鞏固，最終獲得預(yù)期的復(fù)習(xí)效果。這是恰當(dāng)運(yùn)用錯(cuò)題集對(duì)初中生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)所具有的重要價(jià)值及影響，需要廣大師生廣泛關(guān)注與重視。

二、初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集包含的內(nèi)容

在初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集中，初中教師可引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面入手整理，分別是“自己做錯(cuò)的題目”“大家容易出錯(cuò)的題目”。這些做錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目的有效運(yùn)用，將切實(shí)發(fā)揮其應(yīng)有的推動(dòng)初中生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的良好作用[2]。

（一）初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集應(yīng)包含自己做錯(cuò)的題目

初中生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中會(huì)做錯(cuò)一些題目，這是再正常不過(guò)的一件事情。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生將自己做錯(cuò)的一些數(shù)學(xué)題目加以認(rèn)真篩選與整理。這是初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集上應(yīng)包含的主要內(nèi)容之一。

例如，一名學(xué)生在自己的錯(cuò)題集上整理了如下一道做錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目：

3ab3-7a3b+5a3b

=（3-7+5）ab3

=ab3

很顯然，這道數(shù)學(xué)題目做錯(cuò)了。究其原因，該學(xué)生錯(cuò)誤地將ab3、a3b 看成了相同的內(nèi)容。因此，在整理這一數(shù)學(xué)題目時(shí)，這名學(xué)生在寫出了上述錯(cuò)誤步驟之后，又在錯(cuò)題本邊上寫出了自己做錯(cuò)的原因“馬虎，沒認(rèn)真審題”，并用紅色的筆重點(diǎn)標(biāo)注出了正確的解題步驟：

3ab3-7a3b+5a3b

=（-7a3b+5a3b）+3ab3

=（-7+5）a3b+3ab3

=-2a3b+3ab3

這一數(shù)學(xué)錯(cuò)誤題目雖然并不是學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的缺漏，但是學(xué)生粗心、馬虎導(dǎo)致的，對(duì)其進(jìn)行整理與翻閱，能提醒學(xué)生在日后做題時(shí)注意避免粗心、不認(rèn)真，養(yǎng)成仔細(xì)審題、做題的良好習(xí)慣。這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)來(lái)講顯然意義重大。

特別需要指出的是，上述例題并不是學(xué)生做錯(cuò)的題目，而是學(xué)生受到慣性思維極容易找到的解決方法并不是唯一的解決方法。將這一道數(shù)學(xué)題目記錄到錯(cuò)題集上的意義在于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與記住這一嶄新的解題經(jīng)驗(yàn)，從而能在日后的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中做到多一種思路、多一種思維。

（二）初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集應(yīng)包含大家做錯(cuò)的題目

大多數(shù)學(xué)生容易做錯(cuò)的題目在很大程度上代表著學(xué)生未能有效突破與掌握的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)此，登記與整理一些大家普遍容易出錯(cuò)的問(wèn)題，學(xué)生能從共性中尋找原因，有則改之無(wú)則加勉，這也構(gòu)成了初中生數(shù)學(xué)錯(cuò)題集上的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

例如，方程2x+3y=20 的正整數(shù)解有幾組？這一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，不少學(xué)生卻非常容易犯錯(cuò)誤。班上一名學(xué)生自己雖然沒有做錯(cuò)，但是在講評(píng)試卷的過(guò)程中，卻發(fā)現(xiàn)不少人都做錯(cuò)了。為此，他特意將這一數(shù)學(xué)題目登記在了自己的錯(cuò)題集上。首先，他分析了其他同學(xué)做錯(cuò)的原因，“可能忽視了‘正整數(shù)解’這一關(guān)鍵詞，所以會(huì)選擇‘無(wú)數(shù)組’的答案”；其次，他又寫出了正確的解答思路及過(guò)程：∵2x+3y=20，∴x=10-1.5y，∵x和y都必須為正整數(shù)，∴滿足其條件限制的只有三組，分別為：x=1 時(shí)，y=6；x=4 時(shí)，y=4；x=7 時(shí)，y=2。

又如，下列說(shuō)法正確的是（ ）A.0 是最小的數(shù)B.有理數(shù)有最大的值 C.正、負(fù)整數(shù)加起來(lái)就是整數(shù)D.0 是最小的非負(fù)數(shù)。

這是一道非常簡(jiǎn)單但學(xué)生又極容易出錯(cuò)的題目，其考查的是學(xué)生對(duì)整數(shù)、有理數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的理解。該名學(xué)生將這一道數(shù)學(xué)題目寫在了自己的錯(cuò)題集上，并一一給出了自己的正確理解：0 不是最小的數(shù)，負(fù)數(shù)要小于0，且沒有最小的值；有理數(shù)沒有最大值；整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)以及0；0 既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但是最小的非負(fù)數(shù)。

如此一來(lái)，借助這些別人數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中易錯(cuò)的題目，該名學(xué)生梳理了自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路，在日后的復(fù)習(xí)及考試中也形成了“認(rèn)真分析題干中的關(guān)鍵詞”的意識(shí)，這都為他提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率及質(zhì)量，以更好的狀態(tài)應(yīng)對(duì)考試奠定了良好的基礎(chǔ)。

再如，以下一道數(shù)學(xué)題目：

已知兩個(gè)二次函數(shù)y=x2-mx+和

（1）兩個(gè)函數(shù)的圖像有一條與x軸存在A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn)，判斷是哪一個(gè)。

（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋此函數(shù)在取何值時(shí)y隨著x的增大而減小。

對(duì)于這一數(shù)學(xué)題目，易錯(cuò)點(diǎn)在于第二個(gè)問(wèn)題：將A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0）帶入原函數(shù)解析式中得出m=0 或m=2，其中，當(dāng)m=0 時(shí)，原函數(shù)y=x2-1 的圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=0，則當(dāng)x<0 時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當(dāng)m=2 時(shí)，原函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=1，則當(dāng)x<1 時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小。此題的解題過(guò)程略微復(fù)雜，因此不少學(xué)生在實(shí)際解答的時(shí)候極容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一題目包括這一類型的數(shù)學(xué)題目也便成為學(xué)生的易錯(cuò)題。

一名學(xué)生將這道錯(cuò)題整理到自己的錯(cuò)題集上，他首先寫下了正確的解題步驟。

解：

（1）關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx+，由于Δ=（-m）2-4×1×=-m2-2<0，所以函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx-，由于Δ=（-m）2-4×1×=3m2+4>0，所以此函數(shù)圖像與x軸存在兩個(gè)交點(diǎn)。

（2）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2-mx-中，可得：1+m-=0，整理得-m2+2m=0，解一元二次方程得m=0 或m=2，當(dāng)m=0 時(shí)，y=x2-1，令y=0，可得x1=-1，x2=1，則當(dāng)m=0 時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）。當(dāng)m=2 時(shí)，y=x2-2x-3，令y=0 時(shí)，可得x1=1，x2=3，則當(dāng)m=2 時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）。并且當(dāng)m=0 時(shí)，原函數(shù)y=x2-1 的圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=0，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)m=2 時(shí)，原函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=1，則當(dāng)x<1時(shí)函數(shù)值y隨x的增大而減小。

同時(shí)，為了提醒自己，該名學(xué)生還在這一正確解題思路下面寫出了需要自己?jiǎn)为?dú)注意的內(nèi)容：只要理清思路，逐步分析，題目難度并不大。

就這樣，一道大家極容易出錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目便被這名學(xué)生分析得一目了然。學(xué)生知道了正確的解法，并能進(jìn)行靈活的遷移，就達(dá)到了舉一反三的良好效果。收集與整理普遍易錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目所具有的重要意義顯而易見。

三、初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集使用注意事項(xiàng)

初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的恰當(dāng)使用具有突出的意義與價(jià)值，為引導(dǎo)學(xué)生更好地進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明了方向。但初中數(shù)學(xué)教師在教育實(shí)踐中還應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，使其科學(xué)而合理地使用錯(cuò)題集[3]。

（一）整理錯(cuò)題集，還需及時(shí)復(fù)習(xí)、鞏固

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中存在這樣一種現(xiàn)象，即很多時(shí)候，學(xué)生會(huì)在教師的鼓勵(lì)下認(rèn)真整理錯(cuò)題集，隨著時(shí)間的積累，他們錯(cuò)題集上的題目越來(lái)越多，也正是如此，不少學(xué)生很容易走入一個(gè)誤區(qū)，即只抄寫、整理，不及時(shí)翻看。這便導(dǎo)致學(xué)生所整理的錯(cuò)題內(nèi)容僅僅在當(dāng)時(shí)發(fā)揮了作用，而未能全面發(fā)揮其應(yīng)有的作用。對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好錯(cuò)題集整理，還要鼓勵(lì)學(xué)生定期或者根據(jù)自身的實(shí)際情況不時(shí)翻閱，以達(dá)到“溫故而知新”的效果。在不斷梳理錯(cuò)題集的過(guò)程中，學(xué)生才能喚醒整理時(shí)的思維與想法，在內(nèi)心進(jìn)行進(jìn)一步的升華。這樣錯(cuò)題集的價(jià)值才能得以有效發(fā)揮，切實(shí)起到助力學(xué)生開展優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的良好效果。

（二）整理錯(cuò)題集，需發(fā)揮學(xué)生的主體作用

在運(yùn)用錯(cuò)題集的過(guò)程中，部分教師習(xí)慣于要求學(xué)生怎么做、如何做、做到什么程度，即要整理哪些數(shù)學(xué)題目、要用什么樣的方式對(duì)其進(jìn)行整理等。這樣的方式符合教師心意，卻未必符合學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平與個(gè)性化成長(zhǎng)需求。初中數(shù)學(xué)教師在教育實(shí)踐中一定要有意識(shí)地摒棄上述做法，在充分發(fā)揮學(xué)生主體作用的基礎(chǔ)上，再發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用[4]。教師需要做到的是尊重學(xué)生的實(shí)際需求，將整理與復(fù)習(xí)錯(cuò)題集的權(quán)限最大限度地交還學(xué)生，這樣學(xué)生才能記錄與整理自己需要的錯(cuò)題，充分發(fā)揮錯(cuò)題集應(yīng)有的作用。

結(jié) 語(yǔ)

人非圣賢，孰能無(wú)過(guò)。初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)的過(guò)程中做錯(cuò)一些題目是再正常不過(guò)的一件事情。初中數(shù)學(xué)教師無(wú)須談“錯(cuò)題”色變，一味地批評(píng)與指責(zé)學(xué)生做錯(cuò)了題目，而應(yīng)巧妙利用這些做錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目，讓這些做錯(cuò)的數(shù)學(xué)題目成為推動(dòng)學(xué)生提升復(fù)習(xí)效率的一筆寶貴財(cái)富。在日后的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教育實(shí)踐中，筆者將進(jìn)一步對(duì)初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的整理與運(yùn)用進(jìn)行更深入的探索，以優(yōu)化與創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的形式，讓學(xué)生以錯(cuò)題集為載體，更有效、更高質(zhì)量地學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率。