莊樂儀

（廣東省廣州市第十八中學(xué)）

一、引言

廣東省廣州市天河區(qū)初中數(shù)學(xué)研訓(xùn)員劉永東老師曾提出了小專題復(fù)習(xí)的做法，即以解決一道中等難度的題目為目的，設(shè)計以退為進、以小見大、變式遷移和技能訓(xùn)練等四個環(huán)節(jié).其中，“以退為進”環(huán)節(jié)是小專題復(fù)習(xí)設(shè)計的核心，是先將原題“退”到題目中的基本概念或原理（以下統(tǒng)稱“題根”），用以觸及中等生、學(xué)困生的最近發(fā)展區(qū)，再慢慢呈現(xiàn)題目變化的過程，以一條清晰的主線串聯(lián)這些概念或原理，“進”到原題中解決問題，凸顯以小見大.題根需具有生長性、滲透性，抓住了題根即找到了知識的生長點.因此，小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計會直接影響學(xué)生解題技能的提升、知識體系的建構(gòu)和思維的激發(fā).

二、如何開展小專題復(fù)習(xí)

1.串聯(lián)知識，完善建構(gòu)

“以退為進”需將問題退到題根，再由題根按一定的思維主線過渡到原題，這個過程中需設(shè)計“了解、理解、掌握”三個層次的題目.其中，“了解”層次的習(xí)題從題根出發(fā)，以最基本的圖形（概念）為背景，設(shè)計學(xué)生都能獨立完成的題目；“理解”層次的習(xí)題是題根的初步生長，中等生能獨立完成，用以揭示題根本質(zhì)，有承上啟下的作用；“掌握”層次的習(xí)題是題根的進一步生長，中等生經(jīng)教師啟發(fā)與討論后能夠解決，它的解題方法能用于原題的解決，是最接近原題的習(xí)題.三個層次題目的設(shè)計層層遞進，揭示了知識之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生完善自身的知識體系.

案例1：用方程思想解決數(shù)軸上的雙動點問題.

問題：如圖1，已知A，B，C是數(shù)軸上三點，點O表示原點，點C表示的數(shù)為8，BC=6，AB=14.

圖1

（1）寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)為_____，點B表示的數(shù)為_____.

（2）動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，到達(dá)原點O立即掉頭，按原來的速度運動，點Q以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，點P到達(dá)點A時P，Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒.

①當(dāng)0＜t≤3時，求數(shù)軸上點P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；

②t為何值時，點O為線段PQ的中點.

此題為七年級上學(xué)期一道期末考試題.由于學(xué)生對數(shù)軸上的雙動點問題缺少前期的認(rèn)知，因此解決起來存在一定的難度.此題是一道綜合有理數(shù)、整式、一元一次方程知識的問題，非常適合用小專題的復(fù)習(xí)思想將以上知識進行串聯(lián)，建立知識體系.

熱身1：已知，數(shù)軸上一點C表示8，若數(shù)軸上有一動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向原點O勻速運動.設(shè)運動時間為t秒，則OQ的長為_______（用含t的表達(dá)式表示）.

熱身1屬于“了解”層次目標(biāo)，也是問題1的題根之一，要求學(xué)生設(shè)未知數(shù)表示變化的線段長，其中不僅滲透了函數(shù)思想，也是解類似問題的必要步驟.學(xué)生通過畫圖體會OQ的長度變化規(guī)律，以點O為臨界位置，對t的取值范圍進行分類討論，從而求得線段OQ的長不同時段的表達(dá)式.

熱身2：如圖2，點A，C，O在同一數(shù)軸上，點O在線段AC上，AO=12，CO=8.若點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動.當(dāng)點P到達(dá)點C時，P，Q兩點都停止運動.設(shè)運動時間為t秒，則：

圖2

（1）當(dāng)t為何值時，點P與點Q相遇？

（2）當(dāng)t為何值時，點O為PQ中點？

（3）當(dāng)t為何值時，點P與點Q的距離為5？

熱身2簡化了問題（原題）的運動軌跡，在雙動點的相遇問題背景下，設(shè)置三個層層遞進的小問題，引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)軸上的雙動點問題，逐步接近原題.對于第（1）小題，其中的相遇問題模型符合兩點相向運動的背景，學(xué)生不難確立等量關(guān)系，屬于“理解”層次目標(biāo)，中等生基本能在熱身1的基礎(chǔ)上獨立解決.教師由此可引導(dǎo)學(xué)生歸納出題根之二——等量關(guān)系的確立.第（2）（3）小題屬于“掌握”層次目標(biāo)，教師要引導(dǎo)學(xué)生綜合學(xué)過的知識確立等量關(guān)系解決問題.

以上設(shè)問圍繞題根設(shè)置階梯式的問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生把握題根，形成“用字母表示變量—確立等量關(guān)系—列方程求解”的思維主線，體現(xiàn)了有理數(shù)和整式是一元一次方程的基礎(chǔ)，有機地串聯(lián)了人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊前三章的主要知識點.解決問題不僅要遷移熱身1中OQ的長表達(dá)式的分類討論，還要用到熱身2中確立等量關(guān)系的方法，滲透了分類討論思想、模型思想、化歸思想等.由此可見，以退為進在小專題復(fù)習(xí)中能串聯(lián)解題方法和數(shù)學(xué)思想，完善知識體系的建構(gòu).學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到生長后，再經(jīng)過下一課時的變式遷移和技能訓(xùn)練，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也就能逐漸提高.

2.暴露本質(zhì)，重建模型

“以退為進”要退到題根，再由題根生長出各個層次目標(biāo)的熱身問題.“退”的過程中逐漸暴露出問題的本質(zhì)，“進”的過程實現(xiàn)對問題模型的重建.下面結(jié)合某次九年級下學(xué)期期末考試題（案例2）說明如何在以退為進的過程中暴露問題本質(zhì).

案例2：解三角形.

問題：如圖3，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，把一塊三角板的直角頂點放在點O處，然后繞點O旋轉(zhuǎn)，使得三角板的兩直角邊分別與AB，BC邊交于點E，F(xiàn).當(dāng)∠EOB=30°時，測得，求此時正方形的面積.

圖3

問題中，只要解△OBF求得OB的長，那么正方形ABCD的邊長和面積就可迎刃而解.此題的題根就是解含三個已知元素的三角形，“以退為進”環(huán)節(jié)就是要暴露這一問題本質(zhì).雖然九年級學(xué)生對解三角形還不熟悉，但對解直角三角形已經(jīng)比較熟練.以下熱身問題就是從這里出發(fā)，逐步重建問題模型.

熱身1：如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AB=2，∠B=30°，則AC的長為____，BC的長為_____，S△ABC為____.

圖4

此題屬于“了解”層次目標(biāo)，退到題根——解直角三角形.解三角形的基本方法是構(gòu)造并解直角三角形，故將熱身1的直角三角形一般化，賦予三種具有代表性的條件生成以下“理解”層次目標(biāo)的熱身2，啟發(fā)學(xué)生把握題根、歸納解法——構(gòu)造直角三角形并求解.

熱身2：如圖5，已知△ABC.

圖5

（1）若AB=2，∠B=30°，∠C=45°，則BC的長為____，S△ABC為____.

（2）若AB=2，∠B=30°，，則AC的長為____.

（3）若AB=5，，BC=7，則S△ABC為____.

熱身3：在△ABC中，AB=4，AC=3，∠B=30°，求BC的長.

熱身3屬于“掌握”層次目標(biāo).教師要啟發(fā)學(xué)生自己畫圖體會圖形的分類，更深層次思考問題有利于學(xué)生更好地把握解三角形的實質(zhì).解決問題也是要先暴露本質(zhì)，即抽取出模型、解三角形，再回歸原圖形重建模型、繼續(xù)求解.教師既要啟發(fā)學(xué)生如何抽取、重建模型，更要歸納、總結(jié)在什么情況下抽取模型.明白暴露本質(zhì)的意義才能突破難點，達(dá)到解三角形的應(yīng)用層次目標(biāo).在第2課時，教師可以繼續(xù)設(shè)計如下變式拓展進行技能訓(xùn)練.

變式：如圖6，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，O為邊AD的中點，連接CO，求CO的長.

圖6

經(jīng)歷了以退為進對模型的抽取與重組以后，學(xué)生能更深刻地把握問題實質(zhì)、體悟如何解題.通過溫故知新，再反復(fù)進行技能訓(xùn)練，再遇到由此題根生長出的問題時，就能自行抽取模型，暴露題根本質(zhì).

3.有效拓展，以小見大

簡化原題就要設(shè)計在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的簡單題目，以突出核心知識和數(shù)學(xué)思想的思維訓(xùn)練，即“以小見大”.由此可見，“以小見大”不僅僅是小專題教學(xué)設(shè)計的一個環(huán)節(jié)，還是一個內(nèi)涵更加抽象的理念，對其理解還需要經(jīng)過不斷的教學(xué)實踐去體驗、感知其豐富的內(nèi)涵.

方程、不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，運用轉(zhuǎn)化思想，可以化函數(shù)為方程、不等式，也可以構(gòu)建函數(shù)來解決方程、不等式問題.二次函數(shù)是初中階段函數(shù)問題的重要組成部分，也是初、高中階段函數(shù)知識銜接的紐帶.下面結(jié)合一道關(guān)于二次函數(shù)的代數(shù)問題探討怎樣突出“以小見大”的理念.教材九年級上冊中已經(jīng)歸納了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點個數(shù)問題，學(xué)生對此的理解也比較深刻，“以退為進”就退到這個最近發(fā)展區(qū).具體設(shè)計如下.

案例3：二次函數(shù)的純代數(shù)壓軸問題.

（1）以退為進.

熱身1：已知二次函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0），則該函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)為_______.

熱身2：求函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0）與圖象的交點個數(shù).

熱身3：求函數(shù)y=x2-2x-m（其中m＞0）與圖象的交點個數(shù).

（2）以小見大.

從字面上理解，以小見大是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的生長.

首先，線段是有長度、有端點的，是直線的一部分，圖形上更加簡潔，但條件卻更加豐富.線段與拋物線交點個數(shù)問題的題根在于先判斷線段所在直線與拋物線有無交點.若有，則要判斷交點是否在線段上，這就需要結(jié)合線段和拋物線的草圖來判斷；若無，則線段與拋物線無交點.案例3的設(shè)計體現(xiàn)了從簡單知識點到復(fù)雜知識面的生長.簡單即小，復(fù)雜即大.

其次，案例3經(jīng)過從含簡單參數(shù)的二次函數(shù)過渡到含復(fù)雜參數(shù)的需要分類討論的拋物線；從與坐標(biāo)軸交點，到與直線交點，再到與線段的交點個數(shù)問題的演變，體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知過程.特殊即小，一般即大.

從更深的含義來看，“以小見大”彰顯的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科延伸.蔡金法等提出并論述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涵蓋四種成分：一是數(shù)學(xué)交流；二是數(shù)學(xué)建模；三是智能計算思維；四是數(shù)學(xué)情感.首先，小專題的實施是一個數(shù)學(xué)交流的過程，“以退為進”環(huán)節(jié)階梯式的目標(biāo)導(dǎo)向，學(xué)生之間、師生之間的交流圍繞這一環(huán)節(jié)的習(xí)題展開，各層次的學(xué)生也能在相應(yīng)層次習(xí)題的交流過程中有所收獲.其次，在逐層深入、有序地交流中，教師帶領(lǐng)學(xué)生挖掘題根，進行數(shù)學(xué)建模，再將模型應(yīng)用到解決由題根生長出來的問題.再者，在數(shù)學(xué)交流中，學(xué)生能更好地建構(gòu)知識體系，達(dá)到數(shù)學(xué)思維的提升，增進交流，增進友誼，教師也能全面地了解學(xué)生的思維深度與廣度.由此可見，小專題體現(xiàn)的是大素養(yǎng)、大智慧.

三、結(jié)束語

由于學(xué)情和教學(xué)經(jīng)驗不同，不同教師對同一主題小專題的理解各有不同，設(shè)計出的小專題也不盡相同，但是這些設(shè)計始終離不開削枝強干、化繁為簡，其原理都是“退”到題根.把握了題根的本質(zhì)，就能解決以該題根生長出來的一系列問題.教師先要自己“退”到題根，再用一條脈絡(luò)串聯(lián)生長題根，設(shè)置階梯問題，逐步“進”到原題的解決.在小專題的實施過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找題根，沿著知識脈絡(luò)激發(fā)學(xué)生思維的生長.以小見大，體現(xiàn)在以退為進的過程；以退為進，成就了以小見大的高度.兩者有機結(jié)合共同構(gòu)成小專題的靈魂.