曹 寶，饒 黎，周遠方

（湖北省武漢經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)教育局教研室；湖北省武漢市六中位育中學；湖北省教育科學研究院）

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出了“增加代數(shù)推理，增強幾何直觀”的主張，體現(xiàn)了借助代數(shù)予以表達、通過幾何建立直觀的現(xiàn)代數(shù)學的基本特征.求線段最值（最大值或最小值）問題，既是初中階段“圖形與幾何”領域的教學重點，也是學生提升幾何直觀能力的難點.因此，綜合運用幾何變化，構造不同折線類型，以單元整體設計的形式開展線段最值問題的專題研究是很有必要的.本文以“一類線段最值問題”的教學為例，通過層層遞進和環(huán)環(huán)相扣的系列化問題展開教學，以期拋磚引玉，引發(fā)對該專題內(nèi)容教學的進一步深入研究.

一、教學內(nèi)容解析

本節(jié)教學內(nèi)容是在學習了人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級上冊第十三章“軸對稱”中的“課題學習 最短路徑問題”后進行的，是對應用軸對稱變化解決幾何問題的鞏固和拓展.

軸對稱是一種重要的對稱，通過對教材中兩個典型例題的學習，學生體驗了軸對稱、平移等變化的運用，可以把已知問題轉化成易于解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.整合此前學習的三角形、全等三角形的相關知識，由最短路徑問題研究中出現(xiàn)的“定點折線”引出“定長折線”；由軸對稱變化發(fā)展到平移、構造全等三角形等幾何變化；由線段最小值問題過渡到線段最大值問題，可以深化學生在幾何圖形、幾何變化和問題探究等方面的理解.

二、教學目標設置

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）學生能綜合運用軸對稱、平移、構造全等三角形等變化，解決幾何問題.

（2）學生會依托圖形進行數(shù)學思考，能利用圖形猜想可能的結論和論證思路，能運用幾何直觀進行合情推理，提升邏輯推理能力.

（3）學生經(jīng)歷數(shù)學抽象和探究的過程，體會研究幾何圖形的一般方法，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

三、學生學情分析

學習軸對稱相關知識后，學生已經(jīng)能夠利用軸對稱變化研究某些最短路徑問題，但有些問題還要借助平移變化、三角形全等等知識進行研究，不同的折線類型會得到不同類型的最值，學生在幾何圖形認識、幾何變化運用和幾何問題的轉化等方面，其學習活動仍需感性材料的支持.

四、教學策略分析

幾何直觀與邏輯推理密不可分，它常常依靠邏輯支撐，思索通過看到的圖形思考到了什么、想象到了什么.這是數(shù)學學習中非常重要而有價值的思維方式.學生運用幾何直觀把看到的與以前學到的知識結合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結論和論證思路，這個過程充分利用了合情推理，也為嚴格證明結論奠定了基礎.因此，教師教學中要整合素材、拓寬視野，集趣味性和知識性于一體，兼顧直觀形象性與抽象概括性，從而更好地完成教學目標和任務.

本節(jié)課嘗試以整體關聯(lián)性為線索，以學生的經(jīng)驗單元、活動單元為基礎，打破教材固有的結構，用整體系統(tǒng)的方法對教材中具有關聯(lián)性的“幾何變化、折線、最值”等進行分析、組合、補充，對一類線段最值問題進行統(tǒng)籌和優(yōu)化，將課堂知識進行遷移，以發(fā)展學生的思維，凸顯數(shù)學的育人作用.

五、教學過程設計

1.以舊引新，揭示問題本質

問題1：如何求兩條線段和的最小值？

探究1：如圖1，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？

圖1

回顧梳理：從回顧學生熟悉的“將軍飲馬”問題入手，提煉出問題的本質是將實際問題抽象為數(shù)學中“兩條線段和的最小值”問題（如圖2），再利用軸對稱的性質將求線段和的最小值問題轉化為“兩點之間，線段最短”的問題.

圖2

【設計意圖】通過回顧這個求線段最值的入門問題，揭示出此類最值問題的數(shù)學本質，并理解優(yōu)化、轉化等數(shù)學思想方法，起到了推動探究的作用，為一次對稱變化過渡到兩次對稱變化，以及由對稱變化引申到其他變化做鋪墊.

歸納總結：通過逐步體會并掌握數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).將實際問題抽象為數(shù)學中的求線段和的最小值問題，可以促進學生認識事物的數(shù)量、數(shù)形關系，掌握數(shù)學符號語言，提升數(shù)學建模能力.

2.引申拓展，升級求最值

問題2：如何求三段折線和的最小值？

探究2：如圖3，∠AOB=30°，M，N分別是射線OA，OB上的點，且OM=1，ON=3，若點P，Q分別是射線OB，OA上的動點，求MP+PQ+QN的最小值.

圖3

【設計意圖】探究2為“將軍飲馬”問題的升級版，將一條“河”改為兩條“河”，需作兩次軸對稱變化構造出三條線段組成的折線（如圖4），其本質依舊是兩定點間的折線最小值問題，強化學生對求“定點折線”最小值的理解，讓學生感受變化中的不變性.

圖4

歸納總結：問題雖然升級，但還是屬于“兩點之間，線段最短”的問題.教師要引導學生運用已有的數(shù)學眼光和思維抓住問題的本質，并選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題，其中，轉化思想的運用、判斷與選擇意識的建立，會促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

3.改變問題背景，引發(fā)認知沖突

問題3：如何求兩條線段和的最大值？

探究3：如圖5，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，F(xiàn)為CD的中點，E為矩形外一動點，且∠AEC=90°，則線段EF的最大值為_______.

圖5

【設計意圖】學生發(fā)現(xiàn)此題不是“將軍飲馬”的類型，從而引發(fā)認知沖突.教師在啟發(fā)學生的前提下，引導學生關注定點和定長，并引導他們發(fā)現(xiàn)題目中的∠AEC=90°，由此帶來了定長，即直角三角形斜邊上的中線，隨之引出如圖6所示的“定長折線”模型.解決探究3后，教師引導學生討論這道題與探究1和探究2兩道題中的折線類型有什么不同，引出“定點折線求最小值，定長折線求最大值”的基本認識.

圖6

歸納總結：學生在利用數(shù)學知識不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中，可以產(chǎn)生主動探究的欲望，獲得豐富的體驗及經(jīng)驗.教師引導學生體驗類比、轉化思想，可以使學生感受到數(shù)學問題解決中曲徑通幽、柳暗花明的意境.

4.拾級而上，增添新的元素

問題4：如何利用隱藏對稱構造折線求最值？

探究4：如圖7，將正方形ABCD沿EF（點F，E分別在邊AB，CD上）折疊，點D的對應點G落在邊BC上，點A的對應點為點H.若AB=4，則DG+DH的最小值為________.

圖7

【設計意圖】在學生具備基本認識后，探究4給出了四邊形經(jīng)過翻折的情境.在學生探究產(chǎn)生困惑后，教師深入淺出地分析出翻折中隱藏的對稱，可得DH=AG（如圖8）.一條隱藏的對稱實現(xiàn)了線段的等量轉換，將難題變成了學生熟悉的“將軍飲馬”問題，即兩定點間的折線段之和問題.

圖8

歸納總結：問題一步步升級，學生在不知不覺中拾級而上.教師引導他們通過厘清問題本質，反思、總結方法，深化了對化歸思想的理解，發(fā)展了合情推理能力和直覺思維，強化了數(shù)學思想與方法的滲透，彰顯了數(shù)學的育人作用.

5.乘勝追擊，方法升維升級

問題5：如何利用平移線段構造折線求最值？

探究5：如圖9，正方形ABCD的邊長為4，O為邊AB的中點，正方形ABCD內(nèi)有一點P，OP=2，E為OP的中點，連接BE，PD，則BE+PD的最小值為____.

圖9

【設計意圖】探究5延續(xù)了以上的類似背景，在正方形中求被PE隔開的兩條線段之和的最小值.為了能培養(yǎng)學生充分的空間想象能力，教師給學生提供了充足的思考時間.在學生嘗試對稱變化后仍困惑不解之時，教師引領他們另辟蹊徑、改變方法.學生發(fā)現(xiàn)只需要將BE沿著定長線段EP進行平移（如圖10），就可以將被隔開的兩條線段BE和PD變成相鄰的兩條線段，加上定長線段BM，經(jīng)過平移變化，兩段之和轉化為三段之和，問題的本質不變，依舊是兩定點間的折線段之和最小值問題.

圖10

歸納總結：教師先引導學生產(chǎn)生認知沖突，找到方法后再從“形異質同”的題目中歸納出基本模式，體驗“多解歸一”的策略，既有利于培養(yǎng)學生的整體觀念，也能促進學生建立自己的類型題庫，在今后遇到同類問題時能快速轉化.

6.艱難登頂，一覽眾山小

問題6：如何利用全等三角形構造折線求最值？

探究6：如圖11，∠EAF=90°，B，C分別是射線AE，AF上的兩個動點，O是線段BC的中點，線段AO的長始終為1，點M在AB的延長線上，且BM=AC，作∠AMN=45°，交AF于點N，連接ON，則ON的最大值為_______.

圖11

【設計意圖】學生嘗試解決探究6時，發(fā)現(xiàn)運用對稱和平移都不能解決問題，再次引起學生的困惑，激起他們的探究欲.如圖12，通過師生交流，引導學生關注重要的條件BM=AC，可得AB=CN，從而構造△ABO≌△NCP，轉移定長線段AO至PN，出現(xiàn)定長折線O-P-N，從而求出ON的最大值.

圖12

歸納總結：在此過程中，學生運用數(shù)學思想和方法，逐漸形成發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的策略，體會到數(shù)學變化的“威力”，體驗到成功的喜悅，深化了對學科價值的理解，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng).

六、教學反思

1.強化幾何直觀

良好的幾何直觀思維有助于理解問題本質，這是數(shù)學學習需要具備的重要能力之一.課堂上，教師要帶領學生觀察、審視幾何圖形，圍繞有價值的問題進行“長時間的思考”，回顧關鍵條件，引導學生感受解題方向或突破口的獲得，理解變與不變，使習題成為學生的“學材”.同時，教師要從解法研究走向教學研究，在實踐中不斷體會數(shù)學學科的育人作用，進一步關注抽象能力、推理能力、幾何直觀、模型觀念等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.發(fā)揮育人作用

本節(jié)課中，通過設計階梯題目，讓學生經(jīng)歷了對稱、平移、全等變化，讓最值問題顯露出本質——定點折線求線段最小值，定長折線求線段最大值.其中滲透了模型思想、構造思想、整體思想；融合了合情推理、歸納推理、演繹推理.教師通過一個個有挑戰(zhàn)性問題的解決，引導學生打開思路、悟出本質，展現(xiàn)出相應的思考方式和策略，有利于培養(yǎng)學生主動探究、解決問題的意志品質.

3.抓最近發(fā)展區(qū)

為了凸顯數(shù)學育人的作用，教師要找準學生的最近發(fā)展區(qū)，抓住學生的困惑，為學生提供有適當難度的內(nèi)容，激發(fā)學生的挑戰(zhàn)動機，適時點撥，引導學生拾級而上，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段，然后在此基礎上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展.

4.培養(yǎng)整體觀念

整體性教學的課堂教學模式旨在讓學生理解并掌握如何系統(tǒng)地分析問題，以全局的方式去掌握基礎知識和基本技能.在數(shù)學學習中，知識的結構是非常重要的，這種結構可以幫助學生掌握知識的本質，有助于學生加快學習上的遷移.本節(jié)課中，教師嘗試設置具有相似度的探究題組成問題群，引導學生發(fā)現(xiàn)解題方法上的共性，即均可采用不同方法構造“折線”，化為基本模型.這種結構性的設計，達到了“一線串珠”的效果，讓學生體驗到“一氣呵成”的愉悅.