張宗余

（浙江省教育廳教研室）

一、問題的提出

在2021年12月舉辦的第十二屆全國初中青年數(shù)學教師課例展示活動（以下簡稱“展示活動”）中，筆者作為學術(shù)委員參與其中，負責主持及課例點評工作，其中的指定課題“代數(shù)推理”的四節(jié)展示課引起了與會教師的廣泛關(guān)注.2022年4月頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》），在“代數(shù)式”部分增加“⑨了解代數(shù)推理”，并給出了三個教學案例.推理作為不可或缺的思想方法，滲透在數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展過程中.推理常見的形式有演繹推理、歸納、類比、統(tǒng)計、推斷等.演繹推理是從一般到特殊的推理，歸納是從特殊到一般的推理，類比是從特殊的具體到另一個具有某種類似特殊的具體.

為什么“代數(shù)加強推理”會引發(fā)關(guān)注呢？難道初中代數(shù)教學中沒有推理的存在？筆者認為有以下三個方面的原因：一是一線教師普遍認為幾何是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的絕佳素材，還未充分意識到代數(shù)和概率統(tǒng)計對培養(yǎng)學生邏輯推理能力的作用，研究者甚少；二是部分學者在不同國家學生推理能力發(fā)展的比較研究中呼吁“中國應加強推理能力的培養(yǎng)，不僅要重視幾何推理，還要培養(yǎng)學生的代數(shù)推理和概率統(tǒng)計推理的能力”；三是部分高中教師反映很多初中生代數(shù)領(lǐng)域的推理能力難以應對高中階段代數(shù)學習的要求，也有教師認為八年級學生數(shù)學成績兩極分化的很大原因是初中階段的代數(shù)教學不重視推理造成的.因此，了解初中階段代數(shù)推理教學的現(xiàn)狀，分析、梳理代數(shù)領(lǐng)域?qū)W生推理能力培養(yǎng)的著力點，改進與指導一線教師在代數(shù)領(lǐng)域加強數(shù)學推理的教學有著現(xiàn)實意義.

二、“代數(shù)推理”的同課異構(gòu)

從一節(jié)課的教學來凸顯代數(shù)推理，顯然有些牽強，畢竟推理能力的培養(yǎng)不可能通過一節(jié)課來達成.但是通過課堂觀察，研究一線教師對代數(shù)推理的理解，還是有一定價值的.現(xiàn)結(jié)合四位展示教師提供的“代數(shù)推理”展示課的錄像和教案，從下面四個教學設(shè)計環(huán)節(jié)進行比較、分析.

1.教學內(nèi)容的定位

從文本上看，四位教師的教學設(shè)計對《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的要求都有所體現(xiàn)，但對代數(shù)推理的內(nèi)容定位與理解還存在差異.教師A認為“與數(shù)學推理能力一樣，代數(shù)推理能力主要包括合情推理與演繹推理兩種形式”，這顯然混淆了“能力”和“形式”兩個概念；教師B認為“代數(shù)推理側(cè)重數(shù)與代數(shù)式或關(guān)系（方程、不等式、函數(shù)等）的運算、變形”，忽視了在數(shù)學概念、公式等產(chǎn)生過程中推理的作用；教師C認為“代數(shù)推理能力作為學生推理能力在代數(shù)知識背景下的具體體現(xiàn)”，這體現(xiàn)了教師對代數(shù)推理的內(nèi)涵理解不夠；教師D認為“代數(shù)推理就是通過數(shù)學證明、等式變換等方式將復雜的問題簡單化”，這一觀點過于強調(diào)了演繹推理的作用.

2.教學目標的確定

教學目標的確定以課程標準的規(guī)定、單元章節(jié)的要求、課時教學的任務及教學對象的實際作為依據(jù)，是教學設(shè)計的關(guān)鍵，體現(xiàn)著教學的方向與目的.限于文章篇幅，截取四位展示教師的部分教學目標，具體如下.

教師A將教學目標設(shè)置為：對給出的特例進行猜想，并對猜想的結(jié)論進行表征，能對歸納得到的一般性結(jié)論進行檢驗，養(yǎng)成利用數(shù)學符號論證問題的習慣.

教師B將教學目標設(shè)置為：能理解并熟練運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會用符號進行運算和推理，從而得到一般性的結(jié)論；會將數(shù)學和生活中的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)推理，體會代數(shù)推理應用的廣泛性.

教師C將教學目標設(shè)置為：進一步理解用字母表示數(shù)，會用符號進行運算和推理，掌握代數(shù)推理的過程，初步學會應用代數(shù)推理解決實際生活中的數(shù)學問題.

教師D將教學目標設(shè)置為：了解代數(shù)推理的概念，學會用代數(shù)推理一些數(shù)與式的基本結(jié)論，發(fā)展符號意識.

從課堂教學目標的設(shè)置上看，四位展示教師對教學目標的研究和確定還不到位.教學目標的制訂還以“三維目標”“知識技能，數(shù)學思考，問題解決，情感態(tài)度”等方式呈現(xiàn)，行為動詞的使用和維度條目設(shè)計上存在不合理.因此，四位教師對“代數(shù)推理”一課的教學目標的設(shè)置上還有待改進.

3.教學重、難點的確定

教學重點應以教學目標為根本依據(jù)，根據(jù)教學內(nèi)容的地位和作用而確定.教學難點往往視學生的學習情況而定，與學生已有的基礎(chǔ)知識、原有的經(jīng)驗及思維方式有關(guān).我們可以從表1中了解四位展示教師對教學重、難點設(shè)置的異同.

表1 四位展示教師對教學重、難點設(shè)置情況

從教學重、難點的確定上看，四位教師存在較大的差異.這里既有對教學內(nèi)容理解得不到位，也有對學生學情實際關(guān)注不深的原因.

4.教學流程設(shè)計

教學流程的設(shè)計既要尊重學科的內(nèi)在邏輯，也要尊重學生的認知邏輯，體現(xiàn)教師教學理念在課堂中的落實.下面簡單展現(xiàn)四位教師課堂教學設(shè)計的流程.

教師A設(shè)計了如下6個問題引導教學.

（1）觀察算式“3+5=8”：從數(shù)的屬性我們能得到哪些猜想？

（2）嘗試證明：任意兩個奇數(shù)的和為偶數(shù)嗎？

（3）進一步猜想：將任意兩個奇數(shù)的“和”變成“差”，結(jié)果會發(fā)生改變嗎？將“和”變成“積”呢？

（4）再進一步猜想：將任意兩個奇數(shù)變成任意三個奇數(shù)，結(jié)果會改變嗎？n個奇數(shù)呢？

（5）再換一個角度猜想：奇數(shù)變成偶數(shù)呢？結(jié)果會發(fā)生改變嗎？

（6）數(shù)學文化：介紹數(shù)學家對哥德巴赫猜想的研究過程，解釋“陳氏定理1+2”的由來.

教師B從一個簡單的游戲引入.

比一比，看誰算得快：152= ____，252= ____，352= ___，…，852= ___.

接下來，教師B設(shè)計了如下三個探究問題.

探究1：探究兩位數(shù)-a5平方的規(guī)律；

探究2：探究任意一個三位數(shù)能被3整除的規(guī)律；

探究3：用代數(shù)推理解決生活中的問題.

教師C從如下“讀心術(shù)”互動游戲?qū)?

（1）任意寫一個兩位數(shù)；（2）交換該數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字，又得到一個數(shù)；（3）求原數(shù)與新數(shù)之和.根據(jù)結(jié)構(gòu)，老師能很快猜出你們心里想的數(shù).

然后，教師C設(shè)計了如下3個探究問題.

探究1：能被3整除的數(shù)有什么特征？

探究2：研究個位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律；

探究3：計算11至19之間任意兩個自然數(shù)相乘的積.

教師D從如下讀心魔術(shù)游戲?qū)?

游戲規(guī)則：先想一個數(shù)字，寫好后放在信封內(nèi)；然后請同學任意選取一個數(shù)字均相同的三位數(shù)；請大家計算出這個三位數(shù)除以這個三位數(shù)各個數(shù)位數(shù)字之和的商，老師來猜數(shù)字.

接下來再拓展應用到一個五位整數(shù)的讀心魔術(shù).

從教學流程來看，四位展示教師都從學生熟悉的背景出發(fā)，引導學生經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程.

三、“代數(shù)推理”內(nèi)涵的探討

代數(shù)推理是基于代數(shù)的邏輯推理.從這四節(jié)展示課可以看出，四位教師對代數(shù)推理的理解不夠深入.因此，有必要研討代數(shù)推理的內(nèi)涵.

1.代數(shù)與符號

代數(shù)是怎樣的一門學科？一般認為，學生從初中開始學習代數(shù)，從情境中抽取確定的關(guān)系，用符號表示這些關(guān)系，并按代數(shù)法則進行運算處理，中學代數(shù)中的很多問題從算術(shù)方面發(fā)展而來，但是隨著內(nèi)容的深入，它形成了自己獨有的特點.雖然中學代數(shù)不可能成為一個純形式的系統(tǒng)，但也的確引入了不少抽象的對象和法則.從代數(shù)學發(fā)展的角度來看，大致經(jīng)歷了三個階段：第一階段是公元250年以前的詞語階段，即用普通的詞語來表達和解決特定的問題；第二階段是公元250年到16世紀的簡略階段，從數(shù)學家丟番圖開始，用相應詞語的縮寫字母表示未知量；第三階段是從16世紀末開始的符號階段，數(shù)學家韋達開始采用任意字母表示已知量，在完全利用符號的條件下，代數(shù)進而變成一種抽象的形式工具，能提供數(shù)量關(guān)系的普遍性的法則.以符號為元素，按特定方法形成合理的符號串表達式，常常嵌入在自然語言形成的語句中.近代、現(xiàn)代數(shù)學的迅速發(fā)展，簡潔的符號使用功不可沒，這一點在四位展示教師的教學目標和課堂教學設(shè)計中都有明確的體現(xiàn).

2.推理與思維

為什么說推理是數(shù)學的基本思維方式，這與思維的雙重性有關(guān).一般認為，形象思維是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維，通過歸納和類比來實現(xiàn)，正如波利亞的一句名言“讓我們教猜想吧”.還有一種思維是進行論證推理的邏輯思維，是“抓到真理”后進行完善和“補行證明”的思維，能通過演繹推理實現(xiàn)，即從一般性的前提出發(fā)，通過推導，即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程.演繹推理的最典型、最重要的應用，通常存在于邏輯和數(shù)學證明中.演繹推理一般有三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等形式.古希臘數(shù)學家歐幾里得的巨大歷史功勛不僅在于建立了一種幾何學，而且在于首創(chuàng)了一種科研方法.歐幾里得是第一個將亞里士多德用三段論形式表述的演繹法用于構(gòu)建實際知識體系的人，歐幾里得的幾何學正是一門嚴密的演繹體系.

3.內(nèi)容與方式

初中階段的“數(shù)與代數(shù)”部分包含“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個主題的內(nèi)容.在“數(shù)與式”的教學中，可以在邏輯論證的過程中使學生形成推理能力.例如，設(shè)------abcd是一個四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個四位數(shù)可以被3整除.在論證過程中，能進一步提升學生的符號意識，養(yǎng)成利用數(shù)學符號論證問題的習慣.又如，研究兩位數(shù)-a5平方的規(guī)律時，在歸納的過程中引導學生發(fā)現(xiàn)，依次計算或嘗試是合理的，有利于發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的方法，從而讓學生養(yǎng)成有條理做事的習慣.

在“方程與不等式”的教學中，要引導學生積累用數(shù)學符號進行一般推理的經(jīng)驗；了解一元二次方程一般表達式ax2+bx+c=0(a≠0)的關(guān)鍵是用字母表示方程的系數(shù)，可以寫出方程根的一般表達式；知道這樣的表達是算術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的“分水嶺”.

在“函數(shù)”的教學中，讓學生對于給定圖象能夠想象出圖象所表示的函數(shù)關(guān)系，不僅能從條件推演結(jié)論，也能從結(jié)論想象條件.在這樣的過程中，加深學生對函數(shù)的理解，發(fā)展學生的幾何直觀，培養(yǎng)學生數(shù)學學習的興趣.

四、素養(yǎng)導向下的“代數(shù)推理”

《標準》中提出了數(shù)學核心素養(yǎng)，提出要“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”.數(shù)學思維主要表現(xiàn)為運算能力和推理能力.推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.在代數(shù)領(lǐng)域的教學中，教師要不斷引導學生理解推理能力的內(nèi)涵，掌握推理的基本形式和規(guī)則，探索并表述論證過程.

1.從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡

《標準》將原小學階段學習的“負數(shù)”“方程”等概念遷移至初中階段.我們知道，學生學習負數(shù)是比較困難的，負數(shù)的引入是具體數(shù)學向形式數(shù)學邁進的第一步.依據(jù)學生在不同年齡階段的表現(xiàn)，小學階段強調(diào)的是發(fā)展“推理意識”，初中階段則是發(fā)展“推理能力”.因此，需要加強學段銜接，有效促進學生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡.算術(shù)的基本對象是數(shù)，而代數(shù)中出現(xiàn)了更具廣泛意義的符號.算術(shù)思維的核心是獲得一個答案，以及確定獲取這個答案與驗證這個答案是否正確的方法.代數(shù)思維則是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來描述，它的目的是發(fā)現(xiàn)關(guān)系或結(jié)構(gòu)，并將它們聯(lián)系起來.因此，學生在從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的過程中，思維的層次要經(jīng)歷從個別到一般、從具體到抽象的飛躍.一方面，教師要培養(yǎng)“代數(shù)的眼睛和耳朵”，發(fā)現(xiàn)算術(shù)中潛在的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這樣才能有效發(fā)展學生的結(jié)構(gòu)意識；另一方面，教師在教學中應設(shè)計恰當?shù)膯栴}情境，如通過“雞兔同籠”這樣的問題，讓學生看到代數(shù)方法和算術(shù)方法的相似與差異，從而逐漸意識到代數(shù)方法的優(yōu)越性.

2.不斷明晰代數(shù)推理能力發(fā)展的路徑

參考文獻［4］中梳理了代數(shù)推理的著力點，如基于現(xiàn)實抽象代數(shù)概念，在代數(shù)概念的基礎(chǔ)上建立該概念相關(guān)的運算法則，基于運算規(guī)律探析運算規(guī)律或者運算公式，利用有關(guān)法則、規(guī)律或公式進行運算進而解決問題，并指出了代數(shù)推理能力教學中的現(xiàn)狀.例如，演繹推理過程簡略，師生難以體會；合情推理素材豐富，但明確性不夠；合情推理與演繹推理的融合不夠；未將推理能力發(fā)展作為明確的目標等問題.造成這些現(xiàn)象有代數(shù)學科的內(nèi)容、教材設(shè)計或教學實施等原因，因此一線教師要審視這些薄弱環(huán)節(jié)，思考教學改進的策略.例如，對于演繹推理過程過于簡略的問題，可以讓推理的過程“看得見”.新學一個運算法則或運算規(guī)律，利用它們進行運算時，要求學生說明道理，即每個等號一行，在每一行算式后面標注理由，待學生熟悉運算法則或運算規(guī)律之后，不再做這一要求，從而讓學生充分感受到代數(shù)推理的嚴謹性，養(yǎng)成言之有據(jù)的習慣.又如，加強合情推理和演繹推理的融合，實現(xiàn)從合情推理到演繹推理的完整過程.在學生學力許可的情況下，應盡力補全合情推理之后的演繹推理過程，讓學生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的閉環(huán)，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣.即使學力不允許進行嚴格證明，也應注意通過舉例等方式對合情推理的結(jié)論予以進一步解釋，通過其他知識的適度類比等方式加深學生的理解.

3.促進信息技術(shù)與代數(shù)推理教學的整合

《標準》強調(diào)要合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，提供豐富的學習資源，設(shè)計生動的教學活動，促進數(shù)學教學方式、方法的變革.通過現(xiàn)代信息技術(shù)，數(shù)與代數(shù)內(nèi)容中的一些與數(shù)據(jù)處理有關(guān)的繁難運算，都能通過計算器進行，一些過去只能通過思維、表象和想象體會的數(shù)學內(nèi)容，可以得到直觀的表示和處理.實踐表明，圖形計算器有利于加深學生對函數(shù)知識的理解，挖掘函數(shù)知識中蘊含的重要思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學的本質(zhì).同時，有利于解決函數(shù)模型中逐步培養(yǎng)學生科學研究的態(tài)度和意識，感悟數(shù)學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣.

4.加強代數(shù)推理的任務驅(qū)動

推理不僅是學習的手段、工具，更是學生發(fā)展的目標.在代數(shù)學習過程中，學生在運用推理的過程中順帶發(fā)展了推理能力，但仍需要進行專門的推理訓練，通過更為豐富的推理活動發(fā)展推理能力，設(shè)計更有針對性的推理任務，確保推理目標的達成.例如，教師可以設(shè)計一個具體的活動，要求學生在活動中經(jīng)歷歸納、猜想與證明的過程，切實感受推理的全過程.又如，2021年中考數(shù)學浙江嘉興卷第18題呈現(xiàn)了解方程的過程，要求學生判斷這樣的推理過程是否正確，并加以完善、改進，并在這個過程中發(fā)展學生的代數(shù)推理能力.

能力的發(fā)展絕不等同于知識與技能的獲得.能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點和規(guī)律，需要學生自己“悟”出其中的道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在數(shù)學活動中才能得以進行.因而，教師設(shè)計的教學活動必須能給學生提供探索、交流的空間，組織、引導學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，并把推理能力的培養(yǎng)有機地融合在這樣的“過程”之中.