尹國益

（江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校）

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）整體性特點(diǎn)鮮明，注重知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性、延續(xù)性.在日常教學(xué)中，教師往往注重章節(jié)性的課時(shí)教學(xué)，講授孤立的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生無法感悟知識(shí)間的結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性，掌握的知識(shí)是零散的，無法有效建構(gòu)完整的知識(shí)體系，不利于深層次的學(xué)習(xí).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，教材的整體設(shè)計(jì)要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序.因此，教師在日常教學(xué)中要挖掘教材、整合教材，讓學(xué)生能感受到不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的.

一、教學(xué)分析

1.教材分析

“圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)課程中比較重要的內(nèi)容，目的是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，使得學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖形來分析問題，提高他們對(duì)圖形的把握能力，進(jìn)一步提升推理能力.教材七年級(jí)上冊(cè)第六章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”，是初中“圖形與幾何”內(nèi)容的起始章節(jié)，其基礎(chǔ)知識(shí)將會(huì)影響到后續(xù)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí).

線段和角作為幾何圖形的基本元素，研究幾何圖形的問題最終要轉(zhuǎn)化為對(duì)這兩個(gè)基本元素的研究，故線段、角的教學(xué)是幾何教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和生長點(diǎn).線段和角是第六章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”的起始課，在編排教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教材雖然將其分成了2個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，但在教學(xué)方式及教學(xué)目標(biāo)上兩者具有一致性，都強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生有條理地思考和幾何語言表達(dá)的能力.

2.學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了線段和角，但并沒有對(duì)其進(jìn)行定量、定性的研究.在初中階段，按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，學(xué)生要用數(shù)學(xué)語言來對(duì)圖形進(jìn)行描述，還要能夠借助圖形來分析、解決問題.因此，教師在教學(xué)過程中必須要重視學(xué)生書寫的規(guī)范性和論證的條理性.通過前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握線段、角簡單圖形的處理與運(yùn)用，但遇到結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的圖形時(shí)，學(xué)生很難利用圖形及題干條件找到解決問題的切入點(diǎn)，無法抓住圖形的基本結(jié)構(gòu)尋求解題的關(guān)鍵點(diǎn).學(xué)生也常孤立地看待問題，不能由線段的問題聯(lián)想到角的類似問題，不會(huì)從題目中提煉出解題的思路與方法，也就無法達(dá)到觸類旁通的效果.針對(duì)上述問題，筆者對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合，從線段、角的定義出發(fā)，從本質(zhì)上挖掘兩者之間的一致性，再從研究的內(nèi)容和思想方法上挖掘線段和角知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，為學(xué)生后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)提供范式.

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）理解線段、角的關(guān)聯(lián)性，掌握兩者的本質(zhì)聯(lián)系，熟練地運(yùn)用圖形解決幾何問題；

（2）通過具體問題培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、作圖的能力，拓展學(xué)生的邏輯思維，進(jìn)一步提高學(xué)生的幾何水平.

二、教學(xué)過程

1.直觀感受，建立關(guān)聯(lián)性

師：由如圖1所示的幾何圖形你能想到哪些知識(shí)點(diǎn)？

圖1

師生活動(dòng)：通過這兩個(gè)基本的幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生回顧線段和角的相關(guān)知識(shí).知識(shí)層面上，主要研究圖形的基本概念、表示方法、比較大小、數(shù)量關(guān)系（和與差）、平分，發(fā)現(xiàn)研究的內(nèi)容具有一致性，初步建立兩者之間的關(guān)聯(lián).通過對(duì)比、交流、討論，完善表1.

表1

【評(píng)析】通過對(duì)相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)與回顧，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)從知識(shí)內(nèi)容上，線段和角主要的研究方向具有一致性，可以進(jìn)行一定的類比，從而初步建立兩者之間的關(guān)聯(lián)性.這樣既幫助學(xué)生建構(gòu)了有關(guān)線段和角的完整的知識(shí)體系，又有利于學(xué)生后期關(guān)于線段、角的對(duì)稱性的學(xué)習(xí).

2.問題指引，揭示關(guān)聯(lián)性

師：為什么線段和角所研究的內(nèi)容具有一致性？

學(xué)生沉默不語.

師：既然線段和角在很多方面都類似，那么主要是哪一方面存在共性，才會(huì)引起其他方面的一致性？

學(xué)生開始大膽猜測.

生1：我認(rèn)為主要是線段和角在表示方法上具有共性，只有將幾何圖形表示出來才可以進(jìn)行比較大小，進(jìn)行和與差的運(yùn)算等.

師：很好！將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言后，可以對(duì)其進(jìn)行比較大小及和與差等運(yùn)算.那么它們的本質(zhì)是什么呢？為什么線段和角在表示方法上類似呢？

生2：因?yàn)榫€段有兩個(gè)端點(diǎn)，要通過兩個(gè)端點(diǎn)來表示一條線段，角有兩條邊（有公共端點(diǎn)的兩條射線），要通過兩條射線來表示角.這都與它們的組成元素有關(guān).

教師總結(jié)：研究兩者之間的關(guān)聯(lián)要從本質(zhì)出發(fā)，要從基本的概念著手.線段的概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分；角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.那么，我們發(fā)現(xiàn)線段主要受到端點(diǎn)的約束，角主要受到兩條射線的約束.我們把線段的兩個(gè)端點(diǎn)稱為線段的“邊界元素”，把角的兩條邊稱為角的“邊界元素”.那么你能將它們之間的關(guān)聯(lián)給刻畫出來嗎？

生3：表示方法：線段和角的表示要借助兩個(gè)邊界元素來表示；比較大小：疊合法是指將其中一個(gè)邊界元素重合，看另一個(gè)邊界元素（放在同一側(cè)）的位置進(jìn)行比較；和與差：主要是通過觀察邊界元素的位置，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系；平分：新的元素在原圖形的中間位置.

師：看來只要找到線段和角的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，那么線段和角的相關(guān)問題的處理方法也就一致了.

【評(píng)析】學(xué)生從內(nèi)容上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)線段和角具有關(guān)聯(lián)性，但不一定能明白為什么會(huì)有關(guān)聯(lián)性.如果不進(jìn)行深層次探究，學(xué)生還是不能真正掌握其本質(zhì).通過問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是由線段、角的“邊界元素”具有一致性引起的，這也給學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)指引了方向.

3.思路拓展，提升關(guān)聯(lián)性

思考：已知線段AB=8 cm，BC=3 cm，求線段AC的長.

生4：AC=AB-BC=5 cm.

師：大家還有不同的想法嗎？

生5：由于不知道點(diǎn)C的位置，所以不能求出線段AC的長.

追問1：點(diǎn)C需要滿足什么條件？它的位置有多少種情況？

生6：滿足BC=3 cm，它在以點(diǎn)B為圓心、3 cm長為半徑的圓上，位置有無數(shù)種情況.

追問2：那么添加一個(gè)怎樣的條件，使得剛才生4的解法是正確的？

生7：添加“點(diǎn)C在線段AB上”.

追問3：若點(diǎn)C在直線AB上，又會(huì)出現(xiàn)什么情況？

生8：會(huì)有兩種情況.情況1：如圖2，點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)；情況2：如圖3，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè).

圖2

圖3

追問4：那么角有類似的情況嗎？你能舉個(gè)例子嗎？

生8：角也存在類似情況.例如，已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù).

師：請(qǐng)大家獨(dú)立完成這道題.

【評(píng)析】幾何教學(xué)，一方面，要培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，使學(xué)生能夠直接利用圖形來描述和分析問題；另一方面，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，使學(xué)生能根據(jù)所給的條件繪制出符合要求的幾何圖形.因此，在幾何教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、作圖的能力，通過圖形來分析其中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.在上述問題探究中，筆者并沒有直接繪制好圖形，而是讓學(xué)生自己探索、自己畫圖.在作圖的過程中，學(xué)生可以體會(huì)到線段、角的邊界元素位置的變化會(huì)引發(fā)不同的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步提升線段和角之間的關(guān)聯(lián)性.

4.滲透思想，強(qiáng)化關(guān)聯(lián)性

例1如圖4所示的線段上一共有n個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少條不同的線段？

圖4

練習(xí)1：如圖5，以點(diǎn)O為端點(diǎn)有n條射線OA1，OA2，…，OAn，則圖中共有多少個(gè)不同的角？

圖5

【評(píng)析】讓學(xué)生再次感受線段和角的構(gòu)成關(guān)鍵在于邊界元素，強(qiáng)化數(shù)線段、角的個(gè)數(shù)就是將不同的邊界元素進(jìn)行組合.這里讓學(xué)生積極討論，闡述不同的方法，滲透分類討論思想.

例2如圖6，已知點(diǎn)A，B，C在同一直線上，AC=6，BC=4，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn).求線段MN的長.

圖6

變式1：如圖7，若M，N分別是AB，BC的中點(diǎn).求線段MN的長.

圖7

變式2：如圖8，若M，N分別是AC，AB的中點(diǎn).求線段MN的長.

圖8

師：若AC=a，BC=b，用a，b來表示線段MN，通過探究，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

練習(xí)2：試編寫一道與角有關(guān)的相似題型，你能自主完成探究嗎？

【評(píng)析】由于點(diǎn)C在線段AB上，會(huì)得到三條不同的線段AC，CB，AB，由具體數(shù)值再結(jié)合兩個(gè)中點(diǎn)的不同位置可以求出線段MN的長度，最后再從代數(shù)的角度推廣到一般情況，得到結(jié)論：例2中變式1中，變式2中，總結(jié)出線段MN的長都等于第三條線段長的一半.練習(xí)2是一道開放性練習(xí)題，讓學(xué)生自己編題，得出角中也存在類似的問題，然后再探討角中是否存在相同的結(jié)論，進(jìn)一步強(qiáng)化線段、角的一致性.

例3如圖9，C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，CD=7 cm，M是AC的中點(diǎn)，N是DB的中點(diǎn)，MN=12 cm，求線段AB的長.

圖9

練習(xí)3：如圖10，∠AOB∶∠COD=2∶3，∠BOC=20°，∠AOC+∠BOD=140°，求∠AOB的度數(shù).

圖10

【評(píng)析】對(duì)于幾何題中的運(yùn)算除了單獨(dú)求解，還可以通過整體思想、方程思想來解決，將之前所學(xué)的代數(shù)內(nèi)容與幾何結(jié)合在一起，建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究方法體系，讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到線段和角不只在內(nèi)容上具有一致性，連處理問題的方法、運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法都一致，從而強(qiáng)化兩者之間的關(guān)聯(lián)性.

三、教學(xué)反思

1.注重教材整體，構(gòu)建知識(shí)關(guān)聯(lián)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，教材編寫應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系.教材七年級(jí)上冊(cè)各章節(jié)的內(nèi)容編排合理，章節(jié)的緊密性強(qiáng)，代數(shù)中的相關(guān)知識(shí)為線段和角的有效教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，而線段和角又是構(gòu)成幾何圖形的基本元素，所以這節(jié)課的內(nèi)容可以視作代數(shù)與幾何的銜接課.如何把握知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性？教師需要從本源出發(fā)，在線段、角的教學(xué)過程中，從概念出發(fā)，先在知識(shí)層面上讓學(xué)生體會(huì)到兩者之間的關(guān)聯(lián)性，再深度探究；在思想方法上讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟到線段和角的本質(zhì)聯(lián)系.因此，教師在教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，這個(gè)結(jié)構(gòu)可以是大的章節(jié)結(jié)構(gòu)，也可以是小的單元結(jié)構(gòu).只有這樣，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解才能更加深入和完善，才有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

2.注重思想滲透，達(dá)成本質(zhì)關(guān)聯(lián)

在教學(xué)過程中，教師不僅要讓學(xué)生掌握知識(shí)，還要讓學(xué)生知道知識(shí)的本質(zhì)，只有挖掘出本質(zhì)，才能鞏固所構(gòu)建的知識(shí)框架，這樣形成的知識(shí)體系才經(jīng)得起考驗(yàn).通過問題導(dǎo)向的方式，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟到線段、角的關(guān)聯(lián)性本質(zhì)在于它們的“邊界元素”具有一致性，邊界元素的位置關(guān)系會(huì)導(dǎo)致不同的數(shù)量關(guān)系.因此，在幾何教學(xué)中，教師一定要培養(yǎng)學(xué)生讀題、識(shí)圖、作圖的能力，通過圖形來理解其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助方程、整體、歸納等思想方法進(jìn)行幾何探究.因此，教師在對(duì)教材進(jìn)行深度解讀、體悟和重組的同時(shí)，更要深刻挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

3.注重經(jīng)驗(yàn)積累，形成方法關(guān)聯(lián)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上；學(xué)生應(yīng)用知識(shí)并逐步形成技能，離不開自己的實(shí)踐.課堂教學(xué)要以學(xué)生為主體，要給學(xué)生充足的時(shí)間去感悟知識(shí)之間的聯(lián)系.本節(jié)課的教學(xué)中，重視學(xué)生的自我探究、主動(dòng)去獲取知識(shí)，從線段、角的知識(shí)層面的對(duì)比，到兩者關(guān)聯(lián)本質(zhì)的探究，再到例題的探究，都是由學(xué)生自己討論、自我探究完成，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過程，這樣學(xué)生才能切身體會(huì)到不同知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性.通過長期的思維訓(xùn)練，重點(diǎn)要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的關(guān)聯(lián)性.在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果遇到新的問題，能夠自覺地思考：有沒有解決過類似的問題？能否借助已有的知識(shí)解決新的問題？借助類比思想，學(xué)生能主動(dòng)地構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，這樣才能進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)能力.

本節(jié)課中，筆者主要采用“合理設(shè)疑、自主探究、題型再創(chuàng)”的教學(xué)方法，從學(xué)生已有的知識(shí)層面上提出問題——為什么線段和角具有相關(guān)性？啟發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行深層次探究，從本質(zhì)上理解兩者之間的關(guān)聯(lián)性.在自主探究的過程中，學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)也會(huì)更全面，也能根據(jù)例題自主編題，從而進(jìn)一步提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“回頭看看”的習(xí)慣，適當(dāng)?shù)胤怕虒W(xué)進(jìn)度，學(xué)會(huì)從教材整體性的角度進(jìn)行課堂教學(xué)，使學(xué)生能夠從已有的知識(shí)層面去分析知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)脈絡(luò)，這樣才能抓住知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).