鮑建生，章建躍

（華東師范大學(xué)；人民教育出版社 課程教材研究所）

一、概述

統(tǒng)計進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程是國際中小學(xué)數(shù)學(xué)課程現(xiàn)代化的一個必然趨勢，也反映了現(xiàn)代社會對數(shù)據(jù)意識及統(tǒng)計方法的普遍需求.

美國統(tǒng)計協(xié)會給出的統(tǒng)計定義是：統(tǒng)計是從數(shù)據(jù)中形成知識，并且測量、控制、表達(dá)不確定性的科學(xué).該協(xié)會和美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）合作研究了多個統(tǒng)計活動框架后，整合了其中的相似部分，并結(jié)合NCTM出版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)布了《統(tǒng)計學(xué)評估和教育指導(dǎo)綱要：中小學(xué)課程框架》（以下統(tǒng)稱“GAISE”），其中將中小學(xué)階段的統(tǒng)計活動劃分為四個階段（如圖1）.

圖1 美國統(tǒng)計協(xié)會界定的中小學(xué)統(tǒng)計活動

（1）形成統(tǒng)計調(diào)查問題：包括明確現(xiàn)實(shí)問題，提出能用數(shù)據(jù)回答的統(tǒng)計問題.

（2）收集/考察數(shù)據(jù)：設(shè)計有效收集適當(dāng)數(shù)據(jù)的計劃，實(shí)施數(shù)據(jù)收集的計劃.

（3）分析數(shù)據(jù)：選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表或數(shù)值方法，使用選擇的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

（4）解釋結(jié)果：說明分析過程，結(jié)合原始問題與數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋.

因此，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計學(xué)的研究對象，其核心是數(shù)據(jù)分析，問題解決是統(tǒng)計活動的基本形式，而數(shù)據(jù)觀念是統(tǒng)計思維的基礎(chǔ).史寧中指出，統(tǒng)計學(xué)的研究依賴于對數(shù)據(jù)的感悟，甚至是對一堆看似雜亂無章的數(shù)據(jù)的感悟.通過對數(shù)據(jù)的歸納整理、分析判斷可以發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律.因?yàn)榭梢杂酶鞣N方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理、分析判斷，所以得到的結(jié)論也可能是不同的.而且，我們很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說能夠更客觀地反映實(shí)際背景的方法要更好一些.可見，統(tǒng)計與數(shù)學(xué)在思維方式上有很大不同.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）區(qū)分了小學(xué)與初中兩個階段在概率統(tǒng)計方面的教學(xué)要求，其中小學(xué)階段側(cè)重于數(shù)據(jù)意識，旨在加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)據(jù)的意義的感悟.與小學(xué)階段相比，初中階段的概率統(tǒng)計課程增加了下列內(nèi)容.

（1）增加了總體與樣本的概念.學(xué)生將學(xué)習(xí)簡單地獲取數(shù)據(jù)的抽樣方法，為以后的推斷統(tǒng)計做準(zhǔn)備.

（2）引入了更多統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖表.一方面，可以更全面地描述、分析數(shù)據(jù)；另一方面，有助于通過比較更好地理解不同統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖表的意義及適用場合.

（3）增加了統(tǒng)計活動的要求，使學(xué)習(xí)從調(diào)查問題與隨機(jī)抽樣開始，經(jīng)歷相對完整的用統(tǒng)計方法解決實(shí)際問題的過程，感悟統(tǒng)計的思維方式與實(shí)際意義.

（4）在概率方面，引入了定量刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的方法，使學(xué)生初步感悟概率與統(tǒng)計的聯(lián)系.通過初中階段概率統(tǒng)計課程的學(xué)習(xí)，希望幫助學(xué)生形成相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)觀念，感悟處理隨機(jī)現(xiàn)象的思維方式.

從具體應(yīng)用的角度來看，統(tǒng)計學(xué)包括三個部分：描述統(tǒng)計、推斷統(tǒng)計和實(shí)驗(yàn)設(shè)計.其中，描述統(tǒng)計是指對所收集的大量數(shù)據(jù)資料進(jìn)行整理、概括，尋找數(shù)據(jù)的分布特征，用以反映研究對象的內(nèi)容和實(shí)質(zhì)的統(tǒng)計方法；推斷統(tǒng)計是指根據(jù)來自樣本的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)，并標(biāo)明可能發(fā)生的誤差，以對隨機(jī)現(xiàn)象做出估計、推斷的統(tǒng)計方法，推斷統(tǒng)計可根據(jù)已知材料，去估計、推測未知的可能性大??；實(shí)驗(yàn)設(shè)計是指研究者為揭示實(shí)際問題中自變量與因變量的關(guān)系，驗(yàn)證假設(shè)之前所制訂的實(shí)驗(yàn)計劃，內(nèi)容包括研究步驟的制訂、抽樣、實(shí)驗(yàn)變量及實(shí)驗(yàn)條件的控制、對結(jié)果的統(tǒng)計處理方法等.在初中數(shù)學(xué)課程中，仍然以描述統(tǒng)計為主，但可以通過樣本與總體的關(guān)系，初步感悟一點(diǎn)推斷統(tǒng)計的意義，同時可以介紹一些簡單的統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)案例.

《標(biāo)準(zhǔn)》對初中階段“數(shù)據(jù)觀念”的說明如下：“數(shù)據(jù)觀念主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性有比較清晰的認(rèn)識.知道數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，需要根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢及隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.形成數(shù)據(jù)觀念有助于理解和表達(dá)生活中隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，感知大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度.”

下面以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，對初中階段數(shù)據(jù)觀念的具體表現(xiàn)指標(biāo)及教學(xué)做進(jìn)一步的解讀.

二、數(shù)據(jù)觀念的主要表現(xiàn)形式

在中小學(xué)課程體系中，初中階段的課程介于小學(xué)與高中之間，具有承前啟后的作用.因此，初中階段的教學(xué)既要了解學(xué)生在小學(xué)階段建立的認(rèn)知基礎(chǔ)，也應(yīng)關(guān)注高中階段的進(jìn)一步發(fā)展.

小學(xué)階段“數(shù)據(jù)意識”的具體表現(xiàn)包括以下幾個方面.

（1）感悟數(shù)據(jù)的意義.知道數(shù)據(jù)與數(shù)量的區(qū)別，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的語言，統(tǒng)計是靠數(shù)據(jù)來說話的；知道數(shù)據(jù)一般都具有實(shí)際意義，是用來分析某種隨機(jī)現(xiàn)象和解決問題的；知道數(shù)據(jù)是各種各樣的，不管是哪種數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的來源與真實(shí)性是最重要的.

（2）體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集的過程.知道不同的問題需要收集不同的數(shù)據(jù)，相同的問題也可以收集不同的數(shù)據(jù)；知道數(shù)據(jù)是抽樣、測量與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.

（3）初步感悟數(shù)據(jù)的變異性.知道導(dǎo)致數(shù)據(jù)變異的原因是多種多樣的，如不同的抽樣會得到不同的數(shù)據(jù)；相同的抽樣也會因?yàn)闇y量誤差而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不同；但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且數(shù)據(jù)越多，所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就越可靠.

（4）感悟數(shù)據(jù)整理的意義.會對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，初步了解數(shù)據(jù)分類與分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系；能夠依據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行分組或者排序；能對異常數(shù)據(jù)做出初步解釋或判斷；大致知道如何呈現(xiàn)數(shù)據(jù)整理的結(jié)果.

（5）通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，感受數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息.能夠初步理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義，知道平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，容易受極端值的影響；初步理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，知道可以利用百分?jǐn)?shù)把數(shù)據(jù)按比例分組或定位；能用平均數(shù)和百分?jǐn)?shù)解決有關(guān)的簡單實(shí)際問題.

（6）感悟統(tǒng)計圖表的意義.認(rèn)識條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；能讀懂報紙、電視、互聯(lián)網(wǎng)等媒體中的簡單統(tǒng)計圖表；能夠依據(jù)數(shù)據(jù)的特征合理選擇統(tǒng)計圖表，并用統(tǒng)計圖表合理表示和分析數(shù)據(jù)，解釋所表達(dá)的意義.

（7）初步感悟概率的意義.知道概率是對不確定事件發(fā)生可能性大小的度量；能在實(shí)際情境中對一些簡單隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做出定性描述.

高中階段作為關(guān)鍵能力的“數(shù)據(jù)分析”的主要要求包括以下幾個方面.

（1）能夠根據(jù)實(shí)際問題的需求，選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，通過樣本數(shù)字特征推斷總體；能夠正確運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的方法解決簡單的實(shí)際問題.

（2）能夠區(qū)別統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異；能夠結(jié)合具體問題，理解統(tǒng)計推斷結(jié)果的或然性，正確運(yùn)用統(tǒng)計結(jié)果解釋實(shí)際問題.

（3）能夠掌握古典概型的基本特征，根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建概率模型，解決簡單的實(shí)際問題；能夠借助古典概型初步認(rèn)識有限樣本空間、隨機(jī)事件，以及隨機(jī)事件的概率.

（4）能夠結(jié)合具體實(shí)例，理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，理解離散型隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用，掌握兩個基本概率模型及其應(yīng)用，了解正態(tài)分布的作用，進(jìn)一步深入理解隨機(jī)思想在解決實(shí)際問題中的作用；能夠解決兩組數(shù)據(jù)統(tǒng)計相關(guān)性的簡單實(shí)際問題；能夠結(jié)合具體實(shí)例，掌握運(yùn)用一元線性回歸分析的方法；掌握運(yùn)用二維列聯(lián)表的方法，解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的簡單實(shí)際問題.

因此，從“數(shù)據(jù)意識”到“數(shù)據(jù)觀念”再到“數(shù)據(jù)分析”，是一個從定性描述逐步過渡到定量分析的過程，通過這個過程逐步幫助學(xué)生對數(shù)據(jù)及其意義加深認(rèn)識、拓寬視野，形成穩(wěn)定的統(tǒng)計素養(yǎng).其中，小學(xué)階段關(guān)注的是兒童通過活動對隨機(jī)現(xiàn)象的感悟，本質(zhì)上屬于描述統(tǒng)計，高中階段要求具備一定的運(yùn)用模型解決隨機(jī)現(xiàn)象問題的能力，初中階段則介于兩者之間.因此，需要關(guān)注小學(xué)階段與初中階段、初中階段與高中階段之間的銜接.

下面結(jié)合初中階段的課程內(nèi)容與教學(xué)要求，進(jìn)一步細(xì)化初中階段數(shù)據(jù)觀念的主要表現(xiàn).

1.理解數(shù)據(jù)和抽樣的意義

數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的基本研究對象，抽樣是用樣本數(shù)據(jù)描述或推斷總體的基本研究途徑.理解數(shù)據(jù)和抽樣意義的具體表現(xiàn)有如下幾個方面.

（1）感悟數(shù)據(jù)的意義.知道數(shù)據(jù)與數(shù)量的區(qū)別，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計的語言，統(tǒng)計是靠數(shù)據(jù)說話的；知道數(shù)據(jù)一般都具有實(shí)際的意義，是用來分析某種隨機(jī)現(xiàn)象和解決問題的；知道數(shù)據(jù)具有多樣性，不管是哪種數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的來源與真實(shí)性是最重要的.

（2）體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集的過程.知道不同的問題需要收集不同的數(shù)據(jù)，同樣的問題也可以收集不同的數(shù)據(jù)；知道數(shù)據(jù)是抽樣、測量與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，而不是推理或猜想的結(jié)果，抽樣、測量與實(shí)驗(yàn)的方法會影響到數(shù)據(jù)的質(zhì)量，進(jìn)而影響對數(shù)據(jù)的分析.

（3）感悟樣本數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性，體會樣本與總體的關(guān)系.知道數(shù)據(jù)的隨機(jī)性是區(qū)分描述性統(tǒng)計與推斷性統(tǒng)計的標(biāo)志，知道現(xiàn)實(shí)世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象是不能直接分析的，需要通過隨機(jī)抽樣，利用樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征來描述和推斷總體的統(tǒng)計特征.例如，知道可以用樣本平均數(shù)估計總體均值，但由于樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，這種估計也具有隨機(jī)性，樣本數(shù)據(jù)的質(zhì)量會影響估計的可靠性.

（4）體會抽樣的必要性，能夠通過實(shí)例了解簡單的隨機(jī)抽樣過程.了解抽樣過程涉及以下四個方面.

①抽樣的目的：獲得有關(guān)事件的可靠信息，這些信息對總體而言是不可及的，只能間接獲得.

②抽樣的方法：從總體中隨機(jī)地產(chǎn)生一個子集，這個子集的信息與總體類似，并且可以直接獲得.

③總體與樣本的關(guān)系：在一定程度上，樣本可以代表總體.

④統(tǒng)計推斷：將從樣本獲得的信息推廣到總體.

（5）感悟數(shù)據(jù)的變異性.知道導(dǎo)致數(shù)據(jù)變異的原因是很多的，如不同的抽樣會得到不同的數(shù)據(jù)，相同的抽樣也會因?yàn)闇y量誤差而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不同，但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且數(shù)據(jù)越多，所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就越可靠.因此，基于數(shù)據(jù)的推理是一種歸納規(guī)律的過程.

（6）進(jìn)一步感悟統(tǒng)計活動的隨機(jī)性.知道抽樣是一個隨機(jī)過程，用樣本數(shù)據(jù)來描述和推斷總體特征是一種估計過程，具有不確定性.因此，統(tǒng)計活動中，主要依靠的是歸納推理.

在一些國家的中小學(xué)統(tǒng)計課程中，特別重視對各種數(shù)據(jù)的認(rèn)識，要求學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集的完整過程，其中包括現(xiàn)場調(diào)查、測量與簡單的實(shí)驗(yàn)觀察.

2.初步掌握整理、描述與分析數(shù)據(jù)的方法，理解統(tǒng)計量的意義

雖然數(shù)據(jù)都蘊(yùn)含著信息，但這些信息常常不是顯而易見的，需要運(yùn)用一定的統(tǒng)計工具去整理、描述與分析，并用一些可視化的方式把蘊(yùn)含在數(shù)據(jù)中的信息挖掘和表達(dá)出來.具體表現(xiàn)包括如下幾個方面.

（1）感悟數(shù)據(jù)整理的意義.會對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，初步了解數(shù)據(jù)分類與分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系；能夠依據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行分組或者排序；對異常數(shù)據(jù)做出初步的解釋或判斷，知道數(shù)據(jù)的來源與真實(shí)性對問題解決的重要性.

（2）知道可以用圖表的方式對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的整理、分類、分組，以及頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計等，通過圖表對數(shù)據(jù)特征及其規(guī)律進(jìn)行直觀感悟，逐步培養(yǎng)對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計直覺.

（3）理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義與區(qū)別，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，知道它們是對數(shù)據(jù)集中趨勢的描述.知道平均數(shù)可以反映數(shù)據(jù)的“整體水平”，但容易受極端數(shù)值的影響；中位數(shù)的一個優(yōu)勢就是不受極端值的影響，但忽略了整體性，不能反映數(shù)據(jù)和中位數(shù)的差異情況；平均數(shù)與中位數(shù)適合于定量數(shù)據(jù)，而對于一些定性數(shù)據(jù)、類別數(shù)據(jù)或定類數(shù)據(jù)，只能用眾數(shù)作為集中趨勢的統(tǒng)計量.

（4）體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，知道極差、離差平方和與方差都是描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量.會計算一組簡單數(shù)據(jù)的離差平方和、方差.經(jīng)歷對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的活動，知道對數(shù)據(jù)按照組內(nèi)離差平方和最小的原則進(jìn)行分類的方法.

（5）感悟統(tǒng)計圖表的意義，解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息.能畫條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖與頻數(shù)直方圖，知道直方圖與條形統(tǒng)計圖的區(qū)別；能讀懂報紙、電視、互聯(lián)網(wǎng)等媒體中的簡單統(tǒng)計圖表；能夠依據(jù)數(shù)據(jù)的特征合理選擇統(tǒng)計圖表，并用統(tǒng)計圖表合理表示和分析數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計圖表感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢，解釋所表達(dá)的意義.

（6）初步感悟分布的意義，知道分布是描述和預(yù)測隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的重要工具.知道平均數(shù)與方差、中位數(shù)與四分位數(shù)都可以不同程度地描述分布；頻數(shù)直方圖與箱線圖（如圖2所示的五數(shù)綜合）也能夠在一定程度上表示分布.通過對分布概念的理解，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)某種隨機(jī)現(xiàn)象的模式及數(shù)據(jù)的整體特征.

圖2 用箱線圖描述數(shù)據(jù)的分布

（7）初步了解大數(shù)據(jù)的特點(diǎn).知道在數(shù)字化時代，每天都會產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)常常以多種方式被記錄、收集與分析，如手機(jī)中的照片、行動軌跡、微信等；初步了解大數(shù)據(jù)的一些處理方法，如加權(quán)平均、分布計算等.

統(tǒng)計量在一定程度上反映了運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決統(tǒng)計問題的特點(diǎn)，即研究與揭示數(shù)據(jù)的數(shù)量特征與規(guī)律.

3.理解解決統(tǒng)計問題的特點(diǎn)、過程與意義

中小學(xué)統(tǒng)計課程的一個主要目的是幫助學(xué)生初步感悟真實(shí)背景下的解決統(tǒng)計問題的特點(diǎn)、過程與意義，在問題情境中去理解數(shù)據(jù)、統(tǒng)計量的意義和數(shù)據(jù)處理的基本方法.具體要求包括如下幾個方面.

（1）形成問題.知道哪些問題可以用統(tǒng)計方法解決，能夠在真實(shí)的情境中明確研究目標(biāo)，提出能用數(shù)據(jù)回答的統(tǒng)計問題.

（2）收集數(shù)據(jù).根據(jù)研究問題設(shè)計有效收集適當(dāng)數(shù)據(jù)的計劃，實(shí)施計劃、收集數(shù)據(jù)；初步感悟統(tǒng)計問題解決與確定性數(shù)學(xué)問題解決的區(qū)別，即統(tǒng)計問題解決的基本思想方法是從數(shù)據(jù)出發(fā)，通過數(shù)據(jù)分析提出可供參考的結(jié)論，而確定性數(shù)學(xué)問題的解決，一般是從定義出發(fā)，得到確定的結(jié)論.

（3）分析數(shù)據(jù).選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表或數(shù)值方法，使用選擇的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.根據(jù)史寧中的觀點(diǎn)，利用數(shù)據(jù)分析不確定現(xiàn)象的目的是“在一堆看似雜亂無章的數(shù)據(jù)中提煉信息、尋找規(guī)律，抓住主要因素，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行描述、預(yù)測，形成結(jié)論、決策、知識”.

（4）解釋結(jié)果.通過明晰分析過程，結(jié)合原始問題與數(shù)據(jù)對統(tǒng)計分析的結(jié)果進(jìn)行解釋，并根據(jù)實(shí)際情境與需求做出預(yù)測或決策.知道在統(tǒng)計問題解決過程中，樣本、數(shù)據(jù)等都具有變異性；同一個問題往往可以采取不同的統(tǒng)計量與統(tǒng)計方法；利用統(tǒng)計方法得到的結(jié)論也不會是百分之百的肯定.

真實(shí)的統(tǒng)計活動一般都比較復(fù)雜，也比較費(fèi)時.因此，在中小學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，一方面，需要在日常教學(xué)中適當(dāng)簡化統(tǒng)計過程，聚焦相關(guān)的統(tǒng)計概念與方法，便于學(xué)生理解與掌握統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識與基本技能；另一方面，還需要借助典型的統(tǒng)計案例，使學(xué)生相對完整地經(jīng)歷解決統(tǒng)計問題的過程，感悟統(tǒng)計中的一般思想方法，積累統(tǒng)計領(lǐng)域的活動經(jīng)驗(yàn).

4.初步感悟隨機(jī)事件的概率的意義

著名的法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過，概率論實(shí)際上只是將常識歸結(jié)為計算，它使我們能夠用理性的頭腦精確地評價憑某種直覺感受到的、往往又不能解釋清楚的見解……引人注意的是，概率論這門起源于對機(jī)會游戲進(jìn)行思考的科學(xué)，早就應(yīng)該成為人類知識中最重要的組成部分……生活中那些最重要的問題絕大部分其實(shí)只是概率論的問題.

數(shù)學(xué)歷來被認(rèn)為是確定性的科學(xué)，這就意味著，從同樣的條件出發(fā)就應(yīng)當(dāng)?shù)玫酵瑯拥慕Y(jié)論，如果得到的結(jié)論不一致，就會認(rèn)為其中至少有一個結(jié)論是錯誤的.但在日常生活中，人們卻會遇到大量的不確定性事件，也就是說，事先無法確定這樣的事件是否一定會發(fā)生、會發(fā)生到什么程度.例如，明天下雨的事件，期末考試得到90分以上的事件，彩票中獎的事件，等等，人們稱這樣的事件為隨機(jī)事件.

小學(xué)階段的概率學(xué)習(xí)主要是定性描述隨機(jī)事件的可能性，初中階段則需要對隨機(jī)事件及其可能性的大小進(jìn)行初步的定量刻畫.具體表現(xiàn)包括如下幾個方面.

（1）初步感知隨機(jī)現(xiàn)象.知道在現(xiàn)實(shí)世界中隨機(jī)現(xiàn)象是普遍存在的，能夠列舉出各種隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)際例子，通過具體實(shí)例感悟隨機(jī)現(xiàn)象的客觀性.

（2）初步感悟概率的意義.知道一個隨機(jī)事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，反映了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律；概率有助于對隨機(jī)事件的預(yù)測，從而采取合理的行為或決策.例如，在知道本地今天的降水概率為85%時，出門就應(yīng)做好防雨的準(zhǔn)備.

（3）通過具體實(shí)例初步感悟概率的基本特征.知道概率大的隨機(jī)事件也可能不發(fā)生，小概率事件也可能發(fā)生；影響隨機(jī)事件概率的因素有很多，如高水平射擊運(yùn)動員中靶的概率就比一般人大，投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，那么正面朝上和反面朝上的概率應(yīng)該是一樣的.

（4）能夠描述簡單隨機(jī)事件的特征，即可能的結(jié)果有限，而且每一個可能結(jié)果的發(fā)生概率相同；能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上了解簡單隨機(jī)事件概率的計算方法.

（5）知道隨機(jī)事件在進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)時，其發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.因此，可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計概率，體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性以及概率與統(tǒng)計的關(guān)系.

與小學(xué)階段的概率課程相比，初中階段雖然給出了量化的概率，但仍然屬于概率的初步認(rèn)識.其中的許多概念與方法需要到高中階段進(jìn)一步地界定.例如，通過高中階段的樣本空間概念可以幫助學(xué)生更好地理解隨機(jī)事件及簡單隨機(jī)現(xiàn)象.

三、通過真實(shí)、有意義的統(tǒng)計活動，使學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計中問題解決的過程

雖然數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)、圖形與幾何等中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容大都在十七世紀(jì)之前就已成形，但它們?nèi)匀皇钦麄€數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)是幫助學(xué)生形成初步的知識體系，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法.

相比之下，中小學(xué)統(tǒng)計課程的主要目標(biāo)不是構(gòu)建邏輯體系，而是通過真實(shí)的統(tǒng)計活動，幫助學(xué)生初步感悟數(shù)據(jù)的意義及統(tǒng)計問題解決的一般過程，從中感悟統(tǒng)計的思想方法.

因此，設(shè)計真實(shí)的、有意義的統(tǒng)計活動是統(tǒng)計教學(xué)的基本方式.

1.對數(shù)據(jù)的理解是形成數(shù)據(jù)觀念的基礎(chǔ)

雖然概念和符號對于統(tǒng)計學(xué)也是重要的，但統(tǒng)計學(xué)的研究建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷.因此，統(tǒng)計學(xué)關(guān)心的是如何有效地獲取數(shù)據(jù)，如何保證數(shù)據(jù)的有效性和可靠性；關(guān)心如何進(jìn)行數(shù)據(jù)的整理和分析，如何從數(shù)據(jù)中挖掘有用的信息；如何通過信息構(gòu)建數(shù)據(jù)產(chǎn)生背景的知識，如何對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測.正因?yàn)槿绱?，許多學(xué)者稱統(tǒng)計學(xué)為數(shù)據(jù)分析的科學(xué)和藝術(shù).

在教學(xué)中，應(yīng)該通過各種統(tǒng)計活動，幫助學(xué)生了解數(shù)據(jù)的意義、多樣性與變異性.

第一，數(shù)據(jù)是否具有統(tǒng)計意義取決于對應(yīng)的統(tǒng)計問題，不同的問題往往需要不同的數(shù)據(jù).例如，學(xué)校要定制校服，那就需要收集學(xué)生的身高與體重兩類數(shù)據(jù)，因?yàn)橐话惴b的規(guī)格尺寸是依據(jù)這兩類數(shù)據(jù)確定的；但如果要考察學(xué)生的肥胖情況，那么獨(dú)立考察身高與體重的數(shù)據(jù)就意義不大，還需要在這兩個數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上利用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）計算公式得出新的數(shù)據(jù).因此，要幫助學(xué)生理解數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義，就必須了解想要解決的統(tǒng)計問題.好的統(tǒng)計問題對學(xué)生來說應(yīng)該是真實(shí)的、有意義的，而且還應(yīng)該是學(xué)生熟悉的、有興趣的.

第二，應(yīng)該關(guān)注數(shù)據(jù)的來源與質(zhì)量，了解數(shù)據(jù)收集的基本途徑.例如，要獲得所在班級學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，至少有三種途徑：（1）現(xiàn)場調(diào)查，讓每名學(xué)生自報一個身高數(shù)值，獲得調(diào)查數(shù)據(jù)；（2）查找資料，利用統(tǒng)計資料，從學(xué)生的檔案中獲得身高的數(shù)據(jù)；（3）實(shí)際測量每名學(xué)生的身高獲得數(shù)據(jù).可以讓學(xué)生比較不同來源數(shù)據(jù)的優(yōu)缺點(diǎn)，并根據(jù)所考察的統(tǒng)計問題選擇合適的途徑.雖然判斷數(shù)據(jù)的好壞沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，主要看是否符合研究問題的需求，但必須保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性，并盡可能減少測量誤差.

第三，初步感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.通過觀察、測量或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)都具有隨機(jī)性，這種隨機(jī)性至少表現(xiàn)在以下兩個方面.一是每個數(shù)據(jù)的獲得具有隨機(jī)性.例如，每名學(xué)生的身高不可能有一個準(zhǔn)確值，不同時間測量的結(jié)果會不一樣，不同測量工具也會產(chǎn)生各種誤差.二是與選取的樣本有關(guān).如果我們想利用班級部分學(xué)生的身高來分析全班學(xué)生身高的情況，那么得到的數(shù)據(jù)就會因選法的不同而改變.盡管數(shù)據(jù)都具有隨機(jī)性，但當(dāng)數(shù)據(jù)足夠多時就可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.例如，在測量一名學(xué)生的身高時，盡管每次測量結(jié)果都有誤差，但測量次數(shù)足夠多時，結(jié)果的誤差就會顯示出一定的規(guī)律性（滿足正態(tài)分布），利用其中的規(guī)律性就可以獲得“更好”的數(shù)據(jù)，如把所有測量結(jié)果的平均數(shù)作為想要分析的數(shù)據(jù).

第四，感悟數(shù)據(jù)整理與表示的意義.知道一組雜亂無章的數(shù)據(jù)很難看出其中的規(guī)律，數(shù)據(jù)越多就越需要整理.數(shù)據(jù)整理的途徑包括分類、分組、排序與圖表表示，除了探究數(shù)據(jù)規(guī)律的目的外，還要關(guān)注一些異常的數(shù)據(jù)，初步分析造成數(shù)據(jù)異常的可能原因，以保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性.在用統(tǒng)計圖表表示數(shù)據(jù)時，要初步養(yǎng)成規(guī)范作圖的習(xí)慣，知道統(tǒng)計圖表的優(yōu)點(diǎn)是直觀與綜合.好的統(tǒng)計圖表讓人一目了然，容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

此外，還要幫助學(xué)生初步感悟各種統(tǒng)計量的意義.知道引入統(tǒng)計量的目的是描述、分析和預(yù)測數(shù)據(jù)的集中趨勢、離散程度等分布特征，不同的統(tǒng)計量有不同的功能，所適用的場合也不一樣.例如，要比較兩個班級學(xué)生的身高情況，可以利用兩組數(shù)據(jù)的平均值，也可以利用兩組數(shù)據(jù)各自所在的范圍（極差）；而要在兩個班級中挑選最高的人進(jìn)行比較，則只需考察兩組數(shù)據(jù)的最大值.又如，要分析兩個班級學(xué)生中各有多少名學(xué)生的身高超過1.4米，可以用百分?jǐn)?shù)比較，用平均數(shù)就沒有意義.

2.通過真實(shí)的統(tǒng)計活動，感悟統(tǒng)計的思想方法

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了描述性統(tǒng)計的基本概念，也初步了解了抽樣的意義.因此，可以比較完整地實(shí)施具有現(xiàn)實(shí)意義的統(tǒng)計活動，在統(tǒng)計問題的解決過程中使學(xué)生逐步感悟統(tǒng)計的思想方法，形成一定的統(tǒng)計直覺.

史寧中指出，統(tǒng)計素養(yǎng)包括以下三個方面.首先，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)來分析問題的習(xí)慣.其實(shí)質(zhì)是通過事實(shí)來分析問題.當(dāng)遇到問題時，應(yīng)當(dāng)去調(diào)查研究，應(yīng)當(dāng)去收集數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的推斷才可能客觀地反映實(shí)際背景.其次，建立隨機(jī)的概念.有些事情可能發(fā)生，有些事情可能不發(fā)生，這在日常生活中是大量存在的.即便如此，只要我們掌握的信息多了，也能夠合理地推斷實(shí)際背景.最后，學(xué)習(xí)如何去判斷事情的主要因素.統(tǒng)計學(xué)能夠在一堆看似雜亂無章的數(shù)據(jù)中提煉信息、尋找規(guī)律，這就需要抓主要因素.

一個相對完整的統(tǒng)計活動，一般經(jīng)歷以下幾個環(huán)節(jié).

（1）在現(xiàn)實(shí)背景下發(fā)現(xiàn)和提出統(tǒng)計問題.

問題是研究的起點(diǎn)，針對不同的問題有不同的研究方法.如果一個問題中具有明確的數(shù)量關(guān)系或規(guī)律，一般情況下就可以用方程、不等式、函數(shù)這樣的數(shù)學(xué)模型來解決；但如果面對的是不確定的隨機(jī)現(xiàn)象，就需要用統(tǒng)計方法解決.在統(tǒng)計教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自己提出一些真實(shí)的、感興趣的、有意義的統(tǒng)計問題.例如，初中生每天應(yīng)該保持多少戶外運(yùn)動的時間？我上學(xué)時可以乘公交，也可以騎自行車，哪種交通方式更合理？我們班學(xué)生的身高可以達(dá)到全國青少年身高的平均水平嗎？在一個池塘邊掛著“水深危險，請勿游戲”的牌子，那么“水深”是什么意思？我們要如何知道池塘有多深呢？等等.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、提出統(tǒng)計問題的過程，有助于更好地理解隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)據(jù)分析的意義.

（2）根據(jù)研究問題設(shè)計調(diào)查方案、收集數(shù)據(jù).

許多研究都表明，讓學(xué)生親自收集數(shù)據(jù)，而不是僅僅分析現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，可以加深對數(shù)據(jù)及其收集過程、數(shù)據(jù)背景、抽樣及隨機(jī)性的理解.

史寧中認(rèn)為，在統(tǒng)計研究中，首先遇到的問題是如何獲取“好”的數(shù)據(jù).所謂“好”的數(shù)據(jù)，是指那些能更加客觀地反映實(shí)際背景的數(shù)據(jù)，而獲取好數(shù)據(jù)則要依賴“好”方法.通常，根據(jù)數(shù)據(jù)來源的不同，獲取數(shù)據(jù)的方法可分為兩大類：一是通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)；二是通過實(shí)驗(yàn)制造數(shù)據(jù).中小學(xué)統(tǒng)計教學(xué)中涉及的主要是前者，稱為抽樣調(diào)查（而后者通常被稱為實(shí)驗(yàn)設(shè)計）.抽樣調(diào)查又可分為兩種：一種是收集已存在的數(shù)據(jù)，稱之為抽樣，如市場的物價、學(xué)生的身高、企業(yè)的產(chǎn)值等；另一種是需要通過詢問才能獲取的，稱之為調(diào)查，如人們?nèi)粘ＯM(fèi)的主要項(xiàng)目、中小學(xué)生喜歡的歌手等.

收集數(shù)據(jù)的方法可因問題而異，但要遵循如下兩個基本原則.

第一，采用能獲取“好”的數(shù)據(jù)的方法.為了獲取好的數(shù)據(jù)，我們需要盡可能多地利用已有的先驗(yàn)知識.例如，希望知道學(xué)生的身高，先驗(yàn)知識是“少年兒童的身高在不同年齡之間差別很大”.因此，最好是將年齡分段，在各年齡段按比例抽取樣本，這就是“分層抽樣”.可以看到，統(tǒng)計方法的直觀想法是很明顯的.如果對實(shí)際背景一無所知，那么一定要隨機(jī)抽取樣本，這便是“隨機(jī)抽樣”.例如，希望了解初中生喜歡的歌手，因差別可能不大，就可以采取“隨機(jī)抽樣”的方法.當(dāng)然，也可以按性別不同采用“分層抽樣”的方法.

第二，采用簡單的方法.能夠基于上述兩個原則的方法就是一個“好”方法.我們不要小看第二個原則，一個好的方法往往能夠節(jié)省很多調(diào)查經(jīng)費(fèi).這就是為什么咨詢公司非常歡迎統(tǒng)計學(xué)家的原因.

（3）組織與表示所收集的數(shù)據(jù)，并利用統(tǒng)計模型分析數(shù)據(jù)，描述或推斷數(shù)據(jù)的分布特征.

對數(shù)據(jù)的組織就像是寫小說.文字本身不構(gòu)成故事，但作家可以通過組織文字來完成一個故事.故事是否精彩與文字組織有一定的關(guān)系，文字組織得不好，可以讓人看不懂故事.數(shù)據(jù)也一樣，組織得不好就不容易理解數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息.

數(shù)據(jù)的組織包括分類、分組、排序、畫統(tǒng)計圖表等.一些研究者認(rèn)為，在統(tǒng)計素養(yǎng)中，最重要的是“圖表意識”.在初中階段的統(tǒng)計活動中，涉及的統(tǒng)計圖表主要包括條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布直方圖與箱線圖.制作圖表的主要目的包括：表示數(shù)據(jù)的特征與趨勢，產(chǎn)生、確定或推翻某個假設(shè)，顯示數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，便于他人理解.“圖表意識”不僅是指學(xué)生會正確地構(gòu)建統(tǒng)計圖表，更重要的是會根據(jù)問題的實(shí)際情境選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表.因此，圖表意識是數(shù)據(jù)觀念的重要組成部分.

數(shù)據(jù)的分析主要包括：在數(shù)據(jù)集或統(tǒng)計圖表內(nèi)比較數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)集或多個統(tǒng)計圖表間比較數(shù)據(jù)，對給定的數(shù)據(jù)和統(tǒng)計圖表進(jìn)行推斷等.初中階段的數(shù)據(jù)分析一般是選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)的分布特征，如數(shù)據(jù)的集中趨勢、離散程度等，用以描述（推斷）總體的分布特征，由此獲得調(diào)查分析的結(jié)果.

（4）獲得統(tǒng)計結(jié)論，做出預(yù)測或決策，并結(jié)合原始問題與數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋.

學(xué)生通過統(tǒng)計推斷的方式得出結(jié)論，并結(jié)合情境對結(jié)論進(jìn)行解釋和說明，針對最初的問題做出推斷或者決策.

通過經(jīng)歷相對完整的統(tǒng)計活動，可以使學(xué)生更好地理解統(tǒng)計的意義與思維特點(diǎn)，形成正確的數(shù)據(jù)觀念.

四、幫助學(xué)生逐步理解隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，感悟統(tǒng)計與數(shù)學(xué)的區(qū)別

統(tǒng)計作為一級學(xué)科，其基本研究對象及思想方法與確定性數(shù)學(xué)有較大差異.但由于中小學(xué)課程中將統(tǒng)計內(nèi)容納入數(shù)學(xué)課程，作為數(shù)學(xué)課程的一部分，而絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師缺乏應(yīng)用性統(tǒng)計的學(xué)習(xí)與教學(xué)經(jīng)驗(yàn).因此，如何講出“具有統(tǒng)計味道”的統(tǒng)計課是目前中小學(xué)統(tǒng)計教學(xué)的一個挑戰(zhàn).應(yīng)對這一挑戰(zhàn)的基礎(chǔ)在于理解統(tǒng)計與數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別.

愛因斯坦曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)定律不能百分之百地用于現(xiàn)實(shí)世界.能用數(shù)學(xué)定律百分之百確實(shí)描述的，就不是現(xiàn)實(shí)生活.而統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)通常都來自現(xiàn)實(shí)世界，具有變異性，所以統(tǒng)計結(jié)論不是絕對的.

下面，我們從幾個方面初步討論統(tǒng)計、概率與確定性數(shù)學(xué)的區(qū)別.

1.歷史根源不同

數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展是人類發(fā)展史的一個重要組成部分，古希臘時代的歐幾里得《原本》中就已經(jīng)構(gòu)建了相對完整的演繹系統(tǒng).相比之下，統(tǒng)計與概率的發(fā)展則要晚得多.

統(tǒng)計問題的產(chǎn)生源自對不確定性現(xiàn)象的估計，早期的研究者都是具有很強(qiáng)數(shù)學(xué)功底的其他學(xué)科領(lǐng)域的專家，其目的是運(yùn)用具有確定性的數(shù)學(xué)工具去研究不確定性現(xiàn)象.例如，統(tǒng)計學(xué)的先驅(qū)弗朗西斯·高爾頓（Francis Galton，1822—1911）與他的表哥達(dá)爾文一樣是個生物學(xué)家，他通過搜集家庭成員的身高、體重等數(shù)據(jù)，研究父母與子女的相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)了在各個領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用的“回歸平均”趨勢；作為統(tǒng)計學(xué)奠基人之一的卡爾·皮爾遜（Karl Pearson，1857—1936）早期學(xué)的是政治科學(xué)，他在狀態(tài)分布的基礎(chǔ)上確定了分布函數(shù)和參數(shù)的思想；現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的另一位奠基人羅納德·費(fèi)希爾（Ronald Fisher，1890—1962）早期的研究很多是農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn).從統(tǒng)計問題的來源看，幾乎涉及數(shù)學(xué)以外的所有領(lǐng)域，從天文觀察到生物現(xiàn)象，從傳染病的影響到啤酒的制作，從選舉投票到商城購物，等等.在研究這些具有不確定性的現(xiàn)象時，數(shù)學(xué)方法可以給人一定的確定性.在統(tǒng)計學(xué)的早期發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)起到了決定性的作用.今天，統(tǒng)計學(xué)的方法也成了數(shù)學(xué)研究的重要工具.

概率問題的產(chǎn)生也源自現(xiàn)實(shí)世界的活動，但與統(tǒng)計不同的是，早期的研究者一般是數(shù)學(xué)家，其目的是把隨機(jī)現(xiàn)象作為數(shù)學(xué)的研究對象，從而構(gòu)建處理隨機(jī)現(xiàn)象的確定性模型.對可能性大小進(jìn)行量化的想法自古有之，但直到16—17世紀(jì)才初步形成.發(fā)展過程為何如此漫長，這個問題至今仍然是一個謎.古希臘時代的德謨克利特（Democritus，約公元前460年—公元前370年）及其追隨者就假設(shè)，構(gòu)建宇宙的所有原子都會受到某種物質(zhì)偶然性的影響；羅馬時代的提圖斯·盧克萊修·卡魯斯（Titus Lucretius Carus，約公元前99年—約公元前55年）在《物性論》中指出，這種偶然性歸因于原子的偏離；古埃及人和古巴比倫人學(xué)會了用指關(guān)節(jié)骨或骰子玩概率游戲，到了羅馬時期，這種游戲流行開來，士兵們通過抽簽決定基督斗篷的歸屬；古希臘學(xué)院派懷疑論者將概率視為人生的指南.但奇怪的是，所有這些時期似乎都沒有出現(xiàn)有關(guān)概率的定量理論.到16世紀(jì)時，意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501—1576）討論過賭博中的骰子問題，開始出現(xiàn)量化的思想；17世紀(jì)早期，伽利略也研究過骰子點(diǎn)數(shù)的計算.但真正把概率作為一種度量研究，并使概率論成為一個數(shù)學(xué)分支的應(yīng)當(dāng)歸功于帕斯卡與費(fèi)馬.他們曾經(jīng)圍繞下面兩個經(jīng)典問題進(jìn)行了一系列的書信討論：（1）骰子問題.一個玩家如果在投擲8次骰子中出現(xiàn)一個6點(diǎn)，那么他可以拿走桌上的賭金.現(xiàn)在假設(shè)他已經(jīng)投擲了3次，都沒有一次是6點(diǎn)，莊家想讓他放棄第4次投擲的機(jī)會，應(yīng)該給他多少賭金才合理？（2）點(diǎn)數(shù)問題.兩名水平相當(dāng)?shù)耐婕疫M(jìn)行賭博比賽，他們事先約定一個點(diǎn)數(shù)，先達(dá)到這個點(diǎn)數(shù)者為勝，可以拿走全部賭金.在進(jìn)行若干輪后，賭局因故中斷，應(yīng)該如何分配賭金才合理？帕斯卡與費(fèi)馬圍繞上述問題的討論，引發(fā)了數(shù)學(xué)界對隨機(jī)現(xiàn)象的普遍關(guān)注，但直到柯爾莫哥洛夫構(gòu)建了概率論的公理系統(tǒng)，才真正確立了概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

2.立論基礎(chǔ)不同

我國著名統(tǒng)計學(xué)家陳希孺院士在《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史》的序中這樣寫道，統(tǒng)計學(xué)不僅僅是一種方法或技術(shù)，還含有世界觀的成分——它是看待世界上萬事千物的一種方法，我們常講某事從統(tǒng)計觀點(diǎn)看如何如何，指的就是這個意思.但統(tǒng)計思想也有一個發(fā)展過程.因此，統(tǒng)計思想（或觀點(diǎn)）的養(yǎng)成，不單需要學(xué)習(xí)一些具體的知識，還要能夠從發(fā)展的眼光，把這些知識連綴成一個有機(jī)的、清晰的圖景，獲得一種歷史的厚重感.這里，陳院士強(qiáng)調(diào)的是“統(tǒng)計思想的養(yǎng)成”，是人的全面發(fā)展中的“歷史厚重感”.

史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建立在概念和符號基礎(chǔ)上；為了合理地解釋抽象出來的東西，或者為了使數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)脫離人的經(jīng)驗(yàn)，人們構(gòu)建了基于自然數(shù)公理體系在內(nèi)的實(shí)數(shù)理論，最終歸結(jié)到集合論公理體系（反過來說，概念符號和公理體系的基礎(chǔ)還是人的經(jīng)驗(yàn)）.統(tǒng)計學(xué)建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上：如何有效獲取收集數(shù)據(jù)？如何保證數(shù)據(jù)有效和可靠？如何整理、分析數(shù)據(jù)？如何挖掘數(shù)據(jù)中的有用信息？如何預(yù)測隨機(jī)現(xiàn)象（反過來說，有效數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)還是數(shù)據(jù)）？

由于研究的對象都具有不確定性，因此統(tǒng)計與概率之間具有天然的聯(lián)系.統(tǒng)計研究對象的真實(shí)主體是數(shù)字的分布，這個分布可以通過參數(shù)來描述.將數(shù)字的分布看作是概率理論的元素，這樣就可以建立參數(shù)估計量的最優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，然后去解決用數(shù)據(jù)描述分布時遇到的數(shù)學(xué)問題.

可以看到，統(tǒng)計與數(shù)學(xué)之間在基本思想方法上既有所區(qū)別，又有聯(lián)系.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，統(tǒng)計結(jié)果也在一定程度上具備了確定性，并產(chǎn)生具有普遍意義的知識.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計之間將有越來越多的聯(lián)系.

3.推理方法不同

在統(tǒng)計學(xué)發(fā)展的早期，研究者很少向公眾展示或解釋統(tǒng)計分析的過程，他們所做的是論述自己的結(jié)論，并發(fā)表能證明結(jié)論真實(shí)性的數(shù)據(jù).例如，格雷戈?duì)枴ぜs翰·孟德爾（Gregor Johann Mendel，1822—1884）在其著名的豌豆實(shí)驗(yàn)中，從沒有展示出他全部豌豆培育實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，他敘述了他的系列實(shí)驗(yàn)，然后寫道：兩組系列實(shí)驗(yàn)的前10個數(shù)據(jù)可以用來說明……在20世紀(jì)40年代，費(fèi)歇爾檢驗(yàn)了孟德爾用來說明結(jié)論的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)過分完美，以至于失真，它們并沒有表現(xiàn)出應(yīng)該具有的隨機(jī)程度.

在數(shù)學(xué)中，推理過程依據(jù)的是邏輯規(guī)則，在確定前提的基礎(chǔ)上，可以運(yùn)用邏輯的方法一步一步地得出結(jié)論，推理過程的每一步都必須清晰明了，確鑿無疑.也就是說，數(shù)學(xué)結(jié)論是推理過程的一個自然結(jié)果，是不可分割的.

史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)證明基于公理和假設(shè)，公理體系最初雖然來源于人們的經(jīng)驗(yàn)和直覺，但最終還是脫離了現(xiàn)實(shí)背景（反過來說，公理體系最終雖然脫離了現(xiàn)實(shí)背景，其來源還是經(jīng)驗(yàn)直覺）；數(shù)學(xué)推理的前提是基本原則，包括同一律、矛盾律和排中律；數(shù)學(xué)證明的過程依賴演繹推理，得到的結(jié)論是必然的（驗(yàn)證結(jié)論）.統(tǒng)計推理的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)背景；統(tǒng)計推理的前提是歷史經(jīng)驗(yàn)；統(tǒng)計推理的過程依賴的是歸納推理，得到的結(jié)論是或然的（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）.

統(tǒng)計與概率的研究對象雖然都是不確定現(xiàn)象，但兩者在方法上是有區(qū)別的.在統(tǒng)計活動中，某個隨機(jī)過程的概率模型是未知的，但是通過這個過程可以得到一系列觀測值，我們希望依據(jù)這些觀測值來推斷出這個隨機(jī)過程的分布特征，并對所得到的結(jié)論的可靠性進(jìn)行判斷；而在概率中，雖然研究對象也是不確定現(xiàn)象，但隨機(jī)過程的概率模型通常是已知的，該模型的不確定性由相應(yīng)的概率分布來描述；概率論要回答的問題是這個隨機(jī)過程產(chǎn)生某個結(jié)果的可能性有多大，也即通過已知概率模型去精確計算各種結(jié)果的可能性.

4.判斷原則不同

史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對或錯，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，但嚴(yán)格講它是一門縝密的科學(xué).統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷原則是好或壞，即使是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己對數(shù)據(jù)背景理解的不同提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，所以統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù).

在統(tǒng)計問題解決中，研究者通常根據(jù)實(shí)際情境與需求自己確定一個標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)成標(biāo)準(zhǔn)的方法不是唯一的，研究結(jié)論也不會百分之百符合標(biāo)準(zhǔn)，而是依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置一個可以接受的程度（范圍）.判斷統(tǒng)計結(jié)論是否符合要求，除了考察其是否屬于可接受范圍外，還需要考慮簡易性、變異性等多種與研究背景相關(guān)的因素.因此，統(tǒng)計結(jié)論不可能像傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題那樣有“獨(dú)一無二的正確答案”.

此外，在數(shù)學(xué)中使用抽象符號進(jìn)行形式化表達(dá)的一個目的是盡可能不受生活經(jīng)驗(yàn)的干擾，直覺是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，但不是數(shù)學(xué)論證的途徑.但在統(tǒng)計中，一些研究者認(rèn)為，對不確定性的理解都源自日常生活中的直覺.生活直覺可以通過真實(shí)的統(tǒng)計活動得到加強(qiáng)，逐步形成統(tǒng)計直覺，而統(tǒng)計直覺在統(tǒng)計學(xué)習(xí)與研究中都至關(guān)重要.因此，在統(tǒng)計與概率的教學(xué)中，應(yīng)該從起步階段就重視培養(yǎng)學(xué)生對不確定性的感悟.