◎徐德彬 童麗華

(1.浙江省杭州市蕭山區(qū)新街初級中學(xué)，浙江 杭州 311217 2.浙江省杭州市蕭山區(qū)靖江初級中學(xué)，浙江 杭州 311223)

初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分，是學(xué)生發(fā)展“四基”“四能”的重要手段深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生不僅要能建構(gòu)知識關(guān)聯(lián)，理解核心知識，還要能進(jìn)行抽象概括和解決問題，更要能進(jìn)行自我評價(jià)與反思教是為學(xué)服務(wù)的，不能引發(fā)學(xué)的教是無效或低效的基于深度學(xué)習(xí)的習(xí)題教學(xué)少了學(xué)習(xí)表面的熱鬧，多了思維力度、思維密度的訓(xùn)練，從而更好地促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的形成

一、基于深度學(xué)習(xí)的習(xí)題教學(xué)“選題”策略

在習(xí)題教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)活動，教師應(yīng)精挑細(xì)選習(xí)題，并按照“典型性、層次性、針對性、新穎性”的原則選題

(一)挖掘課本習(xí)題的價(jià)值

課本中的習(xí)題與課本中的教學(xué)內(nèi)容相匹配，編寫人員均是教材編寫方面的專家，因此課本中的習(xí)題應(yīng)該是教師組織課堂教學(xué)的首選與此同時(shí)，教師要從課本習(xí)題中挖掘出數(shù)學(xué)教育價(jià)值當(dāng)然，這種挖掘與拓展既要適情適境，又要自然有效

如圖1,以三角形的邊，為邊作正方形和正方形，連結(jié)和求證：=(浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(下)P147)

本題是初中數(shù)學(xué)中常見的典型問題，解題關(guān)鍵是先得到∠=∠，然后利用“邊角邊”證明△≌△初中數(shù)學(xué)中有許多題目是以本題為原型的變式題，因此，教師在課堂教學(xué)中可通過設(shè)計(jì)變式題引導(dǎo)學(xué)生類比分析，進(jìn)而形成系統(tǒng)的解題思路

圖1

圖2

圖3

1如圖2,三角形是銳角三角形，分別以邊，為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形邊，，的中點(diǎn)分別是，，，連結(jié)和求證：=

2如圖3,分別以三角形的邊，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連結(jié)和求證：=

3(1)在例題中求與的夾角的度數(shù)，并判斷和是否垂直；

(2)在變式2中求與的夾角的度數(shù)

(二)精心安排改編習(xí)題

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，對一些習(xí)題進(jìn)行改編設(shè)計(jì)，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

在一節(jié)習(xí)題課的教學(xué)中，教師呈現(xiàn)習(xí)題：

學(xué)生看了一遍題目，臉上的表情告訴老師這太簡單了其中一名學(xué)生正確口述了解答過程

圖4

教師適時(shí)啟發(fā)：在這個圓中能構(gòu)造一個上題中那樣的直角三角形嗎？

此時(shí)學(xué)生若有所思：可以在圓中畫出無數(shù)個直角三角形學(xué)生結(jié)合已知條件，嘗試過三角形的頂點(diǎn)畫圓的直徑，構(gòu)造新的直角三角形，最后自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論大多數(shù)學(xué)生能夠順利添加輔助線，正確表述思維過程

教師繼續(xù)改編習(xí)題：若∠=，=，則⊙的直徑是多少？

教師設(shè)問小結(jié)：

(1)通過上述問題的解決過程，你認(rèn)為你學(xué)會了哪些方法？

(2)從這三個問題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

在這樣的安排下，學(xué)生不僅能夠在解決問題的活動中經(jīng)歷知識生成、發(fā)展與變化的過程，而且能夠在自主學(xué)習(xí)及生生、師生互動的活動中理解知識，進(jìn)而掌握技能和方法，獲得思維活動經(jīng)驗(yàn)

(三)精心設(shè)計(jì)新增習(xí)題

在習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)注重所選習(xí)題的豐富內(nèi)涵，通過精選一題多解習(xí)題，創(chuàng)設(shè)一題多變和一題多用的習(xí)題，實(shí)現(xiàn)問題解決方法多樣、多解歸一的目的，從而提高學(xué)生解決問題的能力

在一節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師編制了下面這道題：

圖5

如圖5,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥，交于點(diǎn)，連接，求證：四邊形是菱形

一題多證

思路一：證明四邊形是平行四邊形且=；

思路二：證明四邊形的四條邊相等；

思路三：證明⊥且四邊形是平行四邊形；

思路四：證明四邊形的對角線⊥，且與互相平分

一圖多用

本題的圖形可以分解為三個基本圖形：

在圖6中，∠=90°，⊥，則∠=∠；

在圖7中，平分∠，⊥，由角平分線的性質(zhì)可得=；

在圖8中，∠=∠+∠,∠=∠+∠，則∠=∠，由“等角對等邊”得=

圖6

圖7

圖8

綜合上述三個基本圖形的性質(zhì)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)證明菱形的方法在解題的過程中，把一個復(fù)雜的幾何圖形分解成幾個不同的基本圖形，有助于學(xué)生解題思路的形成，這是學(xué)生解決問題的關(guān)鍵

一題多變

1如圖9,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分∠，交于點(diǎn)，交于，連接，四邊形是菱形嗎？請給予證明

圖9

圖10

2如圖10,∠=90°,是高，平分∠，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作∥，與相交于點(diǎn)，試證明=

本題不僅解法多樣，而且包含多種基本圖形，能衍變出很多“美妙”的題目，有助于學(xué)生理解知識間的相互關(guān)系，進(jìn)而發(fā)展理性思維，提高解題能力

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵絕不是簡單的一個公式、一個概念，其變化是具有內(nèi)部復(fù)雜性的，因此注重其深層的變化過程是非常重要的數(shù)學(xué)教師在選擇習(xí)題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重將各層次、各階段的知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系知識的整合是十分重要的一個環(huán)節(jié)，習(xí)題的整理同樣如此，要使學(xué)生通過一道題目的復(fù)習(xí)，鞏固更多方面的內(nèi)容，從而有效提升學(xué)習(xí)效率

二、基于深度學(xué)習(xí)的習(xí)題教學(xué)“講題”策略

在習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)，教師需要在講題的過程中展示數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，使學(xué)生認(rèn)清本質(zhì)，感悟思想，從而深度理解，即全面而系統(tǒng)地分析題目中的“源”與“流”

(一)深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)習(xí)題所內(nèi)隱的基礎(chǔ)知識

聽過這樣一句話：“教師講的，貌似聽懂，但轉(zhuǎn)身就忘；學(xué)生講的，雖不完美，但終生難忘”在習(xí)題講解時(shí)，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，通過親身經(jīng)歷，可以領(lǐng)會習(xí)題所內(nèi)隱的基礎(chǔ)知識

在二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí)中，浙教版教材第22頁作業(yè)題1：已知二次函數(shù)=-2+4+6

(1)求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸和與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的大致圖象

(2)自變量在什么范圍內(nèi)時(shí)，隨的增大而增大？何時(shí)隨的增大而減小？并求函數(shù)的最大值或最小值

教師要求學(xué)生由此題編出一道新題,說明所編的題涉及哪個知識點(diǎn)，并講一講解題方法

綜合學(xué)生所編的題，有以下幾類不同的出題視角

(1)與交點(diǎn)有關(guān)①取何值時(shí)，>0(<0)? ②滿足怎樣的條件時(shí)， -2+4+6=有實(shí)數(shù)根？

(2)與增減性有關(guān)①若-1≤≤3，求的取值范圍②若-2≤≤6，求的取值范圍③若(，)，(5，)是該拋物線上兩個點(diǎn)，且<，求的取值范圍

(3)與圖象平移有關(guān)①如何平移拋物線，使它經(jīng)過原點(diǎn)？②如何平移拋物線，使直線=-3經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)？③如果該拋物線不動，先把軸向左平移2個單位，再把軸向下平移4個單位，寫出在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式

(4)與面積有關(guān)設(shè)拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，求△最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)

此案例中的習(xí)題教學(xué)以課本題目為母題，讓學(xué)生自主編寫新題，并講解解題的基本思路、方法學(xué)生人人參與，教師點(diǎn)撥啟發(fā)，師生及時(shí)歸納整理，學(xué)生在其過程中獲取經(jīng)驗(yàn),強(qiáng)化能力

(二)善于提煉數(shù)學(xué)習(xí)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系

有效的交流是深度學(xué)習(xí)的靈魂在習(xí)題教學(xué)時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)良好的討論氛圍，設(shè)置規(guī)范的討論用語，能幫助學(xué)生養(yǎng)成清楚說明自己的觀點(diǎn)、理由的習(xí)慣，以此強(qiáng)化學(xué)生的溝通能力和批判性思維，從而提煉出習(xí)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系

在一節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師出示下題：

圖11

點(diǎn)，，在格點(diǎn)圖中的位置如圖11所示，小正方形的邊長為2，則點(diǎn)到線段所在直線的距離是________(用多種方法解答)

本題考查學(xué)生對勾股定理、點(diǎn)到直線的距離等知識的掌握情況及運(yùn)算能力從本題來看，利用正方形網(wǎng)格中直線間的位置關(guān)系與線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行作圖，能夠幫助學(xué)生形成解題思路，進(jìn)而提高學(xué)生的動手能力

在講解環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生闡述自己的解題思路(怎么想的)和方法(怎么做的)

思路一：基于,,三點(diǎn)構(gòu)造△，點(diǎn)到線段所在直線的距離即為△中邊上的高線長，可運(yùn)用“面積法”共交流了6種方法

思路二：正方形網(wǎng)格具有數(shù)與形兩重性質(zhì)，既有線段的長度與角的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，又有直線之間的特殊位置關(guān)系，還有圖形之間的相互關(guān)系，可運(yùn)用“相似法”共交流了3種方法

思路三：聯(lián)系點(diǎn)到直線的距離和垂線段最短的性質(zhì)，以“解析法”為主線，用函數(shù)知識解決

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”的主戰(zhàn)場，對于同一習(xí)題的不同解題思路的探究能夠揭示問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生能夠從不同角度、不同深度反思所學(xué)的知識，進(jìn)而達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果習(xí)題課教學(xué)不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的習(xí)慣，進(jìn)而提高了學(xué)生的思維品質(zhì)

(三)合理設(shè)置習(xí)題的問題鏈促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

問題鏈?zhǔn)巧疃葘W(xué)習(xí)的“牛鼻子”在習(xí)題教學(xué)時(shí)，教師可以事先設(shè)計(jì)好引導(dǎo)學(xué)生思維層層深入的問題鏈，幫助學(xué)生朝著明確的方向探索前行，從而提高學(xué)生的高階思維能力

圖12

下面是浙教版八年級上冊“等腰三角形”新課授完成后，復(fù)習(xí)課中例題的講解如圖12，在Rt△中，∠=90°,點(diǎn)在斜邊上若=，求證：∠=2∠

問題呈現(xiàn)后，教師直接讓有解題思路的學(xué)生回答

個人認(rèn)為在習(xí)題教學(xué)時(shí)，教師若能通過設(shè)置問題鏈加強(qiáng)分析引導(dǎo)，充分發(fā)揮該題在鞏固新知、揭示方法、強(qiáng)化思維、發(fā)展能力等方面的功能，對于大部分學(xué)生來說更有指導(dǎo)意義

本次習(xí)題教學(xué)通過如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考問題，讓學(xué)生在思考的過程中掌握解題方法

問題1 本題主要涉及哪些知識點(diǎn)？

學(xué)生回答：主要有直角三角形與等腰三角形

問題2 由直角三角形你能想到什么？由等腰三角形呢？

學(xué)生回答：由直角三角形想到互余(證全等時(shí)經(jīng)常用)，由等腰三角形想到兩腰相等(定義)、兩底角相等和等腰三角形三線合一(性質(zhì))

問題3 本題要解決什么樣的問題？

學(xué)生回答：證明∠=2∠

問題4 你有哪些經(jīng)驗(yàn)？

學(xué)生回答：角平分線的意義，頂角的補(bǔ)角剛好是底角的2倍

問題5 結(jié)合條件，本題適合用哪個知識點(diǎn)來解決？

學(xué)生討論

運(yùn)用知識點(diǎn)“角平分線的意義”分析與解決問題

思路一：把∠平分，證明其一半與∠相等(學(xué)生講解本思路下的一種證法如圖13)

思路二：構(gòu)造∠的兩倍角(學(xué)生講解本思路下的一種證法如圖14)

圖13

圖14

運(yùn)用知識點(diǎn)“等腰三角形頂角的補(bǔ)角等于底角的2倍”分析與解決問題

思路一：利用∠的補(bǔ)角構(gòu)造等腰三角形(學(xué)生講解本思路下的一種證法如圖15)

思路二：以∠為底角構(gòu)造等腰三角形(學(xué)生講解本思路下兩種不同輔助線的添加方法及相應(yīng)的證明過程如圖16，圖17)

圖15

圖16

圖17

問題6 談?wù)勀愕慕忸}收獲

教師根據(jù)學(xué)生的回答提煉出四大收獲：(1)審題應(yīng)從條件出發(fā)，展開聯(lián)想，分析相關(guān)知識點(diǎn)的隱含信息，為解題創(chuàng)造條件(2)分析應(yīng)從問題開始，追本溯源，梳理與問題有關(guān)的知識點(diǎn)，為解題找準(zhǔn)方向(3)轉(zhuǎn)化應(yīng)從思維受阻的地方尋求突破口，調(diào)整解題策略，探尋解題通法(4)證明角的二倍關(guān)系主要利用“角平分線的意義”和“等腰三角形頂角的補(bǔ)角等于底角的2倍”，把倍角轉(zhuǎn)化為等角進(jìn)行解答

在習(xí)題講解時(shí)，合理設(shè)置問題鏈，能充分發(fā)揮習(xí)題在鞏固知識、構(gòu)建問題、揭示方法、發(fā)展思維能力等方面的功能，有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

三、基于深度學(xué)習(xí)的習(xí)題教學(xué)“反思”策略

波利亞在《怎樣解題》中特別強(qiáng)調(diào)要重視解后回顧的環(huán)節(jié)對應(yīng)到習(xí)題教學(xué)，教師也應(yīng)該十分重視解題后回顧反思的教學(xué)環(huán)節(jié)

(一)學(xué)生從“學(xué)”的角度反思

解題后，在教師的層層設(shè)問下，學(xué)生能夠把規(guī)律化、本質(zhì)化的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)與反思，由“怎樣解”到“為什么這樣解”層層深入這樣不僅能讓習(xí)題教學(xué)的“成果擴(kuò)大”，而且能向?qū)W生傳遞和分享解題習(xí)慣

(二)教師從“教”的角度反思

解題后，教師除了要合理引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)之外，還要從更高的角度引導(dǎo)學(xué)生思考：解答了這道習(xí)題之后收獲了怎樣的解題經(jīng)驗(yàn)？根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)?zāi)懿荒芙鉀Q類似的問題？能不能找到這類問題的根本屬性？這道題還可以以怎樣的樣式出現(xiàn)？旨在使學(xué)生擺脫習(xí)題的束縛，更有效地學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高解決數(shù)學(xué)問題的能力

一直以來，教師都十分清楚數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，與基礎(chǔ)知識與技能相比，數(shù)學(xué)思想不易被學(xué)生理解和接受在習(xí)題教學(xué)中，若教師直接點(diǎn)明習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想，則學(xué)生通常沒有感覺，不能在問題解決的過程中慢慢地積累經(jīng)驗(yàn)，感觸思想因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)需要教師為學(xué)生創(chuàng)造適合的載體和空間，搭建適合學(xué)生展示的平臺，真實(shí)地留下學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的足跡

總之，在建構(gòu)深度學(xué)習(xí)的道路上，“教”是最大誘因，需綜合考慮，尤其要重視習(xí)題教學(xué)中學(xué)生主體作用的發(fā)揮習(xí)題教學(xué)要注意以下方面：引導(dǎo)學(xué)生自己分解問題，聯(lián)想知識結(jié)構(gòu)，尋找問題突破口，選擇合理的解題方法；引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度出發(fā)，分析和思考問題，通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，如類比思想、逆向思維等，切忌邏輯不通，思維混亂；引導(dǎo)學(xué)生對同一知識點(diǎn)的題型及解題方法進(jìn)行歸納；引導(dǎo)學(xué)生歸納特殊問題的一般化處理方法努力實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)在習(xí)題教學(xué)中真實(shí)發(fā)生的目的