徐強

江蘇省南通市海門區(qū)教師研修中心 226100

寫在前面

“雙減”背景下，探索“單元”整體教學(xué)，讓課堂更“飽滿”是提升“作業(yè)質(zhì)效”的路徑之一.初中數(shù)學(xué)如何從“課時”教學(xué)轉(zhuǎn)向“單元”教學(xué)？重構(gòu)學(xué)材，讓學(xué)生將所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)化，從而成為實現(xiàn)提升“作業(yè)質(zhì)效”，培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也明確指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的生長點與延伸點，把每堂課教學(xué)的知識置于整體的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.這表明從“課時”教學(xué)轉(zhuǎn)向“單元”教學(xué)就是需要教師進行“單元”視角下的教學(xué)組織，而這已經(jīng)成為當(dāng)下很多數(shù)學(xué)教師的自覺追求，他們積極踐行“在整體之中看局部”“在建構(gòu)之中學(xué)知識”.筆者作為全國著名特級教師李庾南老師創(chuàng)立的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法推廣專家組成員之一，持續(xù)在研究“單元”視角下的“學(xué)材再建構(gòu)”［1］.本文結(jié)合“圓周角（第2課時）”課例，談?wù)勅绾位凇皢卧币暯?，設(shè)計問題驅(qū)動，讓學(xué)生課內(nèi)吃飽吃好，課后作業(yè)減負且更有效.

“圓周角（第2課時）”教學(xué)設(shè)計

（一）教材分析

1.地位作用

本節(jié)內(nèi)容選自人教版教材九年級上冊第二十四章第一節(jié)第5 課時，即24.1.4圓周角第2課時，主要內(nèi)容是能證明圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并會用之解決相關(guān)計算和證明等問題.大多數(shù)教師不會從整體的角度把握教材僅孤立地看本節(jié)內(nèi)容，淺顯地將本節(jié)設(shè)計成“圓內(nèi)接四邊形”.忽略了一個問題：教材為什么將本節(jié)課題定為“圓周角”而不是“圓內(nèi)接四邊形”？筆者以為教材這樣安排一方面是突出聯(lián)系，圓內(nèi)接四邊形的四個內(nèi)角都是圓周角（“課時”視角）；另一方面更重要的是突出轉(zhuǎn)化，積累圓中角轉(zhuǎn)化的路徑與方法（“單元”視角），而這在探索或運用圓中角的相等、互余、互補等關(guān)系是至關(guān)重要的［2］.

為此，筆者基于對教材的理解與學(xué)生的認知基礎(chǔ)，對學(xué)材進行了重構(gòu)，以“圓周角轉(zhuǎn)化的路徑與方法”為主線對教材內(nèi)容進行了整合與設(shè)計，并確定了本課時的目標(biāo)、重難點.

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）了解圓內(nèi)接四邊形、四邊形外接圓等相關(guān)概念；

（2）證明圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，進一步積累圓中角轉(zhuǎn)化的路徑與方法.

3.教學(xué)重點與難點

（1）教學(xué)重點：圓中角轉(zhuǎn)化的路徑與方法；

（2）教學(xué)難點：會用圓中角轉(zhuǎn)化的方法解決與圓有關(guān)的角度計算與證明.

基于以上認識，筆者進一步思考——設(shè)計怎樣的“問題鏈”，更能抓住學(xué)生的思維和調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)釋放更多的學(xué)習(xí)能量，從而實現(xiàn)目標(biāo)，于是形成了如下“教學(xué)過程”.

（二）教學(xué)過程

1.回顧與梳理

問題1：結(jié)合圖1你能說說什么是圓周角嗎？

圖1

問題2：你能在圖1中畫出一個等于∠ABC兩倍的角嗎？理由是什么？

問題3：你能在圖1中畫一個∠ABD，使∠ABD＝∠ABC嗎？理由是什么？

問題4：如果在圖1中作直徑BD，你能發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠ADC有何數(shù)量關(guān)系？理由是什么？

問題5：方法建構(gòu)，你認為轉(zhuǎn)化一個圓周角有哪些路徑與方法？

活動預(yù)設(shè)教師利用PPT 動畫功能，漸次呈現(xiàn)相應(yīng)問題.通過說圖、畫圖，交流學(xué)過的圓周角的相關(guān)知識，圓周角轉(zhuǎn)化的路徑與方法.問題1由學(xué)生直接回答，問題2和3由學(xué)生展示畫圖過程并闡釋畫圖依據(jù)，問題4和5由學(xué)生先獨立思考后小組交流、全班展示展講.

設(shè)計意圖首先，通過一系列逐層遞進的問題迅速喚醒學(xué)生前一課時所學(xué)習(xí)的圓周角的定義、圓周角定理及其推理.然后，在學(xué)生已有的認知規(guī)律和經(jīng)驗基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納轉(zhuǎn)化圓周角路徑與方法，為進一步探究做好鋪墊.

2.探究與發(fā)現(xiàn)

問題6：在剛才的圖形中，四邊形ABCD具有怎樣的特點？

問題7：如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A與∠C、∠B與∠D之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖2

問題8：如何證明“圓內(nèi)接四邊形對角互補”？

活動預(yù)設(shè)教師先引導(dǎo)類比圓內(nèi)接三角形，讓學(xué)生嘗試歸納表述圓內(nèi)接四邊形等概念并板書，再放手讓學(xué)生猜想“圓內(nèi)接四邊形對角有怎樣的數(shù)量關(guān)系”，并追問“是如何猜想的”，最后由學(xué)生自主證明“圓內(nèi)接四邊形對角互補”.學(xué)生在組內(nèi)交流匯總不同的方法，小組代表全班展示.

設(shè)計意圖一方面通過問題6—8延續(xù)“回顧與梳理”環(huán)節(jié)，自然給出圓內(nèi)接四邊形等概念，同時讓學(xué)生先感受特殊到一般的結(jié)論推廣，再回歸特殊證明路徑，體會數(shù)學(xué)證明的必要性和嚴(yán)謹性；另一方面由自主思考到小組討論，最后全班展示發(fā)現(xiàn)并證明“圓內(nèi)接四邊形對角互補”，將探索的主動權(quán)完全交給學(xué)生，增強了學(xué)生的自主能動性、自信心，讓學(xué)生進一步理解圓周角轉(zhuǎn)化的方法與依據(jù)，靈活地選擇方法來證明.

3.運用與鞏固

問題9：如圖3，點A，B，C，D 在⊙O上，點E是BC延長線上一點，已知∠A＝100°，則∠DCE=______.

圖3

問題10：如圖4，A，B，C是⊙O上三點，已知∠AOC＝130°，則∠ABC＝______°.

圖4

變式思考1：若∠ABC ＝115°，則∠AOC＝______°；

變式思考2：若∠ABC＝x°，∠AOC＝y(tǒng)°，則y與x有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

變式思考3：若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ABC＝______.

問題11：如圖5，已知在⊙O中AB＝AD，∠BAD＝60°，求證：∠ACD＝60°.

圖5

活動預(yù)設(shè)對于問題9，教師先引導(dǎo)學(xué)生分析、利用所學(xué)知識自主設(shè)計合理的問題在小組內(nèi)分享，再安排學(xué)生上臺講解并寫出解答過程，若出現(xiàn)不足，則引導(dǎo)其他學(xué)生參與評價和優(yōu)化，強調(diào)規(guī)范表達.對于問題10，先讓學(xué)生自主分析“要求∠ABC，可以補充哪些條件”，再小組分享，全班展講求解的思路方法，如果學(xué)生有困難，那么可用變式思考1提示學(xué)生，待學(xué)生厘清關(guān)系后再根據(jù)學(xué)情漸次呈現(xiàn)其他變式問題.對于問題11放手讓學(xué)生自主分析解答，教師巡視批改做得快的學(xué)生并激勵評價，同時讓先做好的學(xué)生去批改、指導(dǎo)、幫助其他學(xué)生.

設(shè)計意圖一方面將問題9和10設(shè)計成開放性問題，在同一個基礎(chǔ)圖形上漸次“生成”一些新的問題，讓學(xué)生放飛思維，有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，同時提高探究水平、培優(yōu)探究習(xí)慣和發(fā)展思維品質(zhì)；另一方面這樣的問題串，既關(guān)注了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的鞏固，又關(guān)注了圓中角轉(zhuǎn)化的方法，使學(xué)生在思維層面上進一步感悟聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，內(nèi)化認知結(jié)構(gòu).

4.小結(jié)與反思

問題12：“圓內(nèi)接四邊形對角互補”是如何得到的？你的證明方法是什么？

問題13：對于圓中角的轉(zhuǎn)化路徑與方法你積累了哪些經(jīng)驗？還有疑問否？

活動預(yù)設(shè)投影小結(jié)問題，學(xué)生自主歸納總結(jié)后組內(nèi)交流，小組代表展示，教師追問補充完善結(jié)構(gòu)化板書.

設(shè)計意圖通過問題引導(dǎo)方式讓學(xué)生回顧整堂課的知識線和方法線，有效提升學(xué)生自主歸納提煉反思的能力，強化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段知識、方法的關(guān)聯(lián).

5.板書設(shè)計

板書設(shè)計見圖6.

圖6

設(shè)計意圖通過結(jié)構(gòu)化的板書，讓學(xué)生體會知識與方法間的內(nèi)在聯(lián)系，突出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及重難點，加深理解記憶，變抽象為具體，積累轉(zhuǎn)化圓中角的路徑與方法.

（三）課后作業(yè)

1.回顧梳理：（1）用自己喜歡的方式簡明地梳理“圓中角轉(zhuǎn)化的路徑與方法”；（2）整理“問題9”中補充的條件及解答過程.

2.鞏固思考：人教教材九年級上P88練習(xí)5；P90第14題【拓展思考（選做），由本題條件，你還能提出哪些問題？如試著探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明】.

設(shè)計意圖作業(yè)設(shè)計應(yīng)該是教學(xué)設(shè)計不可分割的一部分，而在“雙減”背景下作業(yè)設(shè)計的“精”“準(zhǔn)”顯得更為重要.作業(yè)設(shè)計緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點，以鞏固知識、發(fā)展能力、提升素養(yǎng)為目標(biāo)，通過回顧梳理準(zhǔn)確建構(gòu)內(nèi)化思維模式，再歸納本課所學(xué)知識、思想、方法等，強化學(xué)生自主溫故、反思、整理的習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)力；通過基礎(chǔ)訓(xùn)練與拓展思考，既幫助全體學(xué)生鞏固所學(xué)的基礎(chǔ)，又滿足部分喜思考、善研究的學(xué)生的需求，力求踐行“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.

教學(xué)立意的進一步解讀

第一，從“課時”轉(zhuǎn)向“單元”，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)

認知心理學(xué)的核心理念是：學(xué)習(xí)是認知結(jié)構(gòu)的組織和再組織，學(xué)生有效學(xué)習(xí)的最終結(jié)果必然是在自己的頭腦中構(gòu)建有成效的認知結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)具有良好的穩(wěn)定性、清晰性和可利用性［3］.“課時”視角某種意義上說是一種“孤立推進”的碎片化的設(shè)計視角，這不僅會造成學(xué)生“只見樹木不見森林”狹隘的知識視野，還會制約學(xué)生方法的遷移能力.“單元”視角是一種系統(tǒng)構(gòu)建的凸顯整合性特點的設(shè)計視角，能較好地避免這些問題，但需要教師從整體上把握教材，尋求課時知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，對教學(xué)資源、內(nèi)容進行重新整合.本節(jié)設(shè)計從“課時”的知識視角轉(zhuǎn)向“單元”的方法視角，以圓中角的轉(zhuǎn)化路徑與方法為線索，重組內(nèi)容、重構(gòu)學(xué)材，不僅厘清了課時之間的邏輯，打通了方法，構(gòu)建了完整的方法體系，讓課堂更豐滿，而且增進了知識的系統(tǒng)性，拓寬了學(xué)生的視野，優(yōu)化了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，促進了學(xué)生良好認知結(jié)構(gòu)的形成.

第二，從“知識鏈”轉(zhuǎn)向“問題鏈”，凸顯學(xué)生的自主建構(gòu)

筆者以為“知識鏈”的設(shè)計理念，往往是“教師中心”下的“教程—知識驅(qū)動”的設(shè)計，會制約學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展與情感態(tài)度的培育，而“問題鏈”的設(shè)計理念是“學(xué)為中心”下的“學(xué)程—問題驅(qū)動”的設(shè)計，可以更好地發(fā)揮學(xué)生的主體性，培育學(xué)生的核心素養(yǎng).“問題鏈”設(shè)計，把準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是關(guān)鍵，設(shè)計中需要教師深度分析學(xué)生已有經(jīng)驗與水平，從整體系統(tǒng)的視角精心設(shè)計“問題鏈”，這樣才能使問題驅(qū)動更有效，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生［4］.筆者設(shè)計本節(jié)課的“問題鏈”時力求基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，立足學(xué)生對轉(zhuǎn)化圓周角已有經(jīng)驗與方法（“單元”視角）的快速喚醒，通過層層深入的“問題鏈”搭建了新知與舊知之間的關(guān)聯(lián)，激發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生自主探究、系統(tǒng)建構(gòu)新知，提高學(xué)生參與度和思維度，從而讓學(xué)生由被動聽講到主動建構(gòu)，卷入具有思考性的學(xué)習(xí)活動中，真正促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度理解與發(fā)展，從教會走向?qū)W會.關(guān)于“問題鏈”在教學(xué)過程中的呈現(xiàn)方式，可以使用PPT漸次呈現(xiàn)的動畫功能，而不是將所有問題串直接印制在學(xué)案上，前一種呈現(xiàn)方式可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)，讓學(xué)生在課堂上對新的問題充滿期待，而后一種方式，學(xué)生會直接看全所有“問題鏈”，不利于學(xué)生養(yǎng)成逐步深入思考的習(xí)慣.

第三，從“結(jié)果”轉(zhuǎn)向“過程”，突出思維的循序漸進

“單元”視角下重構(gòu)學(xué)材，注重過程體驗是重點.本節(jié)課設(shè)計線索是圓中角的“聯(lián)系”“轉(zhuǎn)化”（“單元”視角），而將圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)的探究僅僅作為“路徑與方法”的載體.從圓周角定理到兩個推論再到圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的證明，都是指向轉(zhuǎn)化圓周角的路徑與方法，知識與方法并行，轉(zhuǎn)化思想貫穿，潛移默化，水到渠成［5］.為此，在教學(xué)時，教師不要急于給出圓內(nèi)接四邊形定義，不要直接給出圖形，不要讓學(xué)生直接證明“圓內(nèi)接四邊形對角互補”這一結(jié)論，而要讓學(xué)生在前面復(fù)習(xí)舊知問題（設(shè)計小的“問題鏈”）的基礎(chǔ)上充分經(jīng)歷圓周角的轉(zhuǎn)化過程，積累圓中角的轉(zhuǎn)化路徑與方法，再自然畫出圓內(nèi)接四邊形的示意圖，自主探究發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，最后利用已有的圓周角轉(zhuǎn)化的路徑與方法嚴(yán)謹證明以說明合理性.這一教學(xué)過程讓學(xué)生充分知道數(shù)學(xué)猜想必須經(jīng)過證明，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性，其最終目的是幫助學(xué)生積累轉(zhuǎn)化圓中角（圓周角、圓心角）的方法（等角轉(zhuǎn)化、倍分轉(zhuǎn)化、互余轉(zhuǎn)化、互補轉(zhuǎn)化），為進一步積累求解圓中線段長奠定基礎(chǔ).

第四，從“封閉”轉(zhuǎn)向“開放”，提供“再創(chuàng)造”的機會

“雙減”之一是課內(nèi)增效提質(zhì)，課外減輕學(xué)生過重的作業(yè)負擔(dān).實踐表明，大量的機械刷題、繁雜的習(xí)題演算不僅不能有效激發(fā)學(xué)生主動建構(gòu)、積極參與的情感，讓學(xué)生有效形成良好的認知結(jié)構(gòu)，而且會消耗學(xué)生較多的課后時間，加重學(xué)生的作業(yè)負擔(dān)，甚至讓部分學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭煩、厭惡的情感.筆者以為“題”從“封閉”轉(zhuǎn)向“開放”，是解決以上問題的一條有效路徑.為此，在本節(jié)課課內(nèi)新知運用環(huán)節(jié)，設(shè)置的問題9沒有直接呈現(xiàn)最后的問題，問題10沒有直接呈現(xiàn)關(guān)鍵條件，均是讓學(xué)生根據(jù)圖形當(dāng)小老師補全結(jié)論或條件，交由同組內(nèi)學(xué)生解答，各小組（代表）在全班展示展講提出的結(jié)論、條件與解答，教師則“順學(xué)而導(dǎo)”“順勢而為”引導(dǎo)反思提煉，生成結(jié)構(gòu)化板書.通過結(jié)構(gòu)化板書直觀顯現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)以提升學(xué)生的整體感知，強化知識、方法間內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián).在課后作業(yè)環(huán)節(jié)中，基于梳理的開放筆者設(shè)置了“用自己喜歡的方式簡明地梳理圓中角轉(zhuǎn)化的路徑與方法”的問題；基于訓(xùn)練的開放筆者設(shè)置了“由教材原題的條件，你還能提出哪些問題”的問題.課內(nèi)新知運用的環(huán)節(jié)與課后作業(yè)的環(huán)節(jié)均為學(xué)生提供了開放性問題，讓學(xué)生圍繞本節(jié)課的內(nèi)容自主設(shè)計與提問.這種開放性問題的設(shè)計，不僅為學(xué)生提供了“再創(chuàng)造”的情境與機會，對提升學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)（獨立性、變通性、發(fā)散性、重組性、多向性、質(zhì)疑性）大有裨益，而且能有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生真正學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考、表達”，幫助學(xué)生認識自我并形成穩(wěn)固的學(xué)習(xí)激情.

源于教材又是高于教材是“單元”視角下“學(xué)材再建構(gòu)”的基本要求，從“教教材”到“用教材教”，“學(xué)材再構(gòu)建”必須以教科書為參照物，以教學(xué)對象——學(xué)生為依據(jù)，以學(xué)生最大發(fā)展為目標(biāo)，以“問題鏈”為載體，重新構(gòu)建學(xué)材.筆者以為，數(shù)學(xué)教師在進行教學(xué)設(shè)計時要主動探索并堅守“單元”視角，將學(xué)材分為單元或知識（方法）模塊進行再建，從整體上把握教學(xué)要求，適度整合教學(xué)內(nèi)容，持續(xù)優(yōu)化“問題鏈”；在教學(xué)過程中要“以學(xué)為中心”，重學(xué)程重生成，將讓學(xué)生課內(nèi)學(xué)足學(xué)透學(xué)好，課后真正“減負”并有效激勵學(xué)生學(xué)習(xí)自信與培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)自覺作為教學(xué)追求.