易良斌 浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310020

吳維靜 杭州師范大學(xué)東城中學(xué) 310000

引言

作業(yè)是我們?nèi)粘＝虒W(xué)的重要組成部分，其主要目的一方面是為了幫助學(xué)生鞏固知識，促其進(jìn)步；另一方面則是幫助教師反饋教學(xué)效果，達(dá)到精準(zhǔn)教學(xué)的目的.數(shù)學(xué)單元作業(yè)是教師在單元目標(biāo)和單元設(shè)計(jì)的指導(dǎo)下，將單元內(nèi)零散、單一的作業(yè)采取刪減、增補(bǔ)、重組等方式整合，在單層面統(tǒng)籌考慮整個(gè)單元的系列性作業(yè)［1］.“雙減”政策明確要求減輕義務(wù)教育階段學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，如何在有限的時(shí)間里設(shè)計(jì)更高效的作業(yè)，無疑對教師的作業(yè)設(shè)計(jì)水平提出了更高的要求.在此背景下，筆者以“全等三角形”為例，嘗試設(shè)計(jì)適性的階梯式單元提升作業(yè).

設(shè)計(jì)思路與核心

筆者發(fā)現(xiàn)在幾何題的講解中，學(xué)生有時(shí)僅僅只差某一個(gè)提示就能完成整道難題.而數(shù)學(xué)作業(yè)具有針對性、發(fā)展性、探究性、差異性等特征，于是筆者在基于學(xué)情的背景下嘗試階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計(jì)，它以維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論為主要依據(jù)，同時(shí)結(jié)合“支架式教學(xué)”“類比教學(xué)”“變式訓(xùn)練”“啟發(fā)式問題串”等教學(xué)理念的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì).

本文提到的階梯式單元提升作業(yè)即作業(yè)沒有明確的分層，但是每一個(gè)專題和問題之間都有相關(guān)的聯(lián)系，難度按照相對較小的階梯進(jìn)行，因此每題都可能成為不同能力學(xué)生的“分水嶺”［2］.教師不會告訴學(xué)生問題的難度指數(shù)，避免學(xué)生產(chǎn)生心理定式，學(xué)生將根據(jù)自身能力進(jìn)行選擇，從而在逐步提升自我需求的同時(shí)滿足教師要求和學(xué)生需求之間的平衡.由于階梯較小，學(xué)生能通過問題之間細(xì)小的變化得到相關(guān)的提示，從而建立完成作業(yè)的信心，降低對數(shù)學(xué)難度的恐懼，逐步完成更高等級的作業(yè)，進(jìn)一步逼近自身的“最近發(fā)展區(qū)”.

本作業(yè)設(shè)計(jì)充分關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生的高頻錯(cuò)題出發(fā)，根據(jù)錯(cuò)因分析針對學(xué)生的薄弱點(diǎn)設(shè)計(jì)階梯式作業(yè)，秉承從易至難、從基礎(chǔ)知識到應(yīng)用能力的梯度設(shè)計(jì)4個(gè)課時(shí)模塊（圖1），從而更好地體現(xiàn)單元提升作業(yè)中的提升性、反思性、應(yīng)用性和拓展性要求.

圖1 單元設(shè)計(jì)模塊

其中將每課時(shí)的作業(yè)量控制在6題以內(nèi)，設(shè)計(jì)以下四種類型的作業(yè)（圖2），以“習(xí)題演練，自我提升—?dú)w納總結(jié)，自我反思—綜合應(yīng)用，自我鞏固—拓展創(chuàng)新，自我突破”設(shè)計(jì)4個(gè)主題模塊，其中提升型作業(yè)注重相關(guān)考點(diǎn)、題型的演練，落實(shí)“雙基”；反思型作業(yè)注重方法歸納總結(jié)，滲透數(shù)學(xué)思想；應(yīng)用型作業(yè)注重綜合應(yīng)用知識點(diǎn)解決問題，發(fā)展關(guān)鍵能力；拓展型作業(yè)注重思維發(fā)散，進(jìn)一步提升核心素養(yǎng).

圖2 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)模塊

通過提升型作業(yè)歸納總結(jié)得到一定的知識儲備，進(jìn)而對知識進(jìn)行應(yīng)用與發(fā)散，最后由交流提煉得到進(jìn)一步提升.學(xué)生通過經(jīng)歷“提升—反思—應(yīng)用—拓展”的步驟來自主建構(gòu)知識框架，從而提高幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)，增強(qiáng)邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力等關(guān)鍵能力.

圖3 作業(yè)設(shè)計(jì)與核心素養(yǎng)的關(guān)系

單元主題和設(shè)計(jì)目標(biāo)

（一）單元主題

“全等三角形”是幾何入門所必需的基礎(chǔ)知識和基本技能，是初中幾何從實(shí)驗(yàn)階段過渡到論證幾何階段的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力方面具有重要作用.本文為基礎(chǔ)教學(xué)完成后進(jìn)行的提升作業(yè)設(shè)計(jì)，通過學(xué)生自主探索三角形全等的條件，歸納常見圖形和基本思路，研究全等三角形的應(yīng)用價(jià)值，從而引導(dǎo)學(xué)生深度建構(gòu)，發(fā)展核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)四邊形、圓、相似三角形等其他幾何知識打下良好的基礎(chǔ).

（二）設(shè)計(jì)目標(biāo)

見表1.

表1 作業(yè)設(shè)計(jì)目標(biāo)

作業(yè)設(shè)計(jì)分析

以學(xué)生的高頻錯(cuò)題為出發(fā)點(diǎn)，通過學(xué)生自主完成、歸納總結(jié)、思維發(fā)散、交流提煉的形式進(jìn)行，由于篇幅有限，筆者將以作業(yè)（三）全等三角形的構(gòu)造方法以及作業(yè)（四）全等三角形的應(yīng)用為例進(jìn)行具體分析.

作業(yè)（三）全等三角形的構(gòu)造方法

作業(yè)中高頻錯(cuò)題：

（作業(yè)本1.5.1 第6題）如圖4，已知AB=DC，AC=DB，求證：∠A=∠D.

圖4

下面是兩位同學(xué)的對話：

方方說：根據(jù)條件，找不到全等三角形，圓圓說：如果添加輔助線，就可以找到全等三角形了，請根據(jù)提示給出證明.

（作業(yè)本1.5.2第7題）如圖5，在△ABC 中，AB=5，AC=9，AD 是BC 邊上的中線，則AD 的取值范圍是（）

圖5

A.4＜AD＜14 B.0＜AD＜14

C.2＜AD＜7 D.5＜AD＜9

錯(cuò)因分析上述兩題都需要增添輔助線，對于此類題型，能否添對輔助線構(gòu)造出合適的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，而學(xué)生對輔助線的添法往往沒有頭緒.

就此，筆者設(shè)計(jì)提升作業(yè)“全等三角形中常見的構(gòu)造方法”，借此為學(xué)生在解決幾何問題中添加輔助線提供思路.

全等三角形的構(gòu)造方法

一、習(xí)題演練，自我提升

類型1：連接線段

1.如圖6，已知AB=DC，AC=DB，求證：∠B=∠C.

圖6

類型2：作垂線

2.已知：如圖7，DA平分∠CAB，∠ABD+∠ACD=180°，∠B=90°，易證：DB=DC.

圖7

探究：如圖8，DA平分∠CAB，∠ABD+∠ACD=180°，∠B＜90°，求證：DB=DC.

圖8

類型3：倍長中線

3.如圖9，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，求證：AB+AC＞2AD.

圖9

類型4：截長補(bǔ)短

4.如圖10，AB∥DC，AD⊥CD，點(diǎn)P在AD 上，BP，CP分別平分∠ABC，∠BCD.（1）求證：PA=PD；（2）求證：AB+CD=BC；（3）若去掉AD⊥CD這個(gè)條件，上述兩問的結(jié)論是否仍成立？

圖10

二、歸納總結(jié)，自我反思

根據(jù)上述幾種題型的練習(xí)，你能否結(jié)合平時(shí)所學(xué)總結(jié)常見的構(gòu)造三角形的方法？請?jiān)囍鴼w納出來.

三、綜合應(yīng)用，自我鞏固

5.如圖11，在△ABC中，∠C=2∠B，DA為∠CAB的角平分線，求證：AB=AC+CD.

圖11

四、拓展創(chuàng)新，自我突破

6.（1）問題解決：請你證明下面命題，如圖12，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF且DE與AB相交于點(diǎn)E，DF與AC相交于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF.

圖12

（2）問題拓展：如圖13，在四邊形ACDB 中，∠ABD+∠ACD=180°，BD=CD，∠CDB=120°，在頂點(diǎn)D處作一個(gè)60°的角，角兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接EF，猜想線段EF，BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖13

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生感受全等三角形中不同的添加輔助線的方法：連接線段、作垂線、倍長中線、截長補(bǔ)短和旋轉(zhuǎn)，通過不同的添加輔助線的方法感受輔助線在解決幾何問題中“搭橋牽線”的作用及優(yōu)越性，及時(shí)滲透轉(zhuǎn)化思想.

另外，在作業(yè)講解時(shí)教師要對不同背景選擇不同的方法進(jìn)行總結(jié)：若出現(xiàn)角平分線則優(yōu)先考慮作垂線；若有中線條件優(yōu)先考慮倍長中線；若猜想兩條線段之和等于第三條線段的證明優(yōu)先考慮截長補(bǔ)短；有兩邊相等、旋轉(zhuǎn)后為一條直線的問題時(shí)優(yōu)先考慮通過旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造全等三角形.同時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生理解輔助線的作法往往不唯一，需要我們平時(shí)多積累與總結(jié).

作業(yè)（四）全等三角形的應(yīng)用

作業(yè)中高頻錯(cuò)題：

（作業(yè)本復(fù)習(xí)題第12題）已知：如圖14，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC.連接BE，AD，分別交AC，CE于點(diǎn)M，N，求證：（1）△ACD≌△BCE，（2）CM=CN.

圖14

錯(cuò)因分析找不到合適的全等三角形，或雖然找到全等三角形，但是認(rèn)為缺少證明的條件，不理解第一問證出的全等有何用處.

因此筆者設(shè)計(jì)提升作業(yè)“全等三角形的應(yīng)用”，讓學(xué)生體會全等三角形在實(shí)際解決問題中的作用.

全等三角形的應(yīng)用

一、習(xí)題演練，自我提升

類型1：證明線段、角相等

1.如圖15，已知AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=DC，∠D=∠A.

圖15

（1）請寫出你認(rèn)為正確的5個(gè)結(jié)論（對頂角除外，且不再添加輔助線）.

（2）從你寫出的結(jié)論中，任選一個(gè)說明理由.

類型2：證明位置關(guān)系

2.兩個(gè)等腰直角三角形三角板如圖16①所示放置，將它抽象出圖16②的幾何圖形，其中B，C，E在一條直線上，連接CD.

（1）圖16②有全等三角形嗎？請說明理由；（2）證明：DC⊥BE.

圖16

類型3：進(jìn)行面積變換

3.如圖17，在四邊形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BCD=90°，AC=5，則四邊形ABCD的面積是多少？

圖17

類型4：解決實(shí)際問題

4.如圖18，為了測量湖泊E與岸邊D和A的距離，進(jìn)行如下操作：

圖18

（1）作線段AB，取其中點(diǎn)O；

（2）連接DO并延長使DO=OC；

（3）連接BC；

（4）連接EO交BC于點(diǎn)F，測量BF，CF的長度即可知道AE和DE的長度，請說明這樣做的理由.

二、歸納總結(jié)，自我反思

通過上述練習(xí)，你是否已經(jīng)感受到全等三角形的作用？請你嘗試歸納總結(jié)全等三角形常見的應(yīng)用價(jià)值.

三、綜合應(yīng)用，自我鞏固

5.已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AC⊥BD，作BF⊥CD交CD于點(diǎn)F，BF與AC交于點(diǎn)G，∠EGB=∠EDA.

（1）如圖19，求證：AD=CD；

圖19

（2）如圖20，BH是AE上的中線，若DE=EG，AE=2DE，是否有三角形的面積等于△ADE面積的2倍？請直接寫出來.

圖20

四、拓展創(chuàng)新，自我突破

6.問題背景：如圖21，在四邊形ABCD 中，AB=AD，∠DAB=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠FAE=60°.

圖21

（1）自主發(fā)現(xiàn)：線段BE，EF，F(xiàn)D之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）探索延伸：如圖22，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠FAE=∠DAB，（1）的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.

圖22

（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖23，在某次抗臺風(fēng)演習(xí)中，船甲在A處，距離指揮中心（O處）北偏西30°，船乙在B處，距離指揮中心南偏東70°，且兩船到指揮中心（O處）的距離相等，接到指令后，船甲以60海里/小時(shí)的速度向正東方向前進(jìn)，船乙以80海里/小時(shí)的速度沿北偏東50°的方向前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩船分別到達(dá)E，F(xiàn)處，此時(shí)兩船之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩船之間的距離.（可結(jié)合（2）的結(jié)論）

圖23

（4）你能像上題一樣將全等三角形應(yīng)用于實(shí)際生活嗎？請舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生體會全等三角形在證明線段或角相等、證明線段的位置關(guān)系、對圖形面積變換和實(shí)際應(yīng)用問題上的作用，啟發(fā)學(xué)生碰到相關(guān)問題時(shí)能想到尋找對應(yīng)的全等三角形，以及利用全等三角形解決生活中的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

上述作業(yè)設(shè)計(jì)具有明顯的梯度原則，又依據(jù)解題方法進(jìn)行分類，使每題都具有典型性.其中各模塊的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同：

“習(xí)題演練，自我提升”關(guān)注已有的活動經(jīng)驗(yàn)，突出基礎(chǔ)素養(yǎng)的落實(shí)；

“歸納總結(jié)，自我反思”關(guān)注解決問題的過程，突出數(shù)學(xué)思想的滲透；

“綜合應(yīng)用，自我鞏固”關(guān)注關(guān)鍵能力的發(fā)展，突出應(yīng)用意識的培養(yǎng)；

“拓展創(chuàng)新，自我突破”關(guān)注學(xué)生的主體作用，突出創(chuàng)新意識的提升.

同時(shí)，內(nèi)容與中考考點(diǎn)緊密結(jié)合，讓學(xué)生感受知識點(diǎn)的實(shí)效性和針對性.

作業(yè)批改后的反饋

學(xué)生根據(jù)自身能力自主選擇完成提升型—反思型—應(yīng)用型—拓展型作業(yè)，通過學(xué)生課后自主完成、課堂歸納總結(jié)、同伴交流提煉的形式進(jìn)行反饋.其中提升型和反思型作業(yè)面向全體學(xué)生課后完成，應(yīng)用型和拓展型作業(yè)則先獨(dú)立思考后以小組為單位交流合作完成.

由表2：四次作業(yè)的正確率基本由高到低，體現(xiàn)了難度的階梯設(shè)置.從正確率上看，提升型和反思型作業(yè)正確率較高，應(yīng)用型和拓展型作業(yè)正確率相對較低，可見大部分學(xué)生具備一定的幾何直觀與推理能力，但部分學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識相對欠缺，在今后的教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注這類學(xué)生.另外，要堅(jiān)持“下要保底，上不封頂”的原則，對于本次反饋出的薄弱生以及尖子生，后續(xù)將繼續(xù)對應(yīng)進(jìn)行托底以及培優(yōu)工作.

表2 作業(yè)各類型問題平均正確率

作業(yè)質(zhì)量與成效分析

（一）作業(yè)質(zhì)量

結(jié)合問卷調(diào)查，從以下幾方面對作業(yè)質(zhì)量進(jìn)行分析：從作業(yè)量上看，題量基本控制在6題以內(nèi)；從完成時(shí)間上看，學(xué)生完成作業(yè)時(shí)間大部分為20分鐘；從作業(yè)難度上看，學(xué)生認(rèn)為作業(yè)難度適中，大多數(shù)題可以從上一題的微小變化中找到思路；從學(xué)習(xí)興趣上看，學(xué)生認(rèn)為能在完成作業(yè)的過程中體會到成功的快樂，在交流環(huán)節(jié)中能和同伴擦出更多思維的火花，極大促進(jìn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（二）成效分析

以初二甲、乙兩班作為實(shí)驗(yàn)對象，在新課結(jié)束后的前測中兩班水平相似，而后實(shí)驗(yàn)班安排階梯式單元提升作業(yè)，對照班仍使用傳統(tǒng)作業(yè).實(shí)施期間，每天統(tǒng)計(jì)兩班作業(yè)情況，關(guān)注作業(yè)的布置、批改與反饋，保證有效實(shí)施.后測安排在提升作業(yè)完成并講解后，兩班學(xué)生以同等標(biāo)準(zhǔn)作答，統(tǒng)計(jì)兩班的平均分、優(yōu)秀率，對比各層次人數(shù)的變化，分析階梯式單元提升作業(yè)實(shí)施對學(xué)習(xí)效果的影響.

表3 成對樣本統(tǒng)計(jì)量

將實(shí)驗(yàn)班前測與后測成績進(jìn)行比對分析可知：實(shí)驗(yàn)班在平均分有所提高，標(biāo)準(zhǔn)差升高，說明學(xué)生成績的波動幅度大，變化顯著，并成正態(tài)分布.

由表4可知：相關(guān)系數(shù)為0.615，p=0.000＜0.05，說明實(shí)驗(yàn)班學(xué)生前測與后測成績具有相關(guān)性.

表4 成對樣本相關(guān)系數(shù)

觀察表5每個(gè)分?jǐn)?shù)段對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)、平均分、優(yōu)秀率，可見在單元新課結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)班和對照班學(xué)生在掌握知識方面和綜合能力方面都相對良好，水平相當(dāng).

表5 前測成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表6可知：經(jīng)過階梯式單元提升作業(yè)的訓(xùn)練，實(shí)驗(yàn)班得分在90以下的人數(shù)減少，得分105～120的人數(shù)得到大幅增長，平均分和優(yōu)秀率都明顯高于對照班，說明實(shí)驗(yàn)班相較對照班總體學(xué)習(xí)狀態(tài)提升明顯，核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力有明顯發(fā)展，基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)取得了良好的實(shí)驗(yàn)效果.

表6 后測成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果

總結(jié)與展望

在“雙減”的背景下，作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)必定會成為一線教師需要認(rèn)真思考的長久課題.本文提出的基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計(jì)也僅僅只是筆者短期內(nèi)的實(shí)踐所得，具體長遠(yuǎn)的成效以及在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用作用仍需時(shí)間進(jìn)行考證與探究，我們將繼續(xù)完善“減負(fù)提質(zhì)”的作業(yè)設(shè)計(jì)，依據(jù)學(xué)科學(xué)習(xí)目標(biāo)要求，學(xué)生學(xué)情實(shí)際，不同學(xué)習(xí)期待水平，內(nèi)容整合的程度、要求和形式的多樣性，探索設(shè)計(jì)促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展、以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心，基于單元大問題、大任務(wù)的問題情境，進(jìn)一步關(guān)注目標(biāo)與內(nèi)容、關(guān)注進(jìn)階與組合、關(guān)注結(jié)構(gòu)與本質(zhì)、關(guān)注遷移與創(chuàng)新，將減負(fù)增效真正落到實(shí)處.