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關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)適性的階梯式單元提升作業(yè)
——以“全等三角形”單元學(xué)習(xí)為例

2022-10-15 14:11:32易良斌浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院310020
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 2022年26期
關(guān)鍵詞:全等三角形階梯式輔助線

易良斌 浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310020

吳維靜 杭州師范大學(xué)東城中學(xué) 310000

引言

作業(yè)是我們?nèi)粘=虒W(xué)的重要組成部分,其主要目的一方面是為了幫助學(xué)生鞏固知識,促其進(jìn)步;另一方面則是幫助教師反饋教學(xué)效果,達(dá)到精準(zhǔn)教學(xué)的目的.數(shù)學(xué)單元作業(yè)是教師在單元目標(biāo)和單元設(shè)計(jì)的指導(dǎo)下,將單元內(nèi)零散、單一的作業(yè)采取刪減、增補(bǔ)、重組等方式整合,在單層面統(tǒng)籌考慮整個(gè)單元的系列性作業(yè)[1].“雙減”政策明確要求減輕義務(wù)教育階段學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān),如何在有限的時(shí)間里設(shè)計(jì)更高效的作業(yè),無疑對教師的作業(yè)設(shè)計(jì)水平提出了更高的要求.在此背景下,筆者以“全等三角形”為例,嘗試設(shè)計(jì)適性的階梯式單元提升作業(yè).

設(shè)計(jì)思路與核心

筆者發(fā)現(xiàn)在幾何題的講解中,學(xué)生有時(shí)僅僅只差某一個(gè)提示就能完成整道難題.而數(shù)學(xué)作業(yè)具有針對性、發(fā)展性、探究性、差異性等特征,于是筆者在基于學(xué)情的背景下嘗試階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計(jì),它以維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論為主要依據(jù),同時(shí)結(jié)合“支架式教學(xué)”“類比教學(xué)”“變式訓(xùn)練”“啟發(fā)式問題串”等教學(xué)理念的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì).

本文提到的階梯式單元提升作業(yè)即作業(yè)沒有明確的分層,但是每一個(gè)專題和問題之間都有相關(guān)的聯(lián)系,難度按照相對較小的階梯進(jìn)行,因此每題都可能成為不同能力學(xué)生的“分水嶺”[2].教師不會告訴學(xué)生問題的難度指數(shù),避免學(xué)生產(chǎn)生心理定式,學(xué)生將根據(jù)自身能力進(jìn)行選擇,從而在逐步提升自我需求的同時(shí)滿足教師要求和學(xué)生需求之間的平衡.由于階梯較小,學(xué)生能通過問題之間細(xì)小的變化得到相關(guān)的提示,從而建立完成作業(yè)的信心,降低對數(shù)學(xué)難度的恐懼,逐步完成更高等級的作業(yè),進(jìn)一步逼近自身的“最近發(fā)展區(qū)”.

本作業(yè)設(shè)計(jì)充分關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),從學(xué)生的高頻錯(cuò)題出發(fā),根據(jù)錯(cuò)因分析針對學(xué)生的薄弱點(diǎn)設(shè)計(jì)階梯式作業(yè),秉承從易至難、從基礎(chǔ)知識到應(yīng)用能力的梯度設(shè)計(jì)4個(gè)課時(shí)模塊(圖1),從而更好地體現(xiàn)單元提升作業(yè)中的提升性、反思性、應(yīng)用性和拓展性要求.

圖1 單元設(shè)計(jì)模塊

其中將每課時(shí)的作業(yè)量控制在6題以內(nèi),設(shè)計(jì)以下四種類型的作業(yè)(圖2),以“習(xí)題演練,自我提升—?dú)w納總結(jié),自我反思—綜合應(yīng)用,自我鞏固—拓展創(chuàng)新,自我突破”設(shè)計(jì)4個(gè)主題模塊,其中提升型作業(yè)注重相關(guān)考點(diǎn)、題型的演練,落實(shí)“雙基”;反思型作業(yè)注重方法歸納總結(jié),滲透數(shù)學(xué)思想;應(yīng)用型作業(yè)注重綜合應(yīng)用知識點(diǎn)解決問題,發(fā)展關(guān)鍵能力;拓展型作業(yè)注重思維發(fā)散,進(jìn)一步提升核心素養(yǎng).

圖2 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)模塊

通過提升型作業(yè)歸納總結(jié)得到一定的知識儲備,進(jìn)而對知識進(jìn)行應(yīng)用與發(fā)散,最后由交流提煉得到進(jìn)一步提升.學(xué)生通過經(jīng)歷“提升—反思—應(yīng)用—拓展”的步驟來自主建構(gòu)知識框架,從而提高幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng),增強(qiáng)邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力等關(guān)鍵能力.

圖3 作業(yè)設(shè)計(jì)與核心素養(yǎng)的關(guān)系

單元主題和設(shè)計(jì)目標(biāo)

(一)單元主題

“全等三角形”是幾何入門所必需的基礎(chǔ)知識和基本技能,是初中幾何從實(shí)驗(yàn)階段過渡到論證幾何階段的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力方面具有重要作用.本文為基礎(chǔ)教學(xué)完成后進(jìn)行的提升作業(yè)設(shè)計(jì),通過學(xué)生自主探索三角形全等的條件,歸納常見圖形和基本思路,研究全等三角形的應(yīng)用價(jià)值,從而引導(dǎo)學(xué)生深度建構(gòu),發(fā)展核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)四邊形、圓、相似三角形等其他幾何知識打下良好的基礎(chǔ).

(二)設(shè)計(jì)目標(biāo)

見表1.

表1 作業(yè)設(shè)計(jì)目標(biāo)

作業(yè)設(shè)計(jì)分析

以學(xué)生的高頻錯(cuò)題為出發(fā)點(diǎn),通過學(xué)生自主完成、歸納總結(jié)、思維發(fā)散、交流提煉的形式進(jìn)行,由于篇幅有限,筆者將以作業(yè)(三)全等三角形的構(gòu)造方法以及作業(yè)(四)全等三角形的應(yīng)用為例進(jìn)行具體分析.

作業(yè)(三)全等三角形的構(gòu)造方法

作業(yè)中高頻錯(cuò)題:

(作業(yè)本1.5.1 第6題)如圖4,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠A=∠D.

圖4

下面是兩位同學(xué)的對話:

方方說:根據(jù)條件,找不到全等三角形,圓圓說:如果添加輔助線,就可以找到全等三角形了,請根據(jù)提示給出證明.

(作業(yè)本1.5.2第7題)如圖5,在△ABC 中,AB=5,AC=9,AD 是BC 邊上的中線,則AD 的取值范圍是()

圖5

A.4<AD<14 B.0<AD<14

C.2<AD<7 D.5<AD<9

錯(cuò)因分析上述兩題都需要增添輔助線,對于此類題型,能否添對輔助線構(gòu)造出合適的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵,而學(xué)生對輔助線的添法往往沒有頭緒.

就此,筆者設(shè)計(jì)提升作業(yè)“全等三角形中常見的構(gòu)造方法”,借此為學(xué)生在解決幾何問題中添加輔助線提供思路.

全等三角形的構(gòu)造方法

一、習(xí)題演練,自我提升

類型1:連接線段

1.如圖6,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠B=∠C.

圖6

類型2:作垂線

2.已知:如圖7,DA平分∠CAB,∠ABD+∠ACD=180°,∠B=90°,易證:DB=DC.

圖7

探究:如圖8,DA平分∠CAB,∠ABD+∠ACD=180°,∠B<90°,求證:DB=DC.

圖8

類型3:倍長中線

3.如圖9,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),求證:AB+AC>2AD.

圖9

類型4:截長補(bǔ)短

4.如圖10,AB∥DC,AD⊥CD,點(diǎn)P在AD 上,BP,CP分別平分∠ABC,∠BCD.(1)求證:PA=PD;(2)求證:AB+CD=BC;(3)若去掉AD⊥CD這個(gè)條件,上述兩問的結(jié)論是否仍成立?

圖10

二、歸納總結(jié),自我反思

根據(jù)上述幾種題型的練習(xí),你能否結(jié)合平時(shí)所學(xué)總結(jié)常見的構(gòu)造三角形的方法?請?jiān)囍鴼w納出來.

三、綜合應(yīng)用,自我鞏固

5.如圖11,在△ABC中,∠C=2∠B,DA為∠CAB的角平分線,求證:AB=AC+CD.

圖11

四、拓展創(chuàng)新,自我突破

6.(1)問題解決:請你證明下面命題,如圖12,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),DE⊥DF且DE與AB相交于點(diǎn)E,DF與AC相交于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CF>EF.

圖12

(2)問題拓展:如圖13,在四邊形ACDB 中,∠ABD+∠ACD=180°,BD=CD,∠CDB=120°,在頂點(diǎn)D處作一個(gè)60°的角,角兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接EF,猜想線段EF,BE,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖13

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生感受全等三角形中不同的添加輔助線的方法:連接線段、作垂線、倍長中線、截長補(bǔ)短和旋轉(zhuǎn),通過不同的添加輔助線的方法感受輔助線在解決幾何問題中“搭橋牽線”的作用及優(yōu)越性,及時(shí)滲透轉(zhuǎn)化思想.

另外,在作業(yè)講解時(shí)教師要對不同背景選擇不同的方法進(jìn)行總結(jié):若出現(xiàn)角平分線則優(yōu)先考慮作垂線;若有中線條件優(yōu)先考慮倍長中線;若猜想兩條線段之和等于第三條線段的證明優(yōu)先考慮截長補(bǔ)短;有兩邊相等、旋轉(zhuǎn)后為一條直線的問題時(shí)優(yōu)先考慮通過旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造全等三角形.同時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生理解輔助線的作法往往不唯一,需要我們平時(shí)多積累與總結(jié).

作業(yè)(四)全等三角形的應(yīng)用

作業(yè)中高頻錯(cuò)題:

(作業(yè)本復(fù)習(xí)題第12題)已知:如圖14,點(diǎn)B,C,D在同一條直線上,∠ACB=∠ECD=60°,AC=BC,EC=DC.連接BE,AD,分別交AC,CE于點(diǎn)M,N,求證:(1)△ACD≌△BCE,(2)CM=CN.

圖14

錯(cuò)因分析找不到合適的全等三角形,或雖然找到全等三角形,但是認(rèn)為缺少證明的條件,不理解第一問證出的全等有何用處.

因此筆者設(shè)計(jì)提升作業(yè)“全等三角形的應(yīng)用”,讓學(xué)生體會全等三角形在實(shí)際解決問題中的作用.

全等三角形的應(yīng)用

一、習(xí)題演練,自我提升

類型1:證明線段、角相等

1.如圖15,已知AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=DC,∠D=∠A.

圖15

(1)請寫出你認(rèn)為正確的5個(gè)結(jié)論(對頂角除外,且不再添加輔助線).

(2)從你寫出的結(jié)論中,任選一個(gè)說明理由.

類型2:證明位置關(guān)系

2.兩個(gè)等腰直角三角形三角板如圖16①所示放置,將它抽象出圖16②的幾何圖形,其中B,C,E在一條直線上,連接CD.

(1)圖16②有全等三角形嗎?請說明理由;(2)證明:DC⊥BE.

圖16

類型3:進(jìn)行面積變換

3.如圖17,在四邊形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠BCD=90°,AC=5,則四邊形ABCD的面積是多少?

圖17

類型4:解決實(shí)際問題

4.如圖18,為了測量湖泊E與岸邊D和A的距離,進(jìn)行如下操作:

圖18

(1)作線段AB,取其中點(diǎn)O;

(2)連接DO并延長使DO=OC;

(3)連接BC;

(4)連接EO交BC于點(diǎn)F,測量BF,CF的長度即可知道AE和DE的長度,請說明這樣做的理由.

二、歸納總結(jié),自我反思

通過上述練習(xí),你是否已經(jīng)感受到全等三角形的作用?請你嘗試歸納總結(jié)全等三角形常見的應(yīng)用價(jià)值.

三、綜合應(yīng)用,自我鞏固

5.已知在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)E,AC⊥BD,作BF⊥CD交CD于點(diǎn)F,BF與AC交于點(diǎn)G,∠EGB=∠EDA.

(1)如圖19,求證:AD=CD;

圖19

(2)如圖20,BH是AE上的中線,若DE=EG,AE=2DE,是否有三角形的面積等于△ADE面積的2倍?請直接寫出來.

圖20

四、拓展創(chuàng)新,自我突破

6.問題背景:如圖21,在四邊形ABCD 中,AB=AD,∠DAB=120°,∠ABC=∠ADC=90°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠FAE=60°.

圖21

(1)自主發(fā)現(xiàn):線段BE,EF,F(xiàn)D之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

(2)探索延伸:如圖22,四邊形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠FAE=∠DAB,(1)的結(jié)論是否仍然成立,請說明理由.

圖22

(3)實(shí)際應(yīng)用:如圖23,在某次抗臺風(fēng)演習(xí)中,船甲在A處,距離指揮中心(O處)北偏西30°,船乙在B處,距離指揮中心南偏東70°,且兩船到指揮中心(O處)的距離相等,接到指令后,船甲以60海里/小時(shí)的速度向正東方向前進(jìn),船乙以80海里/小時(shí)的速度沿北偏東50°的方向前進(jìn)1.5小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩船分別到達(dá)E,F(xiàn)處,此時(shí)兩船之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩船之間的距離.(可結(jié)合(2)的結(jié)論)

圖23

(4)你能像上題一樣將全等三角形應(yīng)用于實(shí)際生活嗎?請舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生體會全等三角形在證明線段或角相等、證明線段的位置關(guān)系、對圖形面積變換和實(shí)際應(yīng)用問題上的作用,啟發(fā)學(xué)生碰到相關(guān)問題時(shí)能想到尋找對應(yīng)的全等三角形,以及利用全等三角形解決生活中的實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.

上述作業(yè)設(shè)計(jì)具有明顯的梯度原則,又依據(jù)解題方法進(jìn)行分類,使每題都具有典型性.其中各模塊的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同:

“習(xí)題演練,自我提升”關(guān)注已有的活動經(jīng)驗(yàn),突出基礎(chǔ)素養(yǎng)的落實(shí);

“歸納總結(jié),自我反思”關(guān)注解決問題的過程,突出數(shù)學(xué)思想的滲透;

“綜合應(yīng)用,自我鞏固”關(guān)注關(guān)鍵能力的發(fā)展,突出應(yīng)用意識的培養(yǎng);

“拓展創(chuàng)新,自我突破”關(guān)注學(xué)生的主體作用,突出創(chuàng)新意識的提升.

同時(shí),內(nèi)容與中考考點(diǎn)緊密結(jié)合,讓學(xué)生感受知識點(diǎn)的實(shí)效性和針對性.

作業(yè)批改后的反饋

學(xué)生根據(jù)自身能力自主選擇完成提升型—反思型—應(yīng)用型—拓展型作業(yè),通過學(xué)生課后自主完成、課堂歸納總結(jié)、同伴交流提煉的形式進(jìn)行反饋.其中提升型和反思型作業(yè)面向全體學(xué)生課后完成,應(yīng)用型和拓展型作業(yè)則先獨(dú)立思考后以小組為單位交流合作完成.

由表2:四次作業(yè)的正確率基本由高到低,體現(xiàn)了難度的階梯設(shè)置.從正確率上看,提升型和反思型作業(yè)正確率較高,應(yīng)用型和拓展型作業(yè)正確率相對較低,可見大部分學(xué)生具備一定的幾何直觀與推理能力,但部分學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識相對欠缺,在今后的教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注這類學(xué)生.另外,要堅(jiān)持“下要保底,上不封頂”的原則,對于本次反饋出的薄弱生以及尖子生,后續(xù)將繼續(xù)對應(yīng)進(jìn)行托底以及培優(yōu)工作.

表2 作業(yè)各類型問題平均正確率

作業(yè)質(zhì)量與成效分析

(一)作業(yè)質(zhì)量

結(jié)合問卷調(diào)查,從以下幾方面對作業(yè)質(zhì)量進(jìn)行分析:從作業(yè)量上看,題量基本控制在6題以內(nèi);從完成時(shí)間上看,學(xué)生完成作業(yè)時(shí)間大部分為20分鐘;從作業(yè)難度上看,學(xué)生認(rèn)為作業(yè)難度適中,大多數(shù)題可以從上一題的微小變化中找到思路;從學(xué)習(xí)興趣上看,學(xué)生認(rèn)為能在完成作業(yè)的過程中體會到成功的快樂,在交流環(huán)節(jié)中能和同伴擦出更多思維的火花,極大促進(jìn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

(二)成效分析

以初二甲、乙兩班作為實(shí)驗(yàn)對象,在新課結(jié)束后的前測中兩班水平相似,而后實(shí)驗(yàn)班安排階梯式單元提升作業(yè),對照班仍使用傳統(tǒng)作業(yè).實(shí)施期間,每天統(tǒng)計(jì)兩班作業(yè)情況,關(guān)注作業(yè)的布置、批改與反饋,保證有效實(shí)施.后測安排在提升作業(yè)完成并講解后,兩班學(xué)生以同等標(biāo)準(zhǔn)作答,統(tǒng)計(jì)兩班的平均分、優(yōu)秀率,對比各層次人數(shù)的變化,分析階梯式單元提升作業(yè)實(shí)施對學(xué)習(xí)效果的影響.

表3 成對樣本統(tǒng)計(jì)量

將實(shí)驗(yàn)班前測與后測成績進(jìn)行比對分析可知:實(shí)驗(yàn)班在平均分有所提高,標(biāo)準(zhǔn)差升高,說明學(xué)生成績的波動幅度大,變化顯著,并成正態(tài)分布.

由表4可知:相關(guān)系數(shù)為0.615,p=0.000<0.05,說明實(shí)驗(yàn)班學(xué)生前測與后測成績具有相關(guān)性.

表4 成對樣本相關(guān)系數(shù)

觀察表5每個(gè)分?jǐn)?shù)段對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)、平均分、優(yōu)秀率,可見在單元新課結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)班和對照班學(xué)生在掌握知識方面和綜合能力方面都相對良好,水平相當(dāng).

表5 前測成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表6可知:經(jīng)過階梯式單元提升作業(yè)的訓(xùn)練,實(shí)驗(yàn)班得分在90以下的人數(shù)減少,得分105~120的人數(shù)得到大幅增長,平均分和優(yōu)秀率都明顯高于對照班,說明實(shí)驗(yàn)班相較對照班總體學(xué)習(xí)狀態(tài)提升明顯,核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力有明顯發(fā)展,基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)取得了良好的實(shí)驗(yàn)效果.

表6 后測成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果

總結(jié)與展望

在“雙減”的背景下,作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)必定會成為一線教師需要認(rèn)真思考的長久課題.本文提出的基于學(xué)情的階梯式單元提升作業(yè)設(shè)計(jì)也僅僅只是筆者短期內(nèi)的實(shí)踐所得,具體長遠(yuǎn)的成效以及在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用作用仍需時(shí)間進(jìn)行考證與探究,我們將繼續(xù)完善“減負(fù)提質(zhì)”的作業(yè)設(shè)計(jì),依據(jù)學(xué)科學(xué)習(xí)目標(biāo)要求,學(xué)生學(xué)情實(shí)際,不同學(xué)習(xí)期待水平,內(nèi)容整合的程度、要求和形式的多樣性,探索設(shè)計(jì)促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展、以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心,基于單元大問題、大任務(wù)的問題情境,進(jìn)一步關(guān)注目標(biāo)與內(nèi)容、關(guān)注進(jìn)階與組合、關(guān)注結(jié)構(gòu)與本質(zhì)、關(guān)注遷移與創(chuàng)新,將減負(fù)增效真正落到實(shí)處.

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