樊潔瑩 杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 311100

陸吉健 杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院 311100

引言

數(shù)學(xué)對于人的發(fā)展是至關(guān)重要的，它時時刻刻都在我們身邊，不論是在日常生活中，還是研究中.數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，因為它的重要性，使得它在整個中考教學(xué)體系中的主導(dǎo)作用彰顯無遺.函數(shù)蘊含著變化，這不僅讓初中學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)后對于數(shù)學(xué)知識有一個新的認(rèn)知，也使得函數(shù)出題方式多種多樣，出題難度可難可易，可以考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可以將函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，也可以將函數(shù)與日常生活實際應(yīng)用結(jié)合起來.如何科學(xué)而富有新意地對中考函數(shù)進(jìn)行命題，發(fā)揮其重要的指引作用，這一點十分值得研究.值得一提的是，初中階段函數(shù)知識的學(xué)習(xí)有利于提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2021年浙江省十市中考數(shù)學(xué)試卷函數(shù)題型分類評析

函數(shù)的考查題型可基本分為六大類，分別是“函數(shù)基本型”“函數(shù)代數(shù)型”“函數(shù)幾何型”“函數(shù)應(yīng)用型”“函數(shù)動點型”以及“函數(shù)最值型”.

筆者將2021年浙江省十市中考數(shù)學(xué)試卷中涉及函數(shù)知識試題進(jìn)行相關(guān)分類，結(jié)果如表1所示：

表1 2021年浙江省十市中考數(shù)學(xué)函數(shù)題型分類統(tǒng)計表

通過上表可以看出，2021年浙江省十市中考數(shù)學(xué)試卷對每一種題型的考查都有所涉及.其中函數(shù)基本型、函數(shù)代數(shù)型和函數(shù)最值型考查頻率較高，說明命題人注重基本概念的考查，要求學(xué)生思維多樣化并希望學(xué)生能夠把所學(xué)知識應(yīng)用到實際中去，這是非常好的現(xiàn)象.

1.函數(shù)基本型

例1（2021金華中考）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y=-的圖像上.若x1＜0＜x2，則（ ）

A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1

C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0

例2（2021紹興中考）Ⅰ號無人機從海拔10 m處出發(fā)，以10 m/min的速度勻速上升，Ⅱ號無人機從海拔30 m處同時出發(fā)，以a（m/min）的速度勻速上升，經(jīng)過5 min兩架無人機位于同一海拔高度b（m）.無人機海拔高度y（m）與時間x（min）的關(guān)系如圖1所示.兩架無人機都上升了15 min.

圖1

（1）求b的值及Ⅱ號無人機海拔高度y（m）與時間x（min）的關(guān)系式；

（2）問無人機上升了多少時間，Ⅰ號無人機比Ⅱ號無人機高28 m.

例3（2021寧波中考）如圖2所示，二次函數(shù)y=（x-1）（x-a）（a為常數(shù)）的圖像的對稱軸為直線x=2.

圖2

（1）求a的值；

（2）向下平移該二次函數(shù)的圖像，使其經(jīng)過原點，求平移后圖像所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式.

評析以上例題分別考查的是反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)三種基本初等函數(shù)的圖像及其單調(diào)性，此類型試題是各地中考的常見題型，要求學(xué)生理解并掌握初等函數(shù)的解析式和圖像性質(zhì)，并且能夠?qū)⑵涫炀氝\用于具體題目情境中；要求學(xué)生能夠充分理解兩者結(jié)合的特定情境下的解題技巧.而函數(shù)作為數(shù)學(xué)的代數(shù)知識和幾何知識的綜合，更加要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)的圖像法和解析法以及兩者結(jié)合使用的綜合法［1］.

2.函數(shù)代數(shù)型

例4（2021嘉興、舟山中考）已知點P（a，b）在直線y=-3x-4上，且2a-5b≤0，則下列不等式一定成立的是（ ）

評析本題將一次函數(shù)與不等式結(jié)合了起來，其意思與“若-3a-4=b，且2a-5b≤0，則等式一定成立的是”相同.在一次函數(shù)的背景下，要求學(xué)生將圖像上的點轉(zhuǎn)化為等式中的點，不僅有效考查學(xué)生對一次函數(shù)性質(zhì)的理解，而且將函數(shù)與不等式相結(jié)合，使得題目變得更為“豐滿”.此外，還可以用數(shù)形結(jié)合的思想求解該類問題，更加直觀.值得一提的是，本題為選擇題，可以利用分別代入驗證的方法求解此問題.在實際教學(xué)中，教師應(yīng)該注重此類問題的多種求解方法，多方面深入剖析求解過程.

3.函數(shù)幾何型

例5（2021年杭州中考）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y1=（k1是常數(shù)，k1＞0，x＞0）與函數(shù)y2=k2x（k2是常數(shù)，k2≠0）的圖像交于點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為點B.

圖3

（1）若點B的坐標(biāo)為（-1，）

2，

①求k1，k2的值；

②當(dāng)y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；

（2）若點B在函數(shù)y3=（k3是常數(shù)，k3≠0）的圖像上，求k1+k3的值.

評析本題重點考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、點的對稱性質(zhì)，以坐標(biāo)軸和反比例函數(shù)曲線為基礎(chǔ)背景，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件即點的對稱性質(zhì)求出各點坐標(biāo)，從而求出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)圖像信息，解答取值范圍等問題.根據(jù)此題得到啟示，教師在解題教學(xué)中可采用引導(dǎo)探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生透徹理解問題［2］，同時應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)作圖分析能力，引導(dǎo)學(xué)生自己動手參與實踐.

4.函數(shù)應(yīng)用型

例6（2021年臺州中考）電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便.某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻R0，R1與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關(guān)系式為R1=km+b（其中k，b為常數(shù)，0≤m≤120），如圖4所示；在圖5所示的電路中，電源電壓恒為8 V，定值電阻R0的阻值為30 Ω，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m，

圖4

圖5

溫馨提示：①導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R，通過導(dǎo)體的電流I，滿足關(guān)系式I=

②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓.

（1）求k，b的值；

（2）求R1關(guān)于U0的函數(shù)解析式；

（3）用含U0的代數(shù)式表示m；

（4）若電壓表量程為0～6 V，為保護(hù)電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量.

評析題目以現(xiàn)實生活中電子體重秤為背景，是借助現(xiàn)實生活中的事件完善題目，主要考查的是學(xué)生對一次函數(shù)圖像的理解與實際應(yīng)用，與前幾年試題相比，如今題目雖然花哨，但其中所考查知識點仍然不變，然而還要求學(xué)生在正確理解題目的基礎(chǔ)上，將問題中所給文字語言和圖像語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言，只有正確轉(zhuǎn)化之后，才能求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而才能借助函數(shù)這個橋梁完成一系列問題，可謂一環(huán)扣一環(huán)，也說明數(shù)學(xué)人要具備膽大心細(xì)的特質(zhì).在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注意強調(diào)數(shù)學(xué)符號語言的重要性和數(shù)學(xué)“從生活中來，到生活中去的”的實際意義，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，注意引導(dǎo)學(xué)生將非數(shù)學(xué)化語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言文字，學(xué)會用簡單字母表示問題中較為冗長的語言文字.在教學(xué)實施過程中，像“用字母表示數(shù)”這一課要特別注意，其內(nèi)容雖然基礎(chǔ)，卻是一塊不錯的墊腳石，為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展做好鋪墊.

5.函數(shù)動點型

例7（2021年湖州中考）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖像上的一個動點，連接AO，AO的延長線交反比例函數(shù)y=（k＞0，x＜0）的圖像于點B，過點A作AE⊥y軸于點E.

圖6

圖7

評析本題是反比例函數(shù)與點的軌跡相結(jié)合的“函數(shù)動點型”問題，著重考查學(xué)生的邏輯分析推理能力，雖然本題考查難度遠(yuǎn)高于課標(biāo)之上，但對提高學(xué)生的空間能力、邏輯思維能力有著較大的促進(jìn)作用.本題所給反比例函數(shù)解析式中存在兩個未知數(shù)，因此反比例函數(shù)圖像也會隨著未知數(shù)的變化而相應(yīng)改變，另外也可能出現(xiàn)多種情況，由此抓住題中的關(guān)鍵信息是解題的關(guān)鍵.本類型題目，如果單靠畫圖解答，會將問題復(fù)雜化，因此在實際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生用各類數(shù)學(xué)思想處理問題，比如常見的數(shù)形結(jié)合思想、整體思想以及化歸思想等.

6.函數(shù)最值型

例8（2021年衢州中考）（1）一座拋物線形拱橋的側(cè)面示意圖如圖8所示，水面寬AB與橋長CD均為24 m，在距離D點6 m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5 m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

圖8

（2）如圖9所示，橋面上方有3根高度均為4 m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1 m.

圖9

①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值.

評析本題是“函數(shù)最值型”考題，考查的知識點是二次函數(shù)的典型最值性質(zhì)，著重考查學(xué)生的邏輯思維分析和邏輯思維推理能力.本題所給啟發(fā)：教師在實際教學(xué)過程中，應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)邏輯能力，并且引導(dǎo)學(xué)生充分利用“選擇題”此類特殊題型的特點對試題進(jìn)行多方位剖析，幫助學(xué)生建立“特殊到一般”的歸納思想.

從中考函數(shù)試題中看數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

函數(shù)基本型試題主要體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)運算能力，這是初中階段的學(xué)生最應(yīng)具備的能力.事實上，每道數(shù)學(xué)題都在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，如果在這個方面丟分，實在可惜.

而函數(shù)動點型試題主要體現(xiàn)的是邏輯推理能力，在難度遠(yuǎn)高于課標(biāo)要求的情況下，要求學(xué)生有較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治龊瓦壿嬐评硭季S，根據(jù)不同情況下的動點條件一一作答.

拿上文中例6來講，該題將函數(shù)應(yīng)用從傳統(tǒng)的代數(shù)領(lǐng)域擴展到平面幾何領(lǐng)域，并且和實際事例相結(jié)合，拓展了初中階段函數(shù)應(yīng)用的新思路，豐富了對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查方式，也豐富了實際教學(xué)中如何形成、培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的途徑［3］.另一方面，函數(shù)解析式和函數(shù)圖像密切相關(guān)，這就又涉及了直觀想象素養(yǎng).中學(xué)階段是對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)較為關(guān)鍵的階段，因為處于萌芽時期的學(xué)習(xí)奠定了今后的學(xué)習(xí)狀態(tài)；中學(xué)階段，剛剛較為深入地接觸到幾何知識，恰好高中立體幾何的學(xué)習(xí)正是需要初中萌芽時期幾何的鋪墊，因此直觀想象素養(yǎng)的合的函數(shù)試題顯得更加新意滿滿，在為解決問題的方法方面提供了更多可能性，也為考查直觀素養(yǎng)提供了更多可能性.

除了上述已提及核心素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)雖然未在中考函數(shù)試題中有所體現(xiàn)，但關(guān)注面向信息化未來的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)，并堅守數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也顯得尤為重要［4］.

實際教學(xué)中如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要通過學(xué)科教學(xué)和綜合實踐活動課程來具體實施，在核心素養(yǎng)下，建立初中數(shù)學(xué)高效課堂是當(dāng)今教學(xué)發(fā)展之必經(jīng)之路.初中數(shù)學(xué)教師要實現(xiàn)通過有效課堂的構(gòu)建來助力學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，就應(yīng)將學(xué)生放在教學(xué)的正中央，通過以滿足學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展需求為目標(biāo).

課標(biāo)中提到“綜合與實踐”式教學(xué)方式，其重在綜合也重在實踐，主張教師在日常教學(xué)活動中應(yīng)將主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與課堂，主動分享所思所感.這也呼應(yīng)了教師觀中應(yīng)發(fā)揮教師主體地位和發(fā)揮學(xué)生主導(dǎo)作用相結(jié)合的理念.在正式實施該教學(xué)方式時，教師應(yīng)時刻謹(jǐn)記，讓學(xué)生參與實際活動應(yīng)該積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能［5］.

除了上述所提的教學(xué)方式應(yīng)當(dāng)普及，縱觀當(dāng)今初中數(shù)學(xué)課堂，教師應(yīng)該在教學(xué)方式上有所突破，努力為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做出努力.在構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂的情境下，教師的教學(xué)設(shè)計也應(yīng)當(dāng)朝著高效設(shè)計看齊，所給案例應(yīng)當(dāng)從實際生活中所取，從而增加課堂趣味性，另外中考試題也越來越“接地氣”，如此所做，也可盡早幫助學(xué)生適應(yīng)中考之變；其次課堂中要適當(dāng)性地增加互動次數(shù)，無論是師生之間還是生生之間，相較傳統(tǒng)被動接受式教學(xué)，在交流中學(xué)習(xí)更有助于思維的橫、縱向發(fā)展，也更有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；最后，在問題中拓展思維是關(guān)鍵，因此在如此有限的45分鐘課堂內(nèi)，教師更應(yīng)嚴(yán)格把控問題的精準(zhǔn)性及有效性.