施燕芬

(浙江省杭州市蕭山區(qū)高橋初級中學(xué)，浙江 杭州 311208)

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和自然遞進簡介

目前培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)成為我國教育界的熱點，成為社會和教育者眼中深化課程改革、落實立德樹人的根本任務(wù)的重要因素而學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)最終還是要落實在學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)在于會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界作為落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要支點和主要渠道，課堂教學(xué)應(yīng)為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供助力

自然遞進就是通過若干個相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，按照一定的邏輯順序和形式形成學(xué)習(xí)知識鏈，對知識進行“全方位，立體化，有層次”的整體性理解，促進探究教學(xué)數(shù)學(xué)是生長的，將自然遞進的教學(xué)理念引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動助力學(xué)生個體生命的成長；是邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)；是前后一致的數(shù)學(xué)教學(xué)；是關(guān)注學(xué)生生命成長的數(shù)學(xué)教學(xué)

二、教學(xué)分析與設(shè)想

本節(jié)內(nèi)容選自浙教版八年級上第五章第四節(jié)第一課時，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、常量與變量、函數(shù)的表示方法及一次函數(shù)的概念等基礎(chǔ)上，對一次函數(shù)的圖像進行的深入探究同時，本節(jié)課的內(nèi)容對后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)有著借鑒作用本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)不僅要使學(xué)生了解一次函數(shù)的圖像是一條直線，更側(cè)重畫圖的生成過程、轉(zhuǎn)化等思想方法的提煉過程、圖像知識的升華過程因此為了有效落實教學(xué)目標(biāo)，本課以一次函數(shù)的圖像探索為主線，從知識發(fā)生、發(fā)展上逐步引入、探索新知識，讓新知識逐步自然生長

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法課程內(nèi)容的選擇要有利于學(xué)生體驗與理解，思考與探索”基于學(xué)生學(xué)情對教學(xué)內(nèi)容的分析，在教學(xué)設(shè)計時對教學(xué)內(nèi)容進行整體構(gòu)思，分步編排，將本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)做一次分解，其結(jié)構(gòu)如圖1所示

圖1

三、教學(xué)過程與說明

【設(shè)計】

圖2

如圖2所示的是甲、乙兩人在一次賽跑中路程與時間的函數(shù)圖像你能從中獲取哪些信息？

根據(jù)圖像回答下列問題：

(1)這是一次幾百米的賽跑？

(2)甲、乙兩人中誰先到達終點？

(3)乙在這次賽跑中的速度是多少？

【現(xiàn)場】

師：同學(xué)們，請根據(jù)圖像回答下列問題

生(眾)：這是100米的賽跑，甲先到達，乙的速度是8 m/s

師：從中還能得到哪些信息？

生1：甲跑得比乙快，甲比乙提前05 s到達終點

生2：甲跑完全程需12 s，乙跑完全程需125 s

師：很好！根據(jù)圖像我們能得到很多的信息參照圖像甲，當(dāng)=3時，=25，這樣把自變量作為點的橫坐標(biāo)，把函數(shù)作為點的縱坐標(biāo)就得到點(3，25)，而當(dāng)=6時，=50，就得到點(6，50)……所有這些點就組成了這個函數(shù)的圖像今天我們就來探究一次函數(shù)的圖像

【教學(xué)說明】

數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認識發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗上本環(huán)節(jié)的設(shè)置意在讓學(xué)生理解函數(shù)圖像的概念，感受函數(shù)圖像在日常生活中的應(yīng)用設(shè)計三個難度不大的小問題，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動積極性的同時，培養(yǎng)了學(xué)生“看圖說話”的抽象能力的素養(yǎng)

【設(shè)計】

1自主探究——一次函數(shù)=2+1圖像的畫法

2小組合作——以六人小組為單位，交流探究過程

3課堂展示選擇有代表性的小組，要求小組派一名代表進行匯報，同學(xué)提出疑問

【現(xiàn)場】

(在學(xué)生自主探究，小組交流后)

師：如何畫一次函數(shù)=2+1的圖像？

生1：選擇5對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，在坐標(biāo)系中描出5個對應(yīng)的點，并將這5個點連線

師：選擇的這5個點有什么特點？

生2：簡單的點，整數(shù)點

師：還有別的要求嗎？

生3：的值對稱的，正數(shù)，負數(shù)和零，可以取=-2，-1，0，1，2

師(選擇性描出5個點后，見圖3)：一次函數(shù)的圖像畫好了嗎？

圖3

生4：沒有，還沒有連線

師：為什么要連線？

生4：因為還有無數(shù)個點也符合函數(shù)解析式

師：那怎么辦？

生4：再多取一些點，還可以取±3，±4，±5,…

師：很好，但橫坐標(biāo)1與2之間還有點嗎？

生(眾)：有！

師(借助幾何畫板，見圖4)：通過幾何畫板繪制這些點并觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生(眾)：在一條直線上

師(見圖5)：在12-13之間還有點嗎？再試試看放大、縮小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生(眾)：也在同一直線上

圖4

圖5

師：如果在這條直線上取兩個點，如(-25，-4)，(4，9)，它們滿足什么關(guān)系？

生5：它們都在函數(shù)圖像上

師：滿足一次函數(shù)=2+1解析式的點(，)在它的圖像上，而圖像上的每一點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都滿足一次函數(shù)的解析式，所以一次函數(shù)的圖像是一條直線

【教學(xué)說明】

借助幾何畫板，通過增加點的方式，逐步逼近，感受一次函數(shù)的圖像是一條直線事實上，點追蹤的過程，就是驗證圖像的完備性，即滿足解析式的點都落在函數(shù)的圖像上，同時進一步在圖像上取點，來驗證純粹性，即圖像上的點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，深刻體會點與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系本環(huán)節(jié)在設(shè)計的時候，教師放手讓學(xué)生動手解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)把課堂真正回歸給學(xué)生的原則，真正做到了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、小組合作的精神及模型觀念的素養(yǎng)

【設(shè)計】

已知一次函數(shù)=3與=-3+2

(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖像

(2)求一次函數(shù)=3，=-3+2與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)

【現(xiàn)場】

(在學(xué)生畫完一次函數(shù)的圖像后)

師：怎么畫一次函數(shù)=-3+2的圖像？

生1：選幾個點，列表，描點，連線

師：我們是否可以更簡潔地畫出這條直線呢？至少要描幾個點？為什么？

生2：至少兩個點，一次函數(shù)的圖像是一條直線，而兩點確定一條直線

師：那么我們可以怎么簡化畫一次函數(shù)圖像的方法？

生2：采用兩點作圖法，步驟依然是列表、描點、連線我選擇(1，-1)，(2，-4)

生3：我選擇(0，2)，(1，-1)畫圖

師(黑板上作圖)：很好，整點取值能方便作圖

師：大家再看，(0，2)這個點有什么特殊性？

生4：當(dāng)=0時，=2，而這是直線=-3+2與軸的交點

師：那么直線與軸有交點嗎？如果有，坐標(biāo)是什么？

師：請總結(jié)一下求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的方法

師：總結(jié)得很到位！請繼續(xù)思考，根據(jù)一次函數(shù)的圖像，可得正比例函數(shù)=-3的圖像有何特點，在畫圖像時，你會怎么取點?

生6：圖像是經(jīng)過原點的一條直線，與坐標(biāo)軸交于點(0，0)，可以一個點取(0，0)，另一個點取(1，-3)

師：因此我們可以利用“兩點法”來優(yōu)化、簡化一次函數(shù)圖像的畫法；可以直接利用函數(shù)的表達式求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點的坐標(biāo)

【教學(xué)說明】

由于有了環(huán)節(jié)二的過渡，又通過教師逐層追問，學(xué)生自然得到畫一次函數(shù)的圖像只需“恰當(dāng)?shù)膬牲c”，即應(yīng)用兩點確定一條直線教師通過讓學(xué)生選取的不同的點，引出求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點，讓學(xué)生深刻體會交點的意義及求法，培養(yǎng)了數(shù)據(jù)觀念的素養(yǎng)

【設(shè)計】一個長方形的周長是12 cm，一邊長是cm

(1)求它的另一條邊長關(guān)于的函數(shù)表達式，以及的取值范圍

(2)畫出這個函數(shù)的圖像

【現(xiàn)場】

(學(xué)生作答，教師巡視并用平板拍照功能收集學(xué)生答題情況)出示如圖6所示的圖片

圖6

師：這兩個圖像一樣嗎？

生(齊)：不一樣！

生1：在實際情形中，因為，都表示邊長，且0<<6，所以此時這個函數(shù)圖像就不能向兩端無限延伸了

師：你的思路很清晰，觀察很敏銳在實際情形中的一次函數(shù)圖像與一般的函數(shù)圖像具有差異性，在自變量的取值上條件有所限制，此時它是一條無端點的線段，是直線的一部分

【教學(xué)說明】

課標(biāo)強調(diào)，成功的教學(xué)不是讓學(xué)生帶著句號走出課堂，而是讓他們帶著感嘆號和新的問號走出課堂環(huán)節(jié)四的設(shè)計是為了高階生成，預(yù)約精彩教師借助平板拍照功能，快速收集學(xué)生信息，通過比對教學(xué)，讓學(xué)生深刻地感受自變量的取值范圍對圖像的制約作用教師通過問題的解決來內(nèi)化核心素養(yǎng)，讓學(xué)生推理能力的素養(yǎng)落地生根

【設(shè)計】

通過本節(jié)課的探討學(xué)習(xí)，你獲得了哪些新的知識？你認為有哪些方面的進步

【現(xiàn)場】

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些新的內(nèi)容，請同學(xué)們總結(jié)一下

生1：我知道了一次函數(shù)的圖像是一條直線，學(xué)會了用“兩點法”畫一次函數(shù)的圖像，還掌握了如何判斷一個點在不在一條直線上和如何求一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點

生2：實際情形中的函數(shù)圖像的自變量的取值條件有時會受限制

師：同學(xué)們的回答很全面我們不妨從以下三個方面回顧：

(1)研究過程

(2)研究思路

(3)研究方法(數(shù)與形切換)

【教學(xué)說明】

教師通過回顧一次函數(shù)圖像的全程學(xué)習(xí)和研究，以“自然遞進”調(diào)動認知儲備，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完成知識建構(gòu)，充實知識網(wǎng)絡(luò)，促進數(shù)學(xué)思考，提升核心素養(yǎng)

四、幾點思考

1自然遞進促進知識生長

一次函數(shù)圖像的本質(zhì)是由無數(shù)多個滿足一次函數(shù)關(guān)系式的動點組成的圖形為了讓學(xué)生真正地理解一次函數(shù)圖像的本質(zhì)，本節(jié)課設(shè)計兩個“遞進”：

教學(xué)目標(biāo)遞進：一是了解函數(shù)的圖像的概念通過生活現(xiàn)實中的例子，引入要研究的一次函數(shù)的圖像；二是就一次函數(shù)的圖像進行點、點的坐標(biāo)、變量的對應(yīng)取值等要素的探究；三是對一次函數(shù)圖像的畫法進行優(yōu)化、簡化、深化和應(yīng)用

教學(xué)過程遞進：在確定教學(xué)目標(biāo)后，教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)設(shè)計都緊緊圍繞落實教學(xué)目標(biāo)，力求找到更好、更優(yōu)、更深刻的方式方法，使核心素養(yǎng)“落地生根”以往的一次函數(shù)圖像的教學(xué)設(shè)計只注重結(jié)果，直接告訴學(xué)生畫函數(shù)圖像需經(jīng)歷列表、描點、連線的過程,但學(xué)生并不清楚一次函數(shù)的圖像為什么是一條直線，為什么幾個點能代替無數(shù)點，為什么要順次連線因此在設(shè)計環(huán)節(jié)二時，教師先讓學(xué)生自主嘗試，再合作交流，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)同時，教師要借助現(xiàn)代多媒體技術(shù)，如幾何畫板，電子白板等，通過兩個點之間不斷增加點的方法，逐步逼近；所描的點也從有限到無限，從離散到密集，從特殊到一般，讓學(xué)生首次感受圖像整體的發(fā)展趨勢，見證圖像的生長是連續(xù)的在環(huán)節(jié)三的設(shè)計上，教師以追問“開路”，引導(dǎo)學(xué)生感悟畫一次函數(shù)的圖像用“兩點法”即可在環(huán)節(jié)四的設(shè)計上，教師讓學(xué)生進一步感受生活中的函數(shù)圖像受自變量的制約教師在教學(xué)過程中以階梯式的問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生的視域從“樹木”走向“森林”

2核心素養(yǎng)催生高效課堂

隨著課改的深入，為了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)的確立和落實，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須“化教學(xué)內(nèi)容為數(shù)學(xué)本質(zhì)，融生本理念于教學(xué)實踐，合核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)”教師要把學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在數(shù)學(xué)教學(xué)活動設(shè)計的每個環(huán)節(jié)當(dāng)然，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是教師教出來的，而是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生在自主、合作、探究中，去思考、領(lǐng)悟、積累中獲得的因此，本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計時，每一環(huán)節(jié)落實一個學(xué)習(xí)任務(wù)，落實數(shù)學(xué)知識，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

總之，從“自然遞進”的角度進行教學(xué)，立意高，思想性強，數(shù)學(xué)味濃這樣的安排可以自然而又深刻地反應(yīng)數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，能更好地落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鑄就出學(xué)生生命成長的生長性課堂，素養(yǎng)立意的生成性課堂，教學(xué)相長的發(fā)展性課堂，學(xué)生思維提升的靈動課堂