胡學(xué)敏，杜 娟，閆獻(xiàn)國(guó)，智紅英，雍博皓

(太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

在航空航天、醫(yī)療診治、生活家電、汽車(chē)裝備等涉及到高精度需求時(shí)，大部分零件曲面復(fù)雜多樣，曲面形狀所需精度要求較高，例如汽輪機(jī)葉輪葉片、螺旋槳、汽車(chē)模具，這些曲面零件的質(zhì)量直接影響國(guó)家機(jī)械行業(yè)的發(fā)展水平，各種機(jī)械制造業(yè)中的零件都會(huì)涉及到復(fù)雜曲面的質(zhì)量檢測(cè)[1]。傳統(tǒng)常見(jiàn)的輪廓度誤差評(píng)定采取最小二乘法[2]，但由于其得到的誤差比較大，復(fù)雜曲面零件質(zhì)量得不到較好評(píng)估引起浪費(fèi)，因此找到一種計(jì)算簡(jiǎn)便、效率高的評(píng)定誤差的方法極其重要。目前我國(guó)選用最小區(qū)域法[3]對(duì)復(fù)雜曲面進(jìn)行輪廓度誤差評(píng)定，這樣可以提高曲面的利用價(jià)值。傳統(tǒng)的優(yōu)化測(cè)點(diǎn)位置方法如梯度下降法、牛頓法等容易使優(yōu)化結(jié)果受局部控制，且不適用于復(fù)雜曲面優(yōu)化問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]采用差分進(jìn)化算法對(duì)理論面與實(shí)際曲面進(jìn)行優(yōu)化匹配，文獻(xiàn)[5]采用粒子群算法對(duì)測(cè)點(diǎn)與理論曲面進(jìn)行優(yōu)化匹配，這些算法可以解決類(lèi)似曲面中的復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，適當(dāng)?shù)馗纳屏藗鹘y(tǒng)優(yōu)化算法的缺點(diǎn)。但如果單獨(dú)使用差分進(jìn)化法其全局搜索能力較弱[6-7]，單獨(dú)使用粒子群算法容易使得算法在剛開(kāi)始時(shí)收斂速度變快，很容易使優(yōu)化結(jié)果受局部控制。基于以上這些問(wèn)題，本文提出了一種差分進(jìn)化粒子群混合算法用來(lái)優(yōu)化實(shí)際測(cè)量點(diǎn)的移動(dòng)旋轉(zhuǎn)位置，該算法計(jì)算精度高、時(shí)間少、收斂速度快，結(jié)合了差分進(jìn)化法和粒子群法的優(yōu)點(diǎn)，避開(kāi)了兩種算法的缺點(diǎn)，適用于復(fù)雜曲面輪廓度誤差求解這類(lèi)非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題[8-9]，最終結(jié)合廖平[10]的分割曲面逼近算法用于計(jì)算復(fù)雜曲面的輪廓度誤差。

1 復(fù)雜曲面輪廓度誤差評(píng)定的含義

檢測(cè)復(fù)雜曲面的質(zhì)量也就是通過(guò)對(duì)比加工后的實(shí)際測(cè)量出的曲面與理論設(shè)計(jì)出的曲面之間的形狀誤差，曲面的輪廓度誤差指的是包圍實(shí)測(cè)曲面輪廓的兩個(gè)同等距離的理論曲面輪廓之間的最小距離。采用最小區(qū)域法評(píng)定復(fù)雜曲面的輪廓度誤差數(shù)學(xué)模型如下，根據(jù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式，曲面誤差評(píng)定模型包含兩方面：點(diǎn)到曲面最小距離的計(jì)算、實(shí)測(cè)曲面與理論曲面的優(yōu)化匹配。

(1)

公式中dj(Δx，Δy，Δz，α，β，γ)為原來(lái)的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)(xj，yj，zj)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換后得到新的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)(xj*，yj*，zj*)到理論曲面的最小距離。

2 分割曲面逼近法計(jì)算最小距離

圖1 均分理論曲面形成網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)Fig 1.Evenly divide theoretical surfaces to form mesh nodes

圖2 實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到理論曲面片端點(diǎn)的最小距離Fig.2 The minimum distance from the measuring point to the end point of the theoretical surface

以上是一般情況，在特殊情況下，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A位于理論曲面的四條輪廓邊上時(shí)，小曲面∑k(t)的取值區(qū)域如下：

當(dāng)vjc(t)=0，則v∈[0，1/N(t)]；當(dāng)vjc(t)=1，則v∈[1-1/N(t)，1].

(3)判斷分割值1/N(t)得到的距離差是否小于計(jì)算精度。若分割值1/N(t)得到的距離與分割值1/N(t-1)得到的距離之差小于計(jì)算精度，那么這一輪循環(huán)到此為止，這時(shí)計(jì)算得到的數(shù)值即為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到理論曲面的最小距離。如果分割值1/N(t)得到的距離與分割值1/N(t-1)得到的距離之差大于計(jì)算精度，需要繼續(xù)分割曲面重復(fù)第(2)步，繼續(xù)求解，最終達(dá)到所需的精度要求。

3 差分進(jìn)化粒子群混合算法

差分進(jìn)化法操作過(guò)程少、計(jì)算精度高，但全局搜索能力較弱。粒子群法容易使得算法在剛開(kāi)始時(shí)收斂速度變快，很容易使優(yōu)化結(jié)果受局部控制。為了得到搜索精度高且計(jì)算速度快的優(yōu)化算法，我們將在已有的差分進(jìn)化算法中加入粒子群算法作為輔助變異算子，也就是將這兩種算法結(jié)合成為差分進(jìn)化粒子群混合算法。

3.1 差分進(jìn)化法

進(jìn)化流程包括變異、交叉和選擇操作，只是三種操作順序及計(jì)算公式有差別。其原理就是NP個(gè)種群個(gè)體在D維空間由參數(shù)向量xi，j(i=1，2，…，NP;j=1，2，…，D)不斷進(jìn)化篩選個(gè)體留下適應(yīng)能力更好的個(gè)體。

(1)變異操作

變異表達(dá)式如下：

(2)

此時(shí)r1，r2，r3∈{1，2，…，NP}且r1≠r2≠r3≠i，式中F為縮放因子，縮放因子按照標(biāo)準(zhǔn)取值范圍為[0，2].

(2)交叉操作

(3)

(3)選擇操作

(4)

3.2 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法的生物原理實(shí)際上是來(lái)自于對(duì)一群小鳥(niǎo)捕捉食物的情景模擬，一般采用的是速度-位置搜索模型，由NP個(gè)種群個(gè)體在D維空間不斷調(diào)整自己的位置及速度首先隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，且每個(gè)粒子都設(shè)定一個(gè)隨機(jī)速度。因此每個(gè)粒子的速度和位置由下式給出:

(5)

(6)

3.3 差分粒子群混合算法

差分粒子群混合算法剛開(kāi)始的步驟是使用差分進(jìn)化算法先進(jìn)行變異選擇操作，若選擇后產(chǎn)生的個(gè)體滿(mǎn)足公式(2)，則包括在群體內(nèi)，否則進(jìn)入下一步粒子群算法中進(jìn)行更新群體粒子的最佳位置與速度，然后再進(jìn)入差分進(jìn)化算法操作中的交叉選擇操作。一直不斷地重復(fù)迭代該步驟直到達(dá)到最佳值。在差分進(jìn)化算法中加入粒子群算法使得進(jìn)化的粒子更加多樣化，其算法流程如圖3所示：

圖3 差分進(jìn)化粒子群算法流程Fig.3 Differential evolution particle swarm algorithm process

4 分割曲面逼近法與差分粒子群算法相結(jié)合進(jìn)行曲面輪廓度誤差評(píng)定

復(fù)雜曲面的輪廓度誤差評(píng)定的具體步驟如下所示：

(1)設(shè)定差分粒子群算法控制參數(shù)，主要包括種群規(guī)模粒子數(shù)NP、變異算子F、交叉算子CR、慣性因子ω、學(xué)習(xí)因子c1和c2、最大進(jìn)化代數(shù)Gm等。

(2)初始化粒子種群。隨機(jī)初始化6 個(gè)平移旋轉(zhuǎn)變化量(Δx，Δy，Δz，α，β，γ)，初始化范圍一定要在這6 個(gè)變量取值范圍之內(nèi)，這樣就形成了一個(gè)六維的參數(shù)向量，接著NP個(gè)這樣的粒子形成了初始種群Q(G)，此時(shí)G=0，同時(shí)隨機(jī)初始化這些粒子群體的位置及其對(duì)應(yīng)的速度，然后利用分割曲面逼近方法計(jì)算初始種群中每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)而就得到了所有粒子的最優(yōu)位置。

(3)初始種群Q(G)中的個(gè)體經(jīng)過(guò)變異得到臨時(shí)種群，然后利用分割曲面逼近方法，計(jì)算該臨時(shí)種群中每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值。

(4)對(duì)臨時(shí)種群和當(dāng)前種群Q(G)進(jìn)行選擇操作，若是選擇得到的粒子是經(jīng)過(guò)變異操作則包含在下一代種群內(nèi)，否則對(duì)粒子進(jìn)行更新位置和速度如式(5)和式(6)，從而使種群粒子到達(dá)最好位置，得到下一代種群Q(G+1).

(5)對(duì)下一代種群中的粒子進(jìn)行交叉、選擇操作。

(6)求解最終計(jì)算結(jié)果?？催M(jìn)化代數(shù)是否滿(mǎn)足設(shè)定值Gm，如果滿(mǎn)足設(shè)定值Gm，那么該進(jìn)化循環(huán)結(jié)束，這時(shí)所有個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值中的最小值作為解輸出；如果沒(méi)有滿(mǎn)足設(shè)定值Gm，那么重復(fù)第(3)步。直到滿(mǎn)足情況，這時(shí)最終的輸出值則為所求的復(fù)雜曲面輪廓度誤差值。

5 實(shí)例計(jì)算及其分析

本文對(duì)五軸加工的S形復(fù)雜曲面的一部分使用MATLAB軟件編程進(jìn)行輪廓度誤差值計(jì)算，其基于NURBS描述的理論三維模型如圖4所示，所測(cè)實(shí)際加工的曲面如圖5所示。本實(shí)驗(yàn)采用WALE輪廓儀V1.0-1000系列，其測(cè)量原理是為直角坐標(biāo)測(cè)量法，即通過(guò)X軸、Z1軸傳感器，測(cè)繪出被測(cè)零件的表面輪廓的坐標(biāo)點(diǎn)。由于該儀器只能測(cè)二維方向的數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于本次實(shí)驗(yàn)對(duì)象為三維曲面且曲面關(guān)于平面YOZ對(duì)稱(chēng)，所以只需要等Y軸間距測(cè)出五條軌跡曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)當(dāng)作本次實(shí)驗(yàn)的曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)即可。根據(jù)等間距采樣原則，在曲面模型上等間距選取70 個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行輪廓儀測(cè)量如圖6所示，形成70 個(gè)試驗(yàn)測(cè)量點(diǎn)。

圖4 S形部分曲面三維模型Fig.4 S-shaped partial surface 3D model

圖5 S形部分測(cè)量曲面Fig.5 S-shaped part measurement surface

圖6 S形部分曲面測(cè)量輪廓儀Fig.6 S-shaped part curved surface measuring profiler

按照第四節(jié)中的計(jì)算曲面誤差值的過(guò)程進(jìn)行MATLAB編程計(jì)算，首先將控制參數(shù)設(shè)置如下：

種群大小NP=50；F=0.005；CR=0.7；Gm為50，Δx、Δy、Δz、α、β、γ的取值區(qū)域?yàn)閇-0.1，0.1].經(jīng)MATLAB計(jì)算，得到該曲面的輪廓度誤差值為0.095 966 mm，而采用文獻(xiàn)[4]介紹的差分進(jìn)化法計(jì)算得到的輪廓度誤差值為0.119 475 mm，采用文獻(xiàn)[5]介紹的粒子群算法計(jì)算得到的輪廓度誤差值為0.140 125 mm.從圖7可以看出，差分粒子群混合算法剛開(kāi)始時(shí)的起點(diǎn)與差分進(jìn)化算法和粒子群算法大致相同，但其收斂速度相比于另外兩種算法更迅速，到第15 代左右時(shí)就得到了比較好的計(jì)算結(jié)果，其結(jié)果更優(yōu)，顯示其跳出局部最優(yōu)解的能力更強(qiáng)。所以本文方法能夠得到更加精確的復(fù)雜曲面輪廓度誤差值。

圖7 三種算法迭代收斂對(duì)比曲線Fig.7 Comparison curve of iterative convergence of three algorithms

6 結(jié)論

提出一種差分進(jìn)化粒子群混合算法結(jié)合分割曲面逼近算法來(lái)評(píng)定復(fù)雜曲面的輪廓度誤差，該方法可對(duì)工程中生活中的復(fù)雜曲面進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，大大提高工程對(duì)其利用價(jià)值。

(1)采用分割曲面逼近法計(jì)算實(shí)測(cè)點(diǎn)到理論曲面的最短距離，該方法計(jì)算精度高，可進(jìn)行具體操作。

(2)使用差分進(jìn)化粒子群混合算法來(lái)優(yōu)化實(shí)際測(cè)量點(diǎn)的位置，該方法結(jié)合了差分進(jìn)化法全局搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)及粒子群法的局部搜素能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，在用來(lái)求解復(fù)雜曲面函數(shù)問(wèn)題上更好地顯示出算法的優(yōu)點(diǎn)。

本文方法計(jì)算時(shí)間少且計(jì)算精度高于差分進(jìn)化法和分割曲面逼近算法相結(jié)合及粒子群法和分割曲面逼近算法相結(jié)合這兩種方法，具有一定的實(shí)用意義。