■錢中華

“數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造性活動，即是一種包含有猜測、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗(yàn)與改進(jìn)的復(fù)雜過程，特別是，我們應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)活動的易繆性與發(fā)展性質(zhì)。”[1]11數(shù)學(xué)是動態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)與擬經(jīng)驗(yàn)的，不僅包含具體的數(shù)學(xué)知識，而且蘊(yùn)含先賢發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識，祛除遮蔽、排除悖論所經(jīng)歷的艱難探索，以及把握本質(zhì)屬性的歷程。

正是在這個意義上，要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在簡略經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展的歷史過程中，“去理解知識最初發(fā)現(xiàn)時人們面臨的問題、解決問題的思路，采用的思維方式、思考過程，理解知識發(fā)現(xiàn)者可能有的情感，判斷評價知識的價值”[2]，掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)及關(guān)系結(jié)構(gòu)，改善發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成積極情感態(tài)度。

數(shù)學(xué)教學(xué)材料是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的對象，是由教師對教學(xué)內(nèi)容精心加工、設(shè)計(jì)而成的，體現(xiàn)了對“學(xué)什么”“怎么學(xué)”的核心關(guān)切。聚焦數(shù)學(xué)這種創(chuàng)造性活動，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)材料設(shè)計(jì)需要把握教學(xué)內(nèi)容的歷史邏輯、理論邏輯、價值邏輯和實(shí)踐邏輯。

一、歷史邏輯：數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展的歷史演變

遵循歷史邏輯要求教師從數(shù)學(xué)史的視角，考察并精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)知識的起源、演進(jìn)、深化與推廣，設(shè)計(jì)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展歷史演變過程的教學(xué)材料。

教師深入分析數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史背景，明確從何處產(chǎn)生、為什么會產(chǎn)生的必要性；把握在歷史長河中以什么為知識原型，按照自身內(nèi)部邏輯，經(jīng)過逐步演進(jìn)發(fā)展而形成如今的數(shù)學(xué)知識；深刻理解數(shù)學(xué)的發(fā)展“不是用破壞和取消原有理論的方式進(jìn)行的，而是用深化和推廣原有理論的方式，用以前的發(fā)展作準(zhǔn)備而提出新的概括理論的方式進(jìn)行的”[3]33，明確以原有數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)的橫向深化和縱向推廣。這樣，教師以此為依據(jù)，設(shè)計(jì)出再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識演進(jìn)與變化的教學(xué)材料，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造親歷知識生長過程和提供再發(fā)現(xiàn)的機(jī)會。

例如，“分物游戲”。本課是除法運(yùn)算的首課，內(nèi)容是離散量“平均除”?！捌骄逼鹪从凇胺帧保垂糯藗儼粗粩?shù)分野兔、按個數(shù)分土豆或果子等離散量物體，發(fā)現(xiàn)“分”的結(jié)果可能每份同樣多，也可能每份不是同樣多，怎樣才能使得每份同樣多成為當(dāng)時人們思考的問題。離散量“平均除”的演進(jìn)過程：早起“分”諸如野兔、土豆、果子等離散量物體→發(fā)現(xiàn)有多種分法→比較不同分法的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中一種分法分得的每份數(shù)量同樣多，這種分?jǐn)?shù)概括為平均分→為了快速、準(zhǔn)確、簡潔地平均分離散量物體，發(fā)明“平均除”。離散量“平均除”橫向深化：一位數(shù)除以一位數(shù)→兩位數(shù)及以上除以一位數(shù)→除數(shù)是兩位數(shù)或以上；縱向推廣：離散量“平均除”→離散量“包含除”→連續(xù)量“平均除”→連續(xù)量“包含除”。

教學(xué)材料設(shè)計(jì)如下：

（1）把6個蘋果分給淘氣和笑笑，可以怎樣分？

（2）按照分的結(jié)果，可以分成幾類？

（3）像這樣每份都是3個蘋果就是平均分，用除法計(jì)算，介紹除號的來歷與寫法。

（4）有12根蘿卜。每只小兔分到的蘿卜一樣多，每只小兔分到多少根蘿卜？

這組材料緊扣“平均除”起源于“平均分”，以開放性問題“把6個蘋果分給淘氣和笑笑，可以怎樣分”切入，調(diào)動學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，將6個蘋果分成“0、6”“1、5”“2、4”“3、3”四種情況。通過解決問題（2），理解以分的結(jié)果是否相等為標(biāo)準(zhǔn)，可以把四種情況分成2類，前三種結(jié)果不相等為一類，第四種結(jié)果相等為一類。自然而然地進(jìn)入材料（3），引出平均分，用除法運(yùn)算。問題（4）是橫向深化，進(jìn)一步理解“平均除”?？v觀整個過程，教學(xué)材料設(shè)計(jì)遵循了“平均除”形成的歷史邏輯，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“分→平均分→平均除”過程，以深刻理解平均分為基礎(chǔ)創(chuàng)造“平均除”，并銜接了后續(xù)學(xué)習(xí)的“包含除”。

二、理論邏輯：教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)理論體系不可分割的有機(jī)組成部分

扎根理論邏輯要求教師把握教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)理論體系不可分割的有機(jī)組成部分，深入分析教學(xué)內(nèi)容包含的概念、命題及其之間的邏輯關(guān)系，挖掘概念、命題形成過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；設(shè)計(jì)置于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、關(guān)系結(jié)構(gòu)及其數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)材料。

具體而言，教師將教學(xué)內(nèi)容置于數(shù)學(xué)理論體系，把握數(shù)學(xué)知識的最終表現(xiàn)不是各個孤立的知識點(diǎn)（概念、命題），分析數(shù)學(xué)知識（概念、命題）的關(guān)系結(jié)構(gòu)，包括數(shù)學(xué)知識先后順序的邏輯結(jié)構(gòu)以及由數(shù)學(xué)知識構(gòu)成的網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)；把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)不是概念、命題，也不是數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)知識的多樣化表征，分析數(shù)學(xué)知識的本源意義及內(nèi)在的、不變的本質(zhì)屬性。分析教學(xué)內(nèi)容所滲透的數(shù)學(xué)基本思想——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，把握數(shù)學(xué)思想“蘊(yùn)涵在概念的形成、規(guī)律的揭示、結(jié)論的推導(dǎo)以及知識發(fā)展、應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括”[4]。這樣，根植教學(xué)內(nèi)容的理論邏輯進(jìn)行教學(xué)材料設(shè)計(jì)，不僅可以教學(xué)正確的數(shù)學(xué)，更為重要的是學(xué)生通過學(xué)習(xí)，可以理解把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，建立關(guān)系結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)基本思想。

例如，“什么是面積”。在數(shù)學(xué)理論體系視域下，其邏輯結(jié)構(gòu)為：前概念（生活中的物體表面大?。娣e概念→面積單位→規(guī)則封閉平面圖形的面積（物體表面積）→不規(guī)則封閉平面圖形或物體表面的面積（知識結(jié)構(gòu)見圖1）。具體到本課內(nèi)容其邏輯結(jié)構(gòu)為：前概念（生活中的物體表面大?。矬w表面的面積→封閉平面圖形的面積→比較平面圖形面積的大小→銜接面積單位（知識結(jié)構(gòu)見圖2）。面積的本源意義是“比較”，本質(zhì)屬性是“度量”；可見，教材中定義“面積是物體表面或封閉平面圖形的大小”，這是外在的邏輯形式，沒有觸及面積的本源意義及本質(zhì)。面積概念形成過程中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象（比較、分類、概括、數(shù)形結(jié)合、變中不變、符號化等）、數(shù)學(xué)推理（歸納、演繹、化歸、特殊與一般等）和數(shù)學(xué)建模（簡化、量化、優(yōu)化）等基本思想。由此，設(shè)計(jì)出如下三組教學(xué)材料：

圖1 面積知識結(jié)構(gòu)

圖2 “什么是面積”知識結(jié)構(gòu)

第一組問題：

（1）數(shù)學(xué)教科書封面和A4紙誰大？這個大小你們知道比的是什么？

（2）既然比的面積，那么，面積與什么相關(guān)？

（3）教科書封面和A4紙表面是規(guī)則的有面積，樹葉的表面是不規(guī)則的，有面積嗎？理由是什么？

第二組問題：

（1）物體表面有面積，平面圖形有面積嗎？

（2）下面這些平面圖形有面積嗎？為什么？

圖3

第三組問題：

（1）A和B誰的面積大？用什么方法比較的？

圖4

（2）C和D誰的面積?。坑檬裁捶椒ū容^的？

圖5

（3）E和F誰的面積大？可以怎樣比較？

圖6

（4）用“數(shù)格子法”可以比較E、F面積的大小。其實(shí)質(zhì)就是用“格子”去測量E、F，這里對“格子”有何要求？

（5）淘氣和笑笑兩家在裝修新房時，都用了70塊地磚鋪滿客廳，他們兩家客廳的面積一樣大嗎？

這三組教學(xué)材料，扎根“度量”，凸顯了“比較”的本真意涵；將面積的邏輯結(jié)構(gòu)、知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)易于接受、可以觸摸的結(jié)構(gòu)化的材料，并將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模蘊(yùn)含其中，幫助學(xué)生深刻理解面積的本質(zhì)意義，建構(gòu)面積概念的邏輯結(jié)構(gòu)、知識結(jié)構(gòu)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)基本思想，銜接面積單位學(xué)習(xí)。

三、價值邏輯：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展數(shù)學(xué)思維

站位價值邏輯要求教師“忠誠學(xué)科教育的本質(zhì)追求，切實(shí)體現(xiàn)學(xué)科的教育價值取向和育人本質(zhì)，完整達(dá)成學(xué)科教學(xué)目標(biāo)而體現(xiàn)出來的高階發(fā)展性品質(zhì)”[5]，把握數(shù)學(xué)教學(xué)的根本價值是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教師深入教學(xué)內(nèi)容，剖析數(shù)學(xué)思維形式方法，精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)思維形式方法類別，進(jìn)而進(jìn)行教學(xué)材料設(shè)計(jì)。如此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，開啟思維操作，在探索和理解數(shù)學(xué)知識最深刻的和最完美的內(nèi)涵過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，理解不同數(shù)學(xué)思維形式方法的發(fā)生機(jī)制、應(yīng)用范圍及遵守的規(guī)則，改善發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

例如，“數(shù)對確定位置”。從數(shù)對產(chǎn)生的必要性、數(shù)對表示位置的唯一性、數(shù)學(xué)符號表征的簡明性三個方面展開理解數(shù)對，蘊(yùn)含了分析、比較、分類、抽象、概括、判斷、推理等數(shù)學(xué)思維形式方法?；诖?，教師以問題取向、過程取向、社會取向，設(shè)計(jì)出如下教學(xué)材料[6]：一是ppt展示老師讀初中時的舊照片，請同學(xué)們找出老師站在哪個位置并表示出來；二是用自己的記錄方式介紹老師，看能不能在照片中準(zhǔn)確、快速地找到老師，如果不能該如何改進(jìn)；三是老師所站位置除用數(shù)對（3,5）表示外，看還能不能用其他數(shù)對表示。

統(tǒng)觀教學(xué)材料，以問題開啟學(xué)生思維操作，意義建構(gòu)數(shù)對。首先以開放性問題調(diào)動學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷觀察、分析、分類、判斷、概括的思維活動，從不同視角運(yùn)用不同分法記錄老師所站位置，培養(yǎng)思維的靈活性；第二個問題引發(fā)學(xué)生思辨多種記錄方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)并捕捉矛盾，經(jīng)歷嘗試、猜想、驗(yàn)證、推理、反思與評估的思維過程，理解記錄老師位置必須有確定的行數(shù)和列數(shù)，以及規(guī)定行前列后的合理性，培養(yǎng)思維的深刻性；第三個問題引起學(xué)生猜想、嘗試、驗(yàn)證、判斷、推理、論證，理解數(shù)對表示位置的唯一性及數(shù)學(xué)符號表征的簡明性，發(fā)展洞察力、辨別力、判斷力，培養(yǎng)思維的批判性。整個過程不僅體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維形式方法解決問題，而且體現(xiàn)了在解決問題中獲得數(shù)學(xué)思維的改善發(fā)展，也培養(yǎng)了包括靈活性、深刻性、批判性在內(nèi)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

四、實(shí)踐邏輯促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)重組與意義建構(gòu)

筑牢實(shí)踐邏輯要求教師深度分析學(xué)生已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)，明確最近發(fā)展區(qū)，設(shè)計(jì)歷史邏輯、理論邏輯、價值邏輯融為一體的教學(xué)材料。

教師立足教學(xué)內(nèi)容，從教材邏輯、自我經(jīng)驗(yàn)、教師團(tuán)隊(duì)經(jīng)驗(yàn)、前測調(diào)查等路徑分析學(xué)生已經(jīng)知道了什么，把握好學(xué)生已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)與所學(xué)內(nèi)容之間的距離，找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)和著力點(diǎn)，重構(gòu)“符合史實(shí)，而不是胡編亂造，不能有科學(xué)性錯誤；建立在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)之上，凸顯其必要性”[7]424-426的“現(xiàn)實(shí)性”與“問題性”整體融合的教學(xué)材料，驅(qū)動引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考辨析，改造重組經(jīng)驗(yàn)，意義建構(gòu)知識。

例如，“生活中的比”。教師設(shè)計(jì)了“①看見“比”，您想到了什么？②在日常生活中，您聽說過哪些比？③寫一個比，并舉例說明”三個問題，前測調(diào)查學(xué)生對“比”的生活、認(rèn)知儲備，了解到學(xué)生：①會寫比和用除法運(yùn)算求比值；②對同類量的比有所了解；③對同類量的比是比倍有所了解；④在生活中了解到比是球類比賽的比分或沙、水泥、水的配比。存在的問題：①對不同類量的比缺乏了解；②認(rèn)為比就是除法運(yùn)算，對比的本質(zhì)缺乏了解；③不清楚比不僅可以表示兩個量的關(guān)系，也可以表示三個及以上數(shù)量的關(guān)系；④絕大部分學(xué)生不能借助生活實(shí)例解釋比的意義。在此基礎(chǔ)上，把握比最初是幾何中兩個同類量的度量，也就是確定一個單位標(biāo)準(zhǔn)去測量另一個同類的量，就得到一個比，兩個同類量是倍數(shù)關(guān)系；度量實(shí)際是比較。后經(jīng)眾多數(shù)學(xué)家對其擴(kuò)展，比從幾何領(lǐng)域逐步進(jìn)入算術(shù)，進(jìn)而進(jìn)化到不同類量的比和兩個數(shù)的比，用除法運(yùn)算求比值。這一演變過程表明：比產(chǎn)生的根本原因是比較；演進(jìn)路徑是從幾何到算術(shù)，從同類量到不同類量。把握比的數(shù)學(xué)本質(zhì)是兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，不是除法運(yùn)算；明確內(nèi)隱的數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思維。

再進(jìn)一步分析學(xué)生對比認(rèn)識的已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)與比的歷史演變的符合程度，設(shè)計(jì)教學(xué)材料順序；分析學(xué)生對比認(rèn)識的已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)與比概念原型之間的差異，選擇設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性教學(xué)材料；分析學(xué)生對比認(rèn)識的已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)與比的數(shù)學(xué)本質(zhì)之間的“距離”，設(shè)計(jì)激發(fā)認(rèn)知沖突的問題性教學(xué)材料；三者統(tǒng)整，重構(gòu)出“生活中的比”的教學(xué)材料。

第一組：

（1）觀察屏幕上的圖形（圖7），你有哪些發(fā)現(xiàn)？這些發(fā)現(xiàn)可以分成幾類？有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

圖7

（2）AB是CD的2倍，即8是4的2倍，稱為8比4，記作8:4，8是前項(xiàng)，4是后項(xiàng)，“：”叫比號；通過8÷4得到8:4的結(jié)果是2，叫比值。8:4表達(dá)了AB與CD的份數(shù)關(guān)系，以CD為標(biāo)準(zhǔn)去度量AB,可以量2次，也就是2倍，標(biāo)準(zhǔn)作后項(xiàng)，被度量對象作前項(xiàng)。按照“AB是CD的2倍”說法，說一說對CD是AB的的理解。

第二組：根據(jù)題目提供的條件能寫出比嗎？

①我們班男生有25人，女生有24人。

②新冠疫情期間，學(xué)校常用84消毒液對校園消毒，按要求：1000ml水加84消毒液10ml。

③行15km，需要3時。

④在一杯糖水中，有蔗糖10g,水100g。

⑤某商場規(guī)定：每買5支牙膏送2把牙刷。

⑥買3kg蘋果，需要人民幣42元。

第三組：下面哪些說法是正確的？哪些是錯誤的？簡要說明理由。

②游艇上有12人，平均身高157cm,身高與人數(shù)的比為157:12。

③蝸牛2h全速爬行的路程是17m，路程與時間之比是17：2。

④混凝土由水、沙、碎石組成，在某一時刻的比是4:2:3。

⑤紅、藍(lán)兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，比分16:8。

⑥笑笑身高1.4m,媽媽身高165cm，笑笑與媽媽身高的比1.4:165。

上述教學(xué)材料以學(xué)生已有（生活、認(rèn)知）經(jīng)驗(yàn)為切入點(diǎn)和突破口，體現(xiàn)了比產(chǎn)生的歷史邏輯，突出了比的理論邏輯，反映了對改善發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的價值。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，通過對第一組教學(xué)材料的探索、猜想、論證與辨析，理解比產(chǎn)生的根本原因是兩個同類量的比較，體會比產(chǎn)生的必要性；比是兩個同類量的倍數(shù)關(guān)系，是用單位標(biāo)準(zhǔn)去度量另一個同類量的表達(dá)；把握比各部分名稱及求比值，單位標(biāo)準(zhǔn)作后項(xiàng)，另一個同類量作前項(xiàng)，理解比、除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。通過對第二組教學(xué)材料的分析、判斷、比較、分類，在矛盾與反轉(zhuǎn)、思考與辨析中溝通與兩個同類量比的聯(lián)系，將兩個同類量比的意義遷移到不同類量，理解單位標(biāo)準(zhǔn)度量另一個不同類量，產(chǎn)生新“量”，重構(gòu)出不同類量的比是倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，打通比、除法、分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過對第三組材料具體實(shí)例的分析、比較，辨析除法、比，深度理解比的數(shù)學(xué)本質(zhì)是兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，不是除法運(yùn)算；幫助學(xué)生建立起如圖8的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

概而言之，基于數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造性活動的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)材料設(shè)計(jì)，需要精準(zhǔn)把握教學(xué)內(nèi)容的歷史邏輯、理論邏輯、價值邏輯和實(shí)踐路徑。這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時才能思維、情感、理智、價值態(tài)度等全身心投入，在簡略經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的歷史演變過程中，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)基本思想，改善發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。